2015年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁
2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线
6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
7
．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售
10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是
11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO
为α，则树OA 的高度为（ ）
12．（3分）（
2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是 ． 14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π）．
15．（3分）（2015•长沙）把根号）．
16．（3分）（2015•长沙）分式方程=
的解是x=．
+
进行化简，得到的最简结果是 （结果保留
17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，是 ．
，DE=6，则BC 的长
18．（3分）（2015•长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为．
三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）（2015•长沙）计算：（）+4cos60°﹣|﹣
3|+
﹣1
．
20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x ﹣y ）﹣x （x+y）+2xy，其中x=（3﹣
π），y=2． 21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图
（1）a= ，b= ； （2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l ，直线l 与AD 、BC 两边分别相交于点E 和点F ． （1）求证：△AOE ≌△COF ；
（2）当α=30°时，求线段EF 的长度．
23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O （0，0），点A （与点B （0，﹣
），点D 在劣弧
，0）
上，连接BD 交x 轴于点C ，且∠COD=∠CBO ．
（1）求⊙M 的半径；
（2）求证：BD 平分∠ABO ；
（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰好为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．
25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
（1）求函数
y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y=（k ≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；
2222
（3）若二次函数y=（k ﹣3k+2）x +（2k ﹣4k+1）x+k﹣k （k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
26．（10分）（2015•长沙）若关于x 的二次函数y=ax+bx+c（a ＞0，c ＞0，a ，b ，c 是常数）与x 轴交于两个不同的点A （x 1，0），B （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），与y 轴交于点P ，其图象顶点为点M ，点O 为坐标原点．
（1）当x 1=c=2，a=时，求x 2与b 的值；
（2）当x 1=2c时，试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当x 1=mc（m ＞0）时，记△MAB ，△PAB 的面积分别为S 1，S 2，若△BPO ∽△PAO ，且S 1=S2，求m 的值．
2
2015年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁
2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线
6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售
10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是
11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ ）
12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1
个球，则摸出白球的概率是 ．
14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为
（结果保留π）．
15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是
． 16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x=．
17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，，DE=6，则BC 的长是．
18．（3分）（2015•长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD
⊥BC 于点D ，则OD 的长为 4 ．
三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）（2015•长沙）计算：（）+4cos60°﹣|﹣
3|+﹣1．
20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x ﹣y ）﹣x （x+y）+2xy，其中x=（3﹣
0π），y=2．
21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图
（1）a= 60 ，b= 0.15 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 80≤x ＜90 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l ，直线l 与AD 、BC 两边分别相交于点E 和点F ．
（1）求证：△AOE ≌△COF ；
（2）当α=30°时，求线段EF 的长度．
23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O （0，0），点A （，0）与点B （0，﹣），点D 在劣弧上，连接BD 交x 轴于点C ，且∠COD=∠CBO ．
（1）求⊙M 的半径；
（2）求证：BD 平分∠ABO ；
（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰好为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．
25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y=（k ≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；
2222（3）若二次函数y=（k ﹣3k+2）x +（2k ﹣4k+1）x+k﹣k （k 为常数）的图象与x 轴相交
得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
26．（10分）（2015•长沙）若关于x 的二次函数y=ax+bx+c（a ＞0，c ＞0，a ，b ，c 是常数）与x 轴交于两个不同的点A （x 1，0），B （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），与y 轴交于点P ，其图象顶点为点M ，点O 为坐标原点．
（1）当x 1=c=2，a=时，求x 2与b 的值；
（2）当x 1=2c时，试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当x 1=mc（m ＞0）时，记△MAB ，△PAB 的面积分别为S 1，S 2，若△BPO ∽△PAO ，且S 1=S2，求m 的值．
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2015年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁
2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线
6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
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．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售
10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是
11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO
为α，则树OA 的高度为（ ）
12．（3分）（
2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是 ． 14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π）．
15．（3分）（2015•长沙）把根号）．
16．（3分）（2015•长沙）分式方程=
的解是x=．
+
进行化简，得到的最简结果是 （结果保留
17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，是 ．
，DE=6，则BC 的长
18．（3分）（2015•长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为．
三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）（2015•长沙）计算：（）+4cos60°﹣|﹣
3|+
﹣1
．
20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x ﹣y ）﹣x （x+y）+2xy，其中x=（3﹣
π），y=2． 21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图
（1）a= ，b= ； （2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l ，直线l 与AD 、BC 两边分别相交于点E 和点F ． （1）求证：△AOE ≌△COF ；
（2）当α=30°时，求线段EF 的长度．
23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O （0，0），点A （与点B （0，﹣
），点D 在劣弧
，0）
上，连接BD 交x 轴于点C ，且∠COD=∠CBO ．
（1）求⊙M 的半径；
（2）求证：BD 平分∠ABO ；
（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰好为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．
25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
（1）求函数
y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y=（k ≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；
2222
（3）若二次函数y=（k ﹣3k+2）x +（2k ﹣4k+1）x+k﹣k （k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
26．（10分）（2015•长沙）若关于x 的二次函数y=ax+bx+c（a ＞0，c ＞0，a ，b ，c 是常数）与x 轴交于两个不同的点A （x 1，0），B （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），与y 轴交于点P ，其图象顶点为点M ，点O 为坐标原点．
（1）当x 1=c=2，a=时，求x 2与b 的值；
（2）当x 1=2c时，试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当x 1=mc（m ＞0）时，记△MAB ，△PAB 的面积分别为S 1，S 2，若△BPO ∽△PAO ，且S 1=S2，求m 的值．
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2015年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁
2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线
6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售
10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是
11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ ）
12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1
个球，则摸出白球的概率是 ．
14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为
（结果保留π）．
15．（3分）（2015•长沙）把+进行化简，得到的最简结果是
． 16．（3分）（2015•长沙）分式方程=的解是x=．
17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，，DE=6，则BC 的长是．
18．（3分）（2015•长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD
⊥BC 于点D ，则OD 的长为 4 ．
三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，满分66分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）（2015•长沙）计算：（）+4cos60°﹣|﹣
3|+﹣1．
20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x ﹣y ）﹣x （x+y）+2xy，其中x=（3﹣
0π），y=2．
21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图
（1）a= 60 ，b= 0.15 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 80≤x ＜90 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l ，直线l 与AD 、BC 两边分别相交于点E 和点F ．
（1）求证：△AOE ≌△COF ；
（2）当α=30°时，求线段EF 的长度．
23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O （0，0），点A （，0）与点B （0，﹣），点D 在劣弧上，连接BD 交x 轴于点C ，且∠COD=∠CBO ．
（1）求⊙M 的半径；
（2）求证：BD 平分∠ABO ；
（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰好为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．
25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
（1）求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y=（k ≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；
2222（3）若二次函数y=（k ﹣3k+2）x +（2k ﹣4k+1）x+k﹣k （k 为常数）的图象与x 轴相交
得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
26．（10分）（2015•长沙）若关于x 的二次函数y=ax+bx+c（a ＞0，c ＞0，a ，b ，c 是常数）与x 轴交于两个不同的点A （x 1，0），B （x 2，0）（0＜x 1＜x 2），与y 轴交于点P ，其图象顶点为点M ，点O 为坐标原点．
（1）当x 1=c=2，a=时，求x 2与b 的值；
（2）当x 1=2c时，试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当x 1=mc（m ＞0）时，记△MAB ，△PAB 的面积分别为S 1，S 2，若△BPO ∽△PAO ，且S 1=S2，求m 的值．
2