[离散数学]试题及答案

一、填空题

1 设集合A,B ，其中A ＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; __________________________ .

2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |ρ(A×A)| = __________________________.

3. 设集合A = {a , b }, B = {1, 2}, 则从A 到B 的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.

4. 已知命题公式G ＝⌝(P→Q) ∧R ，则G 的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.

5. 设G 是完全二叉树，G 有7个点，其中4个叶点，则G 的总度数为__________，分枝点数为________________.

6 设A 、B 为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A ⋂B ＝_________________________; A ⋃B ＝_________________________;A－B ＝ _____________________ .

7. 设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.

8. 设命题公式G ＝⌝(P→(Q∧R)) ，则使公式G 为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.

9. 设集合A ＝{1,2,3,4}, A上的关系R 1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R 1∙R 2 = ________________________,R2∙R 1 =____________________________, =________________________.

10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = _____________________________.

11 设A,B,R 是三个集合，其中R 是实数集，A = {x | -1≤x ≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x

13. 设集合A ＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是A 上的整除，则R 以集合形式(列举法) 记为___________ _______________________________________________________.

14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G 的前束范式是__________________________ _____. 15. 设G 是具有8个顶点的树，则G 中增加_________条边才能把G 变成完全图。

16. 设谓词的定义域为{a , b },将表达式∀xR(x)→∃xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.

17. 设集合A ＝{1, 2, 3, 4}，A 上的二元关系R ＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则R ⋅S ＝

R 12

ρ(A) - ρ(B)＝

_____________________________________________________, R 2＝______________________________________________________. 二、选择题

(C)∅⊆{{a}}⊆B ⊆E (D){{a},1,3,4}⊂B.

(C)对称性

(D)反对称性

1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E 为全集，则下列命题正确的是( ) 。

(A){2}∈A (B){a}⊆A (A)自反性 (A)下界

2 设集合A={1,2,3},A上的关系R ＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R 不具备( ).

(B)传递性 (B)上界

3 设半序集(A,≤) 关系≤的哈斯图如下所示，若A 的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B 的( ) 。

(C)最小上界 (D)以上答案都不对

4 下列语句中，( ) 是命题。

(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？ 5 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b},

P (a , a ) P(a,b) P(b,a) P(b,b) 1 0 1 0

则在解释I 下取真值为1的公式是( ).

(A)∃x ∀yP(x,y) (B)∀x ∀yP(x,y) (C)∀xP(x,x) (D)∀x ∃yP(x,y). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (A)恒真的 (B)恒假的

(C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).

6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).

7. 设G 、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G ＝∃xP(x), H＝∀xP(x),则一阶逻辑公式G →H 是( ).

(C)可满足的 (D)前束范式.

8 设命题公式G ＝⌝(P→Q) ，H ＝P →(Q→⌝P) ，则G 与H 的关系是( ) 。

(A)G⇒H (B)H⇒G (C)G＝H (D)以上都不是. (A)A＝B (A)自反性

(B)A⊆B (B)传递性

(C)B⊆A

(D)A＝B ＝∅.

9 设A, B为集合，当( ) 时A －B ＝B.

10 设集合A = {1,2,3,4}, A上的关系R ＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R 具有( ) 。

(C)对称性 (D)以上答案都不对

11 下列关于集合的表示中正确的为( ) 。

(A){a}∈{a,b,c} (B){a}⊆{a,b,c} (C)∅∈{a,b,c} (D){a,b}∈{a,b,c} (A) 对任意x ，G(x)都取真值1. (B)有一个x 0，使G(x0) 取真值1. (C)有某些x ，使G(x0) 取真值1. (D)以上答案都不对. 13. 设G 是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G 的边数是( ).

(A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条. (A)6 (B)5

14. 设G 是5个顶点的完全图，则从G 中删去( ) 条边可以得到树.

12 命题∀xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).

⎡0

⎢1

15. 设图G 的相邻矩阵为⎢

⎢1⎢⎢1⎢⎣1

(A)4, 5 (B)5, 6

三、计算证明题

1111⎤

0100⎥

⎥，则G 的顶点数与边数分别为( ).

1011⎥

⎥

0101⎥0110⎥⎦

(D)5, 8.

1. 设集合A ＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R 为整除关系。

(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；

(2) 写出A 的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界； (3) 写出A 的最大元，最小元，极大元，极小元。 2.

设集合A ＝{1, 2, 3, 4}，A 上的关系R ＝{(x,y) | x, y∈A 且 x ≥ y}, 求 (1) 画出R 的关系图； (2) 写出R 的关系矩阵. 3.

设R 是实数集合，σ, τ, ϕ是R 上的三个映射，σ(x) = x+3, τ(x) = 2x, ϕ(x) ＝ x/4,试求复合映射σ•τ，σ•σ, σ•ϕ, ϕ•τ，σ•ϕ•τ.

4. 设I 是如下一个解释：D = {2, 3},

a 3

b 2

f (2) 3

f (3) 2

P (2, 2) 0

P (2, 3) 0

P (3, 2) 1

P (3, 3) 1

试求 (1) P (a , f (a )) ∧P (b , f (b ));

(2) ∀x ∃y P (y , x ).

5. 设集合A ＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R 为A 上整除关系。

(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；

(2) 写出A 的最大元，最小元，极大元，极小元；

(3) 写出A 的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界. 6. 设命题公式G = ⌝(P→Q) ∨(Q∧(⌝P →R)), 求G 的主析取范式。

7. (9分) 设一阶逻辑公式：G = (∀xP (x ) ∨∃yQ (y )) →∀xR (x ) ，把G 化成前束范式. 9. 设R 是集合A = {a, b, c, d}. R是A 上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},

(1) 求出r(R), s(R), t(R)； (2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.

11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：

(1) G = (P∧Q) ∨(⌝P ∧Q ∧R) (2) H = (P∨(Q∧R)) ∧(Q∨(⌝P ∧R))

13. 设R 和S 是集合A ＝{a , b , c , d }上的关系，其中R ＝{(a , a ),(a , c ),(b , c ),(c , d )}, c ),(b , d ),(d , d )}.

(1) 试写出R 和S 的关系矩阵； (2) 计算R •S , R ∪S , R 1, S 1•R 1.

－

S ＝{(a , b ),(b ,

四、证明题

1. 利用形式演绎法证明：{P →Q , R →S , P ∨R }蕴涵Q ∨S 。 2. 设A,B 为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B∪C).

3. (本题10分) 利用形式演绎法证明：{⌝A ∨B, ⌝C →⌝B, C →D}蕴涵A →D 。 4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：

A －(A∩B) = (A∪B) －B .

参考答案

一、填空题

1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

2. 2.

3. α1= {(a ,1), (b ,1)}, α2= {(a ,2), (b ,2)},α3= {(a ,1), (b ,2)}, α4= {(a ,2), (b ,1)}; α3, α4. 4. (P∧⌝Q ∧R). 5. 12, 3.

6. {4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}. 7. 自反性；对称性；传递性. 8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).

9. {(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}. 10. 2m ⨯n .

11. {x | -1≤x

13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}. 14. ∃x(⌝P(x)∨Q(x)). 15. 21.

16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.

二、选择题

1. C. 2. D. 3. B. 4. B. 5. D. 6. C. 7. C.

8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A. 三、计算证明题 1. (1)

n 2

15. D

(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3. (3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1. 2. R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(1)

⎡1⎢1

(2)M R =⎢

⎢1⎢⎣1

01110011

0⎤0⎥⎥ 0⎥⎥1⎦

3. (1)σ•τ＝σ(τ(x))＝τ(x)+3＝2x+3＝2x+3.

(2)σ•σ＝σ(σ(x))＝σ(x)+3＝(x+3)+3＝x+6, (3)σ•ϕ＝σ(ϕ(x))＝ϕ(x)+3＝x/4+3, (4)ϕ•τ＝ϕ(τ(x))＝τ(x)/4＝2x/4 = x/2,

(5)σ•ϕ•τ＝σ•(ϕ•τ) ＝ϕ•τ+3＝2x/4+3＝x/2+3. 4. (1) P (a , f (a )) ∧P (b , f (b )) = P (3, f (3))∧P (2, f (2))

= P (3, 2)∧P (2, 3) = 1∧0 = 0.

(2) ∀x ∃y P (y , x ) = ∀x (P (2, x ) ∨P (3, x ))

= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3)) = (0∨1) ∧(0∨1) = 1∧1 = 1.

5. (1)

(2) 无最大元，(3) B无上界，

最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.

无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.

6. G = ⌝(P→Q) ∨(Q∧(⌝P →R))

= ⌝(⌝P ∨Q) ∨(Q∧(P∨R)) = (P∧⌝Q) ∨(Q∧(P∨R)) = (P∧⌝Q) ∨(Q∧P) ∨(Q∧R)

= (P∧⌝Q ∧R) ∨(P∧⌝Q ∧⌝R) ∨(P∧Q ∧R) ∨(P∧Q ∧⌝R) ∨(P∧Q ∧R) ∨(⌝P ∧Q ∧R) = (P∧⌝Q ∧R) ∨(P∧⌝Q ∧⌝R) ∨(P∧Q ∧R) ∨(P∧Q ∧⌝R) ∨(⌝P ∧Q ∧R) = m3∨m 4∨m 5∨m 6∨m 7 = ∑(3, 4, 5, 6, 7).

7. G = (∀xP (x ) ∨∃yQ (y )) →∀xR (x )

= ⌝(∀xP (x ) ∨∃yQ (y )) ∨∀xR (x ) = (⌝∀xP (x ) ∧⌝∃yQ (y )) ∨∀xR (x ) = (∃x ⌝P (x ) ∧∀y ⌝Q (y )) ∨∀zR (z ) = ∃x ∀y ∀z ((⌝P (x ) ∧⌝Q (y )) ∨R (z ))

9. (1) r(R)＝R ∪I A ＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},

s(R)＝R ∪R 1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},

－

t(R)＝R ∪R 2∪R 3∪R 4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}； (2)关系图:

11. G ＝(P∧Q) ∨(⌝P ∧Q ∧R)

＝(P∧Q ∧⌝R) ∨(P∧Q ∧R) ∨(⌝P ∧Q ∧R) ＝m 6∨m 7∨m 3 ＝∑ (3, 6, 7)

H = (P∨(Q∧R)) ∧(Q∨(⌝P ∧R)) ＝(P∧Q) ∨(Q∧R)) ∨(⌝P ∧Q ∧R)

＝(P∧Q ∧⌝R) ∨(P∧Q ∧R) ∨(⌝P ∧Q ∧R) ∨(P∧Q ∧R) ∨(⌝P ∧Q ∧R) ＝(P∧Q ∧⌝R) ∨(⌝P ∧Q ∧R) ∨(P∧Q ∧R) ＝m 6∨m 3∨m 7 ＝∑ (3, 6, 7)

G ,H 的主析取范式相同，所以G = H.

⎡1⎢0

13. (1)M R =⎢

⎢0⎢⎣0

00001100

0⎤⎡0

⎢00⎥

⎥ M S =⎢1⎥⎢0⎥⎢0⎦⎣0

0000100

0⎤1⎥⎥ 0⎥⎥1⎦

(2)R •S ＝{(a , b ),(c , d )},

R ∪S ＝{(a , a ),(a , b ),(a , c ),(b , c ),(b , d ),(c , d ),(d , d )}, R 1＝{(a , a ),(c , a ),(c , b ),(d , c )},

－

S 1•R 1＝{(b , a ),(d , c )}.

－

四证明题

1. 证明：{P →Q , R →S , P ∨R }蕴涵Q ∨S

(1) P ∨R (2) ⌝R →P (3) P →Q (4) ⌝R →Q (5) ⌝Q →R (6) R →S (7) ⌝Q →S (8) Q ∨S

Q(1)

P P

Q(2)(3) Q(4)

Q(5)(6)

Q(7)

2. 证明：(A-B)-C = (A∩~B)∩~C 3.

= A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C) = A-(B∪C)

证明：{⌝A ∨B, ⌝C →⌝B, C →D}蕴涵A →D (1) A

D(附加) P Q(1)(2)

P Q(4)

(2) ⌝A ∨B (3) B

(4) ⌝C →⌝B (5) B→C (6) C

Q(3)(5)

(7) C→D (8) D

Q(6)(7)

D(1)(8)

(9) A→D

所以 {⌝A ∨B, ⌝C →⌝B, C →D}蕴涵A →D. 4.

证明：A －(A∩B)

= A∩~(A∩B) ＝A ∩(~A∪~B) ＝(A∩~A)∪(A∩~B) ＝∅∪(A∩~B) ＝(A∩~B) ＝A －B 而 (A∪B) －B

= (A∪B) ∩~B = (A∩~B)∪(B∩~B) = (A∩~B)∪∅ = A－B

所以：A －(A∩B) = (A∪B) －B.