【基础精讲】 一、分式的概念
1、正确理解分式的概念：
1
2xy 111x 3x -y
【例1】有理式（1）x ； （2）2； （3）x +y ； （4）3；（5）x －1；（6）π中，
属于整式的有： ；属于分式的有： 。.
2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.
(x +2)
(1) 例如，当x 为 时，分式x +2x -3有意义．
错解：x ≠3时原分式有意义． (2) 不要随意用“或”与“且”。 例如 当x____时，分式错解：由分母
，得
有意义？
3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．
x 2-1x +1x +1
1值为0． 当x 时，分式x －1有意义．当x 时，分式x －1无意义．当x 时，分式x －
二、分式的基本性质：
1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：
①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式． ②在分式的基本性质中，M ≠0．
③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0) ，不要只乘分子（或分母）．
④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．
(2)注意：
①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
②分式的基本性质是一切分式运算的基础, 分子与分母只能同乘以(或除以) 同一个不等于零的整式, 而不能同时加上(或减去) 同一个整式
【例3】下列变形正确的是（ ）．
-a -b a +b -a +b a +b a -a -a +b a +b
==-==
-a +b a -b c c -b -c b -c -a -b a -b A ．; B． C． D．
5x
【例4】 如果把分式2x -y 中的x , y 都扩大3倍, 那么分式的值一定( ) ．
A. 扩大3倍 B.扩大9倍 C. 扩大6倍 D.不变 2、约分
2
约分是约去分式的分子与分母的最大公约式, 约分过程实际是作除法, 目的在于把分式化为最简分式或整式, 根据是分式的基本性质.
b a -b a +b a 2-b 2
-2
【例5】（1）化简a +ab 的结果为（ ）A ．a B．a C．a D．-b
xy -2y x x y y
2
（2）化简x -4x +4的结果（）A ．x +2 B．x -2 C．x +2 D．x -2
x 2-6x +9x +3x -3x 2+9x 2-9
（3）化简2x -6的结果是（）A ．2 B．2 C ．2 D．2
3、通分
通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母. 最简公分母由下面的方法确定： （1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意：
11-a
÷(3+a ) ⋅
3+a ，应按照同一级运算从左到存依次计算（1）注意运算顺序．例如，计算1-a
=
的法则进行．错解：原式
11
÷(1-a ) =1-a (1-a ) 2
x
-x -1x -1（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算，出现了这样的解题错误：原式=
x -x -1=-1．分式通分是等值变形，不能去分母, 不要同解方程的去分母相混淆；
（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略． （4）最后的运算结果应化为最简分式． 2、分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；
(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 3、加减的加减
1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。 2)异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分, 化为分母相同； ③按同分母分式运算法则进
行；④注意结果可否化简，化为最简．
4、分式的混合运算
3
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的. 如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
x 2a 2-41
÷(a -2)⨯-x -2a +2a -2x -2【例6】计算：（1）； （2）；
x +4⎛2x +1⎫112x -14xy -2y
-=3 1+-⎪÷2
x x -2⎭x -2x （4）已知x y （3）⎝，则代数式x -2xy -y 的值
【分类解析】
一、分式运算的几种技巧
x +1x 2-2x
22x +3x +2x -4 1、先约分后通分技巧例1 计算+
分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算
解：原式=
x +1
(x +1)(x +2)
+
x (x -2) (x -2)(x +2)
x +1x =x +2+x +2=x +2
x 2-3x +3x 2-5x +71222x -3x +2x -5x +6x -4x +3 2、分离整数技巧例2 计算--分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。
(x 2-3x +2) +1
解：原式=
(x 2-5x +6) +1
-
x 2-3x +2x 2-5x +6
1
2x -4x +3 -
222x -5x +6x -3x +2x -4x +3 =1+-1--(x -1)(x -2)
(x -2)(x -3)
(x -1)(x -3)
=--
=
x -3-(x -1) -(x -2) (x -1)(x -2)(x -3)
=
(x -1)(x -2)(x -3)
x (x +1)
=-
(x -1)(x -2)(x -3)
(x +3)(x +6)
3、裂项相消技巧例3 计算+
(x +1)(x +3)
+
分析：此类题可利用
n (n +m )
4
111
=m （n -m ）裂项相消计算。
13111121
解：原式=（x -x +1）+2（x +1-x +3）+3（x +3-x +6）
61x (x +6)
=x -x +6=
1212
4、分组计算技巧例4 计算a -2+a +1-a -1-a +2
分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。
112解：原式=（a -2-a +2）+（a +1-a -1） 12-44
22(a 2-4)(a 2-1) a -4a -1=+=
2x 5、变形技巧例5 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。
2
分析：将已知两边同除以x （x ≠0）可变出x+x ，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+x
的值。
解：由x2-3x+1=0，两边同除以x （x ≠0），得
x-3+x =0，即x+x =3
2
所以x2+x =（x+x ）2-2=32-2=7
二、分式求值中的整体思想
21122y +3y +7的值为4，则4y 2+6y -1的值为（ ）
例1 若分式
11
A 、1 B、-1 C、-7 D、5
2122y +3y +7=4得2y2+3y+7=8
解：由已知
112
4y +6y -1=2-1=1，故选A 。
2y2+3y=1，4y2+6y=2所以
5
4a +3ab +4b 11
例2 已知a +b =4，则-3a +2ab -3b = 。
分析：由已知可得到a+b与ab 的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b与ab 的表达式，然后将a+b用ab 代换即可求出所求式的值。
a +b
解：由已知得ab =4 ∴a+b=4ab
4(a +b ) +3ab 4a +3ab +4b 4∙4ab +3ab 19
-3a +2ab -3b =-3(a +b ) +2ab =-3∙4ab +2ab =-10
点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab 得到
4411++34(+) +33311--+2-(+) +2b a a b =
然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。
a 2
4
例3 已知a2-3a+1=0，求a +1的值。
11
解：由已知a2-3a+1=0知a ≠0，将已知等式两边同除以a 得a-3+a =0，∴a+a =3
a 4+1a 2111242
所以a =a2+a =（a+a ）2-2=32-2=7∴a +1=7
点评：①所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。
11
2
②a2±a =（a ±a ）2 2这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。
abc 111111111
例4 已知a +b =6，b +c =9，a +c =15，求ab +ac +bc 的值。
1111111++
分析：将所求式分子、分母同除以abc 可得到a b c ，只要将已知式变换出a +b +c 即可。
111111111
解：因为a +b =6①，b +c =9②，a +c =15③，将①、②、③左、右分别相加，得
111111
2（a +b +c ）=6+9+15
6 1
111180abc 11131
++
∴a +b +c =180 所以ab +ac +bc =c b a =31
x -12x 1（
+2) ÷2
x -1，其中x=例5 有一道题：“先化简再求值：x +1x -1，小明做题时
把“x=
”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？
解析:首先对原分式进行化简, 再根据化简结果说理.
2
x -12x 1=(x -1) +2x ⨯(x 2-1) （+2) ÷2
=(x -1) 2+2x =x 2+1. x +1x -1x -1(x +1)(x -1)
2
x =-2008x =2008x +1的值都是2009, 所以小明把
“x=-错抄
因为当和时,
成了“”, 计算结果也是正确的.
2x 例6 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。
12x x 分析：将已知两边同除以x （x ≠0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+
的值。
解：由x2-3x+1=0，两边同除以x （x ≠0），得
12
x-3+x =0，即x+x =3所以x2+x =（x+x ）2-2=32-2=7
三、分式运算新型题
1m 3
2
例2 请利用m -3、m +3 和m -9这三个分式组成一个算式, 来表示其中两个分式的商减
去第三个分式的差, 并化简.
解析:本题为开放性问题, 答案不唯一. 按题目的要求可得到10多个不同的算式, 选取其中一个进行化简即可, 但一般应选择一个计算较简便的算式, 以减少运算量, 提高正确率.
3m +33m 1⋅-1
2m m -3 如, m -9÷m +3-m -3=(m +3)(m -3)
33-m 11=--m (m -3) m , 等等. m -3=m (m -3) =
查的知识却是我们所熟悉的.
7
温馨提示:这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养, 已成为各类考试的热点, 但所考
2⎫⎛a 1+ ⎪2
例3 先化简代数式⎝a +2a -2⎭÷a -4, 然后选取一个合适的a 值, 代入求值.
解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”, 解题时必须明确“合适”在题中的含义, 即选取的a 的值不但要使原式有意义, 而且还要尽量使运算简便.
a (a -2) +2(a +2)
⋅(a 2-4) 2
a (a -2) +2(a +2) =a +4. (a +2)(a -2) 原式==
由题意知, a 的值不能取2和-2, 所以当a =0时, 原式=4.
温馨提示:本题既检测了同学们分析问题的能力, 又考查了识别隐含信息的能力, 题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识. 这类题目也是近年出现的热点题型, 为我们提供了较为广阔的思考空间, 但所选字母的值应保证原式有意义, 以防掉入解题“陷阱”.
一、开放性问题
222
例1在下列三个不为零的式子 x -4, x -2x , x -4x +4中，任选两个你喜欢的式子组成一个分
式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .
分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.
解：本题存在6种不同的结果，任选其一即可.
x +2x 2-4x +2, , 22
（1）x -2x x ；（2）x -4x +4x -2; x x 2-2x x
, , 22x -2x +2; x -4x +4x -4（3）； （4）x 2-4x +4x -2x 2-4x +4x -2, , 22x +2x . x -4x -2x （5）;(6)
x 2-2x
x 2-4
说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面前.
二、探索运算程序
例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）
结果 A．m B．m
2
C．m +1 D．m -1
分析：本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提.
m (m -1)m -m
+2+2m m 解：计算程序可表示为：，化简：原式= =m-1+2=m+1，故选C.
2
8
说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案. 三、自选数值求解
x ⎫1⎛
1-÷ ⎪2
x -1x -x ，并选择你最喜欢的数代入求值． ⎝⎭例3化简
分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大，但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式. 在选取x 的数值时，一定要保证原式有意义，而且尽量使运算简便为好.
=
解：原式
x -1-x 1-1x (x -1) ÷=⨯x -1x (x -1) x -1=-x ，当x=2时，原式=-2. 1
说明：这里的x 不能取0与1，否则分母的值为0，原式就没有意义了. 四、运算说理题
x 2-4x +4x 2-2x 1
÷-+12
x =1949x -4x +2x 的值”时，聪聪认为x 例4在解题目：“当时，求代数式
只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．
分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理.
解：聪聪说的有理．
(x -2) 2x +21x 2-4x +4x 2-2x 1=⨯-+1=1-1+1 ÷-+12(x +2)(x -2) x (x -2) x x -4x +2x x x =1
∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．
说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.
先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
11
=1-1⨯22 111=-
2⨯323 111=-
3⨯434
┅┅
11111++++=1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯6(1) 计算 ．
1111+++...... +=1⨯22⨯33⨯4n (n +1) （2）探究 ．（用含有n 的式子表示） 111117+++...... +
(2n -1)(2n +1) 的值为35，求n 的值． （3）若 1⨯33⨯55⨯7
9
5n
解：（1）6 （2）n +1
1111
+++...... +
(2n -1)(2n +1) （3）1⨯33⨯55⨯7
[1**********]
(-) (1-) +(-) +(-)
3235257+ ┄ +22n -12n +1 =211n (1-)
2n +1=2n +1 =2n 17
由2n +1=35 解得n =17 经检验n =17是方程的根，∴n =17
【精练】计算：
【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大. 不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的. 因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】
=
=
=
1．顺次相加法例1：计算：
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】=
10
=
=
2．整体通分法【例2】计算：
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算. 如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便. 通常我们把整式看作分母是1的分式.
【解】
3．化简后通分
==.
分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．
4．巧用拆项法
例4计算：.
分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整
数的积（若a 是整数），联想到，这样可抵消一些项
.
解：原式=
=
=5．分组运算法 例5：计算：
=
分析：本题项数较多，分母不相同. 因此，在进行加减时，可考虑分组. 分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.
解：
=
=
=
=
=【错题警示】
一、 错用分式的基本性质
例1 化简
错解：原式
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.
正解：原式
二、 错在颠倒运算顺序 例2 计算
错解：原式
分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.
正解：原式三、错在约分 例1 当
为何值时，分式
有意义？
[错解]原式由
得
.
.
∴时，分式有意义.
，扩大了未知数的取
[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式值范围，而导致错误.
[正解]由
得
且
.
∴当且，分式四、错在以偏概全
有意义.
例2 为何值时，分式
，得，原分式有意义.
.
有意义？
[错解]当∴当
[解析]上述解法中只考虑[正解]
，得
的分母，没有注意整个分母，
，犯了以偏概全的错误.
由∴当
且
，得.
时，原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算[错解]原式=
.
.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当[错解]由∴当
为何值时，分式
，得
或
.
的值为零.
时，原分式的值为零.
，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原
[解析]当时，分式的分母
因是忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由由，得
. 由，得
且
.
∴当
时，原分式的值为零.
二、经典例题透析 类型一：分式及其基本性质
1．当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
2．若分式的值等于零，则x ＝_______；
3．求分式的最简公分母。
【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x 的值是（ ）
A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±１ （2）当x________时，分式
没有意义．
【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A ．
B ． C． 类型二：分式的运算技巧
(一) 通分约分 4．化简分式:
【变式1】顺次相加法 计算：
【变式2】整体通分法 计算：
D ．
（二）裂项或拆项或分组运算 5．巧用裂项法
15
计算：
【变式1】分组通分法 计算：
【变式2】巧用拆项法计算：
类型三：条件分式求值的常用技巧 6．参数法 已知
，求
的值．
【变式1】整体代入法 已知，求的值.
【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法． 已知：
，求
的值．
【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．
已知：
类型四:解分式方程的方法
，求的值．
解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧． （一）与异分母相关的分式方程 7．解方程
=
11-x
=-3x -22-x 【变式1】换元法 解方程：
（二）与同分母相关的分式方程
x 3
=2+
x -3 8．解方程x -3
x -81x 5
-=8+=1x -77-x 2x -55-2x 【变式1】解方程 【变式2】解方程
类型五：分式（方程）的应用
9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖. 甲进货的策略是：每次买1000元钱的
糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的16 平均价格低一些？
【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？
【变式2】 A、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．
b ±c a =b ±c 【主要公式】1. 同分母加减法则:a a (a ≠0)
b ±d =bc ±da ac =bc ±da (a ≠0, c ≠02. 异分母加减法则:a c ac ac )
;
b ∙d =bd b ÷c =b ∙d =
bd 3. 分式的乘法与除法:a c ac , a d a c ac
4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5. 同底数幂的乘法与除法;am ● an =am+n; am÷ an =am－n 6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn
17. 负指数幂: a-p=a p
a0=1
8. 乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义
1
x 2
2
, 1x -a -b x -y x +y 【例1】下列代数式中：
π2y , a +b , x +y , x -y ，是分式的有： 题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当x 有何值时，下列分式有意义
1
x -4
3x 26-x 1（1）x +4 （2）x 2+2 （3）x 2
-1x - （4）|x |-3 （5）
x 题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. x -1
|x |-2
x 2-2x -3
（1）x +3
（2）x 2
-4 （3）x 2-5x -6
题型四：考查分式的值为正、负的条件
4
【例4】（1）当x 为何值时，分式8-x 为正；
5-x
（2）当x 为何值时，分式3+(x -1) 2
为负；
.
x -2
（3）当x 为何值时，分式x +3为非负数.
17
练习：
1．当x 取何值时，下列分式有意义： 1
（1）6|x |-3
3-x
11x
（2）(x +1) +1
25-x 2
（2）x -6x +5
2
（3）
1+
2．当x 为何值时，下列分式的值为零： 5-|x -1|（1）x +4
3．解下列不等式 |x |-2
≤0x +1（1）
x +5
2
（2）x +2x +3
>0
（二）分式的基本性质及有关题型 A A ⨯M A ÷M ==
1．分式的基本性质：B B ⨯M B ÷M
-a -a a a
=-=-=
+b -b b 2．分式的变号法则：-b
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
12
x -y 11x +y
4 （1）3
0. 2a -0. 03b
（2）0. 04a +b
题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）
-x +y -x -y
（2）
-
-a
a -b
（3）
-
-a
-b
题型三：化简求值题 【例3】已知：
11+=5x y
，求
2x -3xy +2y x +2xy +y
的值.
11+x y
提示：整体代入，①x +y =3xy ，②转化出【例4】已知：
x -
.
11x 2+2=2
x 的值. x ，求
1
4x -2y
2
【例5】若|x -y +1|+(2x -3) =0，求
的值.
练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
30. 4a +b
11a -b 10 （2）4
18
0. 03x -0. 2y
（1）0. 08x +0. 5y
x 21
x +=342
x 2．已知：，求x +x +1的值.
112a +3ab -2b -=3
3．已知：a b ，求b -ab -a 的值. 2a -b
4．若a +2a +b -6b +10=0，求3a +5b 的值.
2
2
|x -2|-x -1+|x |
|x -1|x . 5．如果1
（三）分式的运算
题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.
c b a a b
, 2, , 2
（1）-2ab 3a c -5b c ； （2）a -b 2b -2a ；
1
2
（3）x -x 1-2x +x
,
x
2
,
2
x -x -2； （4）
2
a +2,
12-a
题型二：约分【例2】约分：
-16x 2y
3
（1）20xy
x 2+x -2n 2-m 2
2
；（3）m -n ；（3）x -x -6.
题型三：分式的混合运算 【例3】计算：
a 2b 3c 22bc
() ⋅() ÷() 4
-ab a ； （1）-c
（2）
3a 33y -x 2
() ⋅(x 2-y 2) ÷() x +y y +x
；
m +2n n 2m
+-
（3）n -m m -n n -m ；
a 2
-a -1a -1（4）；
112x 4x 38x 7
----241-x 1+x 1+x 1+x 1+x 8； （5）
111
++
（6）(x -1)(x +1) (x +1)(x +3) (x +3)(x +5) ； 1x 2-2x
(2-) ⋅()
x -2x +1（7）x -4x +4
x 2-4
题型四：化简求值题【例4】先化简后求值
x 2+411
1-2[(-1) ÷(-)]
4x 2x 的值； x -4（1）已知：x =-1，求分子
8
xy +2yz -3xz x y z
==222
（2）已知：234，求x +y +z 的值；
112
(a -)(a -) 22a a -3a +1=0a （3）已知：，试求的值.
19
1-3x
2
题型五：求待定字母的值【例5】若x -1
=
M N
+
x +1x -1，试求M , N 的值.
a 2b 2-2ab
-
b -a ； （2）a -b
2b 2
a -b +
a +b ； （4）
练习：1．计算
2a +5a -12a -3
-+
（1）2(a +1) 2(a +1) 2(a +1) ；
a -b +c a -2b +3c b -2c
-+b -c +a c -a -b ； （3）a +b -c
（5）
(a -b +
4ab 4ab )(a +b -) a -b a +b ；
112
++2
（6）1-x 1+x 1+x ；
121
-+
（7）(x -2)(x -3) (x -1)(x -3) (x -1)(x -2) .
2．先化简后求值
a -1a 2-41
⋅2÷2
2
（1）a +2a -2a +1a -1，其中a 满足a -a =0.
x 2-y 2x -y 3x () ÷[(x +y ) ⋅() ]÷2
xy x y
（2）已知x :y =2:3，求
的值.
5x -4A B =-
3．已知：(x -1)(2x -1) x -12x -1，试求A 、B 的值.
399a +805
4．当a 为何整数时，代数式a +2的值是整数，并求出这个整数值.
（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算
-2-3-13【例1】计算：（1）(a ) ⋅(bc )
32-1-2-232
（2）(3x y z ) ⋅(5xy z )
-2
（3）(a -b ) (a +b )
[
(a +b ) -3(a -b ) 5
2]4
3-22-6
（4）[(x +y ) ⋅(x -y ) ]⋅(x +y )
题型二：化简求值题 【例2】已知x +x
-1
4-4
=5，求（1）x 2+x -2的值；（2）求x +x 的值.
题型三：科学记数法的计算
-3-22-32-23
【例3】计算：（1）(3⨯10) ⨯(8. 2⨯10) ；（2）(4⨯10) ÷(2⨯10) .
1111
(-) ⋅() -2÷|-|+(1-3) 0+(-0. 25) 2007⋅42008
3练习：1．计算：（1）355
(2ab 2) -2⋅(a 2b ) 2
[4(x -y ) 2(x +y ) -2]2
20
323-2-1-2-13-2-2-2-3
（2）(3m n ) ⋅(m n ) （3）(3a b ) ⋅(ab ) （4）[2(x +y ) (x -y )]
2-12-2
2．已知x -5x +1=0，求（1）x +x ，（2）x +x 的值.
（一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程
x +1413215+x x +5-2=1=-=0=
x -1x -1x -1x x -3x x +34-x （1）；（2）；（3）；（4）
提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.
题型二：特殊方法解分式方程
x 4x +4x +7x +9x +10x +6
+=4+=+
x 【例2】解下列方程（1）x +1； （2）x +6x +8x +9x +5 x x +71
=y =1+
x +6. 提示：（1）换元法，设x +1；（2）裂项法，x +6
【例3】解下列方程组
⎧111
⎪x +y =2⎪
⎪111⎨+=⎪y z 3⎪111⎪+=⎩z x 4
(1) (2) (3)
题型三：求待定字母的值
2m =1-
x -3有增根，求m 的值. 【例4】若关于x 的分式方程x -3
2x +a
=-1x -2【例5】若分式方程的解是正数，求a 的取值范围.
提示：
x =
2-a >03且x ≠2，∴a
题型四：解含有字母系数的方程
x -a c
=(c +d ≠0)
x b -x d 【例6】解关于的方程
提示：（1）a , b , c , d 是已知数；（2）c +d ≠0. 题型五：列分式方程解应用题 练习：1．解下列方程：
x -12x x 42x 3
+=0-2=-=2x +11-2x x -3x -3x +2x -2（1）；（2）；（3）；
7
22
（4）x +x x -x
x x -9x +1x -8+=+x -2x -7x -1x -6 （7）
21
-
3
=1+
7-x 2
5x -42x +511111
=-+=+
x 2-1（5）2x -43x -22 6）x +1x +5x +2x +4
1121a 1b =+(b ≠2a ) +=+(a ≠b )
2．解关于x 的方程：（1）a x b ；（2）a x b x . k x
+2=
x -2会产生增根，求k 的值. 3．如果解关于x 的方程x -2
x +3k
=+1x +2(x -1)(x +2) 4．当k 为何值时，关于x 的方程的解为非负数.
2a +1=a
x x +15．已知关于的分式方程无解，试求a 的值.
（二）分式方程的特殊解法
13
=
一、交叉相乘法例1．解方程：x x +2 12-2=0x -1x -1二、化归法例2．解方程：
x -81
-=8
三、左边通分法例3：解方程：x -77-x 1a 1b
+=+
四、分子对等法例4．解方程：a x b x
(a ≠b )
4x 5x -217
+=5x -24x 4 五、观察比较法例5．解方程：
x +1x +8x +2x +7
+=+x +2x +9x +3x +8 六、分离常数法例6．解方程：
1111
+=+
七、分组通分法例7．解方程：x +2x +5x +3x +4 x -1m
=
例1．若分式方程x -22-x 无解，求m 的值。
x k 2x +2=
例2．若关于x 的方程x -1x -1x +1不会产生增根，求k 的值。
1k 3
+=2
例3．若关于x 分式方程x -2x +2x -4有增根，求k 的值。
1
1
例4．若关于x 的方程x -x
+
k -5x 2+x
=
k -1
x 2-1有增根x =1，求k 的值。
分式求值问题全解 字母代入法
a b c d
+++
例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求a +d a +b +c b +c +d a +d 的值.
【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3 所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简
22
a b c d
+++
a +d a +b +c b +c +d a +d
a a +1a +2a +3
+++
=a +a +3a +a +1+a +2a +1+a +2+a +3a +a +3
a a +1a +2a +3
+++
=2a +33a +33a +62a +3 a +a +3a +1a +2
++
3(a +1) 3(a +2) =2a +3
11
1++33 =5 =3
【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。
2. 设值代入法
xy +yz +zx x 2x y z
=2==
ab +bc +ca a a b c 例2. 已知，求证：
b c
x z =x
a ，代入后分式的分子分母中a ，【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到
x y z
有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到a 、b 、c 连等，让它们都等于k 则 x=ak
y =
y=bk z=ck
xy +yz +zx akbk +bkck +ckak
ab +bc +ca 代入得 ab +bc +ca = ab +bc +ca 2
k
ab +bc +ca = x 2k =2
a =
2
【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件
x y z ==
设a b c
b c y =x z =x
a a ， 则（1）
x y z ===k
（2）设a b c 则x=ak y=bk z=ck
x y z x +y +z ===k =k a b c a +b +c （3）设 则 其中a +b +c ≠0
3. 整式代入法
23
112a +3ab -2b -=3
例3. 已知：a b ，求分式a -ab -b 的值.
【解析】如果用字母代入法，要用b 代替a 本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。
2(a -b ) +3ab b -a
=3
将条件化简成乘积形式，得 ab ，再将分式稍化简变为(a -b ) -ab ，可以发现分子
分母中只有(a-b)和ab 这两项，所以可以用ab 代替b-a
b -a =3ab
2a +3ab -2b 2(a -b ) +3ab -6ab +3ab 3
===
a -ab -b (a -b ) -ab -3ab -ab 4
【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab 和a-b 这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b 与ab 的关系，题目很快就解出来了。
4. 变形代入法
这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。
ab +bc +ca
b 2例4（方程变形）. 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求的值.
【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。
这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组
a+b+c=0 b=-2c 用c 代替a 、b 代入到分式中，能很快求解出来
ab +bc +ca -2c 2-2c 2+c 23
=-
4 4c 2b 2=
2a -ab -6b
2222
例5（非负变形）. 已知：a +b -8a +6b +25=0，求a -4ab +4b 的值.
【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式
22
24
a 2+b 2-8a +6b +25=(a -4) 2+(b +3) 2=0
2222
(b +3) ≥0(a -4) ≥0(a -4) (b +3) 其中 所以=0 =0
得a =4, b =-3
再带入原式很容易求出解。
111
++=0. 222222222c +a -b a +b -c 例6（对应变形）. 证明：若a+b+c=0,则b +c -a
【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c 代替a ，但是代数式a 的符号和位置在三个分式中不同，如果用a =(b +c ) 代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。
如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：
222
b +c -a 用a=-b-c代入中的a ，得到-2bc
2
2
用b=-a-c代入c +a -b 中的b ，得到-2ac 用c=-a-b代入a +b -c 中的c ，得到-2ab
2
2
2
222
111a +b +c ++==0
-2abc 原式=-2bc -2ac -2ab
例7（倒数变形）.
xy xz yz 2abc =a , =b , =c , 且abc ≠0. x =
x +z y +z bc +ac -ab 已知x +y 求证
xy xy
=a
【解析】已知条件是x +y 的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将x +y 改写成 1x +y 11==+a xy x y 的形式，使得x 、y 相互独立，简化已知条件。 111111111
=+=+=+a x y c y z 写出变化后的形式，b x z ，
11111112=+=(+) +(+) -c y z x y x z x
112+-
=a b x
2111=+-x a b c 所以
bc +ac -ab
abc = 2abc x =
bc +ac -ab ，得证。 则
例8（归类变形）.
25
a +
已知
【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b 、c ，能不能求出b 、c 的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。
这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：
111=b +=c +b c a ，且a 、b 、c 互不相等，求证：a 2b 2c 2=1
11b -c
a -b =-=
c b bc ，可以发现分式形式大致消失了，
剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc 将能从已知条件得到的关系列出来
a -b =
b -c c -a a -b
b -c =c -a =bc , ac , ab
(b -c )(c -a )(a -b )
a 2b 2c 2，
左边和左边相乘，右边和右边相乘得
(a -b )(b -c )(c -a ) =
222
a 所以b c =1
【结论】给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：
消元的角度：方程变形、非负变形------减少字母数量，方便化简 化简结构的角度：对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简
代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。
【练习】
a b c 2a -3bc +b ==, 则2
a -2ab -c 2 的值等于（ ） （设值代入） 1、已知234
22
26
12319
A ．2 B. 3 C. 5 D. 24
2b 32b
) ÷(1+) 33
a -b 的值等于（ ） （整式代入） 2、若a2+b2=3ab,则(1+a -b
12
A ．2 B. 0 C. 1 D. 3
111++a b c ＜0. （非负变形） 3、已知：a+b+c=0,abc=8.求证：
4、已知：a+b+c=0.
⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫
a +⎪+b +⎪+c +⎪+3=0.
⎝a c ⎭⎝a b ⎭求证：⎝b c ⎭ （代数式归类变形）
a b c
++=1
5、已知abc=1，求证：ab +a +1bc +b +1ac +c +1（对应变形）
复习引入：
1. 计算：27÷23=_____，a9÷a4=_____；
（由学生用数学式子表示上述同底数幂的除法法则，并指出其中字母的规定，强调指数是正整数，底数不等于零）
2. 思考：22÷25=______；a 2÷a4=_____；
在学生独立思考的基础上，让学生猜测计算的结果，并请学生讲解计算的过程及依据，体验分数与除法的关系；然后进一步提出“如何用幂的形式表示计算结果”的问题
2-2=
11-3
a =
a 3 22、
二．学习新课：整数指数幂及其运算
a -p =
1．负整数指数幂的概念：
n
1
a p （a ≠0，p 是自然数）
2．整数指数幂：当a ≠0时，a 就是整数指数幂，n 可以是正整数、负整数和零 将下列各式写成只含正整数指数幂的形式：
10-2=
11-5
x =
x 5 102、
(-10) -2=
变式训练1：
11-5
(x -1) =
(-10) 2、(x -1) 5
27
3227
() -1=() -2=() 2
3、72 变式训练2：2
a b
() -p =() p
a 通过变式训练2，学生同桌讨论当指数为负数，底数为分数时的情形，并总结出b
判断正误：
①-270=1②(-2) -2=4③(-50) -1=-1
50
④7x -2=
1
7x 2
⑤(2) -293=4
例题讲解：
例题1 计算：（1）26÷28；（2）10101÷10104；（3）512÷512。 例题2 将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式： (1) x-3；(2) a-3b4；(3) 2(x+2y)-2； 例题3计算：（1）a2÷a ·a3；（2）(-a)3÷a5； 3．整数指数幂的运算性质：
举例复习正整数指数幂的其它性质，同时思考、验证整数指数幂的相关运算法则：①22⋅25=22+5
那么 22⋅2-5=22（+
-5）
（-2）-3（⋅-2）2=（-2）-3+2
②（2⨯3）4=24⨯34 （23）2=23⨯2那么 （2⨯3）-4=2-4⨯3-4（22）-3=22（⨯
-3）
归纳整数指数幂的运算性质：
（1）同底数幂的乘法性质：aman=am+n;（2）积的乘方性质：(ab)m=ambm; （3）幂的乘方性质：(am)n=amn;（上述性质中a 、b 都不为0，m 、n 都为整数） 例题4计算：（1）x-5·x2；（2）(2-2)3；（3）100÷3-3； 一、课前预习 (5分钟训练) 1. 下列计算正确的是( )
A.(－2)0=－1 B.－23=－8 C.－2－(－3)=－5 D.3－2=－9 2.
填
空
:(1)a·a5=________;(2)a0·a
－
3=________;(3)a
－
2=________;(4)am·an=___________.
1·a
－
3. 填空:(1)a÷a4=__________;(2)a0÷a－2=____________;(3)a－1÷a－28 3=;(4)am÷an=_________.
4. 某种细菌的长约为0.000 001 8米，用科学记数法表示为_______________. 二、课中强化(10分钟训练) 1. 下列计算正确的是( )
1
A.(a2)3=a5 B.(a－2) －3=a－5 C.(3) －1+(－π+3.14)0=－2 D.a+a－2=a－1
a
2.(1)(a－1)2=_________(a≠0)；(2)(a－2b) －2=________(ab≠0)；(3)(b ) －
-
1=________(ab≠0).
3. 填空:(1)5－2=_____________；(2)(3a－1b) －1=_______________(ab≠0).
b a
4. 计算:(1)(a ) －2·(b )2; (2)(－3) －5÷33. (3)a－2b2·(ab－1); x
(4)(y )2·(xy)－2÷(x－1y).
6. 我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功. 经测算当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示)
三、课后巩固(30分钟训练)
1. 据考证，单个雪花的质量在0.000 25克左右，这个数用科学记数法表示为( ) A.2.5×10－3 B.2.5×10－4 C.2.5×10－5 D.－2.5×10－4
2. 下面的计算不正确的是( )
12
A.a10÷a9=a B.b－6·b4=b C.(－bc)4÷(－bc)2=－b2c2 D.b5+b5=2b5 x 2-4
3. 要使(x -2)0有意义, 则x 满足条件_______________.
1
4.(1)(a ) －p=___;(2)x－2·x－3÷x－3=_____;(3)(a－3b2)3=;___(4)(a－2b3) －2=____.
5若x 、y 互为相反数，则(5x)2·(52)y=____________________.
-
6. 计算:(
322
-
2) －2－(π-)0+(2)2·(2) －2.
7. 计算:(9×10－3)×(5×10－2).
8. 计算:(1)5x2y－2·3x－3y2; (2)6xy－2z÷(－3x －3y －3z －1). 9. 已知m －m －1=3,求m2+m－2的值. 参考答案
一、课前预习 (5分钟训练) 1. 下列计算正确的是( )
A.(－2)0=－1 B.－23=－8 C.－2－(－3)=－5 D.3－2=－9 解析：A:任何一个非零数的零次幂都等于1，故A 错； C:－2－(－3)=－2+3=1，故C 错；
29
11=2
9，故D 错. 答案:B D:3－2=3
2. 答案:(1)a6 (2)a－3 (3)a－3 (4)am+n 3.
填
空
:(1)a÷a4=__________;(2)a0÷a
－
2=_____________;(3)a
－
1÷a
－
3=;(4)am÷an=_________.
13
答案:(1)a (2)a2 (3)a2 (4)am－n
4. 某种细菌的长约为0.000 001 8米，用科学记数法表示为_______________.
解析：科学记数法就是将一个数写成a×10n(1≤a＜10) 的形式. 用科学记数法可以表示比1大的数，引入负整数指数幂后，也可表示比1小的数.
1
0.000 001 8=1.8×0.000 001=1.8×1000000=1.8×10－6.
答案:1.8×10－6
二、课中强化(10分钟训练) 1. 下列计算正确的是( )
A.(a2)3=a5 B.(a－2) －3=a－5
1
C.(3) －1+(－π+3.14)0=－2 D.a+a－2=a－1
-
解析：A. 应为a6,B. 应为a6,D. 不能加减,C. 原式=(－3－1) －1+1=(－3)1+1=－2. 答案：C
a
2.(1)(a－1)2=___________(a≠0)；(2)(a－2b) －2=__________(ab≠0)；(3)(b ) －
1=________(ab≠0).
解析：幂的乘方、积的乘方以及商的乘方，当指数扩大到全体整数范围时，在正整数范围内成立的一切性质在保证分母不为零的前提下都成立.
1b a 4
22
答案:(1)a (2)b (3)a
3. 填空:(1)5－2=_______________；(2)(3a－1b) －1=_______________(ab≠0).
111
=n 2
25. 解析：(1)根据a －n=a ，得5－2=5
(2)根据积的乘方，等于积中每个因式乘方的积可得
11a a ∙=
b 3b . (3a－1b) －1=3－1(a－1) －1b －1=3
1a
答案:(1)25 (2)3b
b a
4. 计算:(1)(a ) －2·(b )2;
(2)(－3) －5÷33.
30
b 1a () -2==() 2
b 21a b () n
a 解析：(1)根据a －n=a . .
a a a () 2∙() 2=() 4
b b . 原式=b
(2)(－3) －5÷33=－3－5÷33=－3－5－3=－3－8.
x
5. 计算:(1)a－2b2·(ab－1);(2)(y )2·(xy)－2÷(x－1y).
b
解：(1)a－2b2·(ab－1)=(a－2·a)(b2·b－1)=a－1b=a ;
x 2x 2∙x -2∙x ∙y -2∙y -1x x
=225
y y y y (2)()2·(xy)－2÷(x－1y)=·x－2y －2·xy－1=.
6. 我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功. 经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示)
解析：用10年形成的小洞的深度÷时间即可得到结果，注意单位. 解：因为10年=120个月，1厘米=10－2米， 所以平均每个月小洞的深度增加
10－2÷120=(1÷120)×10－2≈0.008 33×10－2=8.33×10－3×10－2=8.33×10－5(米). 三、课后巩固(30分钟训练)
1. 据考证，单个雪花的质量在0.000 25克左右，这个数用科学记数法表示为( ) A.2.5×10－3 B.2.5×10－4 C.2.5×10－5 D.－2.5×10－4
解析：科学记数法就是将一个较大或较小的数写成a×10n(1≤a＜10) 的形式. 答案:B 2. 下面的计算不正确的是( )
12
A.a10÷a9=a B.b－6·b4=b C.(－bc)4÷(－bc)2=－b2c2 D.b5+b5=2b5
解析：运用幂的运算性质时一要注意符号问题，二要注意它们之间的区别，还要注意别与合并同类项混了. 此题中A 、B 、D 都正确，而C:原式=(－bc)2=b2c2.答案:C
1
3.3p=4,(3)q=11,则32p －q=_______________.
11q
解析：32p=(3p)2=42=16,3－q=3=(3)q=11.
原式=32p·3－q=16×11=176.答案：176
31
x 2-4
4. 要使(x -2)0有意义, 则x 满足条件_______________.
解析：要使式子有意义, 分母不为0, 分子为0. ∴x －2≠0,x2－4=0.∴x=－2. 答案：x=－2
1
5.(1)(a ) －p=_______;(2)x－2·x－3÷x－3=_____;(3)(a－3b2)3=;____(4)(a－2b3) －
2=_____.
1
解析：(1)(a ) －p=(a－1) －p=ap.(2)x－2·x－3÷x－3=x－5－(－3)=x－2.
(3)(a－3b2)3=a－9b6.(4)(a－2b3) －2=a4b－6. 答案：(1)ap (2)x－2 (3)a－9b6 (4)a4b－6 6. 若x 、y 互为相反数，则(5x)2·(52)y=__________.
解析：由x 、y 互为相反数得x+y=0，所以(5x)2·(52)y=52x·52y=52x+2y=52(x+y)=50=1.
-
7. 计算:(
44322
-1+1=-
2) －2－(π-)0+(2)2·(2) －2. 解析：原式=33.
8. 计算:(9×10－3)×(5×10－2).
解：原式=(9×5)×(10－2×10－3)=45×10－5=4.5×10×10－5=4.5×10－4. 9. 计算:(1)5x2y－2·3x－3y2; (2)6xy－2z÷(－3x －3y －3z －1).
15
解：(1)原式=(5×3)(x2x－3)(y－2y2)=15x－1y0=x ;
(2)原式=［6÷(－3) ］(x÷x－3)(y－2÷y－3)(z÷z－1)=－2x1－(－3)y(－2) －(－3)z1－(－1)=－2x4yz2.
10. 已知m －m －1=3,求m2+m－2的值. 两边平方得m2－2+m－2=9，所以m2+m－2=11.
一、 错用分式的基本性质
例1 化简
错解：原式
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，32 分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.
正解：原式
二、 错在颠倒运算顺序 例2 计算错解：原式
分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.
正解：原式三、错在约分 例1 当
为何值时，分式
有意义？
[错解]原式由
得
.
.
∴时，分式有意义.
，扩大了未知数的取
[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式值范围，而导致错误.
[正解]由
得
且
.
∴当且，分式有意义.
四、错在以偏概全
例2 为何值时，分式
，得
.
有意义？
[错解]当
33
∴当，原分式有意义.
[解析]上述解法中只考虑[正解]
，得
的分母，没有注意整个分母，
，犯了以偏概全的错误.
由∴当
且
，得.
时，原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算[错解]原式=
.
.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当[错解]由∴当[解析]当
为何值时，分式
，得
或
.
的值为零.
时，原分式的值为零. 时，分式的分母
，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是
忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由由
，得
.
由，得且.
∴当时，原分式的值为零.
典例分析
类型一：分式及其基本性质
1．当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
2．若分式的值等于零，则x ＝_______；
3．求分式的最简公分母。
【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x 的值是（ ）
A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±１ （2）当x ________时，分式没有意义． 【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A ．
B ． C． (一) 通分约分 4．化简分式:
【变式1】顺次相加法 计算：
【变式2】整体通分法 计算：
（二）裂项或拆项或分组运算 5．巧用裂项法
计算：34
D ．
【变式1】分组通分法 计算：
【变式2】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧 6．参数法 已知【变式1】整体代入法 已知
，求
，求
的值．
的值.
35
【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法． 已知：
，求
的值．
【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．
已知：
，求的值．
解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧． （一）与异分母相关的分式方程 7．解方程
=
【变式1】换元法 解方程：（二）与同分母相关的分式方程 8．解方程
11-x
=-3 x -22-x
x 3=2+ x -3x -3
x -81x 5
-=8 【变式2】解方程+=1 【变式1】解方程
x -77-x 2x -55-2x
9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖. 甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？
【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？
【变式2】 A、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，36 2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度． 【主要公式】1. 同分母加减法则:
b c b ±c ±=(a ≠0) a a a
b d bc da bc ±da
±=2. 异分母加减法则:±=(a ≠0, c ≠0);
a c ac ac ac
b d bd b c b d bd
3. 分式的乘法与除法:∙=, ÷=∙=
a c ac a d a c ac
4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法;a ● a=a; a÷ a=a6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)= a b, (a) = a7. 负指数幂: a=
-p
m
m
n
m
n
mn
m
n
m+n
m
n
m －n
10
a=1 p a
2
8. 乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a- b ;(a±b) = a±2ab+b
2
2
2
2
【基础精讲】 一、分式的概念
1、正确理解分式的概念：
1
2xy 111x 3x -y
【例1】有理式（1）x ； （2）2； （3）x +y ； （4）3；（5）x －1；（6）π中，
属于整式的有： ；属于分式的有： 。.
2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.
(x +2)
(1) 例如，当x 为 时，分式x +2x -3有意义．
错解：x ≠3时原分式有意义． (2) 不要随意用“或”与“且”。 例如 当x____时，分式错解：由分母
，得
有意义？
3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．
x 2-1x +1x +1
1值为0． 当x 时，分式x －1有意义．当x 时，分式x －1无意义．当x 时，分式x －
二、分式的基本性质：
1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：
①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式． ②在分式的基本性质中，M ≠0．
③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0) ，不要只乘分子（或分母）．
④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．
(2)注意：
①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
②分式的基本性质是一切分式运算的基础, 分子与分母只能同乘以(或除以) 同一个不等于零的整式, 而不能同时加上(或减去) 同一个整式
【例3】下列变形正确的是（ ）．
-a -b a +b -a +b a +b a -a -a +b a +b
==-==
-a +b a -b c c -b -c b -c -a -b a -b A ．; B． C． D．
5x
【例4】 如果把分式2x -y 中的x , y 都扩大3倍, 那么分式的值一定( ) ．
A. 扩大3倍 B.扩大9倍 C. 扩大6倍 D.不变 2、约分
2
约分是约去分式的分子与分母的最大公约式, 约分过程实际是作除法, 目的在于把分式化为最简分式或整式, 根据是分式的基本性质.
b a -b a +b a 2-b 2
-2
【例5】（1）化简a +ab 的结果为（ ）A ．a B．a C．a D．-b
xy -2y x x y y
2
（2）化简x -4x +4的结果（）A ．x +2 B．x -2 C．x +2 D．x -2
x 2-6x +9x +3x -3x 2+9x 2-9
（3）化简2x -6的结果是（）A ．2 B．2 C ．2 D．2
3、通分
通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母. 最简公分母由下面的方法确定： （1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意：
11-a
÷(3+a ) ⋅
3+a ，应按照同一级运算从左到存依次计算（1）注意运算顺序．例如，计算1-a
=
的法则进行．错解：原式
11
÷(1-a ) =1-a (1-a ) 2
x
-x -1x -1（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算，出现了这样的解题错误：原式=
x -x -1=-1．分式通分是等值变形，不能去分母, 不要同解方程的去分母相混淆；
（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略． （4）最后的运算结果应化为最简分式． 2、分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；
(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；
(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 3、加减的加减
1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。 2)异分母分式加减法则：
运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分, 化为分母相同； ③按同分母分式运算法则进
行；④注意结果可否化简，化为最简．
4、分式的混合运算
3
注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的. 如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.
x 2a 2-41
÷(a -2)⨯-x -2a +2a -2x -2【例6】计算：（1）； （2）；
x +4⎛2x +1⎫112x -14xy -2y
-=3 1+-⎪÷2
x x -2⎭x -2x （4）已知x y （3）⎝，则代数式x -2xy -y 的值
【分类解析】
一、分式运算的几种技巧
x +1x 2-2x
22x +3x +2x -4 1、先约分后通分技巧例1 计算+
分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算
解：原式=
x +1
(x +1)(x +2)
+
x (x -2) (x -2)(x +2)
x +1x =x +2+x +2=x +2
x 2-3x +3x 2-5x +71222x -3x +2x -5x +6x -4x +3 2、分离整数技巧例2 计算--分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。
(x 2-3x +2) +1
解：原式=
(x 2-5x +6) +1
-
x 2-3x +2x 2-5x +6
1
2x -4x +3 -
222x -5x +6x -3x +2x -4x +3 =1+-1--(x -1)(x -2)
(x -2)(x -3)
(x -1)(x -3)
=--
=
x -3-(x -1) -(x -2) (x -1)(x -2)(x -3)
=
(x -1)(x -2)(x -3)
x (x +1)
=-
(x -1)(x -2)(x -3)
(x +3)(x +6)
3、裂项相消技巧例3 计算+
(x +1)(x +3)
+
分析：此类题可利用
n (n +m )
4
111
=m （n -m ）裂项相消计算。
13111121
解：原式=（x -x +1）+2（x +1-x +3）+3（x +3-x +6）
61x (x +6)
=x -x +6=
1212
4、分组计算技巧例4 计算a -2+a +1-a -1-a +2
分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。
112解：原式=（a -2-a +2）+（a +1-a -1） 12-44
22(a 2-4)(a 2-1) a -4a -1=+=
2x 5、变形技巧例5 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。
2
分析：将已知两边同除以x （x ≠0）可变出x+x ，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+x
的值。
解：由x2-3x+1=0，两边同除以x （x ≠0），得
x-3+x =0，即x+x =3
2
所以x2+x =（x+x ）2-2=32-2=7
二、分式求值中的整体思想
21122y +3y +7的值为4，则4y 2+6y -1的值为（ ）
例1 若分式
11
A 、1 B、-1 C、-7 D、5
2122y +3y +7=4得2y2+3y+7=8
解：由已知
112
4y +6y -1=2-1=1，故选A 。
2y2+3y=1，4y2+6y=2所以
5
4a +3ab +4b 11
例2 已知a +b =4，则-3a +2ab -3b = 。
分析：由已知可得到a+b与ab 的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b与ab 的表达式，然后将a+b用ab 代换即可求出所求式的值。
a +b
解：由已知得ab =4 ∴a+b=4ab
4(a +b ) +3ab 4a +3ab +4b 4∙4ab +3ab 19
-3a +2ab -3b =-3(a +b ) +2ab =-3∙4ab +2ab =-10
点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab 得到
4411++34(+) +33311--+2-(+) +2b a a b =
然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。
a 2
4
例3 已知a2-3a+1=0，求a +1的值。
11
解：由已知a2-3a+1=0知a ≠0，将已知等式两边同除以a 得a-3+a =0，∴a+a =3
a 4+1a 2111242
所以a =a2+a =（a+a ）2-2=32-2=7∴a +1=7
点评：①所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。
11
2
②a2±a =（a ±a ）2 2这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。
abc 111111111
例4 已知a +b =6，b +c =9，a +c =15，求ab +ac +bc 的值。
1111111++
分析：将所求式分子、分母同除以abc 可得到a b c ，只要将已知式变换出a +b +c 即可。
111111111
解：因为a +b =6①，b +c =9②，a +c =15③，将①、②、③左、右分别相加，得
111111
2（a +b +c ）=6+9+15
6 1
111180abc 11131
++
∴a +b +c =180 所以ab +ac +bc =c b a =31
x -12x 1（
+2) ÷2
x -1，其中x=例5 有一道题：“先化简再求值：x +1x -1，小明做题时
把“x=
”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？
解析:首先对原分式进行化简, 再根据化简结果说理.
2
x -12x 1=(x -1) +2x ⨯(x 2-1) （+2) ÷2
=(x -1) 2+2x =x 2+1. x +1x -1x -1(x +1)(x -1)
2
x =-2008x =2008x +1的值都是2009, 所以小明把
“x=-错抄
因为当和时,
成了“”, 计算结果也是正确的.
2x 例6 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。
12x x 分析：将已知两边同除以x （x ≠0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+
的值。
解：由x2-3x+1=0，两边同除以x （x ≠0），得
12
x-3+x =0，即x+x =3所以x2+x =（x+x ）2-2=32-2=7
三、分式运算新型题
1m 3
2
例2 请利用m -3、m +3 和m -9这三个分式组成一个算式, 来表示其中两个分式的商减
去第三个分式的差, 并化简.
解析:本题为开放性问题, 答案不唯一. 按题目的要求可得到10多个不同的算式, 选取其中一个进行化简即可, 但一般应选择一个计算较简便的算式, 以减少运算量, 提高正确率.
3m +33m 1⋅-1
2m m -3 如, m -9÷m +3-m -3=(m +3)(m -3)
33-m 11=--m (m -3) m , 等等. m -3=m (m -3) =
查的知识却是我们所熟悉的.
7
温馨提示:这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养, 已成为各类考试的热点, 但所考
2⎫⎛a 1+ ⎪2
例3 先化简代数式⎝a +2a -2⎭÷a -4, 然后选取一个合适的a 值, 代入求值.
解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”, 解题时必须明确“合适”在题中的含义, 即选取的a 的值不但要使原式有意义, 而且还要尽量使运算简便.
a (a -2) +2(a +2)
⋅(a 2-4) 2
a (a -2) +2(a +2) =a +4. (a +2)(a -2) 原式==
由题意知, a 的值不能取2和-2, 所以当a =0时, 原式=4.
温馨提示:本题既检测了同学们分析问题的能力, 又考查了识别隐含信息的能力, 题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识. 这类题目也是近年出现的热点题型, 为我们提供了较为广阔的思考空间, 但所选字母的值应保证原式有意义, 以防掉入解题“陷阱”.
一、开放性问题
222
例1在下列三个不为零的式子 x -4, x -2x , x -4x +4中，任选两个你喜欢的式子组成一个分
式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .
分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.
解：本题存在6种不同的结果，任选其一即可.
x +2x 2-4x +2, , 22
（1）x -2x x ；（2）x -4x +4x -2; x x 2-2x x
, , 22x -2x +2; x -4x +4x -4（3）； （4）x 2-4x +4x -2x 2-4x +4x -2, , 22x +2x . x -4x -2x （5）;(6)
x 2-2x
x 2-4
说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面前.
二、探索运算程序
例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）
结果 A．m B．m
2
C．m +1 D．m -1
分析：本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提.
m (m -1)m -m
+2+2m m 解：计算程序可表示为：，化简：原式= =m-1+2=m+1，故选C.
2
8
说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案. 三、自选数值求解
x ⎫1⎛
1-÷ ⎪2
x -1x -x ，并选择你最喜欢的数代入求值． ⎝⎭例3化简
分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大，但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式. 在选取x 的数值时，一定要保证原式有意义，而且尽量使运算简便为好.
=
解：原式
x -1-x 1-1x (x -1) ÷=⨯x -1x (x -1) x -1=-x ，当x=2时，原式=-2. 1
说明：这里的x 不能取0与1，否则分母的值为0，原式就没有意义了. 四、运算说理题
x 2-4x +4x 2-2x 1
÷-+12
x =1949x -4x +2x 的值”时，聪聪认为x 例4在解题目：“当时，求代数式
只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．
分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理.
解：聪聪说的有理．
(x -2) 2x +21x 2-4x +4x 2-2x 1=⨯-+1=1-1+1 ÷-+12(x +2)(x -2) x (x -2) x x -4x +2x x x =1
∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．
说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.
先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
11
=1-1⨯22 111=-
2⨯323 111=-
3⨯434
┅┅
11111++++=1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯6(1) 计算 ．
1111+++...... +=1⨯22⨯33⨯4n (n +1) （2）探究 ．（用含有n 的式子表示） 111117+++...... +
(2n -1)(2n +1) 的值为35，求n 的值． （3）若 1⨯33⨯55⨯7
9
5n
解：（1）6 （2）n +1
1111
+++...... +
(2n -1)(2n +1) （3）1⨯33⨯55⨯7
[1**********]
(-) (1-) +(-) +(-)
3235257+ ┄ +22n -12n +1 =211n (1-)
2n +1=2n +1 =2n 17
由2n +1=35 解得n =17 经检验n =17是方程的根，∴n =17
【精练】计算：
【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大. 不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的. 因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】
=
=
=
1．顺次相加法例1：计算：
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】=
10
=
=
2．整体通分法【例2】计算：
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算. 如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便. 通常我们把整式看作分母是1的分式.
【解】
3．化简后通分
==.
分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．
4．巧用拆项法
例4计算：.
分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整
数的积（若a 是整数），联想到，这样可抵消一些项
.
解：原式=
=
=5．分组运算法 例5：计算：
=
分析：本题项数较多，分母不相同. 因此，在进行加减时，可考虑分组. 分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.
解：
=
=
=
=
=【错题警示】
一、 错用分式的基本性质
例1 化简
错解：原式
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.
正解：原式
二、 错在颠倒运算顺序 例2 计算
错解：原式
分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.
正解：原式三、错在约分 例1 当
为何值时，分式
有意义？
[错解]原式由
得
.
.
∴时，分式有意义.
，扩大了未知数的取
[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式值范围，而导致错误.
[正解]由
得
且
.
∴当且，分式四、错在以偏概全
有意义.
例2 为何值时，分式
，得，原分式有意义.
.
有意义？
[错解]当∴当
[解析]上述解法中只考虑[正解]
，得
的分母，没有注意整个分母，
，犯了以偏概全的错误.
由∴当
且
，得.
时，原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算[错解]原式=
.
.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当[错解]由∴当
为何值时，分式
，得
或
.
的值为零.
时，原分式的值为零.
，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原
[解析]当时，分式的分母
因是忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由由，得
. 由，得
且
.
∴当
时，原分式的值为零.
二、经典例题透析 类型一：分式及其基本性质
1．当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
2．若分式的值等于零，则x ＝_______；
3．求分式的最简公分母。
【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x 的值是（ ）
A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±１ （2）当x________时，分式
没有意义．
【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A ．
B ． C． 类型二：分式的运算技巧
(一) 通分约分 4．化简分式:
【变式1】顺次相加法 计算：
【变式2】整体通分法 计算：
D ．
（二）裂项或拆项或分组运算 5．巧用裂项法
15
计算：
【变式1】分组通分法 计算：
【变式2】巧用拆项法计算：
类型三：条件分式求值的常用技巧 6．参数法 已知
，求
的值．
【变式1】整体代入法 已知，求的值.
【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法． 已知：
，求
的值．
【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．
已知：
类型四:解分式方程的方法
，求的值．
解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧． （一）与异分母相关的分式方程 7．解方程
=
11-x
=-3x -22-x 【变式1】换元法 解方程：
（二）与同分母相关的分式方程
x 3
=2+
x -3 8．解方程x -3
x -81x 5
-=8+=1x -77-x 2x -55-2x 【变式1】解方程 【变式2】解方程
类型五：分式（方程）的应用
9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖. 甲进货的策略是：每次买1000元钱的
糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的16 平均价格低一些？
【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？
【变式2】 A、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度．
b ±c a =b ±c 【主要公式】1. 同分母加减法则:a a (a ≠0)
b ±d =bc ±da ac =bc ±da (a ≠0, c ≠02. 异分母加减法则:a c ac ac )
;
b ∙d =bd b ÷c =b ∙d =
bd 3. 分式的乘法与除法:a c ac , a d a c ac
4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5. 同底数幂的乘法与除法;am ● an =am+n; am÷ an =am－n 6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn
17. 负指数幂: a-p=a p
a0=1
8. 乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义
1
x 2
2
, 1x -a -b x -y x +y 【例1】下列代数式中：
π2y , a +b , x +y , x -y ，是分式的有： 题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当x 有何值时，下列分式有意义
1
x -4
3x 26-x 1（1）x +4 （2）x 2+2 （3）x 2
-1x - （4）|x |-3 （5）
x 题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. x -1
|x |-2
x 2-2x -3
（1）x +3
（2）x 2
-4 （3）x 2-5x -6
题型四：考查分式的值为正、负的条件
4
【例4】（1）当x 为何值时，分式8-x 为正；
5-x
（2）当x 为何值时，分式3+(x -1) 2
为负；
.
x -2
（3）当x 为何值时，分式x +3为非负数.
17
练习：
1．当x 取何值时，下列分式有意义： 1
（1）6|x |-3
3-x
11x
（2）(x +1) +1
25-x 2
（2）x -6x +5
2
（3）
1+
2．当x 为何值时，下列分式的值为零： 5-|x -1|（1）x +4
3．解下列不等式 |x |-2
≤0x +1（1）
x +5
2
（2）x +2x +3
>0
（二）分式的基本性质及有关题型 A A ⨯M A ÷M ==
1．分式的基本性质：B B ⨯M B ÷M
-a -a a a
=-=-=
+b -b b 2．分式的变号法则：-b
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
12
x -y 11x +y
4 （1）3
0. 2a -0. 03b
（2）0. 04a +b
题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）
-x +y -x -y
（2）
-
-a
a -b
（3）
-
-a
-b
题型三：化简求值题 【例3】已知：
11+=5x y
，求
2x -3xy +2y x +2xy +y
的值.
11+x y
提示：整体代入，①x +y =3xy ，②转化出【例4】已知：
x -
.
11x 2+2=2
x 的值. x ，求
1
4x -2y
2
【例5】若|x -y +1|+(2x -3) =0，求
的值.
练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
30. 4a +b
11a -b 10 （2）4
18
0. 03x -0. 2y
（1）0. 08x +0. 5y
x 21
x +=342
x 2．已知：，求x +x +1的值.
112a +3ab -2b -=3
3．已知：a b ，求b -ab -a 的值. 2a -b
4．若a +2a +b -6b +10=0，求3a +5b 的值.
2
2
|x -2|-x -1+|x |
|x -1|x . 5．如果1
（三）分式的运算
题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.
c b a a b
, 2, , 2
（1）-2ab 3a c -5b c ； （2）a -b 2b -2a ；
1
2
（3）x -x 1-2x +x
,
x
2
,
2
x -x -2； （4）
2
a +2,
12-a
题型二：约分【例2】约分：
-16x 2y
3
（1）20xy
x 2+x -2n 2-m 2
2
；（3）m -n ；（3）x -x -6.
题型三：分式的混合运算 【例3】计算：
a 2b 3c 22bc
() ⋅() ÷() 4
-ab a ； （1）-c
（2）
3a 33y -x 2
() ⋅(x 2-y 2) ÷() x +y y +x
；
m +2n n 2m
+-
（3）n -m m -n n -m ；
a 2
-a -1a -1（4）；
112x 4x 38x 7
----241-x 1+x 1+x 1+x 1+x 8； （5）
111
++
（6）(x -1)(x +1) (x +1)(x +3) (x +3)(x +5) ； 1x 2-2x
(2-) ⋅()
x -2x +1（7）x -4x +4
x 2-4
题型四：化简求值题【例4】先化简后求值
x 2+411
1-2[(-1) ÷(-)]
4x 2x 的值； x -4（1）已知：x =-1，求分子
8
xy +2yz -3xz x y z
==222
（2）已知：234，求x +y +z 的值；
112
(a -)(a -) 22a a -3a +1=0a （3）已知：，试求的值.
19
1-3x
2
题型五：求待定字母的值【例5】若x -1
=
M N
+
x +1x -1，试求M , N 的值.
a 2b 2-2ab
-
b -a ； （2）a -b
2b 2
a -b +
a +b ； （4）
练习：1．计算
2a +5a -12a -3
-+
（1）2(a +1) 2(a +1) 2(a +1) ；
a -b +c a -2b +3c b -2c
-+b -c +a c -a -b ； （3）a +b -c
（5）
(a -b +
4ab 4ab )(a +b -) a -b a +b ；
112
++2
（6）1-x 1+x 1+x ；
121
-+
（7）(x -2)(x -3) (x -1)(x -3) (x -1)(x -2) .
2．先化简后求值
a -1a 2-41
⋅2÷2
2
（1）a +2a -2a +1a -1，其中a 满足a -a =0.
x 2-y 2x -y 3x () ÷[(x +y ) ⋅() ]÷2
xy x y
（2）已知x :y =2:3，求
的值.
5x -4A B =-
3．已知：(x -1)(2x -1) x -12x -1，试求A 、B 的值.
399a +805
4．当a 为何整数时，代数式a +2的值是整数，并求出这个整数值.
（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算
-2-3-13【例1】计算：（1）(a ) ⋅(bc )
32-1-2-232
（2）(3x y z ) ⋅(5xy z )
-2
（3）(a -b ) (a +b )
[
(a +b ) -3(a -b ) 5
2]4
3-22-6
（4）[(x +y ) ⋅(x -y ) ]⋅(x +y )
题型二：化简求值题 【例2】已知x +x
-1
4-4
=5，求（1）x 2+x -2的值；（2）求x +x 的值.
题型三：科学记数法的计算
-3-22-32-23
【例3】计算：（1）(3⨯10) ⨯(8. 2⨯10) ；（2）(4⨯10) ÷(2⨯10) .
1111
(-) ⋅() -2÷|-|+(1-3) 0+(-0. 25) 2007⋅42008
3练习：1．计算：（1）355
(2ab 2) -2⋅(a 2b ) 2
[4(x -y ) 2(x +y ) -2]2
20
323-2-1-2-13-2-2-2-3
（2）(3m n ) ⋅(m n ) （3）(3a b ) ⋅(ab ) （4）[2(x +y ) (x -y )]
2-12-2
2．已知x -5x +1=0，求（1）x +x ，（2）x +x 的值.
（一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程
x +1413215+x x +5-2=1=-=0=
x -1x -1x -1x x -3x x +34-x （1）；（2）；（3）；（4）
提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.
题型二：特殊方法解分式方程
x 4x +4x +7x +9x +10x +6
+=4+=+
x 【例2】解下列方程（1）x +1； （2）x +6x +8x +9x +5 x x +71
=y =1+
x +6. 提示：（1）换元法，设x +1；（2）裂项法，x +6
【例3】解下列方程组
⎧111
⎪x +y =2⎪
⎪111⎨+=⎪y z 3⎪111⎪+=⎩z x 4
(1) (2) (3)
题型三：求待定字母的值
2m =1-
x -3有增根，求m 的值. 【例4】若关于x 的分式方程x -3
2x +a
=-1x -2【例5】若分式方程的解是正数，求a 的取值范围.
提示：
x =
2-a >03且x ≠2，∴a
题型四：解含有字母系数的方程
x -a c
=(c +d ≠0)
x b -x d 【例6】解关于的方程
提示：（1）a , b , c , d 是已知数；（2）c +d ≠0. 题型五：列分式方程解应用题 练习：1．解下列方程：
x -12x x 42x 3
+=0-2=-=2x +11-2x x -3x -3x +2x -2（1）；（2）；（3）；
7
22
（4）x +x x -x
x x -9x +1x -8+=+x -2x -7x -1x -6 （7）
21
-
3
=1+
7-x 2
5x -42x +511111
=-+=+
x 2-1（5）2x -43x -22 6）x +1x +5x +2x +4
1121a 1b =+(b ≠2a ) +=+(a ≠b )
2．解关于x 的方程：（1）a x b ；（2）a x b x . k x
+2=
x -2会产生增根，求k 的值. 3．如果解关于x 的方程x -2
x +3k
=+1x +2(x -1)(x +2) 4．当k 为何值时，关于x 的方程的解为非负数.
2a +1=a
x x +15．已知关于的分式方程无解，试求a 的值.
（二）分式方程的特殊解法
13
=
一、交叉相乘法例1．解方程：x x +2 12-2=0x -1x -1二、化归法例2．解方程：
x -81
-=8
三、左边通分法例3：解方程：x -77-x 1a 1b
+=+
四、分子对等法例4．解方程：a x b x
(a ≠b )
4x 5x -217
+=5x -24x 4 五、观察比较法例5．解方程：
x +1x +8x +2x +7
+=+x +2x +9x +3x +8 六、分离常数法例6．解方程：
1111
+=+
七、分组通分法例7．解方程：x +2x +5x +3x +4 x -1m
=
例1．若分式方程x -22-x 无解，求m 的值。
x k 2x +2=
例2．若关于x 的方程x -1x -1x +1不会产生增根，求k 的值。
1k 3
+=2
例3．若关于x 分式方程x -2x +2x -4有增根，求k 的值。
1
1
例4．若关于x 的方程x -x
+
k -5x 2+x
=
k -1
x 2-1有增根x =1，求k 的值。
分式求值问题全解 字母代入法
a b c d
+++
例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求a +d a +b +c b +c +d a +d 的值.
【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3 所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简
22
a b c d
+++
a +d a +b +c b +c +d a +d
a a +1a +2a +3
+++
=a +a +3a +a +1+a +2a +1+a +2+a +3a +a +3
a a +1a +2a +3
+++
=2a +33a +33a +62a +3 a +a +3a +1a +2
++
3(a +1) 3(a +2) =2a +3
11
1++33 =5 =3
【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。
2. 设值代入法
xy +yz +zx x 2x y z
=2==
ab +bc +ca a a b c 例2. 已知，求证：
b c
x z =x
a ，代入后分式的分子分母中a ，【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到
x y z
有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到a 、b 、c 连等，让它们都等于k 则 x=ak
y =
y=bk z=ck
xy +yz +zx akbk +bkck +ckak
ab +bc +ca 代入得 ab +bc +ca = ab +bc +ca 2
k
ab +bc +ca = x 2k =2
a =
2
【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件
x y z ==
设a b c
b c y =x z =x
a a ， 则（1）
x y z ===k
（2）设a b c 则x=ak y=bk z=ck
x y z x +y +z ===k =k a b c a +b +c （3）设 则 其中a +b +c ≠0
3. 整式代入法
23
112a +3ab -2b -=3
例3. 已知：a b ，求分式a -ab -b 的值.
【解析】如果用字母代入法，要用b 代替a 本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。
2(a -b ) +3ab b -a
=3
将条件化简成乘积形式，得 ab ，再将分式稍化简变为(a -b ) -ab ，可以发现分子
分母中只有(a-b)和ab 这两项，所以可以用ab 代替b-a
b -a =3ab
2a +3ab -2b 2(a -b ) +3ab -6ab +3ab 3
===
a -ab -b (a -b ) -ab -3ab -ab 4
【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab 和a-b 这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b 与ab 的关系，题目很快就解出来了。
4. 变形代入法
这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。
ab +bc +ca
b 2例4（方程变形）. 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求的值.
【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。
这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组
a+b+c=0 b=-2c 用c 代替a 、b 代入到分式中，能很快求解出来
ab +bc +ca -2c 2-2c 2+c 23
=-
4 4c 2b 2=
2a -ab -6b
2222
例5（非负变形）. 已知：a +b -8a +6b +25=0，求a -4ab +4b 的值.
【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式
22
24
a 2+b 2-8a +6b +25=(a -4) 2+(b +3) 2=0
2222
(b +3) ≥0(a -4) ≥0(a -4) (b +3) 其中 所以=0 =0
得a =4, b =-3
再带入原式很容易求出解。
111
++=0. 222222222c +a -b a +b -c 例6（对应变形）. 证明：若a+b+c=0,则b +c -a
【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c 代替a ，但是代数式a 的符号和位置在三个分式中不同，如果用a =(b +c ) 代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。
如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：
222
b +c -a 用a=-b-c代入中的a ，得到-2bc
2
2
用b=-a-c代入c +a -b 中的b ，得到-2ac 用c=-a-b代入a +b -c 中的c ，得到-2ab
2
2
2
222
111a +b +c ++==0
-2abc 原式=-2bc -2ac -2ab
例7（倒数变形）.
xy xz yz 2abc =a , =b , =c , 且abc ≠0. x =
x +z y +z bc +ac -ab 已知x +y 求证
xy xy
=a
【解析】已知条件是x +y 的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将x +y 改写成 1x +y 11==+a xy x y 的形式，使得x 、y 相互独立，简化已知条件。 111111111
=+=+=+a x y c y z 写出变化后的形式，b x z ，
11111112=+=(+) +(+) -c y z x y x z x
112+-
=a b x
2111=+-x a b c 所以
bc +ac -ab
abc = 2abc x =
bc +ac -ab ，得证。 则
例8（归类变形）.
25
a +
已知
【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b 、c ，能不能求出b 、c 的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。
这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：
111=b +=c +b c a ，且a 、b 、c 互不相等，求证：a 2b 2c 2=1
11b -c
a -b =-=
c b bc ，可以发现分式形式大致消失了，
剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc 将能从已知条件得到的关系列出来
a -b =
b -c c -a a -b
b -c =c -a =bc , ac , ab
(b -c )(c -a )(a -b )
a 2b 2c 2，
左边和左边相乘，右边和右边相乘得
(a -b )(b -c )(c -a ) =
222
a 所以b c =1
【结论】给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：
消元的角度：方程变形、非负变形------减少字母数量，方便化简 化简结构的角度：对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简
代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。
【练习】
a b c 2a -3bc +b ==, 则2
a -2ab -c 2 的值等于（ ） （设值代入） 1、已知234
22
26
12319
A ．2 B. 3 C. 5 D. 24
2b 32b
) ÷(1+) 33
a -b 的值等于（ ） （整式代入） 2、若a2+b2=3ab,则(1+a -b
12
A ．2 B. 0 C. 1 D. 3
111++a b c ＜0. （非负变形） 3、已知：a+b+c=0,abc=8.求证：
4、已知：a+b+c=0.
⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫
a +⎪+b +⎪+c +⎪+3=0.
⎝a c ⎭⎝a b ⎭求证：⎝b c ⎭ （代数式归类变形）
a b c
++=1
5、已知abc=1，求证：ab +a +1bc +b +1ac +c +1（对应变形）
复习引入：
1. 计算：27÷23=_____，a9÷a4=_____；
（由学生用数学式子表示上述同底数幂的除法法则，并指出其中字母的规定，强调指数是正整数，底数不等于零）
2. 思考：22÷25=______；a 2÷a4=_____；
在学生独立思考的基础上，让学生猜测计算的结果，并请学生讲解计算的过程及依据，体验分数与除法的关系；然后进一步提出“如何用幂的形式表示计算结果”的问题
2-2=
11-3
a =
a 3 22、
二．学习新课：整数指数幂及其运算
a -p =
1．负整数指数幂的概念：
n
1
a p （a ≠0，p 是自然数）
2．整数指数幂：当a ≠0时，a 就是整数指数幂，n 可以是正整数、负整数和零 将下列各式写成只含正整数指数幂的形式：
10-2=
11-5
x =
x 5 102、
(-10) -2=
变式训练1：
11-5
(x -1) =
(-10) 2、(x -1) 5
27
3227
() -1=() -2=() 2
3、72 变式训练2：2
a b
() -p =() p
a 通过变式训练2，学生同桌讨论当指数为负数，底数为分数时的情形，并总结出b
判断正误：
①-270=1②(-2) -2=4③(-50) -1=-1
50
④7x -2=
1
7x 2
⑤(2) -293=4
例题讲解：
例题1 计算：（1）26÷28；（2）10101÷10104；（3）512÷512。 例题2 将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式： (1) x-3；(2) a-3b4；(3) 2(x+2y)-2； 例题3计算：（1）a2÷a ·a3；（2）(-a)3÷a5； 3．整数指数幂的运算性质：
举例复习正整数指数幂的其它性质，同时思考、验证整数指数幂的相关运算法则：①22⋅25=22+5
那么 22⋅2-5=22（+
-5）
（-2）-3（⋅-2）2=（-2）-3+2
②（2⨯3）4=24⨯34 （23）2=23⨯2那么 （2⨯3）-4=2-4⨯3-4（22）-3=22（⨯
-3）
归纳整数指数幂的运算性质：
（1）同底数幂的乘法性质：aman=am+n;（2）积的乘方性质：(ab)m=ambm; （3）幂的乘方性质：(am)n=amn;（上述性质中a 、b 都不为0，m 、n 都为整数） 例题4计算：（1）x-5·x2；（2）(2-2)3；（3）100÷3-3； 一、课前预习 (5分钟训练) 1. 下列计算正确的是( )
A.(－2)0=－1 B.－23=－8 C.－2－(－3)=－5 D.3－2=－9 2.
填
空
:(1)a·a5=________;(2)a0·a
－
3=________;(3)a
－
2=________;(4)am·an=___________.
1·a
－
3. 填空:(1)a÷a4=__________;(2)a0÷a－2=____________;(3)a－1÷a－28 3=;(4)am÷an=_________.
4. 某种细菌的长约为0.000 001 8米，用科学记数法表示为_______________. 二、课中强化(10分钟训练) 1. 下列计算正确的是( )
1
A.(a2)3=a5 B.(a－2) －3=a－5 C.(3) －1+(－π+3.14)0=－2 D.a+a－2=a－1
a
2.(1)(a－1)2=_________(a≠0)；(2)(a－2b) －2=________(ab≠0)；(3)(b ) －
-
1=________(ab≠0).
3. 填空:(1)5－2=_____________；(2)(3a－1b) －1=_______________(ab≠0).
b a
4. 计算:(1)(a ) －2·(b )2; (2)(－3) －5÷33. (3)a－2b2·(ab－1); x
(4)(y )2·(xy)－2÷(x－1y).
6. 我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功. 经测算当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示)
三、课后巩固(30分钟训练)
1. 据考证，单个雪花的质量在0.000 25克左右，这个数用科学记数法表示为( ) A.2.5×10－3 B.2.5×10－4 C.2.5×10－5 D.－2.5×10－4
2. 下面的计算不正确的是( )
12
A.a10÷a9=a B.b－6·b4=b C.(－bc)4÷(－bc)2=－b2c2 D.b5+b5=2b5 x 2-4
3. 要使(x -2)0有意义, 则x 满足条件_______________.
1
4.(1)(a ) －p=___;(2)x－2·x－3÷x－3=_____;(3)(a－3b2)3=;___(4)(a－2b3) －2=____.
5若x 、y 互为相反数，则(5x)2·(52)y=____________________.
-
6. 计算:(
322
-
2) －2－(π-)0+(2)2·(2) －2.
7. 计算:(9×10－3)×(5×10－2).
8. 计算:(1)5x2y－2·3x－3y2; (2)6xy－2z÷(－3x －3y －3z －1). 9. 已知m －m －1=3,求m2+m－2的值. 参考答案
一、课前预习 (5分钟训练) 1. 下列计算正确的是( )
A.(－2)0=－1 B.－23=－8 C.－2－(－3)=－5 D.3－2=－9 解析：A:任何一个非零数的零次幂都等于1，故A 错； C:－2－(－3)=－2+3=1，故C 错；
29
11=2
9，故D 错. 答案:B D:3－2=3
2. 答案:(1)a6 (2)a－3 (3)a－3 (4)am+n 3.
填
空
:(1)a÷a4=__________;(2)a0÷a
－
2=_____________;(3)a
－
1÷a
－
3=;(4)am÷an=_________.
13
答案:(1)a (2)a2 (3)a2 (4)am－n
4. 某种细菌的长约为0.000 001 8米，用科学记数法表示为_______________.
解析：科学记数法就是将一个数写成a×10n(1≤a＜10) 的形式. 用科学记数法可以表示比1大的数，引入负整数指数幂后，也可表示比1小的数.
1
0.000 001 8=1.8×0.000 001=1.8×1000000=1.8×10－6.
答案:1.8×10－6
二、课中强化(10分钟训练) 1. 下列计算正确的是( )
A.(a2)3=a5 B.(a－2) －3=a－5
1
C.(3) －1+(－π+3.14)0=－2 D.a+a－2=a－1
-
解析：A. 应为a6,B. 应为a6,D. 不能加减,C. 原式=(－3－1) －1+1=(－3)1+1=－2. 答案：C
a
2.(1)(a－1)2=___________(a≠0)；(2)(a－2b) －2=__________(ab≠0)；(3)(b ) －
1=________(ab≠0).
解析：幂的乘方、积的乘方以及商的乘方，当指数扩大到全体整数范围时，在正整数范围内成立的一切性质在保证分母不为零的前提下都成立.
1b a 4
22
答案:(1)a (2)b (3)a
3. 填空:(1)5－2=_______________；(2)(3a－1b) －1=_______________(ab≠0).
111
=n 2
25. 解析：(1)根据a －n=a ，得5－2=5
(2)根据积的乘方，等于积中每个因式乘方的积可得
11a a ∙=
b 3b . (3a－1b) －1=3－1(a－1) －1b －1=3
1a
答案:(1)25 (2)3b
b a
4. 计算:(1)(a ) －2·(b )2;
(2)(－3) －5÷33.
30
b 1a () -2==() 2
b 21a b () n
a 解析：(1)根据a －n=a . .
a a a () 2∙() 2=() 4
b b . 原式=b
(2)(－3) －5÷33=－3－5÷33=－3－5－3=－3－8.
x
5. 计算:(1)a－2b2·(ab－1);(2)(y )2·(xy)－2÷(x－1y).
b
解：(1)a－2b2·(ab－1)=(a－2·a)(b2·b－1)=a－1b=a ;
x 2x 2∙x -2∙x ∙y -2∙y -1x x
=225
y y y y (2)()2·(xy)－2÷(x－1y)=·x－2y －2·xy－1=.
6. 我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功. 经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示)
解析：用10年形成的小洞的深度÷时间即可得到结果，注意单位. 解：因为10年=120个月，1厘米=10－2米， 所以平均每个月小洞的深度增加
10－2÷120=(1÷120)×10－2≈0.008 33×10－2=8.33×10－3×10－2=8.33×10－5(米). 三、课后巩固(30分钟训练)
1. 据考证，单个雪花的质量在0.000 25克左右，这个数用科学记数法表示为( ) A.2.5×10－3 B.2.5×10－4 C.2.5×10－5 D.－2.5×10－4
解析：科学记数法就是将一个较大或较小的数写成a×10n(1≤a＜10) 的形式. 答案:B 2. 下面的计算不正确的是( )
12
A.a10÷a9=a B.b－6·b4=b C.(－bc)4÷(－bc)2=－b2c2 D.b5+b5=2b5
解析：运用幂的运算性质时一要注意符号问题，二要注意它们之间的区别，还要注意别与合并同类项混了. 此题中A 、B 、D 都正确，而C:原式=(－bc)2=b2c2.答案:C
1
3.3p=4,(3)q=11,则32p －q=_______________.
11q
解析：32p=(3p)2=42=16,3－q=3=(3)q=11.
原式=32p·3－q=16×11=176.答案：176
31
x 2-4
4. 要使(x -2)0有意义, 则x 满足条件_______________.
解析：要使式子有意义, 分母不为0, 分子为0. ∴x －2≠0,x2－4=0.∴x=－2. 答案：x=－2
1
5.(1)(a ) －p=_______;(2)x－2·x－3÷x－3=_____;(3)(a－3b2)3=;____(4)(a－2b3) －
2=_____.
1
解析：(1)(a ) －p=(a－1) －p=ap.(2)x－2·x－3÷x－3=x－5－(－3)=x－2.
(3)(a－3b2)3=a－9b6.(4)(a－2b3) －2=a4b－6. 答案：(1)ap (2)x－2 (3)a－9b6 (4)a4b－6 6. 若x 、y 互为相反数，则(5x)2·(52)y=__________.
解析：由x 、y 互为相反数得x+y=0，所以(5x)2·(52)y=52x·52y=52x+2y=52(x+y)=50=1.
-
7. 计算:(
44322
-1+1=-
2) －2－(π-)0+(2)2·(2) －2. 解析：原式=33.
8. 计算:(9×10－3)×(5×10－2).
解：原式=(9×5)×(10－2×10－3)=45×10－5=4.5×10×10－5=4.5×10－4. 9. 计算:(1)5x2y－2·3x－3y2; (2)6xy－2z÷(－3x －3y －3z －1).
15
解：(1)原式=(5×3)(x2x－3)(y－2y2)=15x－1y0=x ;
(2)原式=［6÷(－3) ］(x÷x－3)(y－2÷y－3)(z÷z－1)=－2x1－(－3)y(－2) －(－3)z1－(－1)=－2x4yz2.
10. 已知m －m －1=3,求m2+m－2的值. 两边平方得m2－2+m－2=9，所以m2+m－2=11.
一、 错用分式的基本性质
例1 化简
错解：原式
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，32 分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.
正解：原式
二、 错在颠倒运算顺序 例2 计算错解：原式
分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.
正解：原式三、错在约分 例1 当
为何值时，分式
有意义？
[错解]原式由
得
.
.
∴时，分式有意义.
，扩大了未知数的取
[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式值范围，而导致错误.
[正解]由
得
且
.
∴当且，分式有意义.
四、错在以偏概全
例2 为何值时，分式
，得
.
有意义？
[错解]当
33
∴当，原分式有意义.
[解析]上述解法中只考虑[正解]
，得
的分母，没有注意整个分母，
，犯了以偏概全的错误.
由∴当
且
，得.
时，原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算[错解]原式=
.
.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当[错解]由∴当[解析]当
为何值时，分式
，得
或
.
的值为零.
时，原分式的值为零. 时，分式的分母
，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是
忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由由
，得
.
由，得且.
∴当时，原分式的值为零.
典例分析
类型一：分式及其基本性质
1．当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
2．若分式的值等于零，则x ＝_______；
3．求分式的最简公分母。
【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x 的值是（ ）
A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±１ （2）当x ________时，分式没有意义． 【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A ．
B ． C． (一) 通分约分 4．化简分式:
【变式1】顺次相加法 计算：
【变式2】整体通分法 计算：
（二）裂项或拆项或分组运算 5．巧用裂项法
计算：34
D ．
【变式1】分组通分法 计算：
【变式2】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧 6．参数法 已知【变式1】整体代入法 已知
，求
，求
的值．
的值.
35
【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法． 已知：
，求
的值．
【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．
已知：
，求的值．
解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧． （一）与异分母相关的分式方程 7．解方程
=
【变式1】换元法 解方程：（二）与同分母相关的分式方程 8．解方程
11-x
=-3 x -22-x
x 3=2+ x -3x -3
x -81x 5
-=8 【变式2】解方程+=1 【变式1】解方程
x -77-x 2x -55-2x
9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖. 甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？
【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A 地同时出发到B ．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？
【变式2】 A、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，36 2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B 后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A 地，求甲车原来的速度和乙车的速度． 【主要公式】1. 同分母加减法则:
b c b ±c ±=(a ≠0) a a a
b d bc da bc ±da
±=2. 异分母加减法则:±=(a ≠0, c ≠0);
a c ac ac ac
b d bd b c b d bd
3. 分式的乘法与除法:∙=, ÷=∙=
a c ac a d a c ac
4. 同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法;a ● a=a; a÷ a=a6. 积的乘方与幂的乘方:(ab)= a b, (a) = a7. 负指数幂: a=
-p
m
m
n
m
n
mn
m
n
m+n
m
n
m －n
10
a=1 p a
2
8. 乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a- b ;(a±b) = a±2ab+b
2
2
2
2