第四套
1. 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理
由。 (1) y (n ) =
1N
N -1
∑
k =0
x (n -k )
(2) y (n ) =x (n ) +x (n +1) (3) y (n ) =e 解：
（1）只要N ≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果|x (n ) |≤M ，则|y (n ) |≤M ，因此系统是稳定系统。
（2）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x (n ) |≤M ，则|y (n ) |≤|x (n ) |+|x (n +1) |≤2M ，因此系统是稳定的。
（3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果
|x (n ) |≤M
x (n )
，则|y (n ) |=|e
x (n )
|≤e
|x (n )|
≤e ，因此系统是稳定的。
M
2. 工程实际中，经常采用数字滤波器对模拟信号进行滤波处理，处理系统框
图如图所示。图中T 为采样周期，假设T 满足采样定理（无频率混叠失真）。把从x a (t ) 到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。
(a)如果数字滤波器h(n)的截止频率为w c =
效系统的截止频率Ωc 。 (b)对于解：
(a) 对采样数字滤波器，w =ΩT ，所以
1T
π
8
ra d
，
1T
=10 kHz，求整个等
=20 kHz，重复(a)。
w c =Ωc T = Ωc =
w c T =
π
8
π
T
π
8T
最后一级理想低通滤波器的截止频率为率由Ωc =
π
8T
rad/s，因此整个系统截止频
rad/s确定。
Ωc 2π116T
=
116T
=1000016
=625
f c =
Hz
(b) 当1/T=20 Hz时，与(a)同样道理得： f c =
=2000016
=1250
Hz
3. 求以下序列x(n)的频谱X (e jw )
(1)X (e jw ) =X (z ) |z =e =
jw
11-e e
-a
-jw
(2) e -an u (n ) 解：
（1）X (z ) =Z [x (n )]=Z [δ(n -n 0)]=z -n
X (e jw ) =X (z ) |z =e =e -jn w
jw
（2）X (z ) =Z [e -an u (n )]= X (e jw ) =X (z ) |z =e =
jw
11-e
-a
z
-1
1
11-e e
-a
-jw
4. 设h(n)为一个LSI 系统的单位采样响应，h(n)= () n +2u (n -2) , 求其频
3
率响应。
解：其频率响应为：
∞
∞
H (e jw ) =
∑
n =-∞
h (n ) e
-jnw
=
∑(3)
2
1
n +2
e
-jnw
改变这个和的下限以使其开始于n=0，得：
∞
H (e jw ) =利用几何级数，得
∑(3)
n =0
1
n +4
e
-j (n +2) w
=() e
3
1
∞
4
-2jw
∑(3e
n =0
1
n
-jw
)
H (e ) =()
jw
1
4
e 1-
-2jw
3
13
e
-jw
⎧N j θ⎪2e , ⎪⎪N
5. 已知X(k) =⎨e -j θ,
⎪2⎪0, ⎪⎩
k =m k =N -m 其它k
，其中，m 为正整数，0
N 2
，N
为变换区间长度，求x(n)=IDFT[X(k)]。 解：
x (n ) =ID FT [X (k )]=
1N 12N 2
2πN
1N
N -1
∑
k =0
X (k ) W N
2πN
-kn
=[e e
2πN
j θ
j m n
+
N 2
e
-j θ
e
j (N -m ) n
]
=[e
j (m n +θ)
+e
-j (
2πN
m n +θ)
]
=cos(
2πN
m n +θ) n=0,1 , N -1
6. 已知两个有限长序列为x (n ) =⎨
⎧n +1, ⎩0,
0≤n ≤34≤n ≤6
，y (n ) =⎨
⎧-1, ⎩1,
0≤n ≤45≤n ≤6
，试
用作图表示想x(n),y(n)以及f(n),f(n)为x(n)与y(n)的七点圆周卷积。 解：
利用圆周卷积公式求解得：
7. 已知调幅信号的载波频率f c =1kH z ，调制信号频率f m =100H z ，用FFT 对
其进行谱分析，试问：
（1）最小记录时间T p m in =？ （2）最低采样频率f s m in =？ （3）最少采样点数N m in =？
解：由已知条件得知，已调AM 信号的最高频率f m ax =1.1kH z ，频率分辨率
F ≤100H z
。所以，
1F =
1100
=0.01s =10m s
（1）T p m in =
（2）f s min =2f max =2.2kH z （3）N m in =
T p T m ax
=T p f s m in =10⨯10
-3
⨯2.2⨯10=22
3
8. N＝16时，画出基2按频率抽取法的FFT 流图（采用输入自然顺序，输出
倒位序）
解：图略，课本上有。
9. 已知X （k ）,Y(k)是两个N 点实序列x(n),y(n)的DFT 值，今需要从X （k ）,Y(k)
求x(n),y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成。 解：依据题意
x(n) ⇔X (k )，y (n )⇔Y (k ) 取序列
Z (k )=X (k )+jY (k )
对Z (k )作N 点的IFFT 可得序列z(n). 又根据DFT 性质
IDFT ⎡⎣X (K )⎤⎦+jIDFT ⎡⎣Y (k )⎤⎦=x (n )+jy (n )
由原题可知，x(n),y(n)都是实序列。再根据z （n ）=x(n)+jy(n),可得
x(n)=Re[z(n)] y(n)=Im[z(n)]
10. 已知滤波器的单位脉冲响应h (n ) =0.9n R 5(n ) , 求出该滤波器的系统函数，并
画出期直接型结构。 解：
h (n ) =0.9n R 5(n )
∞
4
H (z ) =
∑
n =-∞
0.9R 5(n ) z
n -n
=
∑0.9
n =0
n
z
-n
=
1-0.59049z 1-0.9z
-1
-5
画出其直接型结构图。
y(n) -0.59
0.9 z
-1
11. 设计一模拟滤波器 H a (s ) =
1s +s +1
2
抽样周期T ＝2，试用双线性变换法将它转换成数字系统函数H （z ）。 解： 由变换公式
1-z s =c -1
1+z
-1
及c =
2T
,T=2,可得
1-z 1+z
-1-1
s =
所以
H (z ) =H a (s ) |
s =
1-z 1+z
-1-1
=
1
(1-z 1+z
-1-1-1
=
) +(
2
2
1-z 1+z
-1-1
) +1
(1+z ) 3+z
-2
12. 设计第一类线性相位FIR 高通数字滤波器，3dB 截止频率ωc ＝
3π4
±
π
16
rad
，
阻带最小衰减αs =50dB ，过渡带宽度∆ω=π/16。用窗函数法设计。 解：根据设计要求，N 必须取奇数。按照设计流程进行设计。 （1）确定逼近理想高通频响函数H d (e jw ) : H d (e
（2）求h d (n ) ： h d (n ) = =
12π
12π
j ω
⎧e -j ωα, ωc ≤|ω|≤π) =⎨ ⎩0, 0≤|ω|≤ωc
⎰πH
-
π
d
(e
jw
) e
j ωn
d ω
[⎰
-ωc -π
e
-jw α
e
j ωn
d ω+
⎰ω
π
c
e
-jw α
e
j ωn
d ω]
= 其中α=
{sin ⎡⎣π(n -α)⎤⎦-sin [ω
π(n -α)
2
1
c
(n -α) ]
}
N -1
。
（3） 选择窗函数类型，估计窗函数长度N ，根据阻带最小衰减αs =50dB ，
查表，可选择汉明窗。表中给出汉明窗设计的滤波器过渡带宽度为8π/N，本题要求过渡带宽度∆ω=π/16，所以应满足π/16＝8π/N，N ＝128。但N 必须取奇数，故取N ＝129。
（4） 加窗设计h (n ) =h d (n ) ω(n )：汉明窗的表达式为 ωH m (n )=⎢0.54-0.46cos
⎣⎡
⎛2πn ⎫⎤
⎪⎥R N (n ) ⎝N -1⎭⎦
代入N ＝129，α= h (n ) ＝
N -12
＝64，ωc ＝
3π4
，得到
⎧⎡3π⎤⎫
πn -64-sin (n -64) ⎤()⎨sin ⎡⎣⎦⎢4⎥⎬ π(n -64) ⎩⎣⎦⎭
1
⎢0.54-0.46cos
⎣
⎡
⎛2πn ⎫⎤
⎪⎥R 128(n ) ⎝128⎭⎦
第四套
1. 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理
由。 (1) y (n ) =
1N
N -1
∑
k =0
x (n -k )
(2) y (n ) =x (n ) +x (n +1) (3) y (n ) =e 解：
（1）只要N ≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果|x (n ) |≤M ，则|y (n ) |≤M ，因此系统是稳定系统。
（2）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x (n ) |≤M ，则|y (n ) |≤|x (n ) |+|x (n +1) |≤2M ，因此系统是稳定的。
（3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果
|x (n ) |≤M
x (n )
，则|y (n ) |=|e
x (n )
|≤e
|x (n )|
≤e ，因此系统是稳定的。
M
2. 工程实际中，经常采用数字滤波器对模拟信号进行滤波处理，处理系统框
图如图所示。图中T 为采样周期，假设T 满足采样定理（无频率混叠失真）。把从x a (t ) 到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。
(a)如果数字滤波器h(n)的截止频率为w c =
效系统的截止频率Ωc 。 (b)对于解：
(a) 对采样数字滤波器，w =ΩT ，所以
1T
π
8
ra d
，
1T
=10 kHz，求整个等
=20 kHz，重复(a)。
w c =Ωc T = Ωc =
w c T =
π
8
π
T
π
8T
最后一级理想低通滤波器的截止频率为率由Ωc =
π
8T
rad/s，因此整个系统截止频
rad/s确定。
Ωc 2π116T
=
116T
=1000016
=625
f c =
Hz
(b) 当1/T=20 Hz时，与(a)同样道理得： f c =
=2000016
=1250
Hz
3. 求以下序列x(n)的频谱X (e jw )
(1)X (e jw ) =X (z ) |z =e =
jw
11-e e
-a
-jw
(2) e -an u (n ) 解：
（1）X (z ) =Z [x (n )]=Z [δ(n -n 0)]=z -n
X (e jw ) =X (z ) |z =e =e -jn w
jw
（2）X (z ) =Z [e -an u (n )]= X (e jw ) =X (z ) |z =e =
jw
11-e
-a
z
-1
1
11-e e
-a
-jw
4. 设h(n)为一个LSI 系统的单位采样响应，h(n)= () n +2u (n -2) , 求其频
3
率响应。
解：其频率响应为：
∞
∞
H (e jw ) =
∑
n =-∞
h (n ) e
-jnw
=
∑(3)
2
1
n +2
e
-jnw
改变这个和的下限以使其开始于n=0，得：
∞
H (e jw ) =利用几何级数，得
∑(3)
n =0
1
n +4
e
-j (n +2) w
=() e
3
1
∞
4
-2jw
∑(3e
n =0
1
n
-jw
)
H (e ) =()
jw
1
4
e 1-
-2jw
3
13
e
-jw
⎧N j θ⎪2e , ⎪⎪N
5. 已知X(k) =⎨e -j θ,
⎪2⎪0, ⎪⎩
k =m k =N -m 其它k
，其中，m 为正整数，0
N 2
，N
为变换区间长度，求x(n)=IDFT[X(k)]。 解：
x (n ) =ID FT [X (k )]=
1N 12N 2
2πN
1N
N -1
∑
k =0
X (k ) W N
2πN
-kn
=[e e
2πN
j θ
j m n
+
N 2
e
-j θ
e
j (N -m ) n
]
=[e
j (m n +θ)
+e
-j (
2πN
m n +θ)
]
=cos(
2πN
m n +θ) n=0,1 , N -1
6. 已知两个有限长序列为x (n ) =⎨
⎧n +1, ⎩0,
0≤n ≤34≤n ≤6
，y (n ) =⎨
⎧-1, ⎩1,
0≤n ≤45≤n ≤6
，试
用作图表示想x(n),y(n)以及f(n),f(n)为x(n)与y(n)的七点圆周卷积。 解：
利用圆周卷积公式求解得：
7. 已知调幅信号的载波频率f c =1kH z ，调制信号频率f m =100H z ，用FFT 对
其进行谱分析，试问：
（1）最小记录时间T p m in =？ （2）最低采样频率f s m in =？ （3）最少采样点数N m in =？
解：由已知条件得知，已调AM 信号的最高频率f m ax =1.1kH z ，频率分辨率
F ≤100H z
。所以，
1F =
1100
=0.01s =10m s
（1）T p m in =
（2）f s min =2f max =2.2kH z （3）N m in =
T p T m ax
=T p f s m in =10⨯10
-3
⨯2.2⨯10=22
3
8. N＝16时，画出基2按频率抽取法的FFT 流图（采用输入自然顺序，输出
倒位序）
解：图略，课本上有。
9. 已知X （k ）,Y(k)是两个N 点实序列x(n),y(n)的DFT 值，今需要从X （k ）,Y(k)
求x(n),y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成。 解：依据题意
x(n) ⇔X (k )，y (n )⇔Y (k ) 取序列
Z (k )=X (k )+jY (k )
对Z (k )作N 点的IFFT 可得序列z(n). 又根据DFT 性质
IDFT ⎡⎣X (K )⎤⎦+jIDFT ⎡⎣Y (k )⎤⎦=x (n )+jy (n )
由原题可知，x(n),y(n)都是实序列。再根据z （n ）=x(n)+jy(n),可得
x(n)=Re[z(n)] y(n)=Im[z(n)]
10. 已知滤波器的单位脉冲响应h (n ) =0.9n R 5(n ) , 求出该滤波器的系统函数，并
画出期直接型结构。 解：
h (n ) =0.9n R 5(n )
∞
4
H (z ) =
∑
n =-∞
0.9R 5(n ) z
n -n
=
∑0.9
n =0
n
z
-n
=
1-0.59049z 1-0.9z
-1
-5
画出其直接型结构图。
y(n) -0.59
0.9 z
-1
11. 设计一模拟滤波器 H a (s ) =
1s +s +1
2
抽样周期T ＝2，试用双线性变换法将它转换成数字系统函数H （z ）。 解： 由变换公式
1-z s =c -1
1+z
-1
及c =
2T
,T=2,可得
1-z 1+z
-1-1
s =
所以
H (z ) =H a (s ) |
s =
1-z 1+z
-1-1
=
1
(1-z 1+z
-1-1-1
=
) +(
2
2
1-z 1+z
-1-1
) +1
(1+z ) 3+z
-2
12. 设计第一类线性相位FIR 高通数字滤波器，3dB 截止频率ωc ＝
3π4
±
π
16
rad
，
阻带最小衰减αs =50dB ，过渡带宽度∆ω=π/16。用窗函数法设计。 解：根据设计要求，N 必须取奇数。按照设计流程进行设计。 （1）确定逼近理想高通频响函数H d (e jw ) : H d (e
（2）求h d (n ) ： h d (n ) = =
12π
12π
j ω
⎧e -j ωα, ωc ≤|ω|≤π) =⎨ ⎩0, 0≤|ω|≤ωc
⎰πH
-
π
d
(e
jw
) e
j ωn
d ω
[⎰
-ωc -π
e
-jw α
e
j ωn
d ω+
⎰ω
π
c
e
-jw α
e
j ωn
d ω]
= 其中α=
{sin ⎡⎣π(n -α)⎤⎦-sin [ω
π(n -α)
2
1
c
(n -α) ]
}
N -1
。
（3） 选择窗函数类型，估计窗函数长度N ，根据阻带最小衰减αs =50dB ，
查表，可选择汉明窗。表中给出汉明窗设计的滤波器过渡带宽度为8π/N，本题要求过渡带宽度∆ω=π/16，所以应满足π/16＝8π/N，N ＝128。但N 必须取奇数，故取N ＝129。
（4） 加窗设计h (n ) =h d (n ) ω(n )：汉明窗的表达式为 ωH m (n )=⎢0.54-0.46cos
⎣⎡
⎛2πn ⎫⎤
⎪⎥R N (n ) ⎝N -1⎭⎦
代入N ＝129，α= h (n ) ＝
N -12
＝64，ωc ＝
3π4
，得到
⎧⎡3π⎤⎫
πn -64-sin (n -64) ⎤()⎨sin ⎡⎣⎦⎢4⎥⎬ π(n -64) ⎩⎣⎦⎭
1
⎢0.54-0.46cos
⎣
⎡
⎛2πn ⎫⎤
⎪⎥R 128(n ) ⎝128⎭⎦