东华大学数学建模试题(样卷及解答要点) 班级 姓名 学号 得分 一、（15分）篮球队8名队员身高及擅长位置见下表
队员
身高
位置 中锋 中锋 前锋 前锋 前锋 后卫 后卫 后卫 出场阵容应满足以下条件
（1）只能有一名中锋上场；
（2）至少有一名后卫；
（3）如1号和4号均上场，则6号不能出场；
（4）2号和8号至少有一名不上场。
问应当选择哪5名队员上场，才能使出场队员平均身高最高。试建立线性整数规划模型，不必求解。
解：设 x i =1(队员i 上场) 或0(队员i 不上场). 用a i 表示队员i 身高。(5分) 0-1规划模型
max ∑a i x i
i =18
⎧x 1+x 2≤1⎪x +x +x ≥1⎪678
⎪x 1+x 4+x 6≤2(10分) ⎪⎨x 2+x 8≤1
⎪8⎪∑⎪i =1⎪x =0或1⎩i
二、(15分) 考虑甲肝在一个封闭的人群中流行传播。人群分为三类：易感染类（健康者）记作A; 感染者（带菌的病人）记作B ；移出类（病愈免疫、与易感染类隔离、病死）记作C 。流行病是由易感染类和感染者的相互接触而传播。试作适当假设，建立甲肝流行的数学模型。
解：假设(1)每个B 类人每天有效接触人数λ, 当B 类人有效接触A 类人, 则使之成为B 类人; (2) B类人日移出率(含病愈, 隔离, 死亡) 为μ; (3)总人数N=A+B+C. (5分)
那么在[t, t+dt]内,
A(t+dt)-A(t)= - λAB/Ndt
B(t+dt)-B(t)= (λAB/N-μB)dt (5分)
微分方程模型
dA AB =−λdt N
dB AB =λ−μB (5分) dt N
A +B +C =N
注: 将A, B,C理解为比例, 从而设A+B+C=1也可以.
三、（15分）考虑有人类捕猎行为的被食者x — 捕食者y 系统模型
dx =ax −bxy −cx dt dy =−dy +exy −fy dt
（1）说出参数a, b, c, d, e, f（均为非负数）的含义；
（2）由模型说明：人类适当地捕猎行为将有利于被食者，但过度捕猎会导致动
物灭绝；
（3）为了可持续发展，求人类捕猎参数允许范围。
解: (1) a为被食者的自然增长率, b为捕食者掠取被食者的能力, c为人类捕猎被食者的强度, d为捕食者的自然死亡率, e被食者对捕食者的供养能力, f为人类捕猎捕食者的强度. (5分)
(2)系统的平衡点为P(0, 0), Q((d+f)/e, (a-c)/b).
−bx ⎛a −by −c 由Jacobi 矩阵A =⎜ey −d +ex −⎝⎞⎟分析知: 当c, f很小, P不稳定, Q附f ⎠
近有周期解, 且x , y 周期平均为Q . 而(d+f)/e>d /e, 所以人类适当地捕猎行为将有利于被食者. (5分)
(3)当c ≥a, 通过Jacobi 矩阵和相轨线分析知P(0, 0)全局稳定, x(t)→0, y(t)→0. 从而为了可持续发展，c
注: 对于(3), 当c ≥a, 直接从方程证x(t)→0, y(t)→0也可以.
四、（20分）某大学生即将毕业就业，在选择单位时他主要考虑如下因素
(A) 单位的工资待遇；
(B) 单位的社会地位；
(C) 单位的地域条件；
(D) 本人的兴趣爱好。
它比较上述各种因素得到成对比较阵(表中数字表示行因素相对于列因素的重要性) ：
D
1/3
1
1/2
1
（1）试根据上述成对比较阵求层次分析法的权向量（即各因素的重要性权数）。
（2）现在他准备在甲和乙两份工作中选一份。他给两份工作各因素满意度打分如下：
因素 工资待遇 社会地位 地域条件 兴趣爱好
甲
乙
根据层次分析法，他应选哪一份工作？
解: (1)利用和法近似求权向量: 先归一化得
2/13 3/17 1/4 2/17
4/13 6/17 3/8 6/17
1/13 2/17 1/8 3/17 (5分)
6/13 6/17 1/4 6/17
归一化权向量[0.1745, 0.3471, 0.1240, 0.3544] (5分)
(2) 甲=0.8×0.1745+0.5× 0.3471+0.5×0.1240+0.2×0.3544=0.4460
乙=0.5×0.1745+0.6× 0.3471+0.4×0.1240+0.5×0.3544=0.5223(5分)
应选乙. (5分)
注: 用根法也可以, 但用特征值太复杂, 考试不合适.
五、（15分）某商店要订购一批商品零售， 设每件商品购进价p 1, 售出价p 2, 储存费p 3, 一次性订购费c 0， 需求量r 为一随机变量， 密度函数为f(r)。问如何确定订购量才能使得平均利润最大？并求一次性订购费c 0的合理范围。 解: 设订购量u, 那么利润
⎧p r −[c 0+p 1u +p 3(u −r )],r ≤u J (u ) =⎨2 p 2u −[c 0+p 1u ],r >u ⎩
期望利润
EJ (u ) =p 2(∫rf (r )d r +∫uf (r )d r ) −[c 0+p 1u +p 3∫(u −r ) f (r )d r ](5分) 0u 0u ∞u
由d EJ (u )/du =0, 得
p 2(uf (u ) +∫f (r ) dr −uf (u )) −(p 1+p 3∫f (r ) dr ) =0 u 0∞u
从而最优订购量u*满足
∫
∫
u *0∞u *f (r ) dr f (r ) dr =p 2−p 1(5分) p 3+p 1
这时
EJ (u ) =(p 2+p 3) ∫rf (r )d r −c 0 0u *
合理的c 0应使得EJ(u)>0, 从而c 0
六、（20分）在一个拥挤的隧道里至少保持多大的车距可以使行车安全？保持多大的车距可以使通过隧道车流量最大？试给出适当假设，建立这一问题的数学模型并依据模型分析一些规律。
解: 设隧道里车速为u, T表示驾车人的动作反应时间, 那么安全距离(两个车头之间距离) 为
d=Tu+0.5au2+L
这里a 为刹车减速度. L 为车身长度. (5分)
设车辆速度u 取决于车辆密度ρ, 当ρ≤ρc , u达到最大速度u m . 当ρ≥ρm , u=0.第n 辆汽车位置x n (t), 速度u n (t)=dxn (t)/dt, 车辆跟随时加速度正比于较之前一辆车的相对速度, 反比于两车距离那么
du n (t+T)/dt=-c(un (t)-un-1(t))/( xn-1(t)-xn (t))
这里c 为系数. 积分得
u n (t+T) =cln|xn-1(t)-xn (t)|+dn
设车流处于平稳状态, 因而
x n-1(t)-xn (t)=1/ρ, un (t+T)=un (t)
那么 u=-clnρ+d. 再根据u(ρm )=0得到d=clnρm . 这样u=cln(ρm /ρ). 总之
u m ρ≤ρc ⎧⎪u (ρ) =⎨c ln(ρm /ρ) ρc
⎪0ρ>ρm ⎩
流量
ρ≤ρc ⎧u m ρ⎪q (ρ) =ρu (ρ) =⎨c ln(ρm /ρ) ρc
⎪0ρ>ρm ⎩
当ρ*=ρm /e, 流量达到最大. 这时车距d=1/ρ*.(5分)
注: 本题无标准答案, 任何合理的模型都可以得到10~15分. 前半部分是刹车模型, 后半部分是车辆跟随模型. 模型应包含下列要素: (1)刹车距离与速度的关系; (2)速度, 密度与流量的关系. (3) 流量最大化.
东华大学数学建模试题(样卷及解答要点) 班级 姓名 学号 得分 一、（15分）篮球队8名队员身高及擅长位置见下表
队员
身高
位置 中锋 中锋 前锋 前锋 前锋 后卫 后卫 后卫 出场阵容应满足以下条件
（1）只能有一名中锋上场；
（2）至少有一名后卫；
（3）如1号和4号均上场，则6号不能出场；
（4）2号和8号至少有一名不上场。
问应当选择哪5名队员上场，才能使出场队员平均身高最高。试建立线性整数规划模型，不必求解。
解：设 x i =1(队员i 上场) 或0(队员i 不上场). 用a i 表示队员i 身高。(5分) 0-1规划模型
max ∑a i x i
i =18
⎧x 1+x 2≤1⎪x +x +x ≥1⎪678
⎪x 1+x 4+x 6≤2(10分) ⎪⎨x 2+x 8≤1
⎪8⎪∑⎪i =1⎪x =0或1⎩i
二、(15分) 考虑甲肝在一个封闭的人群中流行传播。人群分为三类：易感染类（健康者）记作A; 感染者（带菌的病人）记作B ；移出类（病愈免疫、与易感染类隔离、病死）记作C 。流行病是由易感染类和感染者的相互接触而传播。试作适当假设，建立甲肝流行的数学模型。
解：假设(1)每个B 类人每天有效接触人数λ, 当B 类人有效接触A 类人, 则使之成为B 类人; (2) B类人日移出率(含病愈, 隔离, 死亡) 为μ; (3)总人数N=A+B+C. (5分)
那么在[t, t+dt]内,
A(t+dt)-A(t)= - λAB/Ndt
B(t+dt)-B(t)= (λAB/N-μB)dt (5分)
微分方程模型
dA AB =−λdt N
dB AB =λ−μB (5分) dt N
A +B +C =N
注: 将A, B,C理解为比例, 从而设A+B+C=1也可以.
三、（15分）考虑有人类捕猎行为的被食者x — 捕食者y 系统模型
dx =ax −bxy −cx dt dy =−dy +exy −fy dt
（1）说出参数a, b, c, d, e, f（均为非负数）的含义；
（2）由模型说明：人类适当地捕猎行为将有利于被食者，但过度捕猎会导致动
物灭绝；
（3）为了可持续发展，求人类捕猎参数允许范围。
解: (1) a为被食者的自然增长率, b为捕食者掠取被食者的能力, c为人类捕猎被食者的强度, d为捕食者的自然死亡率, e被食者对捕食者的供养能力, f为人类捕猎捕食者的强度. (5分)
(2)系统的平衡点为P(0, 0), Q((d+f)/e, (a-c)/b).
−bx ⎛a −by −c 由Jacobi 矩阵A =⎜ey −d +ex −⎝⎞⎟分析知: 当c, f很小, P不稳定, Q附f ⎠
近有周期解, 且x , y 周期平均为Q . 而(d+f)/e>d /e, 所以人类适当地捕猎行为将有利于被食者. (5分)
(3)当c ≥a, 通过Jacobi 矩阵和相轨线分析知P(0, 0)全局稳定, x(t)→0, y(t)→0. 从而为了可持续发展，c
注: 对于(3), 当c ≥a, 直接从方程证x(t)→0, y(t)→0也可以.
四、（20分）某大学生即将毕业就业，在选择单位时他主要考虑如下因素
(A) 单位的工资待遇；
(B) 单位的社会地位；
(C) 单位的地域条件；
(D) 本人的兴趣爱好。
它比较上述各种因素得到成对比较阵(表中数字表示行因素相对于列因素的重要性) ：
D
1/3
1
1/2
1
（1）试根据上述成对比较阵求层次分析法的权向量（即各因素的重要性权数）。
（2）现在他准备在甲和乙两份工作中选一份。他给两份工作各因素满意度打分如下：
因素 工资待遇 社会地位 地域条件 兴趣爱好
甲
乙
根据层次分析法，他应选哪一份工作？
解: (1)利用和法近似求权向量: 先归一化得
2/13 3/17 1/4 2/17
4/13 6/17 3/8 6/17
1/13 2/17 1/8 3/17 (5分)
6/13 6/17 1/4 6/17
归一化权向量[0.1745, 0.3471, 0.1240, 0.3544] (5分)
(2) 甲=0.8×0.1745+0.5× 0.3471+0.5×0.1240+0.2×0.3544=0.4460
乙=0.5×0.1745+0.6× 0.3471+0.4×0.1240+0.5×0.3544=0.5223(5分)
应选乙. (5分)
注: 用根法也可以, 但用特征值太复杂, 考试不合适.
五、（15分）某商店要订购一批商品零售， 设每件商品购进价p 1, 售出价p 2, 储存费p 3, 一次性订购费c 0， 需求量r 为一随机变量， 密度函数为f(r)。问如何确定订购量才能使得平均利润最大？并求一次性订购费c 0的合理范围。 解: 设订购量u, 那么利润
⎧p r −[c 0+p 1u +p 3(u −r )],r ≤u J (u ) =⎨2 p 2u −[c 0+p 1u ],r >u ⎩
期望利润
EJ (u ) =p 2(∫rf (r )d r +∫uf (r )d r ) −[c 0+p 1u +p 3∫(u −r ) f (r )d r ](5分) 0u 0u ∞u
由d EJ (u )/du =0, 得
p 2(uf (u ) +∫f (r ) dr −uf (u )) −(p 1+p 3∫f (r ) dr ) =0 u 0∞u
从而最优订购量u*满足
∫
∫
u *0∞u *f (r ) dr f (r ) dr =p 2−p 1(5分) p 3+p 1
这时
EJ (u ) =(p 2+p 3) ∫rf (r )d r −c 0 0u *
合理的c 0应使得EJ(u)>0, 从而c 0
六、（20分）在一个拥挤的隧道里至少保持多大的车距可以使行车安全？保持多大的车距可以使通过隧道车流量最大？试给出适当假设，建立这一问题的数学模型并依据模型分析一些规律。
解: 设隧道里车速为u, T表示驾车人的动作反应时间, 那么安全距离(两个车头之间距离) 为
d=Tu+0.5au2+L
这里a 为刹车减速度. L 为车身长度. (5分)
设车辆速度u 取决于车辆密度ρ, 当ρ≤ρc , u达到最大速度u m . 当ρ≥ρm , u=0.第n 辆汽车位置x n (t), 速度u n (t)=dxn (t)/dt, 车辆跟随时加速度正比于较之前一辆车的相对速度, 反比于两车距离那么
du n (t+T)/dt=-c(un (t)-un-1(t))/( xn-1(t)-xn (t))
这里c 为系数. 积分得
u n (t+T) =cln|xn-1(t)-xn (t)|+dn
设车流处于平稳状态, 因而
x n-1(t)-xn (t)=1/ρ, un (t+T)=un (t)
那么 u=-clnρ+d. 再根据u(ρm )=0得到d=clnρm . 这样u=cln(ρm /ρ). 总之
u m ρ≤ρc ⎧⎪u (ρ) =⎨c ln(ρm /ρ) ρc
⎪0ρ>ρm ⎩
流量
ρ≤ρc ⎧u m ρ⎪q (ρ) =ρu (ρ) =⎨c ln(ρm /ρ) ρc
⎪0ρ>ρm ⎩
当ρ*=ρm /e, 流量达到最大. 这时车距d=1/ρ*.(5分)
注: 本题无标准答案, 任何合理的模型都可以得到10~15分. 前半部分是刹车模型, 后半部分是车辆跟随模型. 模型应包含下列要素: (1)刹车距离与速度的关系; (2)速度, 密度与流量的关系. (3) 流量最大化.