第２１卷增刊
２００
材料研究学报
Ｖ０１．２１
Ｓｕｐｐｌ．
７年５月
ＣＨＩＮＥＳＥＪＯＵＲＮＡＬＯＦ
ＭＡＴＥＲＩＡＬＳＲＥＳＥＡＲＣＨ
Ｍａｙ
２００７
金属塑性成形过程的韧性断裂准则木
虞松１，２
陈军１
阮雪榆・
１．上海交通大学国家模具ＣＡＤ工程研究中心上海２０００３０２．山东大学土建与水利学院济南２５００６１
摘要
使用４５钢不同形式的试件进行了拉伸、压缩、剪切、扭转等实验，并用金属塑性成形模拟专业软件对实验过程进行数值
模拟，分类对比研究了工程中广泛使用的１１种韧性断裂准则．结果表明，ＮｏｒｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ和Ｂｒｏｚｚｏ断裂准则适用于高应力三轴度成形过程，而Ａｙａｄａ和Ｒｉｃｅ－Ｔｒａｃｙ断裂准则更适用于较低应力三轴度成形过程．
关键词材料科学基础学科，韧性断裂准则，金属塑性成形
分类号０３４６，ＴＧ３０１
文章编号１００５－３０９３（２００７）Ｓｕｐｐｌ．一０２０５—０４
ｏｎ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ
ｔｈｅｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉｏｎｉｎｐｌａｓｔｉｃ
ｄｅｔｏｒｍａｔｌＯｎ
ＹＵＳｏｎｇｌ，２
ＤｒｏｃｅＳＳｅＳ
ＣＨＥＮＪｕｎｌ＋＋ＲＵＡＮＸｕｅｙｕｌ
ｉ．ＮａｔｉｏｎａｌＤｉｅａｎｄＭｏｌｄＣＡＤＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎｔｅｒ，ＳｈａｎｇｈａｉＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｓｈａｎｇｈａｉ９０００３０
２．ＳｃｈｏｏｌｏｙＣＨ优ＺＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，‘，矿ｎａｎ２５００６１
木ＳｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＳｈａｎｇｈａｉＰｏｓｔ－ｄｏｃｔｏｒＲｅｓｅａｒｃｈＦｏｕｎｄａｔｉｏｎ．
ＭａｎｕｓｃｒｉｐｔｒｅｃｅｉｖｅｄＪｕｌｙ１９，２００６；ｉｎｒｅｖｉｓｅｄｆｏｒｍＡｕｇｕｓｔ１５，２００６．
＋木７ｒ０ｗｈｏｍｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓｈｏｕｌｄｂｅａｄｄｒｅｓｓｅｄ，Ｔｅｌ：（０２１）６２８１３４３０－８３１８，Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｕｎ＿ｃｈｅｎ＠ｓｊｔｕ．ｅｄｕ．ａｎ
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
Ｔｅｎｓｉｏｎ，ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ，ｔｏｒｓｉｏｎａｎｄｓｈｅａｒｉｎｇｔｅｓｔｓｏｎ４５舞ｓｔｅｅｌａｒｅｕｔｉｌｉｚｅｄｆｏｒｐｒｏｖｉｄｉｎｇ
ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａＩｖａｌｕｅｓｏｆｔｈｅｃｒｉｔｉｃａＩｖａｌｕｅｓ＂ａｔｆｒａｃｔｕｒｅ．ａｎｄ１１ｕｓｕａｌｌｙｕｓｅｄｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉａａｒｅｓｅｌｅｃｔｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｐｈｙｓｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓａｎｄｔｈｅｉｒｒｅｌａｔｉｖｅａｃｃｕｒａｃＹｆｏｒｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇａｎｄｑｕａｎｔｉｌｙｉｎｇｆｒａｃｔｕｒｅｉｎｉｔｉａｔｉｏｎｓｉｔｅｓｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．ＴｈｅｃｏｍｐａｒｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｍｅｔａｌｆｏｒｍｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｕｎｄｅｒｈｉｇｈｔｒｉａｘｉａｌｉｔｙｃａｎｂｅｅｓｔｉｍａｔｅｄｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅｌｙｕｓｉｎｇｂｏｔｈＮｏｒｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｃｒｏｆｔ－ｌａｔｈａｍａｎｄｔｈｅＢｒｏｚｚｏｄｕｃｔｉｌｅ
ｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉａ．ｂｕｔｔｈｅＡｙａｄａａｎｄｇｅｎｅｒａＩＲｉｃｅ＿．ＴｒａｃｅｙｍｏｄｅｌｓｗｏｒｋＫＥＹ
ｐｒｏｃｅｓｓ
ｖｅｒｙｗｅｌｌｆｏｒｔｈｅＩＯＷｔｒｉａｘｉａｌｉｔｙｃａｓｅｓ．
ＷｏＲＤＳ
ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎａＩｄｉｓｃｉｐｌｉｎｅｉｎｍａｔｅｒｉａｌｓｓｃｉｅｎｃｅ，ｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉａ．ｍｅｔａＩｆｏｒｍｉｎｇ
金属的韧性断裂一般是指金属材料经过剧烈塑值控制的方法，即材料超出所设定的阈值就认为发生
起裂．由于这些准则和断裂阈值与材料性质、成形过程和应力应变状态等诸多复杂因素有关，针对具体实际成形过程正确的选用准则和设定阈值并预测起裂的时间和位置并非易事．
性变形后而发生的宏观断裂（裂纹尺寸约ｏ．１
ｍｍ以
上）现象．在金属的塑性成形过程中，多数工艺过程把韧性断裂标准作为材料成形极限中的重要指标，而
有些工艺过程如冲裁、切削等则利用韧性断裂完成加
工过程．因此，准确预测构件内部和表面韧性破坏发生的时间和位置对于金属塑性成形过程中工艺制定
本文以常用４５钢为材料采用不同形式的试件进
行拉伸、压缩、剪切、扭转等材料实验，对工程中广泛使用的１１个采用宏观物理量表达的韧性断裂准则进行对比研究．
１
和模具设计具有重要的意义．自二十世纪６０年代以来，国内外学者对金属韧性断裂现象从宏观和细观两方面进行了深入系统的研究【１￣４｜，并提出了十余种基
于不同物理量的韧性断裂准则．这些准则大都采用阈
实验方法
１．１材料大变形本构关系实验
＋上海市博士后科研资助计划项目．
２００６年７月１９日收到初稿；２００６年８月１５日收到修改稿本文联系人：陈军，教授
由于热处理等条件的不同，即使同一牌号的金属材料，其力学性能差异很大，为准确确定实验材料在
大变形过程中的应力应变本构关系，首先进行材料的
材料研究学报
２Ｉ卷
拉伸和实心圆轴扭转蛮骑按照旧家标准制作ｊｏ钢试件自：径ｄ¨＝１ｎ㈨ｎ怕：距ｆ１＿－Ｓｄ盯１｝ｍ兀１实验在室温ｒ加载至斌件断裂为止拉仲’ｊ扭转的加毂速度分别为５ｆｉｌｌｎ／ｒａｉｎ和ｊ∥／ｎＬｉｒｌ
材料批仲椰扭转太
变形实验曲线如图Ｉ所示一者的工要塑性括标列ｊ’表ｌ由于拉伸曲线数据中应力计算采朋的是ｉ式件原始尺】＾而赛验中试件的直径逐步减小并冉预缩现象ｆ塑傩失稳Ｊ对ｆ：确定材料在大变形情Ｊ兄Ｆ扣阿关系扭转窭验魏据范围更大、更稳定合理椎据塑【生理论中单一盐线假没■６Ｉ确定该＂料的流动虚力校型为
ｉ：４８０∥’”＋１３０（ＭＰ。。
图１给出了其拟和曲线
表Ｊ
４５锅主妊塑性指标
Ｔａｂｌｅ１
Ｍｅｃｈａｉｌｉｅａｌ
Ｉｉ
ｒ／／ｌｌｔｒｔｉ－ｓ
Ｌ
ＪＩｌｂｅｉｎａｔｃｒｉａｌｔ５
Ｉ
２韧性断裂实验和ＦＥＭ数值模拟
际上述拉伸和扭转实验中将标准试件加载至断
裂外迁进行ｒ１：同切ＩＩＲ＝１０ｉｎｒｎ和Ｒ－５ｍｌｕ最小直径处均为１０１１１１１１的拉伸寅验“及麒面剪切蛮验以进一步研究金属材料在不同应力状态下的断裂情形实验试件为直径８ＮＩＩＩＩ圆棒料这些蛮验都住、ｒｒＳ材料实验机上进行．秉用静态加载＾式ｆ１一．５ｍｍｊ呲１ｆ、ｊ至试件断裂为止以上＿实验过程全部录用塑性成形专业软件ＤＥＦＯＷ、Ｉ进行数值模拟．以获得
謦个戚形过程中的垒部物理培的变化情况其中拉伸
过程模拟采用＿二维情彤ｆＤＥＦＣ）ＲＭ２Ｄ
Ｖ８
Ｉ轴对称Ｊ
进行而扭转和剪切过程采用二维形式（ＤＥＦＯＲＭ３ＤＶ：５…进行模拟所有模型在试件的工作医域和缺口部分进行同格局部细化数值模拟过程全吾；；采用弹塑性＂料模型弹性部分本构关系采用拉伸实验中的线弹性部分塑性音｜；分析料流动模型采用式ｆ｝ｊ进行模拟中的边界条件与变新：物理囊骑一致
２结果与讨论
切口＾＝１０
ｎｌｔ
ｒ！和＾＝‘【ｒｌ珊最小直径处均
为１”ｍｌｎ的拉悼宴验以确定在不同应力三轴鹱（ｎ，／ｉ．％．为平均应力或静水压力ｉ为等散应力ｊ
固１４５钢并蜜应力应藿曲牲
Ｆｉｇｌ
Ｉ｝１ｌ（ｓ
Ｌ｜一ｓｆ
ｒａｌｕ
Ｃ／ｌｌｖ＿Ｒ”４ｊｓｔ¨ｔ、ｌ
圉２
ｊ种拙伸试徉ｆａ）札伸前试佯ｍ】扎断后试样
Ｆｉｇ２
ＴｌＩｒ∞ｔｅ
ＴｌＨｌＩＩ＿ｓｎｆｒ……ｆａｌ
ｈｅ，ｒｅ＂ｎｓｉｏｎ
｜ｆ’）ａｎ
ｅＩ
ｔ・、｝１＾１ｕｎ
下材料的断裂情况ｌ圈２｝
月删１０
对标准馥件自口载至断裂的拉伸ｆ『『扭转实验切口
Ⅲ和斤＝ｓｌｆｌｌｌｌ最小直径处均为１０ｉ１１１ＴＩ的
挣伸实验以及舣面剪切宣验采用塑性成形专业ｊｊ：件ＤＥＦＯＲＭ进行数值稹拟得到的山位移曲线和试件外形Ｋ寸ｆ包括拉伸断裂后的藏而直径驶剪切断金属塑性体积啦形专扯软件ＤＥＦＯＲＭ中提供了１１种肜式的韧性断裂准则ｆ表２１过些准则大都录用虚力变量滑坦性变形路径积分的形式
／，｛ｍＬＨ｝ｃｏｍｌ）ｒｍｅｎｌ
Ｊｄ３
其中，跫关卜备种虚山张±出的杖卤数ｈ为断裂时等效应娈韧性断裂用值ｃ＋一般通过物理实验和数
裂光滑匪和撕裂［；（大ｄ，Ｊ’ｉ物理实验结果基本哟台
增刊虞松等：金属塑性成形过程的韧性断裂准则
２０７
值计算联合确定．本文实验中韧性断裂阈值ｃ通过物理实验和数值模拟对比研究的值如表３所示，为进一步反映阈值Ｃ的变化，采用如下方法：
情况，随着应力三轴度的提高（拉伸１、２、３分别为ｏ．３３，ｏ．６５，０．９５），以上４个断裂标准值均呈下降趋势，说明材料在高应力三轴度状态下空穴增长速度加快，
宏观上表现为更易发生韧窝型断裂；其中Ｍｃ
Ｃｌｉｎ－
Ｍ：三产ａ
佗ｕｉ＝１
ＭＤ＝
ｔｏｃｋ准则是基于韧性断裂空穴理论推导出的宏观物
理量公式，通过横向比较可以发现，该准则预测３种拉伸和剪切实验中表现出很好的稳定性，而对扭转实
验的预测明显偏小．说明ＭｃＣｌｉｎｔｏｃｋ准则对局部发
ＤＦ＝—Ｃｍａｒｘ－Ｇｒｏｉｎ
（３）
生韧性断裂的塑性成形过程具有很好的预测性，但对于整体变形比较均匀的材料则存在较大误差．原因在
于ＭｃＣｆｉｎｔｏｃｋ准则中对韧性断裂部分中圆柱形空穴的形状、尺寸、分布和聚合条件等进行了假设，这些
其中Ｍ为各个韧性断裂准则阈值的平均值，为各个韧性断裂准则阈值样本的变异系数，为各个韧性断裂
准则阈值样本的偏差．拉伸１为标准试件，拉断时断
假设难以与应力三轴度较小（扭转时应力三轴度近似
为０）情形中的韧性断裂中的细观情形符合．Ｂ类有Ｆｒｕｄｅｎｔｈａｌ、Ｒｉｃｅ＆Ｔｒａｃｙ、Ｏｙａｎｅ、Ａｙａｄａ、ＭＡＸ等
口直径平均为８．３ｍｍ，拉伸２为切口Ｒ＝１０ｉｎｌｎ，拉断时断口直径平均为８．３ｉｎｉｎ，拉伸３为切口Ｒ＝５ｍＩｉｌ，其拉断时断口直径平均为８．６ｍｍ；扭转试样在标距内扭转６０００左右时发生断裂；剪切试样为月牙
形光亮带最大处约为１．２
ｍｌｉｌ．
５个，它们的偏差在２０％一５０％．这５种韧性断裂准则是以或作为主项沿应变路径进行积分完成的，其中除Ｆｒｕｄｅｎｔｈａｌ准则外其余断裂准则在３个拉伸实验中均表现出较好的稳定性，说明在较高的应力三轴度
表３中的１１种断裂标准根据其偏差大致可以分为三类：准确（Ａ类）、比较准确（Ｂ类）和不准确（Ｃ类）．Ａ类如Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ
Ｃｏｃｋｃｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ、
情形下，采用万和‰组合方式也可以比较稳定地反
映韧性断裂情况，而在应力三轴度较低的情形下如扭转则出现较大波动，说明这些准则对于较低应力三轴度和较长应变累积情况的韧性断裂预测较差．Ｃ类有ＯＳＡＫ和ＺＨＡＯ，它们的偏差很大，尽管在３个拉
伸实验中偏差较小，但该准则在其他实验中的断裂值
Ｃｏｅｋｃｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ、ＭｃＣＵｎｔｏｃｋ、Ｂｒｏｚｚｏ等４个，
它们的偏差在２０％以内，该４种韧性断裂准则均以
（７１为主项和以－、‰作为修正项进行积分完成，说
明最大主应力是４５钢材料在上述实验种韧性断裂发
生的主要原因之一；同时，比较三种拉伸试样的断裂
波动很大，只适用于特定金属成形过程．
表２
１瞻ｂｌｅ２
Ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ
ＮｏｔｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ
ＤＥＦＯＲＭ软件中的１１种韧性断裂准则
ＦｏｒｍｕｌａｓｏｆｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉａｕｓｅｄｉｎＤＥＦＯＲＭｃｏｄｅ
Ｆｏｒｍｕｌａ
鼬ｍａｒｋｓ
Ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎ
ｔｈｅ
譬等瞧
ＤＥＦＯＲＭＴＭ
Ｃｏｃｋｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ
ＭｃＣ：ｌｉｎｔｏｅ
宁ｉ乖％。ｔｎｈ（垣鍪一事）＋ｉ孚Ｊ以
东’ｅ睾ａＩ
一ｏ．１醒
Ｃ＆Ｌ
ＭＣ
ｉ＝１，２，３；ｊ＝２，３，１；ｎ
ｓｔｒａｉｎ－ｈａｒｄｅｎｉｎｇｅｘｐｏｎｅｎｔ
ＦｒｕｄｅｎｔｈａｌＲｉｃｅ－ＴｒａｃｙＢｒＯＺＺＯ
毋霉运
。
ＦＲＵＤＲＩＴＲＢＲｏＺ
Ａ
ａ＝３／２
ｊ≥上３（石－－Ｌａｍ）援
ｅ，（１十一ａｍ）ｄ善
Ｊｆ０１ｆ霉Ｃｒ蓝－。
ｆｒｏｍｕｎｉａｘｉａｌｔｏ
Ｏｙａｎｅ
０ＹＡＮｔｒｉａｘｉａｌｓｔｒｅｓｓ－ｓｔａｔｅ８：
１／３２／３
ＡｙａｄａＯｓａｋａｄａ
１
峨ＫＤ
ｏＳＡＫ
腓＋～雌锄＝｛老三暑
Ｚｈａｏ＆ＫｕｈｎＺＨＡｏ
Ｍａｘ（Ｅ危Ｓｔｒｅｓｓ／ＵＴＳ）
ＭＡＸ
Ｒａｔｉｏｏｆｓｔｒｅｓｓ
Ｍａｘ
ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ
ａｎｄｕｌｔｉｍａｔｅｓｔｒｅｓｓ
表３
．】阻ｂｌｅ３
Ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ
ＮｏｒｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｃｒｏｆｔ＆ＬａｔｈａｒｎＣｏｃｋｃｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ
４５钢拉伸、扭转和剪切实验中的韧性断裂值
Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｖａｌｕｅｓｏｆｔｈｅｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉｏｎｉｎｔｅｓｔｓ
Ｔｅｎｓｉｏｎｌ０．７４５
Ｔｅｎｓｉｏｎ２
０．６０６４７８
Ｔｅｎｓｉｏｎ３０．５６３４１３１．４９
Ｔｏｒｓｉｏｎ
０．６０２４９１１．０７９３３０．５５６７
Ｓｈｅａｒ０．６
４８９
Ｍ
０．６２３２
ＭＤ１０％１１％１４％４６％
ＤＦ
２９％３４％３８％１２３％
５８０
１．６２
４９０．２１．４５２５５４１．３２０．６２８１．２５０．２７７１７．３３９７
１．５５８
ＭｃＣｌｉｎｔｏｃｋ
ＦｒｕｄｅｎｔｈａｌＲｉｃｅ＆ＴｒａｃｔＢｒｏｚｚｏＯｙａｎｅＡｙａｄａ０ｓａｋａｄａＺｈａｏ＆Ｋｕｈｎ
ＭａｘｆＥｆｔ．Ｓｔｒｅｓｓ／ＵＴＳｌ
１．５３３２７１．４３０．６３６１．４７０．３４５
０．０７５
１．５５７４１
１．７０．６
５１９
１．４２
２５０
１．４９
３０％８６％１０％３４％４９％
２９％９３％１２１％
０．７４５１．５９
０．３３０．０８２
０．５６１０．６
０．４２１
１．３４
０．３３４
１．４３０．３７
８６４８５１．８１
０．００８８１０．４４９０．０００５０９
０．８
０．０６１３
０．０５１２１．８６
１９８％４９５％１９５％２５％
５００％６４％
Ｏ．０３１
１．６
０．０４０５
１．７２
参考文献
１
３结论
２
Ａ．ＶｅｎｕｇｏｐａｌＲａｏ，Ｎ．Ｒａｍａｋｒｉｓｈｎａｎ，Ｒ．ＫｒｉｓｈｎａＫｕｍａｒ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｅｒｉａｌｓＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＹｉｎｇｂｉｎ
Ｂａｏ，Ｔｏｍａｓｚ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１４２，２９（２００３）Ｗｉｅｒｚｂｉｃｋｉ，Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅ
对于４５钢不同尺寸样品的拉伸、剪切和扭转实验结果，１１种韧性断裂准则中没有一种能给出相同的韧性断裂阈值．即任一韧性断裂准则都不可能完全反映任意应力状态下塑性成形过程中起裂的时间和位置．针对高应力三轴度下（＞ｏ．４）的韧窝断裂，Ｎｏｒ－ｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｃｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ和Ｂｒｏｚｚｏ准则可以较好地预测起裂时间和位置；对于较低应力三轴度（＜０．３）
的剪切断裂，Ａｙａｄａ和Ｒｉｃｅ－Ｔｒａｚｙ准则可以较好地反映变形均匀能量累积断裂过程．
３
ＡＳＭＥ，１２６，３１４（２００４）
Ｆａｈｒｅｔｔｉｎｃｅｓｓｉｎｇ４
０ｚｔｕｒｋＤａｅｙｏｎｇＬｅｅ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｅｒｉａｌｓＰｔｏ－
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１４７，３９７（２００４）
Ｃ．Ｄ．Ｂｅａｃｈｅｍ，Ｇ．Ｒ．Ｙｏｄｅｒ，ＭｅｔａｌｌｕｒｇｉｃａｌＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，４，
１１４５（１９７３）
５
Ｑ．Ｙａｎｇ，Ａ．Ｍｏｔａ，Ｍ．Ｏｒｔｉｚ，ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒＮｕ－ｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄ８ｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，６２，１０１３（２００５）
ＱＩＡＯＤｕａｎ，ＱＩＡＮＲｅｎｇｅｎｇ，Ｎｏｎ－ｌｉｎｅｒＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ讯ＰｌａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓｅ（Ｂｅｉｊｉｎｇ，
ＭｅｔａｌｌｕｒｇｉｃａｌＩｎｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ，１９９０）Ｐ．７２
６
（乔端，钱仁根编著，非线性有限元及其在塑性加工中的应用
（北京，冶金工业出版社，１９９０）Ｐ．７２）
第２１卷增刊
２００
材料研究学报
Ｖ０１．２１
Ｓｕｐｐｌ．
７年５月
ＣＨＩＮＥＳＥＪＯＵＲＮＡＬＯＦ
ＭＡＴＥＲＩＡＬＳＲＥＳＥＡＲＣＨ
Ｍａｙ
２００７
金属塑性成形过程的韧性断裂准则木
虞松１，２
陈军１
阮雪榆・
１．上海交通大学国家模具ＣＡＤ工程研究中心上海２０００３０２．山东大学土建与水利学院济南２５００６１
摘要
使用４５钢不同形式的试件进行了拉伸、压缩、剪切、扭转等实验，并用金属塑性成形模拟专业软件对实验过程进行数值
模拟，分类对比研究了工程中广泛使用的１１种韧性断裂准则．结果表明，ＮｏｒｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ和Ｂｒｏｚｚｏ断裂准则适用于高应力三轴度成形过程，而Ａｙａｄａ和Ｒｉｃｅ－Ｔｒａｃｙ断裂准则更适用于较低应力三轴度成形过程．
关键词材料科学基础学科，韧性断裂准则，金属塑性成形
分类号０３４６，ＴＧ３０１
文章编号１００５－３０９３（２００７）Ｓｕｐｐｌ．一０２０５—０４
ｏｎ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ
ｔｈｅｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉｏｎｉｎｐｌａｓｔｉｃ
ｄｅｔｏｒｍａｔｌＯｎ
ＹＵＳｏｎｇｌ，２
ＤｒｏｃｅＳＳｅＳ
ＣＨＥＮＪｕｎｌ＋＋ＲＵＡＮＸｕｅｙｕｌ
ｉ．ＮａｔｉｏｎａｌＤｉｅａｎｄＭｏｌｄＣＡＤＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎｔｅｒ，ＳｈａｎｇｈａｉＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｓｈａｎｇｈａｉ９０００３０
２．ＳｃｈｏｏｌｏｙＣＨ优ＺＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，‘，矿ｎａｎ２５００６１
木ＳｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＳｈａｎｇｈａｉＰｏｓｔ－ｄｏｃｔｏｒＲｅｓｅａｒｃｈＦｏｕｎｄａｔｉｏｎ．
ＭａｎｕｓｃｒｉｐｔｒｅｃｅｉｖｅｄＪｕｌｙ１９，２００６；ｉｎｒｅｖｉｓｅｄｆｏｒｍＡｕｇｕｓｔ１５，２００６．
＋木７ｒ０ｗｈｏｍｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓｈｏｕｌｄｂｅａｄｄｒｅｓｓｅｄ，Ｔｅｌ：（０２１）６２８１３４３０－８３１８，Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｕｎ＿ｃｈｅｎ＠ｓｊｔｕ．ｅｄｕ．ａｎ
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
Ｔｅｎｓｉｏｎ，ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ，ｔｏｒｓｉｏｎａｎｄｓｈｅａｒｉｎｇｔｅｓｔｓｏｎ４５舞ｓｔｅｅｌａｒｅｕｔｉｌｉｚｅｄｆｏｒｐｒｏｖｉｄｉｎｇ
ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａＩｖａｌｕｅｓｏｆｔｈｅｃｒｉｔｉｃａＩｖａｌｕｅｓ＂ａｔｆｒａｃｔｕｒｅ．ａｎｄ１１ｕｓｕａｌｌｙｕｓｅｄｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉａａｒｅｓｅｌｅｃｔｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｐｈｙｓｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓａｎｄｔｈｅｉｒｒｅｌａｔｉｖｅａｃｃｕｒａｃＹｆｏｒｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇａｎｄｑｕａｎｔｉｌｙｉｎｇｆｒａｃｔｕｒｅｉｎｉｔｉａｔｉｏｎｓｉｔｅｓｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．ＴｈｅｃｏｍｐａｒｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｍｅｔａｌｆｏｒｍｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｕｎｄｅｒｈｉｇｈｔｒｉａｘｉａｌｉｔｙｃａｎｂｅｅｓｔｉｍａｔｅｄｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅｌｙｕｓｉｎｇｂｏｔｈＮｏｒｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｃｒｏｆｔ－ｌａｔｈａｍａｎｄｔｈｅＢｒｏｚｚｏｄｕｃｔｉｌｅ
ｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉａ．ｂｕｔｔｈｅＡｙａｄａａｎｄｇｅｎｅｒａＩＲｉｃｅ＿．ＴｒａｃｅｙｍｏｄｅｌｓｗｏｒｋＫＥＹ
ｐｒｏｃｅｓｓ
ｖｅｒｙｗｅｌｌｆｏｒｔｈｅＩＯＷｔｒｉａｘｉａｌｉｔｙｃａｓｅｓ．
ＷｏＲＤＳ
ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎａＩｄｉｓｃｉｐｌｉｎｅｉｎｍａｔｅｒｉａｌｓｓｃｉｅｎｃｅ，ｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉａ．ｍｅｔａＩｆｏｒｍｉｎｇ
金属的韧性断裂一般是指金属材料经过剧烈塑值控制的方法，即材料超出所设定的阈值就认为发生
起裂．由于这些准则和断裂阈值与材料性质、成形过程和应力应变状态等诸多复杂因素有关，针对具体实际成形过程正确的选用准则和设定阈值并预测起裂的时间和位置并非易事．
性变形后而发生的宏观断裂（裂纹尺寸约ｏ．１
ｍｍ以
上）现象．在金属的塑性成形过程中，多数工艺过程把韧性断裂标准作为材料成形极限中的重要指标，而
有些工艺过程如冲裁、切削等则利用韧性断裂完成加
工过程．因此，准确预测构件内部和表面韧性破坏发生的时间和位置对于金属塑性成形过程中工艺制定
本文以常用４５钢为材料采用不同形式的试件进
行拉伸、压缩、剪切、扭转等材料实验，对工程中广泛使用的１１个采用宏观物理量表达的韧性断裂准则进行对比研究．
１
和模具设计具有重要的意义．自二十世纪６０年代以来，国内外学者对金属韧性断裂现象从宏观和细观两方面进行了深入系统的研究【１￣４｜，并提出了十余种基
于不同物理量的韧性断裂准则．这些准则大都采用阈
实验方法
１．１材料大变形本构关系实验
＋上海市博士后科研资助计划项目．
２００６年７月１９日收到初稿；２００６年８月１５日收到修改稿本文联系人：陈军，教授
由于热处理等条件的不同，即使同一牌号的金属材料，其力学性能差异很大，为准确确定实验材料在
大变形过程中的应力应变本构关系，首先进行材料的
材料研究学报
２Ｉ卷
拉伸和实心圆轴扭转蛮骑按照旧家标准制作ｊｏ钢试件自：径ｄ¨＝１ｎ㈨ｎ怕：距ｆ１＿－Ｓｄ盯１｝ｍ兀１实验在室温ｒ加载至斌件断裂为止拉仲’ｊ扭转的加毂速度分别为５ｆｉｌｌｎ／ｒａｉｎ和ｊ∥／ｎＬｉｒｌ
材料批仲椰扭转太
变形实验曲线如图Ｉ所示一者的工要塑性括标列ｊ’表ｌ由于拉伸曲线数据中应力计算采朋的是ｉ式件原始尺】＾而赛验中试件的直径逐步减小并冉预缩现象ｆ塑傩失稳Ｊ对ｆ：确定材料在大变形情Ｊ兄Ｆ扣阿关系扭转窭验魏据范围更大、更稳定合理椎据塑【生理论中单一盐线假没■６Ｉ确定该＂料的流动虚力校型为
ｉ：４８０∥’”＋１３０（ＭＰ。。
图１给出了其拟和曲线
表Ｊ
４５锅主妊塑性指标
Ｔａｂｌｅ１
Ｍｅｃｈａｉｌｉｅａｌ
Ｉｉ
ｒ／／ｌｌｔｒｔｉ－ｓ
Ｌ
ＪＩｌｂｅｉｎａｔｃｒｉａｌｔ５
Ｉ
２韧性断裂实验和ＦＥＭ数值模拟
际上述拉伸和扭转实验中将标准试件加载至断
裂外迁进行ｒ１：同切ＩＩＲ＝１０ｉｎｒｎ和Ｒ－５ｍｌｕ最小直径处均为１０１１１１１１的拉伸寅验“及麒面剪切蛮验以进一步研究金属材料在不同应力状态下的断裂情形实验试件为直径８ＮＩＩＩＩ圆棒料这些蛮验都住、ｒｒＳ材料实验机上进行．秉用静态加载＾式ｆ１一．５ｍｍｊ呲１ｆ、ｊ至试件断裂为止以上＿实验过程全部录用塑性成形专业软件ＤＥＦＯＷ、Ｉ进行数值模拟．以获得
謦个戚形过程中的垒部物理培的变化情况其中拉伸
过程模拟采用＿二维情彤ｆＤＥＦＣ）ＲＭ２Ｄ
Ｖ８
Ｉ轴对称Ｊ
进行而扭转和剪切过程采用二维形式（ＤＥＦＯＲＭ３ＤＶ：５…进行模拟所有模型在试件的工作医域和缺口部分进行同格局部细化数值模拟过程全吾；；采用弹塑性＂料模型弹性部分本构关系采用拉伸实验中的线弹性部分塑性音｜；分析料流动模型采用式ｆ｝ｊ进行模拟中的边界条件与变新：物理囊骑一致
２结果与讨论
切口＾＝１０
ｎｌｔ
ｒ！和＾＝‘【ｒｌ珊最小直径处均
为１”ｍｌｎ的拉悼宴验以确定在不同应力三轴鹱（ｎ，／ｉ．％．为平均应力或静水压力ｉ为等散应力ｊ
固１４５钢并蜜应力应藿曲牲
Ｆｉｇｌ
Ｉ｝１ｌ（ｓ
Ｌ｜一ｓｆ
ｒａｌｕ
Ｃ／ｌｌｖ＿Ｒ”４ｊｓｔ¨ｔ、ｌ
圉２
ｊ种拙伸试徉ｆａ）札伸前试佯ｍ】扎断后试样
Ｆｉｇ２
ＴｌＩｒ∞ｔｅ
ＴｌＨｌＩＩ＿ｓｎｆｒ……ｆａｌ
ｈｅ，ｒｅ＂ｎｓｉｏｎ
｜ｆ’）ａｎ
ｅＩ
ｔ・、｝１＾１ｕｎ
下材料的断裂情况ｌ圈２｝
月删１０
对标准馥件自口载至断裂的拉伸ｆ『『扭转实验切口
Ⅲ和斤＝ｓｌｆｌｌｌｌ最小直径处均为１０ｉ１１１ＴＩ的
挣伸实验以及舣面剪切宣验采用塑性成形专业ｊｊ：件ＤＥＦＯＲＭ进行数值稹拟得到的山位移曲线和试件外形Ｋ寸ｆ包括拉伸断裂后的藏而直径驶剪切断金属塑性体积啦形专扯软件ＤＥＦＯＲＭ中提供了１１种肜式的韧性断裂准则ｆ表２１过些准则大都录用虚力变量滑坦性变形路径积分的形式
／，｛ｍＬＨ｝ｃｏｍｌ）ｒｍｅｎｌ
Ｊｄ３
其中，跫关卜备种虚山张±出的杖卤数ｈ为断裂时等效应娈韧性断裂用值ｃ＋一般通过物理实验和数
裂光滑匪和撕裂［；（大ｄ，Ｊ’ｉ物理实验结果基本哟台
增刊虞松等：金属塑性成形过程的韧性断裂准则
２０７
值计算联合确定．本文实验中韧性断裂阈值ｃ通过物理实验和数值模拟对比研究的值如表３所示，为进一步反映阈值Ｃ的变化，采用如下方法：
情况，随着应力三轴度的提高（拉伸１、２、３分别为ｏ．３３，ｏ．６５，０．９５），以上４个断裂标准值均呈下降趋势，说明材料在高应力三轴度状态下空穴增长速度加快，
宏观上表现为更易发生韧窝型断裂；其中Ｍｃ
Ｃｌｉｎ－
Ｍ：三产ａ
佗ｕｉ＝１
ＭＤ＝
ｔｏｃｋ准则是基于韧性断裂空穴理论推导出的宏观物
理量公式，通过横向比较可以发现，该准则预测３种拉伸和剪切实验中表现出很好的稳定性，而对扭转实
验的预测明显偏小．说明ＭｃＣｌｉｎｔｏｃｋ准则对局部发
ＤＦ＝—Ｃｍａｒｘ－Ｇｒｏｉｎ
（３）
生韧性断裂的塑性成形过程具有很好的预测性，但对于整体变形比较均匀的材料则存在较大误差．原因在
于ＭｃＣｆｉｎｔｏｃｋ准则中对韧性断裂部分中圆柱形空穴的形状、尺寸、分布和聚合条件等进行了假设，这些
其中Ｍ为各个韧性断裂准则阈值的平均值，为各个韧性断裂准则阈值样本的变异系数，为各个韧性断裂
准则阈值样本的偏差．拉伸１为标准试件，拉断时断
假设难以与应力三轴度较小（扭转时应力三轴度近似
为０）情形中的韧性断裂中的细观情形符合．Ｂ类有Ｆｒｕｄｅｎｔｈａｌ、Ｒｉｃｅ＆Ｔｒａｃｙ、Ｏｙａｎｅ、Ａｙａｄａ、ＭＡＸ等
口直径平均为８．３ｍｍ，拉伸２为切口Ｒ＝１０ｉｎｌｎ，拉断时断口直径平均为８．３ｉｎｉｎ，拉伸３为切口Ｒ＝５ｍＩｉｌ，其拉断时断口直径平均为８．６ｍｍ；扭转试样在标距内扭转６０００左右时发生断裂；剪切试样为月牙
形光亮带最大处约为１．２
ｍｌｉｌ．
５个，它们的偏差在２０％一５０％．这５种韧性断裂准则是以或作为主项沿应变路径进行积分完成的，其中除Ｆｒｕｄｅｎｔｈａｌ准则外其余断裂准则在３个拉伸实验中均表现出较好的稳定性，说明在较高的应力三轴度
表３中的１１种断裂标准根据其偏差大致可以分为三类：准确（Ａ类）、比较准确（Ｂ类）和不准确（Ｃ类）．Ａ类如Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ
Ｃｏｃｋｃｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ、
情形下，采用万和‰组合方式也可以比较稳定地反
映韧性断裂情况，而在应力三轴度较低的情形下如扭转则出现较大波动，说明这些准则对于较低应力三轴度和较长应变累积情况的韧性断裂预测较差．Ｃ类有ＯＳＡＫ和ＺＨＡＯ，它们的偏差很大，尽管在３个拉
伸实验中偏差较小，但该准则在其他实验中的断裂值
Ｃｏｅｋｃｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ、ＭｃＣＵｎｔｏｃｋ、Ｂｒｏｚｚｏ等４个，
它们的偏差在２０％以内，该４种韧性断裂准则均以
（７１为主项和以－、‰作为修正项进行积分完成，说
明最大主应力是４５钢材料在上述实验种韧性断裂发
生的主要原因之一；同时，比较三种拉伸试样的断裂
波动很大，只适用于特定金属成形过程．
表２
１瞻ｂｌｅ２
Ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ
ＮｏｔｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ
ＤＥＦＯＲＭ软件中的１１种韧性断裂准则
ＦｏｒｍｕｌａｓｏｆｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉａｕｓｅｄｉｎＤＥＦＯＲＭｃｏｄｅ
Ｆｏｒｍｕｌａ
鼬ｍａｒｋｓ
Ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎ
ｔｈｅ
譬等瞧
ＤＥＦＯＲＭＴＭ
Ｃｏｃｋｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ
ＭｃＣ：ｌｉｎｔｏｅ
宁ｉ乖％。ｔｎｈ（垣鍪一事）＋ｉ孚Ｊ以
东’ｅ睾ａＩ
一ｏ．１醒
Ｃ＆Ｌ
ＭＣ
ｉ＝１，２，３；ｊ＝２，３，１；ｎ
ｓｔｒａｉｎ－ｈａｒｄｅｎｉｎｇｅｘｐｏｎｅｎｔ
ＦｒｕｄｅｎｔｈａｌＲｉｃｅ－ＴｒａｃｙＢｒＯＺＺＯ
毋霉运
。
ＦＲＵＤＲＩＴＲＢＲｏＺ
Ａ
ａ＝３／２
ｊ≥上３（石－－Ｌａｍ）援
ｅ，（１十一ａｍ）ｄ善
Ｊｆ０１ｆ霉Ｃｒ蓝－。
ｆｒｏｍｕｎｉａｘｉａｌｔｏ
Ｏｙａｎｅ
０ＹＡＮｔｒｉａｘｉａｌｓｔｒｅｓｓ－ｓｔａｔｅ８：
１／３２／３
ＡｙａｄａＯｓａｋａｄａ
１
峨ＫＤ
ｏＳＡＫ
腓＋～雌锄＝｛老三暑
Ｚｈａｏ＆ＫｕｈｎＺＨＡｏ
Ｍａｘ（Ｅ危Ｓｔｒｅｓｓ／ＵＴＳ）
ＭＡＸ
Ｒａｔｉｏｏｆｓｔｒｅｓｓ
Ｍａｘ
ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ
ａｎｄｕｌｔｉｍａｔｅｓｔｒｅｓｓ
表３
．】阻ｂｌｅ３
Ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ
ＮｏｒｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｃｒｏｆｔ＆ＬａｔｈａｒｎＣｏｃｋｃｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ
４５钢拉伸、扭转和剪切实验中的韧性断裂值
Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｖａｌｕｅｓｏｆｔｈｅｄｕｃｔｉｌｅｆｒａｃｔｕｒｅｃｒｉｔｅｒｉｏｎｉｎｔｅｓｔｓ
Ｔｅｎｓｉｏｎｌ０．７４５
Ｔｅｎｓｉｏｎ２
０．６０６４７８
Ｔｅｎｓｉｏｎ３０．５６３４１３１．４９
Ｔｏｒｓｉｏｎ
０．６０２４９１１．０７９３３０．５５６７
Ｓｈｅａｒ０．６
４８９
Ｍ
０．６２３２
ＭＤ１０％１１％１４％４６％
ＤＦ
２９％３４％３８％１２３％
５８０
１．６２
４９０．２１．４５２５５４１．３２０．６２８１．２５０．２７７１７．３３９７
１．５５８
ＭｃＣｌｉｎｔｏｃｋ
ＦｒｕｄｅｎｔｈａｌＲｉｃｅ＆ＴｒａｃｔＢｒｏｚｚｏＯｙａｎｅＡｙａｄａ０ｓａｋａｄａＺｈａｏ＆Ｋｕｈｎ
ＭａｘｆＥｆｔ．Ｓｔｒｅｓｓ／ＵＴＳｌ
１．５３３２７１．４３０．６３６１．４７０．３４５
０．０７５
１．５５７４１
１．７０．６
５１９
１．４２
２５０
１．４９
３０％８６％１０％３４％４９％
２９％９３％１２１％
０．７４５１．５９
０．３３０．０８２
０．５６１０．６
０．４２１
１．３４
０．３３４
１．４３０．３７
８６４８５１．８１
０．００８８１０．４４９０．０００５０９
０．８
０．０６１３
０．０５１２１．８６
１９８％４９５％１９５％２５％
５００％６４％
Ｏ．０３１
１．６
０．０４０５
１．７２
参考文献
１
３结论
２
Ａ．ＶｅｎｕｇｏｐａｌＲａｏ，Ｎ．Ｒａｍａｋｒｉｓｈｎａｎ，Ｒ．ＫｒｉｓｈｎａＫｕｍａｒ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｅｒｉａｌｓＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＹｉｎｇｂｉｎ
Ｂａｏ，Ｔｏｍａｓｚ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１４２，２９（２００３）Ｗｉｅｒｚｂｉｃｋｉ，Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅ
对于４５钢不同尺寸样品的拉伸、剪切和扭转实验结果，１１种韧性断裂准则中没有一种能给出相同的韧性断裂阈值．即任一韧性断裂准则都不可能完全反映任意应力状态下塑性成形过程中起裂的时间和位置．针对高应力三轴度下（＞ｏ．４）的韧窝断裂，Ｎｏｒ－ｍａｌｉｚｅｄＣｏｃｋｃｒｏｆｔ＆Ｌａｔｈａｍ和Ｂｒｏｚｚｏ准则可以较好地预测起裂时间和位置；对于较低应力三轴度（＜０．３）
的剪切断裂，Ａｙａｄａ和Ｒｉｃｅ－Ｔｒａｚｙ准则可以较好地反映变形均匀能量累积断裂过程．
３
ＡＳＭＥ，１２６，３１４（２００４）
Ｆａｈｒｅｔｔｉｎｃｅｓｓｉｎｇ４
０ｚｔｕｒｋＤａｅｙｏｎｇＬｅｅ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｅｒｉａｌｓＰｔｏ－
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１４７，３９７（２００４）
Ｃ．Ｄ．Ｂｅａｃｈｅｍ，Ｇ．Ｒ．Ｙｏｄｅｒ，ＭｅｔａｌｌｕｒｇｉｃａｌＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，４，
１１４５（１９７３）
５
Ｑ．Ｙａｎｇ，Ａ．Ｍｏｔａ，Ｍ．Ｏｒｔｉｚ，ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒＮｕ－ｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄ８ｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，６２，１０１３（２００５）
ＱＩＡＯＤｕａｎ，ＱＩＡＮＲｅｎｇｅｎｇ，Ｎｏｎ－ｌｉｎｅｒＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ讯ＰｌａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓｅ（Ｂｅｉｊｉｎｇ，
ＭｅｔａｌｌｕｒｇｉｃａｌＩｎｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ，１９９０）Ｐ．７２
６
（乔端，钱仁根编著，非线性有限元及其在塑性加工中的应用
（北京，冶金工业出版社，１９９０）Ｐ．７２）