康托尔三分集的性质及其证明
06级数学系本科班 祁晓庚 [1**********]0
摘 要：简述康托尔三分集的定义，介绍它的六个性质并分别对每个性质进行证
明。
关键词：康托尔三分集 闭集 不可列 完全集 1、什么是康托尔三分集
将基本区间[0,1]用分点，与三等分，并除去中间的开区间（
3
31
2
13
）。
389
2
把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（，
9
129
），（
79
，）。
然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到康托尔三分集P0与开集G0。 G0=（，
31
2373
3
）∪（，
83
3
13
2
，
233
2
）∪（，
203
3
73
2
，
83
2
）∪（
3
13
3
，
23
3
）
∪（）∪（
19
3
）∪（
253
，
263
3
）∪…
P0是G0的补集 2、康托尔三分集的性质及证明
（1）P0是一个闭集，不含有任何区间。
这是显然的，G0是任意个开集的并，所以G0仍是开集，P0是G0的补集，所以P0是闭集。
这表明不含有任何区间的闭集是存在的。
（2）P0是完全集
证明：要证P0是完全集即证它不含有孤立点。
假设P0有一孤立点x0，则存在（α，β）使（α，β）中不含P0中除
x0以外的任一点。
所以（α，x0）G0，（x0，β）G0。
于是x0将成为G0的某两个区间的公共端点，但由于G0的做法是不可能
的。
所以不存在这样的点x0，与假设矛盾，所以得证P0是完全集。
（3）P0是不可列的
证明：假设P0是可列的，将P0中点编号成点列x1，x2，…，xk…，也就是说，P0中任一点必在上述点列中出现。显然，0,与,1中应
33有一个不含有x1，用I1表示这个闭区间。将I1三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含x2，用I2表示它。然后用I3表示三等分I2时不含x3的左或右的那个闭区间，如此等等。这样，根据归纳法，得到一个闭区间列{Ik}kN。由所述取法知， I1I2…Ik…，xkÏIk，kN，
同时，易见Ik的长为3
k
12
。于是根据数学分析中区间套0（k）
定理，存在点xÎIk，kÎN。可是x是Ik等的端点集的聚点，从而是闭集P0的聚点，故xÎP0。由于上面已指出xkÏIk，kN，故x¹xk，kÎN。这是一个矛盾。故P0不可列。
（4）P0的势等于À与[0,1]同势
证明：引进[0,1]中小数的三进表示来考察区间（，
31
23
）中每个点x可
表示成x=0.1x2x3…，其中x2，x3，…是0，1，2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：
2=0.2000…， =0.0222…，313
2
区间（，
23
2
），（
73
2
，
83
2
）中的点x可表示成x=0.01x3x4…或
x=0.21x3x4…，其中x3，x4，…是0，1，2中任一数字。而区间端点则采用（不出现数字1）：
33
2
=0.0022…，7=0.0200…，8
33
2
=0.2022…， =0.2200…。
22
如此等等。根据归纳法分析可知，依上述规定，G0中的点的三进表示中必有一位数字是1，且只有这样的点才属于G0。因而P0与集
A={0. x1x2x3…：每个xk{0，2}}
成一一对应。且A显然与[0,1]对等，故A的势为À，从而P0的势为À。 （5）mP0=0
证明：因为G0是开集由测度的定义有
mG0=
13
+
23
2
+…++=1
mP0=1- mG0=1-1=0
我们得到P0是一个测度为零的不可列集。 （6）P0是稀疏集
因为P0=P0，不能包含R中的任何一个邻域，所以P0不在R中的任何一个邻域中稠密，故P0是稀疏集。
康托尔三分集因为具有以上特殊的性质，是一个很典型的特例能来说明实变函数中的很多问题，在实变函数中占有很重要的地位。 参考文献：
【1】 郑维行 王声望编，实变函数与泛函分析概要（第三版）第一册，
北京：高等教育出版社，2008.
【2】 胡长松主编，实变函数，北京：科学出版社，2002.
康托尔三分集的性质及其证明
06级数学系本科班 祁晓庚 [1**********]0
摘 要：简述康托尔三分集的定义，介绍它的六个性质并分别对每个性质进行证
明。
关键词：康托尔三分集 闭集 不可列 完全集 1、什么是康托尔三分集
将基本区间[0,1]用分点，与三等分，并除去中间的开区间（
3
31
2
13
）。
389
2
把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（，
9
129
），（
79
，）。
然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到康托尔三分集P0与开集G0。 G0=（，
31
2373
3
）∪（，
83
3
13
2
，
233
2
）∪（，
203
3
73
2
，
83
2
）∪（
3
13
3
，
23
3
）
∪（）∪（
19
3
）∪（
253
，
263
3
）∪…
P0是G0的补集 2、康托尔三分集的性质及证明
（1）P0是一个闭集，不含有任何区间。
这是显然的，G0是任意个开集的并，所以G0仍是开集，P0是G0的补集，所以P0是闭集。
这表明不含有任何区间的闭集是存在的。
（2）P0是完全集
证明：要证P0是完全集即证它不含有孤立点。
假设P0有一孤立点x0，则存在（α，β）使（α，β）中不含P0中除
x0以外的任一点。
所以（α，x0）G0，（x0，β）G0。
于是x0将成为G0的某两个区间的公共端点，但由于G0的做法是不可能
的。
所以不存在这样的点x0，与假设矛盾，所以得证P0是完全集。
（3）P0是不可列的
证明：假设P0是可列的，将P0中点编号成点列x1，x2，…，xk…，也就是说，P0中任一点必在上述点列中出现。显然，0,与,1中应
33有一个不含有x1，用I1表示这个闭区间。将I1三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含x2，用I2表示它。然后用I3表示三等分I2时不含x3的左或右的那个闭区间，如此等等。这样，根据归纳法，得到一个闭区间列{Ik}kN。由所述取法知， I1I2…Ik…，xkÏIk，kN，
同时，易见Ik的长为3
k
12
。于是根据数学分析中区间套0（k）
定理，存在点xÎIk，kÎN。可是x是Ik等的端点集的聚点，从而是闭集P0的聚点，故xÎP0。由于上面已指出xkÏIk，kN，故x¹xk，kÎN。这是一个矛盾。故P0不可列。
（4）P0的势等于À与[0,1]同势
证明：引进[0,1]中小数的三进表示来考察区间（，
31
23
）中每个点x可
表示成x=0.1x2x3…，其中x2，x3，…是0，1，2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：
2=0.2000…， =0.0222…，313
2
区间（，
23
2
），（
73
2
，
83
2
）中的点x可表示成x=0.01x3x4…或
x=0.21x3x4…，其中x3，x4，…是0，1，2中任一数字。而区间端点则采用（不出现数字1）：
33
2
=0.0022…，7=0.0200…，8
33
2
=0.2022…， =0.2200…。
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如此等等。根据归纳法分析可知，依上述规定，G0中的点的三进表示中必有一位数字是1，且只有这样的点才属于G0。因而P0与集
A={0. x1x2x3…：每个xk{0，2}}
成一一对应。且A显然与[0,1]对等，故A的势为À，从而P0的势为À。 （5）mP0=0
证明：因为G0是开集由测度的定义有
mG0=
13
+
23
2
+…++=1
mP0=1- mG0=1-1=0
我们得到P0是一个测度为零的不可列集。 （6）P0是稀疏集
因为P0=P0，不能包含R中的任何一个邻域，所以P0不在R中的任何一个邻域中稠密，故P0是稀疏集。
康托尔三分集因为具有以上特殊的性质，是一个很典型的特例能来说明实变函数中的很多问题，在实变函数中占有很重要的地位。 参考文献：
【1】 郑维行 王声望编，实变函数与泛函分析概要（第三版）第一册，
北京：高等教育出版社，2008.
【2】 胡长松主编，实变函数，北京：科学出版社，2002.