§12 信.号概的念
•号的概念信• 信号分类 的典型•确定性信介号
绍
理物与电电气工子程院
第学
一
信．的号念概
2 页
•信号是着随时间变化某的 种理量物 。•信可以号表示为一时个间 的数函。
二第信．的号类分•信号
分的方类法多，可以从不同很的角对度信号 进分类行 。按实•际用划分： 电视信号 雷途达信 号控信号 制通信信号 广播号信 …… •按所有具时间的特性划
3 分
页第
1确．信定号随和机信号
•定信号 对确指于的定一某时t刻可 ，确定一应相函数值的(tf) 。若不干连续点外。除•随 信号
机有未可预具的知确定不性
。4页
•伪随机信 号似貌随而遵机循严规格律 产生的号（伪信随码）机。
第
．2连续号信和散离信号连
续间时号：信信存在的号 时范间围内，意任刻时都定有义 （即可以给出确定都的数函 值，以可有有限间断个点）。用 表示t连续间变量时 。散离间信时：号在时上间是 离的散只，某些不在续连的定规瞬时 给出函值数，其他时没间有 义定 用n。表离示时间散变量。
f(t
)5 页
O f(
)
n
Ot1
2n
模第信拟，号抽信样号数，信号
字•拟模号：时间和信值幅为连均 抽 续的号信。
f样(t )
6 页
•样抽号：信间时散离，幅值的 量连续的 信号。 化• 数字号：信时和间幅值为均散离的信 号。
O
t
f (n )
O
n f
n()
要讨主确定论信号性。 O 连先续后，散离；先期周后非，期周
。
n
第
判
断号性质
判信断下波形列是续连时 f t( )间号还是离信散时间 号信若是离散时，信间 号 O是为数字否号？信连续 号信
7 页
t
(ft )
散离信号
O
1 324 5 6 7 8f
( )
t
t(
有1，只，) 值23
2 3 1
O
散信离号 字信号
数t
1 2 3 4 5 768
第．3周信号和期周期信号非⎧
正 弦期信周号简谐（信号） ⎧ 期周信号 ⎨⎩ 杂周复信号（除简谐期信外的周号期 号）信⎪ ⎪ 例 s如ni t +sn π t ⎨ ⎪ ⎧准i期周( 率之频比为无值数 ) 理非周期信⎪ 号 ⎨⎩⎩ 态 瞬(脉冲 , 衰函减数 )
8
瞬页态号：除信准期周号信外 的一可切以用时函间数描述的 非期信周。
第号
．能量信号和功4率信号
能量信号信：号能量为非零 有总限。值 点：能特量限有平均功率为零 W (t
,1 2t )= f∫ 2(t )td
t 21
t
9
页
W =li m∫f 2 t (dt)T
→ ∞T
−T
功率信号：信
号均平率功为非 (P t,t ) = 1t 2f( t)dt 1 2t 2 −t 1∫ t零有的值限 特点。能量：穷无 大1 T P =2l im f t )d( 平均t功非零率T →∞ 2T −∫T
2
1
第
．一维5信号和多信维号一维信 号 ：只由一个自变描量的述信，号 语如音号。 信维信多： 号多个由变量自描述的信，如号图像 号。
信
0 页
1第
三．几种典型确定性
信号1.指数
号 信号信的示 函表表达数式f (t) 2. 正弦信号 形波3. 指数信号(复达表有具遍意义普 ).3抽 样信号(Samlpni Siggna)l 5钟.形冲脉数(高函斯函数
)11
页
第
1指数信．号f
t( ) K =eαt
1
2页
α 0 直=(流数),常 α 指数长
增单指数边信号⎧0 ⎪
(ft) = ⎨− t ⎪ τe⎩ 1
α0
f (t
)
>0 α =α0t
K
O
t
0
f( t )1
O
t
通
常 α把 为指称信数号的间时数常，记τ,作代表 信衰号减度速，有时间具的纲。量 重要性：特其对间的时分和微分积仍是指然数式。形
第
．正弦信2号
( f t)= K sni(ω t + θ)f (
t K)
π
23 页
T1
ω振幅：K π 2 =1 周：期T ω f= 率：f 角频频：率ω= 2π 初相： θf
Oθ
ω
π2
ω
衰减t弦正信号：
⎧ Ke −t sin(αt ω)f ( t ) ⎨ =⎩ 0t0 ≥t0
0
α第
欧拉
Eu(er)l式
1公 jω − jttω si(ωnt =)e e− j
1 2jt ωocs(t ω )= +e e −j ωt2
1
4 页
(
)
(
)
e ωjt = co(ωt s ) +j sinωt(
)
第
欧
拉公
复式平上的面个单位圆上的点，一实轴夹与为θ时，角此点可表示 为coθs j+ sni
j Im 1
1θ5页
欧拉
公
式sniθ
−
1
{
e
j
θ
eθ j cos θ=+ j si nθ e jθ = 1 1eR∠e j θ= θ
θ {
oscθ−
1e
是自对数的然，底式称为欧拉此(Elur)e式公e可。以用 计方算法定义为n
⎞ ⎛1e lim=⎜ +1 ⎟= 2.1788 2 Ln∞ n⎠→⎝
3．复第数信号
f 指( t = )eKs
t
6 1
页(− ∞
=Keσt co (ω t )s+ j eσK t in(ω st)
s = σ+ j ω
为复数
称为，频复
率 σ, ω为实常均数
的σ量为纲 /1sω ，的纲为量ra /s d论讨⎧σ
= 0 ω, 0=直流 ⎨⎪ σ> 0,ω = 0升数指号 信⎪ σ
⎧⎩ = 0σ ω ≠,0 等⎫ ⎪幅⎪ ⎨σ> ,0ω ≠ 0 增 幅振荡⎬ σ⎪ 0,
第
4．抽信号(样Saplmin giSngla
)sin Sta t () =
1 ta(tS)
17
页
2π
性质
①S(−a t) =Sa( )t偶函数 ，② =t0 Sa(, t) =1 ，即lim a( t )S= 1 →0t③
−
π
O
t
π
3
πS(at ) =, 0 = t n±π，n= 1, 2,3L ∞ sn i t ∞is tnπ dt = ,∫ td = ④π 0 −∞ ∫t 2 t⑤ l im S(a t) =
⑥0s nc(i t )= sin π t( )(π t )
t → ∞±
第
5钟形．冲脉函(高斯函数)
f 数(t )=E e
E0
78.E ⎛
t⎞−⎜ ⎟ ⎝τ
⎠
218 页
f
( t)
Ee
τOτ
2
t
在
随信号机析中分有占要重地。位
第
．6位单斜变号
信1 定．义⎧
0 ( tR) = ⎨ t⎩
t
1O 9页
R(t )1
1 t
2．
有延迟单位的变信号
斜⎧ 0( t R−t 0) = ⎩t⎨ −t 0
R
( −tt 0 )
1O
由宗量
tt0=-0可知 起点始 t 0 为．三角3脉冲
⎧K ⎪ 形(R )t (ft) = ⎨τ ⎪ ⎩0
0
tf(t )
t0
+ 1t
0 ≤t τ
≤K
O
其它
τ
t
第
7．
单位阶跃信号
1. 义定⎧
0u( t ) ⎨=⎩1
⎧ 0u( t t−0 =)⎨ ⎩1
(u t)
2
页0
t
>t0
1 0点无
定或义
21
O
t
.2 有迟的延位单阶跃
信号
t 0 >t 0
t
1O
u
( t −t0 )
−t
O 宗由 量( t±t 0 ) = 0知 t可 = tm 0 即, 时为间 m t0 时函数有，断，跳变点点 量宗0 >数值为函1宗量
0
⎧0
( tu+ 0 )t = ⎩1⎨
t
t0> − 0t
1t0 u
(t + t0 )
t
t
第
单用阶跃位信号描其述他信
门函号数：称也函窗
⎛ 数τ⎞⎛ ⎞ τf ( ) = tu⎜t + − ⎟⎜ut − ⎟⎠ ⎝22⎠ ⎝
1 (t )fG τ t ()t
21 页
其
函数他要只门用函处数理(乘 以函数门，就)只剩下内的门分。部符号函 数：(iSngum)
1 s⎧gn( ) t ⎨= −1⎩ >t0
−
τ
O
2
τ
2
gs(tn
)O
t
1
s n( tg ) = u−(− t)+ ( ut) = 2( ut) − 1(u t )= [gns t ( + )]12
第
8．
单冲激（难点位
）概念引 出义定 1定义2冲 激函数的性质
22
第
页定义
：狄拉克(1Diar)函c
⎧ 数∞+ δ t )(d t = 1⎪∫⎨ −∞ ⎪ ( δ t)= 0 ( t ≠0 ) ⎩
32页
∫
+
∞−
∞
δ(t ) d = t∫ (δ t d )t
0−
+
0数值函只t在= 0不时零； 为积分积为1面
δ；t =0 时 (t，) → ，∞为无界数函。
第
定
2
义1
2 4
页p
( )
t⎡1 τ ⎛ ⎞⎛ τ ⎞⎤ p (t )= u⎢ t⎜ +⎟− u ⎜ t−⎟ ⎥ τ ⎣ ⎝2⎠ ⎝2 ⎠⎦
τ →τ0
−
2
τO
τ
2
t面积
1 ；脉↓宽 脉；高冲度↑ 则窄；冲脉集中 于=t0 。处 面积为★ 1三个特：点 宽★度0为
⎧穷无★ 幅 ⎨ 度⎩ t=00 t0
≠
第
述
描1 ⎡ ⎛ τ ⎛ τ ⎞⎤⎞ (δ ) t=l i pm t ( =) il m u⎜⎢ +t −⎟ ⎜ ut ⎟− τ⎥ → 0τ → τ02 ⎠ ⎝2 ⎠⎦ ⎣
δ ⎝( )
∞
t
52 页
δ
(t − t0 )
时
移冲的函激
数()
1
∞
t
()1
o
ot
0
t
若面
为k积则，度强k为 。三角脉冲、双形边数脉指、钟形冲冲脉抽、函数样取 τ→极0，限可都认以为冲激是数。函
第
冲激
数的函性质为
了号分析信的需，要人构们造了δ (t) 函数 它，于广 义属函数就时。间 t而 ， δ (言t ) 可以当时作连域续信处号 理，因为符它时合域连续信号运算的某规则些。由于但 δ(t ) 是一广义个函数它有，些一特殊性质。的
2
6页
1
．样性抽 2．偶奇 性3冲激． 4偶．度标换
变
第
1.
抽性样(筛选)
性
2 7页
如
f果t()t在 0=连处，且续处处有界则，
δ (有t ) f ( )t =f (0 δ )(t )
f (t)
∫∞
∞
− δ (t) f ( t ) dt= f (0
)f ( )
0∞
o
t
证明：
分t = 0 和t 0 ≠论讨t ≠ 0δ t() =0, f t (δ () t) = 0(注意：仅当 t ≠ 0 时 )积 结果分为0
第
冲
激数函样抽性证明质t
= 0δ(t ) ≠0 , f ( )t (δt) = (0)f (tδ )
+ 0+
0
2 页
8积
分
为∫
0
− f(0δ () )ttd =f ( )∫ δ0( )tt = df 0()0−
即
∫
∞
∞
−
( δ t ) f t()d t =f ()0
(注：仅当意 t 0= 时)
对于移
位况：情
δ (t ) ( f − tt 0) = (ft 0 δ) ( t)
∞
∫
−
∞
δ
( t−t ) f (0t d)t = f(0t )
第.2奇 偶性δ t( )= δ ( − t
)
29页
•
由义1，定矩脉冲形本身是函数偶故，极也限偶是函数。 由•抽性样明奇偶证。 证性明偶性时，奇要主察此函数的考作，即和其他函用 共数同用的作果结。
∫
∫
+
∞
∞−
δ( t ) f ( t) d t = f( 0)δ −( t) f (t) d t= t =
−τ
∞
−+
∞
∫−
+∞ +∞
∞δ
(τ ) (f− )τ ( −dτ)
= ∫ δτ ) (f −(τ ) d τ = f( )0−∞
又
为 因 (δt )只在t =有值 ，故δ0 t() = δ − t()
第
.3激偶冲s(
t) 1
30
δ页 t )
(∞(1)
τ
1
τ−τ
− τo
τs′t()
1
τ
tO
t
→0τ
′δt (
τ2
1
τ2
)−τ− O 1τ − 2 −1
τ
t
O
tτ
τ2
第
冲激偶的性质
①
31页
∫
∞−
∞
′( δt) ( t ) f t = d−f ′ (0)
利用分部
积分算
∫
+∞
−运∞
δ
′ ( t) f t )dt
( ∞∞ = f (t ) (δt ) − ∫f′ ( t)δ t()dt −∞ ∞ = −−f ′( 0
δ)( k )( t ) f( ) td t= (− 1 f)( k ) (0 对) (δt 的k阶导)： ∫
数k
∞
时
移则，
：−∞
∞
−∫∞
δ′ t − (t 0 )f t ( )dt −= ′ ( ft 0 )
第激偶冲性质
的
2 页
3
∫②
∞−∞
δ
( t′ )d t = 0,
∫
t
∞
− δ′( t d )t = δt )
(
③δ (′ − t =)− δ (′t ,)δ (′t 0 − t ) = − ′(δ −t 0t 所)δ以 ′t (是奇函)数④ f ( )t ′δ(t ) f (=0 ) δ′ (t )− f ′ 0)( (t δ )
，与 f (（ t)δ ( t ) = f(0 )δ(t )不 同）
第
.4 对δ()的t标度变换从
δ( t)定 义看：
(tp )
1
δa( ) =t
δ1(t ) a
p(a)t1
33 页
τ
−
τ
τ
t2
τ
O2
τ
−
τ2
a
Oτ
a
τ
2a
t
p
(t面积)为1，(t )度强1 为δ
11p at)面(积 为a ，δ( a )强t为度 a1 τ →时,0 p(t ) →δ (t , )(pat) →δ ( t )
a
1例2-1
-
∫
∞−∞
δ(t5 ) f( t) td ?
=
1-例-22 已信号知 f5(− t 2)的波， 请形出画 ( t f的波形)。f
( − 25 t = )δ2 (t − 3) f ( 5 − 2t ) → f ( −5t )
1
f( ) 50
f(52t)
-2() O1 2 t3
f
(-5t)
宽展一倍
fO-() 1t2
3
()4t 6
⎞⎛t f( 5 − ) t= 2 δ⎜ − 3 = ⎟δ4( t −6) ⎝ ⎠ f (52− t) → f ( −t) 左5移f ( − t)= f[5 − t (+5 )]= δ (4t − 1) f( − t →)f (t ) 置 倒f ( t) = 4 δ( t +1)(4
)4( ) tOf t)(1 3 6
2t O
12 3 6
第
对
δ(t)标度变换
冲的激偶标度的换变1 1
δ ′a( t) ⋅= δ ′( t) a a
5 3
页
δ
(
k
)1
1 ( k ()t a =)⋅ δ kt() aa
第结总 R：t()，(u)t δ(t) ，间之关的系R(
t )
O1
36页
u(t
)1 1
t
O
δ( )t∞
(1)
t
O
t
导求
R(t
↓ )↑u t)(↓ ↑ δ(t
积 )分
(
∞-t
第
冲激数函性质总的
（1结抽样）
性f (t δ ()t ) = f (0)δ (t)
37
页
（5
）冲偶激 δ′ − t ) (= δ−′( t )
∫
+
∞∞
−f
( )tδ ( t )d t = f 0)
(∫∫
∞
−∞
t
δ
(′ t) t d=0
δ( ′ ) t td= δ (t
)f( t ) δ′ ( t ) d = t f− (′)
02）奇偶性 （δ − t ) ( δ=(t )（ 3比例）
性1δ (a ) t=
δ t ( )
−∞a
∞
−∫∞
f
(t )δ (′t ) = f (0 )δ′( t ) −f ′ 0()δ ( t )
（4
微）积性分
d质u (t ) δt() = dt
∫
t
−∞
δ
(τ ) dτ = (u )
t
6（卷）积性质f t( ) ∗ δ t( =) f(t )
§12 信.号概的念
•号的概念信• 信号分类 的典型•确定性信介号
绍
理物与电电气工子程院
第学
一
信．的号念概
2 页
•信号是着随时间变化某的 种理量物 。•信可以号表示为一时个间 的数函。
二第信．的号类分•信号
分的方类法多，可以从不同很的角对度信号 进分类行 。按实•际用划分： 电视信号 雷途达信 号控信号 制通信信号 广播号信 …… •按所有具时间的特性划
3 分
页第
1确．信定号随和机信号
•定信号 对确指于的定一某时t刻可 ，确定一应相函数值的(tf) 。若不干连续点外。除•随 信号
机有未可预具的知确定不性
。4页
•伪随机信 号似貌随而遵机循严规格律 产生的号（伪信随码）机。
第
．2连续号信和散离信号连
续间时号：信信存在的号 时范间围内，意任刻时都定有义 （即可以给出确定都的数函 值，以可有有限间断个点）。用 表示t连续间变量时 。散离间信时：号在时上间是 离的散只，某些不在续连的定规瞬时 给出函值数，其他时没间有 义定 用n。表离示时间散变量。
f(t
)5 页
O f(
)
n
Ot1
2n
模第信拟，号抽信样号数，信号
字•拟模号：时间和信值幅为连均 抽 续的号信。
f样(t )
6 页
•样抽号：信间时散离，幅值的 量连续的 信号。 化• 数字号：信时和间幅值为均散离的信 号。
O
t
f (n )
O
n f
n()
要讨主确定论信号性。 O 连先续后，散离；先期周后非，期周
。
n
第
判
断号性质
判信断下波形列是续连时 f t( )间号还是离信散时间 号信若是离散时，信间 号 O是为数字否号？信连续 号信
7 页
t
(ft )
散离信号
O
1 324 5 6 7 8f
( )
t
t(
有1，只，) 值23
2 3 1
O
散信离号 字信号
数t
1 2 3 4 5 768
第．3周信号和期周期信号非⎧
正 弦期信周号简谐（信号） ⎧ 期周信号 ⎨⎩ 杂周复信号（除简谐期信外的周号期 号）信⎪ ⎪ 例 s如ni t +sn π t ⎨ ⎪ ⎧准i期周( 率之频比为无值数 ) 理非周期信⎪ 号 ⎨⎩⎩ 态 瞬(脉冲 , 衰函减数 )
8
瞬页态号：除信准期周号信外 的一可切以用时函间数描述的 非期信周。
第号
．能量信号和功4率信号
能量信号信：号能量为非零 有总限。值 点：能特量限有平均功率为零 W (t
,1 2t )= f∫ 2(t )td
t 21
t
9
页
W =li m∫f 2 t (dt)T
→ ∞T
−T
功率信号：信
号均平率功为非 (P t,t ) = 1t 2f( t)dt 1 2t 2 −t 1∫ t零有的值限 特点。能量：穷无 大1 T P =2l im f t )d( 平均t功非零率T →∞ 2T −∫T
2
1
第
．一维5信号和多信维号一维信 号 ：只由一个自变描量的述信，号 语如音号。 信维信多： 号多个由变量自描述的信，如号图像 号。
信
0 页
1第
三．几种典型确定性
信号1.指数
号 信号信的示 函表表达数式f (t) 2. 正弦信号 形波3. 指数信号(复达表有具遍意义普 ).3抽 样信号(Samlpni Siggna)l 5钟.形冲脉数(高函斯函数
)11
页
第
1指数信．号f
t( ) K =eαt
1
2页
α 0 直=(流数),常 α 指数长
增单指数边信号⎧0 ⎪
(ft) = ⎨− t ⎪ τe⎩ 1
α0
f (t
)
>0 α =α0t
K
O
t
0
f( t )1
O
t
通
常 α把 为指称信数号的间时数常，记τ,作代表 信衰号减度速，有时间具的纲。量 重要性：特其对间的时分和微分积仍是指然数式。形
第
．正弦信2号
( f t)= K sni(ω t + θ)f (
t K)
π
23 页
T1
ω振幅：K π 2 =1 周：期T ω f= 率：f 角频频：率ω= 2π 初相： θf
Oθ
ω
π2
ω
衰减t弦正信号：
⎧ Ke −t sin(αt ω)f ( t ) ⎨ =⎩ 0t0 ≥t0
0
α第
欧拉
Eu(er)l式
1公 jω − jttω si(ωnt =)e e− j
1 2jt ωocs(t ω )= +e e −j ωt2
1
4 页
(
)
(
)
e ωjt = co(ωt s ) +j sinωt(
)
第
欧
拉公
复式平上的面个单位圆上的点，一实轴夹与为θ时，角此点可表示 为coθs j+ sni
j Im 1
1θ5页
欧拉
公
式sniθ
−
1
{
e
j
θ
eθ j cos θ=+ j si nθ e jθ = 1 1eR∠e j θ= θ
θ {
oscθ−
1e
是自对数的然，底式称为欧拉此(Elur)e式公e可。以用 计方算法定义为n
⎞ ⎛1e lim=⎜ +1 ⎟= 2.1788 2 Ln∞ n⎠→⎝
3．复第数信号
f 指( t = )eKs
t
6 1
页(− ∞
=Keσt co (ω t )s+ j eσK t in(ω st)
s = σ+ j ω
为复数
称为，频复
率 σ, ω为实常均数
的σ量为纲 /1sω ，的纲为量ra /s d论讨⎧σ
= 0 ω, 0=直流 ⎨⎪ σ> 0,ω = 0升数指号 信⎪ σ
⎧⎩ = 0σ ω ≠,0 等⎫ ⎪幅⎪ ⎨σ> ,0ω ≠ 0 增 幅振荡⎬ σ⎪ 0,
第
4．抽信号(样Saplmin giSngla
)sin Sta t () =
1 ta(tS)
17
页
2π
性质
①S(−a t) =Sa( )t偶函数 ，② =t0 Sa(, t) =1 ，即lim a( t )S= 1 →0t③
−
π
O
t
π
3
πS(at ) =, 0 = t n±π，n= 1, 2,3L ∞ sn i t ∞is tnπ dt = ,∫ td = ④π 0 −∞ ∫t 2 t⑤ l im S(a t) =
⑥0s nc(i t )= sin π t( )(π t )
t → ∞±
第
5钟形．冲脉函(高斯函数)
f 数(t )=E e
E0
78.E ⎛
t⎞−⎜ ⎟ ⎝τ
⎠
218 页
f
( t)
Ee
τOτ
2
t
在
随信号机析中分有占要重地。位
第
．6位单斜变号
信1 定．义⎧
0 ( tR) = ⎨ t⎩
t
1O 9页
R(t )1
1 t
2．
有延迟单位的变信号
斜⎧ 0( t R−t 0) = ⎩t⎨ −t 0
R
( −tt 0 )
1O
由宗量
tt0=-0可知 起点始 t 0 为．三角3脉冲
⎧K ⎪ 形(R )t (ft) = ⎨τ ⎪ ⎩0
0
tf(t )
t0
+ 1t
0 ≤t τ
≤K
O
其它
τ
t
第
7．
单位阶跃信号
1. 义定⎧
0u( t ) ⎨=⎩1
⎧ 0u( t t−0 =)⎨ ⎩1
(u t)
2
页0
t
>t0
1 0点无
定或义
21
O
t
.2 有迟的延位单阶跃
信号
t 0 >t 0
t
1O
u
( t −t0 )
−t
O 宗由 量( t±t 0 ) = 0知 t可 = tm 0 即, 时为间 m t0 时函数有，断，跳变点点 量宗0 >数值为函1宗量
0
⎧0
( tu+ 0 )t = ⎩1⎨
t
t0> − 0t
1t0 u
(t + t0 )
t
t
第
单用阶跃位信号描其述他信
门函号数：称也函窗
⎛ 数τ⎞⎛ ⎞ τf ( ) = tu⎜t + − ⎟⎜ut − ⎟⎠ ⎝22⎠ ⎝
1 (t )fG τ t ()t
21 页
其
函数他要只门用函处数理(乘 以函数门，就)只剩下内的门分。部符号函 数：(iSngum)
1 s⎧gn( ) t ⎨= −1⎩ >t0
−
τ
O
2
τ
2
gs(tn
)O
t
1
s n( tg ) = u−(− t)+ ( ut) = 2( ut) − 1(u t )= [gns t ( + )]12
第
8．
单冲激（难点位
）概念引 出义定 1定义2冲 激函数的性质
22
第
页定义
：狄拉克(1Diar)函c
⎧ 数∞+ δ t )(d t = 1⎪∫⎨ −∞ ⎪ ( δ t)= 0 ( t ≠0 ) ⎩
32页
∫
+
∞−
∞
δ(t ) d = t∫ (δ t d )t
0−
+
0数值函只t在= 0不时零； 为积分积为1面
δ；t =0 时 (t，) → ，∞为无界数函。
第
定
2
义1
2 4
页p
( )
t⎡1 τ ⎛ ⎞⎛ τ ⎞⎤ p (t )= u⎢ t⎜ +⎟− u ⎜ t−⎟ ⎥ τ ⎣ ⎝2⎠ ⎝2 ⎠⎦
τ →τ0
−
2
τO
τ
2
t面积
1 ；脉↓宽 脉；高冲度↑ 则窄；冲脉集中 于=t0 。处 面积为★ 1三个特：点 宽★度0为
⎧穷无★ 幅 ⎨ 度⎩ t=00 t0
≠
第
述
描1 ⎡ ⎛ τ ⎛ τ ⎞⎤⎞ (δ ) t=l i pm t ( =) il m u⎜⎢ +t −⎟ ⎜ ut ⎟− τ⎥ → 0τ → τ02 ⎠ ⎝2 ⎠⎦ ⎣
δ ⎝( )
∞
t
52 页
δ
(t − t0 )
时
移冲的函激
数()
1
∞
t
()1
o
ot
0
t
若面
为k积则，度强k为 。三角脉冲、双形边数脉指、钟形冲冲脉抽、函数样取 τ→极0，限可都认以为冲激是数。函
第
冲激
数的函性质为
了号分析信的需，要人构们造了δ (t) 函数 它，于广 义属函数就时。间 t而 ， δ (言t ) 可以当时作连域续信处号 理，因为符它时合域连续信号运算的某规则些。由于但 δ(t ) 是一广义个函数它有，些一特殊性质。的
2
6页
1
．样性抽 2．偶奇 性3冲激． 4偶．度标换
变
第
1.
抽性样(筛选)
性
2 7页
如
f果t()t在 0=连处，且续处处有界则，
δ (有t ) f ( )t =f (0 δ )(t )
f (t)
∫∞
∞
− δ (t) f ( t ) dt= f (0
)f ( )
0∞
o
t
证明：
分t = 0 和t 0 ≠论讨t ≠ 0δ t() =0, f t (δ () t) = 0(注意：仅当 t ≠ 0 时 )积 结果分为0
第
冲
激数函样抽性证明质t
= 0δ(t ) ≠0 , f ( )t (δt) = (0)f (tδ )
+ 0+
0
2 页
8积
分
为∫
0
− f(0δ () )ttd =f ( )∫ δ0( )tt = df 0()0−
即
∫
∞
∞
−
( δ t ) f t()d t =f ()0
(注：仅当意 t 0= 时)
对于移
位况：情
δ (t ) ( f − tt 0) = (ft 0 δ) ( t)
∞
∫
−
∞
δ
( t−t ) f (0t d)t = f(0t )
第.2奇 偶性δ t( )= δ ( − t
)
29页
•
由义1，定矩脉冲形本身是函数偶故，极也限偶是函数。 由•抽性样明奇偶证。 证性明偶性时，奇要主察此函数的考作，即和其他函用 共数同用的作果结。
∫
∫
+
∞
∞−
δ( t ) f ( t) d t = f( 0)δ −( t) f (t) d t= t =
−τ
∞
−+
∞
∫−
+∞ +∞
∞δ
(τ ) (f− )τ ( −dτ)
= ∫ δτ ) (f −(τ ) d τ = f( )0−∞
又
为 因 (δt )只在t =有值 ，故δ0 t() = δ − t()
第
.3激偶冲s(
t) 1
30
δ页 t )
(∞(1)
τ
1
τ−τ
− τo
τs′t()
1
τ
tO
t
→0τ
′δt (
τ2
1
τ2
)−τ− O 1τ − 2 −1
τ
t
O
tτ
τ2
第
冲激偶的性质
①
31页
∫
∞−
∞
′( δt) ( t ) f t = d−f ′ (0)
利用分部
积分算
∫
+∞
−运∞
δ
′ ( t) f t )dt
( ∞∞ = f (t ) (δt ) − ∫f′ ( t)δ t()dt −∞ ∞ = −−f ′( 0
δ)( k )( t ) f( ) td t= (− 1 f)( k ) (0 对) (δt 的k阶导)： ∫
数k
∞
时
移则，
：−∞
∞
−∫∞
δ′ t − (t 0 )f t ( )dt −= ′ ( ft 0 )
第激偶冲性质
的
2 页
3
∫②
∞−∞
δ
( t′ )d t = 0,
∫
t
∞
− δ′( t d )t = δt )
(
③δ (′ − t =)− δ (′t ,)δ (′t 0 − t ) = − ′(δ −t 0t 所)δ以 ′t (是奇函)数④ f ( )t ′δ(t ) f (=0 ) δ′ (t )− f ′ 0)( (t δ )
，与 f (（ t)δ ( t ) = f(0 )δ(t )不 同）
第
.4 对δ()的t标度变换从
δ( t)定 义看：
(tp )
1
δa( ) =t
δ1(t ) a
p(a)t1
33 页
τ
−
τ
τ
t2
τ
O2
τ
−
τ2
a
Oτ
a
τ
2a
t
p
(t面积)为1，(t )度强1 为δ
11p at)面(积 为a ，δ( a )强t为度 a1 τ →时,0 p(t ) →δ (t , )(pat) →δ ( t )
a
1例2-1
-
∫
∞−∞
δ(t5 ) f( t) td ?
=
1-例-22 已信号知 f5(− t 2)的波， 请形出画 ( t f的波形)。f
( − 25 t = )δ2 (t − 3) f ( 5 − 2t ) → f ( −5t )
1
f( ) 50
f(52t)
-2() O1 2 t3
f
(-5t)
宽展一倍
fO-() 1t2
3
()4t 6
⎞⎛t f( 5 − ) t= 2 δ⎜ − 3 = ⎟δ4( t −6) ⎝ ⎠ f (52− t) → f ( −t) 左5移f ( − t)= f[5 − t (+5 )]= δ (4t − 1) f( − t →)f (t ) 置 倒f ( t) = 4 δ( t +1)(4
)4( ) tOf t)(1 3 6
2t O
12 3 6
第
对
δ(t)标度变换
冲的激偶标度的换变1 1
δ ′a( t) ⋅= δ ′( t) a a
5 3
页
δ
(
k
)1
1 ( k ()t a =)⋅ δ kt() aa
第结总 R：t()，(u)t δ(t) ，间之关的系R(
t )
O1
36页
u(t
)1 1
t
O
δ( )t∞
(1)
t
O
t
导求
R(t
↓ )↑u t)(↓ ↑ δ(t
积 )分
(
∞-t
第
冲激数函性质总的
（1结抽样）
性f (t δ ()t ) = f (0)δ (t)
37
页
（5
）冲偶激 δ′ − t ) (= δ−′( t )
∫
+
∞∞
−f
( )tδ ( t )d t = f 0)
(∫∫
∞
−∞
t
δ
(′ t) t d=0
δ( ′ ) t td= δ (t
)f( t ) δ′ ( t ) d = t f− (′)
02）奇偶性 （δ − t ) ( δ=(t )（ 3比例）
性1δ (a ) t=
δ t ( )
−∞a
∞
−∫∞
f
(t )δ (′t ) = f (0 )δ′( t ) −f ′ 0()δ ( t )
（4
微）积性分
d质u (t ) δt() = dt
∫
t
−∞
δ
(τ ) dτ = (u )
t
6（卷）积性质f t( ) ∗ δ t( =) f(t )