数学中的无穷思想发展史
无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期深深激动着人类的心灵。那么彻底弄清这一概念也就是维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的科学”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。在本文中将要简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程。
自古至今，一直有这样一个问题困惑着我们，那就是自然数到底有多少？看似这是一个没有意义的问题。因为自然数是无穷的，那么什么事无穷呢？无穷就是没有尽头。设想一个人从1开始数自然数，无论他的寿命有多长，工作多么勤奋，他不可能把自然数数完。理由很简单：如果他数到的最后一个数是n，那么n+1也是自然数！
既然不可能把自然数数完我们能不能说“全体自然数”如何如何呢？这个问题在两千年就出现了，而且有两种对立的回答。
一种回答认为：“全体自然数”是存在的。因为每个自然数都是可以数到的，所以每个自然数都存在。既然每个都存在，为什么“全体”就不存在了呢？这种观点叫做“实在无穷”的观点，是柏拉图的观点。
另一种回答认为：自然数是数不完的，这表明自然数的产生是个无穷无尽的过程。只有这个过程结束了，才得到自然数的全体。但这个过程永不结束，因而无法得到自然数的全体。但是，自然数可以越来越多，多的超过任何具体的数目，因而是无穷的。这无穷表现为变化发展的过程，因而叫做“潜无穷”。
然而在接下来的两千年当中，多数哲学家和科学家赞同亚里士多德“潜无穷”的观点。并没有多无穷进一步地具体的科学思考，直到伽利略的出现才改变无穷的现状。伽利略在有没有“实在无穷”的问题上，他也在反对亚里士多德的只有“潜无穷”而无“实在无穷”的看法。他不像以前的哲学家那样仅限于抽象的思考，他希望具体比较实无穷的大小。他考虑到两个实在无穷，全体自然数{1,2,3，…….n，……}构成实无穷、全体完全平方数{1,4,9，……n²，……}也构成实无穷。是自然数多呢?还是完全平方数多呢？
直观上看，自然数多。但从另一个角度看，有一个自然数，便有一个完全平方数：
1，2，3，…， n, …
2，4，6， …，2n， …
把所有自然数在想象中排成一行，每个自然数肩膀上添个小小的2，便正好事全体完全平方数。难道添上这些指数就能把全体自然数变少了吗？
这样看，全体自然数又应当和全体平方数一样多！最后伽利略据此得出结论说：比较无穷量是不可能的。当时伟大的数学家莱布尼茨得出的结论是：“所有整数的个数”这一提法自相矛盾，应该抛弃。就连19世纪天才的数学家高斯也表达了他对无穷量的惊恐情绪：我反对使用无穷量……这在数学中是绝对不允许的。
无论有多少数学家在无穷量面前退缩，或者否定其存在，在19世纪中叶时，数学中却再也不能没有这个概念了。从1600年到1850年的这段时间里，数学已经取得了巨大的进展。在这英雄的时代里，伟大的智力冒险家们凭借他们的天才和直觉，敢于超越困难的断层而先设想追求的目标。如果想继续前进，就迫切需要一批富有想象力和大胆批判精神的思想家，这一批大胆的思想家将能够不顾、甚至蔑视直接和常识。这种时代的要求直到G﹒康托尔（Georg Cantor）的出现才最终实现了。他终于对数学中最抽象的领域做出了巨大的贡献，同时他的工作受到了革新家们通常所遭遇到的那种经历——被人呢忽视、嘲笑，甚至虐待。当时第一流的数学家L﹒克罗内克（Leopold Kronecker）对康托尔的成就进行了猛烈地攻击。稍微温和一点的权威性评价，是由19世纪末最著名的数学家J﹒H﹒庞加莱（J﹒Henri Poincare）给出的，他说：“后人将把（康托尔的）集合论当做一种疾病，而人们已经从中恢复过来了。”这就告诉人们，在不遵从逻辑、思想保守、互相倾轧方面，数学家们丝毫不亚于大多数人。然而在经历了几次这样的攻击后，康托尔甚至也开始怀疑起自己的工作来了，他因此而变得十分沮丧，最后导致了精神分裂症。
在他去世前，他的与常识相反的而又在逻辑上可靠的结论，终于得到了几位数学家同行的认可，为反驳庞加莱的上述观点，不久以后，20世纪最伟大的数学家D﹒希尔伯特（David Hilbert）作出了令人欣慰的评价：谁也不能把我们
从康托尔为我们创造的伊甸园中赶出去。今天康托尔的工作已经被完全、广泛地接受了，许多思想深刻的数学家们十分愿意致力于解决由于接受康托尔的工作随之出现的一系列进一步的问题。
现在，让我们来看看康托尔如何处理无穷的问题。最为人们熟知的无穷集合的例子，是整数集合、分数级和和全体实数。为了得到这些集合中的元素的个数，通过数数的方法是不可能的，因为这个过程无穷无尽。另一方面，将他们描述为无穷则等于什么也没说。因为“无穷”这个词就说明他们呢不是有限的。如果可能的话，必须对无穷集合中有多少个元素这个问题给出肯定的回答。
康托尔当然认识到，一个无穷集合或无穷类中元素的个数，通过计数是不可能得到的。但他更认识到了另一个初看似乎很肤浅的观点的比较深层次的意义。假定有两个由元素构成的集合，第一个集合中的每一个元素，对应且只对应第二个集合中的一个元素，反之亦然。例如，屋子里有许多人，又有许多椅子。人组成一个集合，椅子组成一个集合。那个集合元素多呢？通常的办法是数一数。但还有一种更痛快的办法“请大家就座。一个人对一把椅子，一把椅子对一个人。能建立一一对应，就表明两个集合一样多。这两类集合之间如人和椅子两者之间的关系，用专业术语来说就可以描述为是一一对应关系。明显地，两个一一对应的集合所包含元素的个数必定相等。而且更为重要的是，无需数遍整个集合就能得到这一结论。
康托尔的伟大之处就在于，他理解了一一对应原理的重要性，并且有勇气继续去研究这个原理的推论：如果两个无穷集合能建立起一一对应的关系，那么按照康托尔的说法，他们所含元素的个数相等。并规定一个集合，如果其元素能像整数那样排列成一个序列，就称这个集合石可数的。通过展示这样的可数性，看康托表明，有理数和整数集是等势的。那么为了证明整数集合实数集是等势的，他采用了反证法，结果证明了实数集是不可数的，这一个康托一个极有意义的发现。进而康托尔给出了构造一个更大基数的集合的方法。最后康托尔给人类留下了一个难题——连续统假设——没有一个集合，他的基数大于整数集的基数而小于实数集的基数。
最后我们根据康托尔的集合论来解释一个芝诺悖论，即阿里系与乌龟赛跑的问题我们可以这样解释，在从起点到终点的赛膀肿，龟跑过的点与阿里系跑过的
点一样多，因为在赛跑中这段时间的每一个时刻，他们各自要占据一个确切的位臵。因此，龟所通过的无穷多个点的集合，与阿里系所通过的无穷的点的集合，两者之间有一种一一对应关系。但是，说什么因为他必须跑过更长的距离才能赢得赛跑，所以他必须比龟跑过更多的点，则是错误的！因为就我们现在知道的那样，阿里系必须跑过的那一条较长的线段上点的数量，与龟所跑过的线段上点的数量是相同的。我们必须再次注意到这样的一个事实：一条线段上点的数量与其长度无关！简而言之，正是康托尔的无穷集合解决了阿里系与乌龟这个问题，而且拯救了我们的时空数学理论。
无穷理论只不过是19世纪富有批判精神的思想家的创造之一。其中所包含的内容几乎都稀奇古怪，但它却是合乎逻辑的、有用的。数学家的创造依靠的是观察、直觉的艺术。然后用逻辑来认可、证明直觉所获得的东西。
数学中的无穷思想发展史
无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期深深激动着人类的心灵。那么彻底弄清这一概念也就是维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的科学”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。在本文中将要简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程。
自古至今，一直有这样一个问题困惑着我们，那就是自然数到底有多少？看似这是一个没有意义的问题。因为自然数是无穷的，那么什么事无穷呢？无穷就是没有尽头。设想一个人从1开始数自然数，无论他的寿命有多长，工作多么勤奋，他不可能把自然数数完。理由很简单：如果他数到的最后一个数是n，那么n+1也是自然数！
既然不可能把自然数数完我们能不能说“全体自然数”如何如何呢？这个问题在两千年就出现了，而且有两种对立的回答。
一种回答认为：“全体自然数”是存在的。因为每个自然数都是可以数到的，所以每个自然数都存在。既然每个都存在，为什么“全体”就不存在了呢？这种观点叫做“实在无穷”的观点，是柏拉图的观点。
另一种回答认为：自然数是数不完的，这表明自然数的产生是个无穷无尽的过程。只有这个过程结束了，才得到自然数的全体。但这个过程永不结束，因而无法得到自然数的全体。但是，自然数可以越来越多，多的超过任何具体的数目，因而是无穷的。这无穷表现为变化发展的过程，因而叫做“潜无穷”。
然而在接下来的两千年当中，多数哲学家和科学家赞同亚里士多德“潜无穷”的观点。并没有多无穷进一步地具体的科学思考，直到伽利略的出现才改变无穷的现状。伽利略在有没有“实在无穷”的问题上，他也在反对亚里士多德的只有“潜无穷”而无“实在无穷”的看法。他不像以前的哲学家那样仅限于抽象的思考，他希望具体比较实无穷的大小。他考虑到两个实在无穷，全体自然数{1,2,3，…….n，……}构成实无穷、全体完全平方数{1,4,9，……n²，……}也构成实无穷。是自然数多呢?还是完全平方数多呢？
直观上看，自然数多。但从另一个角度看，有一个自然数，便有一个完全平方数：
1，2，3，…， n, …
2，4，6， …，2n， …
把所有自然数在想象中排成一行，每个自然数肩膀上添个小小的2，便正好事全体完全平方数。难道添上这些指数就能把全体自然数变少了吗？
这样看，全体自然数又应当和全体平方数一样多！最后伽利略据此得出结论说：比较无穷量是不可能的。当时伟大的数学家莱布尼茨得出的结论是：“所有整数的个数”这一提法自相矛盾，应该抛弃。就连19世纪天才的数学家高斯也表达了他对无穷量的惊恐情绪：我反对使用无穷量……这在数学中是绝对不允许的。
无论有多少数学家在无穷量面前退缩，或者否定其存在，在19世纪中叶时，数学中却再也不能没有这个概念了。从1600年到1850年的这段时间里，数学已经取得了巨大的进展。在这英雄的时代里，伟大的智力冒险家们凭借他们的天才和直觉，敢于超越困难的断层而先设想追求的目标。如果想继续前进，就迫切需要一批富有想象力和大胆批判精神的思想家，这一批大胆的思想家将能够不顾、甚至蔑视直接和常识。这种时代的要求直到G﹒康托尔（Georg Cantor）的出现才最终实现了。他终于对数学中最抽象的领域做出了巨大的贡献，同时他的工作受到了革新家们通常所遭遇到的那种经历——被人呢忽视、嘲笑，甚至虐待。当时第一流的数学家L﹒克罗内克（Leopold Kronecker）对康托尔的成就进行了猛烈地攻击。稍微温和一点的权威性评价，是由19世纪末最著名的数学家J﹒H﹒庞加莱（J﹒Henri Poincare）给出的，他说：“后人将把（康托尔的）集合论当做一种疾病，而人们已经从中恢复过来了。”这就告诉人们，在不遵从逻辑、思想保守、互相倾轧方面，数学家们丝毫不亚于大多数人。然而在经历了几次这样的攻击后，康托尔甚至也开始怀疑起自己的工作来了，他因此而变得十分沮丧，最后导致了精神分裂症。
在他去世前，他的与常识相反的而又在逻辑上可靠的结论，终于得到了几位数学家同行的认可，为反驳庞加莱的上述观点，不久以后，20世纪最伟大的数学家D﹒希尔伯特（David Hilbert）作出了令人欣慰的评价：谁也不能把我们
从康托尔为我们创造的伊甸园中赶出去。今天康托尔的工作已经被完全、广泛地接受了，许多思想深刻的数学家们十分愿意致力于解决由于接受康托尔的工作随之出现的一系列进一步的问题。
现在，让我们来看看康托尔如何处理无穷的问题。最为人们熟知的无穷集合的例子，是整数集合、分数级和和全体实数。为了得到这些集合中的元素的个数，通过数数的方法是不可能的，因为这个过程无穷无尽。另一方面，将他们描述为无穷则等于什么也没说。因为“无穷”这个词就说明他们呢不是有限的。如果可能的话，必须对无穷集合中有多少个元素这个问题给出肯定的回答。
康托尔当然认识到，一个无穷集合或无穷类中元素的个数，通过计数是不可能得到的。但他更认识到了另一个初看似乎很肤浅的观点的比较深层次的意义。假定有两个由元素构成的集合，第一个集合中的每一个元素，对应且只对应第二个集合中的一个元素，反之亦然。例如，屋子里有许多人，又有许多椅子。人组成一个集合，椅子组成一个集合。那个集合元素多呢？通常的办法是数一数。但还有一种更痛快的办法“请大家就座。一个人对一把椅子，一把椅子对一个人。能建立一一对应，就表明两个集合一样多。这两类集合之间如人和椅子两者之间的关系，用专业术语来说就可以描述为是一一对应关系。明显地，两个一一对应的集合所包含元素的个数必定相等。而且更为重要的是，无需数遍整个集合就能得到这一结论。
康托尔的伟大之处就在于，他理解了一一对应原理的重要性，并且有勇气继续去研究这个原理的推论：如果两个无穷集合能建立起一一对应的关系，那么按照康托尔的说法，他们所含元素的个数相等。并规定一个集合，如果其元素能像整数那样排列成一个序列，就称这个集合石可数的。通过展示这样的可数性，看康托表明，有理数和整数集是等势的。那么为了证明整数集合实数集是等势的，他采用了反证法，结果证明了实数集是不可数的，这一个康托一个极有意义的发现。进而康托尔给出了构造一个更大基数的集合的方法。最后康托尔给人类留下了一个难题——连续统假设——没有一个集合，他的基数大于整数集的基数而小于实数集的基数。
最后我们根据康托尔的集合论来解释一个芝诺悖论，即阿里系与乌龟赛跑的问题我们可以这样解释，在从起点到终点的赛膀肿，龟跑过的点与阿里系跑过的
点一样多，因为在赛跑中这段时间的每一个时刻，他们各自要占据一个确切的位臵。因此，龟所通过的无穷多个点的集合，与阿里系所通过的无穷的点的集合，两者之间有一种一一对应关系。但是，说什么因为他必须跑过更长的距离才能赢得赛跑，所以他必须比龟跑过更多的点，则是错误的！因为就我们现在知道的那样，阿里系必须跑过的那一条较长的线段上点的数量，与龟所跑过的线段上点的数量是相同的。我们必须再次注意到这样的一个事实：一条线段上点的数量与其长度无关！简而言之，正是康托尔的无穷集合解决了阿里系与乌龟这个问题，而且拯救了我们的时空数学理论。
无穷理论只不过是19世纪富有批判精神的思想家的创造之一。其中所包含的内容几乎都稀奇古怪，但它却是合乎逻辑的、有用的。数学家的创造依靠的是观察、直觉的艺术。然后用逻辑来认可、证明直觉所获得的东西。