双动点的最值问题
1．如图，在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC 上动点, 求PE+PF最小值
分折:作E 关于AC 所直线的对称点E ’, 于是有,PE+PF=PF+PE’≥E ’F, 又因为E 在AB 上运动, 故当EF 和AD,BC 垂直时，E0F
最短, 易求
2．如图, 矩形ABCD 中,AB=20,BC=10,若AC,AB 是各有一个动点M,N, 求BM+MN最小值.
分析:作B 关于AC 的对称点B ’, 于是BM+MN=B’M+MN≥B ’N, 由于N 在AB 上运动, 当N 运动到N 0时,B ’N 0⊥AB, B ’N 最短为B ’N 0, 易求
BH=,BB ’
=，由△B ’N0B ∽△ABC, 求得
B ’N 0=16.
3. 在矩形ABCD 中，AB=20，AD=10，在AB 和对角线AC 上各有一动点N 、M ， 问：应该如何确定M 、N 的位置才能使线段MN+BM的值最小？
并求MN+BM的最小值。
4．如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO ，BO 上有两动点Q ，R ，求△PQR 周长的最小值。
分折：作P 关于OA ，OB 对称点P 1，P 2 。
于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP≥P P ， 212
由对称性易知△P 1OP 2为等腰
RT △,OP=OP1=OP2=10,P1P 2
=
双动点的最值问题
1．如图，在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC 上动点, 求PE+PF最小值
分折:作E 关于AC 所直线的对称点E ’, 于是有,PE+PF=PF+PE’≥E ’F, 又因为E 在AB 上运动, 故当EF 和AD,BC 垂直时，E0F
最短, 易求
2．如图, 矩形ABCD 中,AB=20,BC=10,若AC,AB 是各有一个动点M,N, 求BM+MN最小值.
分析:作B 关于AC 的对称点B ’, 于是BM+MN=B’M+MN≥B ’N, 由于N 在AB 上运动, 当N 运动到N 0时,B ’N 0⊥AB, B ’N 最短为B ’N 0, 易求
BH=,BB ’
=，由△B ’N0B ∽△ABC, 求得
B ’N 0=16.
3. 在矩形ABCD 中，AB=20，AD=10，在AB 和对角线AC 上各有一动点N 、M ， 问：应该如何确定M 、N 的位置才能使线段MN+BM的值最小？
并求MN+BM的最小值。
4．如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO ，BO 上有两动点Q ，R ，求△PQR 周长的最小值。
分折：作P 关于OA ，OB 对称点P 1，P 2 。
于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP≥P P ， 212
由对称性易知△P 1OP 2为等腰
RT △,OP=OP1=OP2=10,P1P 2
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