初中数学数轴上的动点问题
数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，先明确以下3个问题：
1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。
2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a ，向左运动b 个单位后表示的数为a —b ；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b。
3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
例1．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为—1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x 。
⑴若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数；
⑵数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点B 一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？
分析：⑴如图，若点P 到点A 、点B 的距离相等，P 为AB 的中点，BP=PA。
依题意，3—x=x—（—1），解得x=1
⑵由AB=4，若存在点P 到点A 、点B 的距离之和为5，P 不可能在线段AB 上，只能在A 点左侧，或B 点右侧。
①P 在点A 左侧，PA=—1—x ，PB=3—x
依题意，（—1—x ）+（3—x ）=5，解得 x=—1.5
②P 在点B 右侧，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3
依题意，（x+1）+（x —3）=5，解得 x=3.5
⑶点P 、点A 、点B 同时向左运动，点B 的运动速度最快，点P 的运动速度最慢。故P 点总位于A 点右侧，B 可能追上并超过A 。P 到A 、B 的距离相等，应分两种情况讨论。
设运动t 分钟，此时P 对应的数为—t ，B 对应的数为3—20t ，A 对应的数为—1—5t 。
①B 未追上A 时，PA=PA，则P 为AB 中点。B 在P 的右侧，A 在P 的左侧。 PA=—t —（—1—5t ）=1+4t，PB=3—20t —（—t ）=3—19t
依题意有，1+4t=3—19t ，解得 t=
②B 追上A 时，A 、B 重合，此时PA=PB。A 、B 表示同一个数。
依题意有，—1—5t=3—20t ，解得 t=
即运动或分钟时，P 到A 、B 的距离相等。
点评：⑶中先找出运动过程中P 、A 、B 在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。
例2．点A1、A2、A3、……An （n 为正整数）都在数轴上，点A1在原点O 的左边，且A1O=1，点A2在点A1的右边，且A2A1=2，点A3在点A2的左边，且A3A2=3，点A4在点A3的右边，且A4A3=4，……，依照上述规律点A2008、A2009所表示的数分别为（ ）。
A ．2008，—2009 B ．—2008，2009 C ．1004，—1005 D ．1004，—1004
分析：如图，
点A1表示的数为—1；
点A2表示的数为—1+2=1；
点A3表示的数为—1+2—3=—2；
点A4表示的数为—1+2—3+4=2 ……
点A2008表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008=1004
点A2009表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005
初中数学数轴上的动点问题
数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，先明确以下3个问题：
1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。
2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a ，向左运动b 个单位后表示的数为a —b ；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b。
3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
例1．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为—1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x 。
⑴若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数；
⑵数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点B 一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？
分析：⑴如图，若点P 到点A 、点B 的距离相等，P 为AB 的中点，BP=PA。
依题意，3—x=x—（—1），解得x=1
⑵由AB=4，若存在点P 到点A 、点B 的距离之和为5，P 不可能在线段AB 上，只能在A 点左侧，或B 点右侧。
①P 在点A 左侧，PA=—1—x ，PB=3—x
依题意，（—1—x ）+（3—x ）=5，解得 x=—1.5
②P 在点B 右侧，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3
依题意，（x+1）+（x —3）=5，解得 x=3.5
⑶点P 、点A 、点B 同时向左运动，点B 的运动速度最快，点P 的运动速度最慢。故P 点总位于A 点右侧，B 可能追上并超过A 。P 到A 、B 的距离相等，应分两种情况讨论。
设运动t 分钟，此时P 对应的数为—t ，B 对应的数为3—20t ，A 对应的数为—1—5t 。
①B 未追上A 时，PA=PA，则P 为AB 中点。B 在P 的右侧，A 在P 的左侧。 PA=—t —（—1—5t ）=1+4t，PB=3—20t —（—t ）=3—19t
依题意有，1+4t=3—19t ，解得 t=
②B 追上A 时，A 、B 重合，此时PA=PB。A 、B 表示同一个数。
依题意有，—1—5t=3—20t ，解得 t=
即运动或分钟时，P 到A 、B 的距离相等。
点评：⑶中先找出运动过程中P 、A 、B 在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。
例2．点A1、A2、A3、……An （n 为正整数）都在数轴上，点A1在原点O 的左边，且A1O=1，点A2在点A1的右边，且A2A1=2，点A3在点A2的左边，且A3A2=3，点A4在点A3的右边，且A4A3=4，……，依照上述规律点A2008、A2009所表示的数分别为（ ）。
A ．2008，—2009 B ．—2008，2009 C ．1004，—1005 D ．1004，—1004
分析：如图，
点A1表示的数为—1；
点A2表示的数为—1+2=1；
点A3表示的数为—1+2—3=—2；
点A4表示的数为—1+2—3+4=2 ……
点A2008表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008=1004
点A2009表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005