知识点060 平方差公式的几何背景（填空）
1. （2011•包头）如图，边长为a 的正方形中有一个边长为b 的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．
分析：根据题意分别求得图1与图2中阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等，即可求得答案．
解答：解：根据题意得：
图1中阴影部分的面积为：a2-b2；
图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b ）．
∵两图形阴影面积相等，
∴可以得到的结论是：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
2. （2010•绍兴）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（a-b ）（a+b）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：图甲可直接根据大矩形的面积不同表示方法来得出所求的公式；
图乙需将图形补成正方形，然后仿照图甲的方法进行求解．
解答：解：如图；
图甲：大矩形的面积可表示为：
①（a-b ）（a+b）；
②a （a-b ）+b（a-b ）=a2-ab+ab-b2=a2-b2；
故（a-b ）（a+b）=a2-b2；
图乙：大正方形的面积可表示为：
①a （a-b+b）=a2；
②a （a-b ）+b（a-b ）+b2=（a+b）（a-b ）+b2；
故a2=b2+（a+b）（a-b ），即a2-b2=（a+b）（a-b ）．
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：此题主要考查了平方差公式和图形面积间的关系，有利于培养学生数形结合的数学思想方法．
3. （2007•鄂尔多斯）在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图（1）），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2）），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）或（a+b）（a-b ）=a2-b2．（用字母表示）
考点：平方差公式的几何背景．
分析：分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．
解答：解：在图1中，大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，所以阴影部分的面积为a2-b2， 在图2中，阴影部分为一长方形，长为a+b，宽为a-b ，则面积为（a+b）（a-b ）， 由于两个阴影部分面积相等，所以有a2-b2=（a+b）（a-b ）成立．
故本题答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）或（a+b）（a-b ）=a2-b2．
点评：本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．
4. （2006•聊城）从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．
分析：左边阴影的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为b 的正方形面积，即a2-b2，右边平行四边形底边为a+b，高为a-b ，即面积=（a+b）（a-b ），两面积相等所以等式成立．解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
5. （2005•泰州）如图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：利用正方形的面积公式可知，图中阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2． 解答：解：利用割补法，如图所示：
图中阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2．
点评：本题考查了平方差公式的几何意义，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
6. （2005•福州）如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．
分析：左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是12（2a+2b）（a-b ）=（a+b）（a-b ），根据面积相等即可解答．
解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
7. 如下图，圆环形绿地的面积是400πm2（结果保留π）．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：利用圆的面积公式可得：圆环形绿地的面积是π×252-π×152，再运用平方差公式计算即可．
解答：解：圆环形绿地的面积是π×252-π×152，
=π（25-15）（25+15），
=400π．
故答案为：400π．
点评：此题主要考查了圆的面积公式及平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
8. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a 的正方形的面积减去边长是b 的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b ）的长方形，面积是（a+b）（a-b ）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
解答：解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
点评：本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
9. 如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为（a+b）（a-b ）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：左边第一个图的面积为边长为a 的正方形的面积减去边长为b 的正方形的面积，即a2-b2，第二个图的面积为长为（a+b），宽为（a-b ）的长方形的面积，即（a+b）（a-b ），二者面积相等，据此即可得出结论．
解答：解：由题意得（a+b）（a-b ）=a2-b2，即验证了平方差公式．
点评：本题考查了平方差公式的几何表示，解决本题一定要看清题意，找出两个图形的关系，根据面积相等得出平方差公式．
10. 观察图，利用图形间的面积关系写出一个代数恒等式：a2-b2=（a-b ）（a+b）．
考点：平方差公式的几何背景．
专题：开放型．
分析：等量关系为：边长为a 的正方形的面积-边长为b 的正方形=边长为a 、a-b 的长方形的面积+边长为b 、a-b 的长方形的面积，把相关数值代入整理即可．
解答：解：∵a2-b2=a（a-b ）+b（a-b ），
∴a2-b2=（a-b ）（a+b）．
点评：本题考查了平方差公式的几何表示，解决本题的关键是得到阴影部分的面积的两种表示形式．
11. 将边长分别为（a+b）和（a-b ）的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面
积化简后的结果是4ab ．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：此题要根据已知条件先求出两个正方形的面积，边长为（a+b）的正方形的面积减去边长为（a-b ）的正方形的面积，即得阴影部分的面积．
解答：解：S1=（a+b）2，S2=（a-b ）2，
S1-S2=（a+b）2-（a-b ）2，
=（a+b-a+b）（a+b+a-b），
=2b•2a ，
=4ab．
故答案为：4ab ．
点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，明白正方形的面积公式，结合图形了解阴影部分面积的求法是解题的关键．
12. 如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的正方形（a ＞b ），把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）面积，验证了一个等式，此等式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：左边图形中阴影部分的面积是a2-b2，右边图形中阴影部分的面积是（a+b）（a-b ），根据阴影部分的面积相等得．
解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
13. 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．
（Ⅰ）根据下列所示图形写出一个代数恒等式（a+b）2-（a-b ）2=4ab或（a+b）2=（a-b ）2+4ab或（a+b）2-4ab=（a-b ）2等．
（Ⅱ）已知正数a 、b 、c 和m 、n 、l ，满足a+m=b+n=c+l=k．试构造边长为k 的正方形：
，
利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2并简述理由：因为a+m=b+n=c+l=k，显然有al+bm+cn＜k2．
考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．析：（Ⅰ）从完全平方出发，括号内一个是加，一个是减，两者之差从而解得；
（Ⅱ）从基本图形出发，得到al+bm+cn的数值，从而解得．
解答：解：（Ⅰ）（a+b）2-（a-b ）2=4ab或（a+b）2=（a-b ）2+4ab或（a+b）2-4ab=（a-b ）2等；
（Ⅱ）因为a+m=b+n=c+l=k，显然有al+bm+cn＜k2
点评：本题考查了平方差公式的背景，（Ⅰ）从完全平方出发的值大于等于0为出发点，算起即可．（Ⅱ）从基本图形出发，得到al+bm+cn的数值这一基数，与其他代数式对比即得．
14. 如图（1），边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证的乘法公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a 的正方形的面积减去边长是b 的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b ）的长方形，面积是（a+b）（a-b ）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
解答：解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
故答案为a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
15. 小明同学将（图）中的阴影部分（边长为m 的大正方形中有一个边长为n 的小正方形），拼成了一个长方形（如图），比较两图阴影部分的面积，可以得到的结论是m2-n2=（m-n ）（m+n）（用含m ，n 的式子表示）
考点：平方差公式的几何背景．
分析：根据题意分别求得（1）与（2）中阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等，即可求得答案．
解答：解：根据题意得：
（1）中阴影部分的面积为：m2-n2；
（2）中阴影部分的面积为：（m+n）（m-n ）．
∵两图形阴影面积相等，
∴可以得到的结论是：m2-n2=（m-n ）（m+n）．
故答案为：m2-n2=（m-n ）（m+n）．
点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
16. 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式a2-b2=（a+b）（a-b ）（用式子表达）．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：首先利用梯形与正方形面积求解方法表示出两个图形中的阴影部分的面积，又由两图形阴影面积相等，即可得到答案．
解答：解：∵梯形的面积为：（2a+2b）（a-b ）÷2=（a+b）（a-b ），
正方形中阴影部分的面积为：a2-b2．
∴a2-b2=（a+b）（a-b ）．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
17. 如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是a2-b2=（a+b）（a-b ） ．
考点：平方差公式的几何背景．专题：常规题型．
分析：分别表示出两个图形中的阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．
解答：解：左边图形中，阴影部分的面积=a2-b2，
右边图形中，阴影部分的面积=（a+b）（a-b ），
∵两个图形中的阴影部分的面积相等，
∴a2-b2=（a+b）（a-b ）．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题考查了平方差公式的几何解释，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．
18. （1）如图（1），反映的公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
（2）如图（2），反映的公式是a2+2ab+b2=（a+b）2．
考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．专题：几何图形问题．
分析：（1）利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a-b ，根据两者相等，即可验证平方差公式．
（2）从图上可看出大正方形的面积是由2个边长分别为a 、b 的正方形，2个长为b ，宽为a 的长方形组成．所以正方形的面积a2+2ab+b2=（a+b）2．
解答：解：（1）如图（1），反映的公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）；
（2）如图（2），反映的公式是a2+2ab+b2=（a+b）2．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）；a2+2ab+b2=（a+b）2．
点评：（1）本题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
（2）本题考查了完全平方公式几何意义，解题关键是能看出图形之间的关系：大正方形的面积是由2个边长分别为a ，b 的正方形，和2个长为b ，宽为a 的长方形组成．把对应的数据代入即可．
19. 如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个乘法公式，则这个乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．专题：常规题型．
分析：第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a 的正方形的面积减去边长是b 的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b ）的长方形，面积是（a+b）（a-b ）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
解答：解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
故答案为：（a+b）（a-b ）=a2-b2．
点评：本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
知识点060 平方差公式的几何背景（填空）
1. （2011•包头）如图，边长为a 的正方形中有一个边长为b 的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．
分析：根据题意分别求得图1与图2中阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等，即可求得答案．
解答：解：根据题意得：
图1中阴影部分的面积为：a2-b2；
图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b ）．
∵两图形阴影面积相等，
∴可以得到的结论是：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
2. （2010•绍兴）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（a-b ）（a+b）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：图甲可直接根据大矩形的面积不同表示方法来得出所求的公式；
图乙需将图形补成正方形，然后仿照图甲的方法进行求解．
解答：解：如图；
图甲：大矩形的面积可表示为：
①（a-b ）（a+b）；
②a （a-b ）+b（a-b ）=a2-ab+ab-b2=a2-b2；
故（a-b ）（a+b）=a2-b2；
图乙：大正方形的面积可表示为：
①a （a-b+b）=a2；
②a （a-b ）+b（a-b ）+b2=（a+b）（a-b ）+b2；
故a2=b2+（a+b）（a-b ），即a2-b2=（a+b）（a-b ）．
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：此题主要考查了平方差公式和图形面积间的关系，有利于培养学生数形结合的数学思想方法．
3. （2007•鄂尔多斯）在边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图（1）），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2）），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）或（a+b）（a-b ）=a2-b2．（用字母表示）
考点：平方差公式的几何背景．
分析：分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．
解答：解：在图1中，大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，所以阴影部分的面积为a2-b2， 在图2中，阴影部分为一长方形，长为a+b，宽为a-b ，则面积为（a+b）（a-b ）， 由于两个阴影部分面积相等，所以有a2-b2=（a+b）（a-b ）成立．
故本题答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）或（a+b）（a-b ）=a2-b2．
点评：本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．
4. （2006•聊城）从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．
分析：左边阴影的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为b 的正方形面积，即a2-b2，右边平行四边形底边为a+b，高为a-b ，即面积=（a+b）（a-b ），两面积相等所以等式成立．解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
5. （2005•泰州）如图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：利用正方形的面积公式可知，图中阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2． 解答：解：利用割补法，如图所示：
图中阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2．
点评：本题考查了平方差公式的几何意义，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
6. （2005•福州）如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．
分析：左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是12（2a+2b）（a-b ）=（a+b）（a-b ），根据面积相等即可解答．
解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
7. 如下图，圆环形绿地的面积是400πm2（结果保留π）．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：利用圆的面积公式可得：圆环形绿地的面积是π×252-π×152，再运用平方差公式计算即可．
解答：解：圆环形绿地的面积是π×252-π×152，
=π（25-15）（25+15），
=400π．
故答案为：400π．
点评：此题主要考查了圆的面积公式及平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
8. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a 的正方形的面积减去边长是b 的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b ）的长方形，面积是（a+b）（a-b ）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
解答：解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
点评：本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
9. 如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为（a+b）（a-b ）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：左边第一个图的面积为边长为a 的正方形的面积减去边长为b 的正方形的面积，即a2-b2，第二个图的面积为长为（a+b），宽为（a-b ）的长方形的面积，即（a+b）（a-b ），二者面积相等，据此即可得出结论．
解答：解：由题意得（a+b）（a-b ）=a2-b2，即验证了平方差公式．
点评：本题考查了平方差公式的几何表示，解决本题一定要看清题意，找出两个图形的关系，根据面积相等得出平方差公式．
10. 观察图，利用图形间的面积关系写出一个代数恒等式：a2-b2=（a-b ）（a+b）．
考点：平方差公式的几何背景．
专题：开放型．
分析：等量关系为：边长为a 的正方形的面积-边长为b 的正方形=边长为a 、a-b 的长方形的面积+边长为b 、a-b 的长方形的面积，把相关数值代入整理即可．
解答：解：∵a2-b2=a（a-b ）+b（a-b ），
∴a2-b2=（a-b ）（a+b）．
点评：本题考查了平方差公式的几何表示，解决本题的关键是得到阴影部分的面积的两种表示形式．
11. 将边长分别为（a+b）和（a-b ）的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面
积化简后的结果是4ab ．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：此题要根据已知条件先求出两个正方形的面积，边长为（a+b）的正方形的面积减去边长为（a-b ）的正方形的面积，即得阴影部分的面积．
解答：解：S1=（a+b）2，S2=（a-b ）2，
S1-S2=（a+b）2-（a-b ）2，
=（a+b-a+b）（a+b+a-b），
=2b•2a ，
=4ab．
故答案为：4ab ．
点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，明白正方形的面积公式，结合图形了解阴影部分面积的求法是解题的关键．
12. 如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的正方形（a ＞b ），把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）面积，验证了一个等式，此等式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：左边图形中阴影部分的面积是a2-b2，右边图形中阴影部分的面积是（a+b）（a-b ），根据阴影部分的面积相等得．
解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
13. 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．
（Ⅰ）根据下列所示图形写出一个代数恒等式（a+b）2-（a-b ）2=4ab或（a+b）2=（a-b ）2+4ab或（a+b）2-4ab=（a-b ）2等．
（Ⅱ）已知正数a 、b 、c 和m 、n 、l ，满足a+m=b+n=c+l=k．试构造边长为k 的正方形：
，
利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2并简述理由：因为a+m=b+n=c+l=k，显然有al+bm+cn＜k2．
考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．析：（Ⅰ）从完全平方出发，括号内一个是加，一个是减，两者之差从而解得；
（Ⅱ）从基本图形出发，得到al+bm+cn的数值，从而解得．
解答：解：（Ⅰ）（a+b）2-（a-b ）2=4ab或（a+b）2=（a-b ）2+4ab或（a+b）2-4ab=（a-b ）2等；
（Ⅱ）因为a+m=b+n=c+l=k，显然有al+bm+cn＜k2
点评：本题考查了平方差公式的背景，（Ⅰ）从完全平方出发的值大于等于0为出发点，算起即可．（Ⅱ）从基本图形出发，得到al+bm+cn的数值这一基数，与其他代数式对比即得．
14. 如图（1），边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证的乘法公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a 的正方形的面积减去边长是b 的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b ）的长方形，面积是（a+b）（a-b ）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
解答：解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
故答案为a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
15. 小明同学将（图）中的阴影部分（边长为m 的大正方形中有一个边长为n 的小正方形），拼成了一个长方形（如图），比较两图阴影部分的面积，可以得到的结论是m2-n2=（m-n ）（m+n）（用含m ，n 的式子表示）
考点：平方差公式的几何背景．
分析：根据题意分别求得（1）与（2）中阴影部分的面积，由两图形阴影面积相等，即可求得答案．
解答：解：根据题意得：
（1）中阴影部分的面积为：m2-n2；
（2）中阴影部分的面积为：（m+n）（m-n ）．
∵两图形阴影面积相等，
∴可以得到的结论是：m2-n2=（m-n ）（m+n）．
故答案为：m2-n2=（m-n ）（m+n）．
点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
16. 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式a2-b2=（a+b）（a-b ）（用式子表达）．
考点：平方差公式的几何背景．
分析：首先利用梯形与正方形面积求解方法表示出两个图形中的阴影部分的面积，又由两图形阴影面积相等，即可得到答案．
解答：解：∵梯形的面积为：（2a+2b）（a-b ）÷2=（a+b）（a-b ），
正方形中阴影部分的面积为：a2-b2．
∴a2-b2=（a+b）（a-b ）．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
17. 如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是a2-b2=（a+b）（a-b ） ．
考点：平方差公式的几何背景．专题：常规题型．
分析：分别表示出两个图形中的阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．
解答：解：左边图形中，阴影部分的面积=a2-b2，
右边图形中，阴影部分的面积=（a+b）（a-b ），
∵两个图形中的阴影部分的面积相等，
∴a2-b2=（a+b）（a-b ）．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）．
点评：本题考查了平方差公式的几何解释，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．
18. （1）如图（1），反映的公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）．
（2）如图（2），反映的公式是a2+2ab+b2=（a+b）2．
考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．专题：几何图形问题．
分析：（1）利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a-b ，根据两者相等，即可验证平方差公式．
（2）从图上可看出大正方形的面积是由2个边长分别为a 、b 的正方形，2个长为b ，宽为a 的长方形组成．所以正方形的面积a2+2ab+b2=（a+b）2．
解答：解：（1）如图（1），反映的公式是a2-b2=（a+b）（a-b ）；
（2）如图（2），反映的公式是a2+2ab+b2=（a+b）2．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b ）；a2+2ab+b2=（a+b）2．
点评：（1）本题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
（2）本题考查了完全平方公式几何意义，解题关键是能看出图形之间的关系：大正方形的面积是由2个边长分别为a ，b 的正方形，和2个长为b ，宽为a 的长方形组成．把对应的数据代入即可．
19. 如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个乘法公式，则这个乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
考点：平方差公式的几何背景．专题：常规题型．
分析：第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a 的正方形的面积减去边长是b 的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b ）的长方形，面积是（a+b）（a-b ）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
解答：解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b ）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b ）=a2-b2．
故答案为：（a+b）（a-b ）=a2-b2．
点评：本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．