2016年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分
1．下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（ ）
A ．﹣2 B ．2 C ．0 D ．﹣
2．计算32×3﹣1的结果是（ ）
A ．3 B ．﹣3 C ．2 D ．﹣2
3．下列图形中，属于立体图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
4． +的运算结果正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．a+b
5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级
B ．八年级的学生人数为262名
C ．八年级的合格率高于全校的合格率
D ．九年级的合格人数最少
6．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+x+2=0 C．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0
7．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（ ）
A ．13 B ．17 C ．20 D ．26
8．在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ）
A ．M （2，﹣3），N （﹣4，6） B．M （﹣2，3），
N
（
4
，
6
）
C
．
M
（﹣2，﹣3），N （4，﹣6） D ．M （2，3），N （﹣4，6）
9． 用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A ． B ． C ． D ． 10．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是
BC=4，AD=，则AE 的长是（ ） 上一点，BD 交AC 于点E ，若
A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.2
二、填空题：每小题4分，共24分
11．分解因式：am ﹣3a=．
12．如图，在△ABC 中，∠A=63°，直线MN ∥BC ，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN=133°，则∠B 的度数为 ．
13．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是 ．
14．已知x 2+2x﹣1=0，则3x 2+6x﹣2=
15．如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，延长BD 至G ，使得DG=BD，连结EG ，FG ，若AE=DE，则= ．
16．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．
（1）b= （用含m 的代数式表示）；
（2）若S △OAF +S四边形EFBC =4，则m 的值是．
三、解答题
17．计算：（﹣3）0﹣|﹣|+．
18．解不等式：3x ﹣5＜2（2+3x）
19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC=2，求AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题．
20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．
（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；
（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；
（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．
21．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S
（千
米）与跑步时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求图中a 的值；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C ，该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟．
①求AB 所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
22．如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB，AD ，BC 的延长线相交于点E ．
（1）求证：AD 是半圆O 的切线；
（2）连结CD ，求证：∠A=2∠CDE ；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．
23．如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y=
的绳子． x 2﹣x+3
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；
（3）将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为，设MN 离AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围．
24．如图，矩形ABCD 中，点E 为BC 上一点，F 为DE 的中点，且∠BFC=90°． （1）当E 为BC 中点时，求证：△BCF ≌△DEC ；
（2）当BE=2EC时，求的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C 关于DE 的对称点C ′，连结FC ′，AF ，若点C ′到AF 的距离是，求n 的值．
2016年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分
1．下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（ ）
A ．﹣2 B ．2 C ．0 D ．﹣
【考点】相反数．
【分析】找出﹣2的相反数即为所求．
【解答】解：下列四个数中，与﹣2的和为0的数是2，
故选B
2．计算32×3﹣1的结果是（ ）
A ．3 B ．﹣3 C ．2 D ．﹣2
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：32×3﹣1=32﹣1=3．
故选：A ．
3．下列图形中，属于立体图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【考点】认识立体图形．
【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案．
【解答】解：A 、角是平面图形，故A 错误；
B 、圆是平面图形，故B 错误；
C 、圆锥是立体图形，故C 正确；
D 、三角形是平面图形，故D 错误．
故选：C ．
4． +的运算结果正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．a+b
【考点】分式的加减法．
【分析】首先通分，把、都化成以ab 为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法则，求出+的运算结果正确的是哪个即可．
【解答】解： +
=
=+
． 故+的运算结果正确的是
故选：C ．
5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级
B ．八年级的学生人数为262名
C ．八年级的合格率高于全校的合格率
D ．九年级的合格人数最少
【考点】统计表．
【分析】分析统计表，可得出各年级合格的人数，然后结合选项进行回答即可．
【解答】解：∵七、八、九年级的人数不确定，
∴无法求得七、八、九年级的合格率．
∴A 错误、C 错误．
由统计表可知八年级合格人数是262人，故B 错误．
∵270＞262＞254，
∴九年级合格人数最少．
故D 正确．
故选；D ．
6．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+x+2=0 C．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【解答】解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C 、△=0﹣4×1×（﹣1
）
=4
＞
，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D
、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B ．
7．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（ ）
A ．13 D ．26
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC 的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC 的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．
故选：B ．
8．在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ）
A ．M （2，﹣3），N （﹣4，6） B．M （﹣2，3），N （4，6） C ．M （﹣2，﹣3），N （4，﹣6） D ．M （2，3），N （﹣4，6）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，根据4个选项中得点M 的坐标求出k 的值，再代入N 点的坐标去验证点N 是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx，
A 、﹣3=2k，解得：k=﹣，
﹣4×（﹣）=6，6=6，
∴点N 在正比例函数y=﹣x 的图象上；
B 、3=﹣2k ，解得：k=﹣，
4×（﹣）=﹣6，﹣6≠6，
∴点N 不在正比例函数y=﹣x 的图象上；
C 、﹣3=﹣2k ，解得：k=，
4×=6，6≠﹣6，
∴点N 不在正比例函数y=x 的图象上；
D 、3=2k，解得：k=，
﹣4×=﹣6，﹣6≠6，
B ．17 C ．20
∴点N 不在正比例函数y=x 的图象上．
故选A ．
9． 用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是（ ）A ． B ． C ． D ．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A 、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意；
B 、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意；
C 、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； D 、无法证明CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，符合题意．
故选：D ．
10．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是上一点，BD 交AC 于点E ，若BC=4，AD=，则AE 的长是（ ）
A ．3 D ．1.2
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB 为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE 和△BCE 边长之间的关系，利用相似比求出线段AE 的长度即可．
【解答】解：∵等腰Rt △ABC ，BC=4，
∴AB 为⊙O 的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt △ABD 中，AD=，AB=4
∴BD=， ， B ．2 C ．1
∵∠D=∠C ，∠DAC=∠CBE ，
∴△ADE ∽△BCE ，
∵AD ：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=﹣5x ，
∴CE=28﹣25x ，
∵AC=4，
∴x+28﹣25x=4，
解得：x=1．
故选：C ．
二、填空题：每小题4分，共24分
11．分解因式：am ﹣3a=．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】根据提公因式法的一般步骤进行因式分解即可．
【解答】解：am ﹣3a=a（m ﹣3）．
故答案为：a （m ﹣3）．
12．如图，在△ABC 中，∠A=63°，直线MN ∥BC ，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN=133°，则∠B 的度数为 70° ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质只要求出∠ADE ，由∠AEN=∠A+∠ADE 计算即可．
【解答】解：∵∠AEN=∠A+∠ADE ，∠AEN=133°，∠A=63°，
∴∠ADE=70°，
∵MN ∥BC ，
∴∠B=∠ADE=70°，
故答案为70°．
13．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以列出相应的树状图，从而可以得到恰好为1个黑球和1个红球的概率．
【解答】解：由题意可得，
故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：故答案为；．
14．已知x 2+2x﹣1=0，则3x 2+6x﹣2= 【考点】代数式求值．
，
【分析】直接利用已知得出x 2+2x=1，再代入原式求出答案． 【解答】解：∵x 2+2x﹣1=0， ∴x 2+2x=1，
∴3x 2+6x﹣2=3（x 2﹣2x ）﹣2=3×1﹣2=1． 故答案为：1．
15．如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，延长BD 至G ，使得DG=BD，连结EG ，FG ，若AE=DE，则
=
．
【考点】菱形的性质．
【分析】连接AC 、EF ，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD 是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF 与BD 相交于点H ，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH ，再求出DH ，从而得到GH ，利用勾股定理列式求出EG ，最后求出比值即可． 【解答】解：如图，连接AC 、EF ， 在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∵BE ⊥AD ，AE=DE， ∴AB=BD，
又∵菱形的边AB=AD， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠ADB=60°，
设EF 与BD 相交于点H ，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的对称性，CF=DF， ∴EF 是△ACD 的中位线， ∴DH=DO=BD=x， 在Rt △EDH 中，EH=DH=∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
x ，
在Rt △EGH 中，由勾股定理得，EG=所以，
=
．
=
．
==2x ，
故答案为：
16．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．
（1）b=
m+
（用含
m
的代数式表示）
； （2）若S △OAF +S四边形EFBC =4，则m
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）根据待定系数法点A 的纵坐标相等列出等式即可解决问题．
（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．记△AOF 面积为S ，则△OEF 面积为2﹣S ，四边
△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 面积为4﹣2S=2形EFBN 面积为4﹣S ，（2﹣s ）， 所以S △ADM =2S△OEF ，推出EF=AM=NB ，得B （2m ，）代入直线解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，且点A 的横坐标为m ， ∴点A 的纵坐标为，即点A 的坐标为（m ，）． 令一次函数y=﹣x+b中x=m，则y=﹣m+b， ∴﹣m+b= 即b=m+． 故答案为：m+．
（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．
∵反比例函数y=，一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF 面积为S ，
△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 则△OEF 面积为2﹣S ，四边形EFBN 面积为4﹣S ，
面积为4﹣2S=2（2﹣s ）， ∴S △ADM =2S△OEF ， ∴EF=AM=NB ，
∴点B 坐标（2m ，）代入直线y=﹣x+m+， ∴=﹣2m=m+，整理得到m 2=2， ∵m ＞0， ∴m=．
故答案为．
三、解答题 17．计算：（﹣3）0﹣|﹣|+． 【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1﹣+2 =1+．
18．解不等式：3x ﹣5＜2（2+3x） 【考点】解一元一次不等式．
【分析】先去括号，然后移项及合并同类项，系数化为1，即可解答本题． 【解答】解：3x ﹣5＜2（2+3x）， 去括号，得3x ﹣5＜4+6x，
移项及合并同类项，得﹣3x ＜9， 系数化为1，得x ＞﹣3．
故原不等式组的解集是：x ＞﹣3．
19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC=2，求AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据正切的定义求出AC ，根据正弦的定义求出CF ，计算即可． 【解答】解：在Rt △ABC 中，BC=2，∠A=30°， AC=
=2
，
则EF=AC=2， ∵∠E=45°，
∴FC=EF•sinE=，
∴AF=AC﹣FC=2﹣． 20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．
（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；
（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；
（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．
【考点】条形统计图；频数（率）分布折线图． 【分析】（1）先根据统计图得到“掷实心球”项目男、女生总人数，除以2可求“跳绳”项目男、女生总人数，再减去“跳绳”项目男生人数，即可得到“跳绳”项目的女生人数；
（2）根据平均数公式得到该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目即可求解；
（3）根据统计图提出合理化建议，合理即可．
【解答】解：（1）÷2﹣260 =1000÷2﹣260 =500﹣260 =240（人）
答：“跳绳”项目的女生人数是240人； （2）“掷实心球”项目平均分： ÷
=÷1000 =9000÷1000 =9（分），
投篮项目平均分大于9分， 其余项目平均分小于9分．
故该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有投篮，掷实心球两个项目． （3）如：游泳项目考试的人数最多，可以选考游泳．
21．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S （千米）与跑步时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求图中a 的值；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C ，该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟． ①求AB 所在直线的函数解析式； ②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
【考点】一次函数综合题． 【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题． （2）①先求出A 、B 两点坐标即可解决问题． ②令s=0，求出x 的值即可解决问题． 【解答】解：（1）∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟， ∴a=0.3×35=10.5千米．
（2）①∵线段OA 经过点O （0，0），A （35，10.5）， ∴直线OA 解析式为y=0.3t（0≤t ≤35）， ∴当s=2.1时，0.3t=2.1，解得t=7，
∵该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟， ∴该运动员从起点点到第二次经过C 点所用的时间是7+68=75分钟， ∴直线AB 经过（35，10.5），（75，2.1）， 设直线AB 解析式s=kt+b，
∴解得，
∴直线AB 解析式为s=﹣0.21t+17.85．
②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB 与x 轴交点的横坐标， ∴当s=0，时，﹣0.21t+17.85=0，解得t=85 ∴该运动员跑完赛程用时85分钟．
22．如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB，AD ，BC 的延长线相交于点E ．
（1）求证：AD 是半圆O 的切线； （2）连结CD ，求证：∠A=2∠CDE ； （3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．
【考点】切线的判定与性质；弧长的计算． 【分析】（1）连接OD ，BD ，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB ，∠DBO=∠BDO ，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可；
（2）由AD 是半圆O 的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO ，∠DOC=2∠CDE 即可得到结论； （3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果． 【解答】（1）证明：连接OD ，BD ， ∵AB 是⊙O 的直径，
∴AB ⊥BC ，即∠ABO=90°， ∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB ， ∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO ，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO ， ∴∠ADO=∠ABO=90°， ∴AD 是半圆O 的切线；
（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°﹣∠ADO ﹣∠ABO ﹣∠BOD=180°﹣∠BOD ， ∵AD 是半圆O 的切线， ∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE ， ∵∠BDO=∠OBD ， ∴∠DOC=2∠BDO ， ∴∠DOC=2∠CDE ， ∴∠A=∠CDE ；
（3）解：∵∠CDE=27°， ∴∠DOC=2∠CDE=54°， ∴∠BOD=180°﹣54°=126°， ∵OB=2， ∴
的长=
=π．
23．如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y=的绳子．
x 2﹣x+3
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；
（3）将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为，设MN 离AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线F 1的解析式，进而得出x=3时，y 的值，进而得出MN 的长；
（3）根据题意得出抛物线F 2的解析式，得出k 的值，进而得出m 的取值范围． 【解答】解：（1）∵a=∴抛物线顶点为最低点， ∵y=
x 2﹣x+3=
（x ﹣4）2+，
＞0，
∴绳子最低点离地面的距离为： m ；
（2）由（1）可知，BD=8， 令x=0得y=3， ∴A （0，3），C （8，3），
由题意可得：抛物线F 1的顶点坐标为：（2，1.8）， 设F 1的解析式为：y=a（x ﹣2）2+1.8， 将（0，3）代入得：4a+1.8=3， 解得：a=0.3，
∴抛物线F 1为：y=0.3（x ﹣2）2+1.8， 当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1， ∴MN 的长度为：2.1m ；
（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F 2的顶点在ND 的垂直平分线上， ∴抛物线F 2的顶点坐标为：（ m+4，k ）， ∴抛物线F 2的解析式为：y=（x ﹣m ﹣4）2+k， 把C （8，3）代入得：（4﹣m ﹣4）2+k=3， 解得：k=﹣（4﹣m ）2+3， ∴k=﹣
（m ﹣8）2+3，
∴k 是关于m 的二次函数，
又∵由已知m ＜8，在对称轴的左侧， ∴k 随m 的增大而增大， ∴当k=2时，﹣
（m ﹣8）2+3=2，
解得：m 1=4，m 2=12（不符合题意，舍去）， 当k=2.5时，﹣
（m ﹣8）2+3=2.5，
解得：m 18﹣24，m 2=8+2（不符合题意，舍去）， ∴m 的取值范围是：4≤m ≤8﹣2．
24．如图，矩形ABCD 中，点E 为BC 上一点，F 为DE 的中点，且∠BFC=90°． （1）当E 为BC 中点时，求证：△BCF ≌△DEC ； （2）当BE=2EC时，求
的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C 关于DE 的对称点C ′，连结FC ′，AF ，若点C ′到AF 的距离是
，求n 的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE ，证出CF=CE，由ASA 证明△BCF ≌△DEC 即可； （2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF ∽△DEC ，得出对应边成比例
=
，得出
ED 2=6a2，由勾股定理得出DC=a ，即可得出结果；
（3）过C ′作C ′H ⊥AF 于点H ，连接CC ′交EF 于M ，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE ，证出∠ADF=∠BCF ，由SAS 证明△ADF ≌△BCF ，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C ′MFH 是矩形，得出FM=C′H=股定理得出方程，解方程求出EM=
，设EM=x，则FC=FE=x+
+
；由（2）得：
，由勾，把
，FC=FE=
CE=1，BE=n代入计算即可得出n 的值． 【解答】（1）证明；∵在矩形ABCD 中，∠DCE=90°，F 是斜边DE 的中点， ∴CF=DE=EF，
∴∠FEC=∠FCE ，
∵∠BFC=90°，E 为BC 中点， ∴EF=EC， ∴CF=CE，
在△BCF 和△DEC 中，
，
∴△BCF ≌△DEC （ASA ）；
（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a， ∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线， ∴CF=DE ，
∵∠FEC=∠FCE ，∠BFC=∠DCE=90°， ∴△BCF ∽△DEC ， ∴
=
，
即： =，
解得：ED 2=6a2， 由勾股定理得：DC=
==a ，
∴==；
（3）解：过C ′作C ′H ⊥AF 于点H ，连接CC ′交EF 于M ，如图所示： ∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线， ∴FC=FE=FD， ∴∠FEC=∠FCE ，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，AD=BC， ∴∠ADF=∠CEF ， ∴∠ADF=∠BCF ， 在△ADF 和△BCF 中，
，
∴△ADF ≌△BCF （SAS ）， ∴∠AFD=∠BFC=90°，
∵CH ⊥AF ，C ′C ⊥EF ，∠HFE=∠C ′HF=∠C ′MF=90°， ∴四边形C ′MFH 是矩形， ∴FM=C′H=
，
，
设EM=x，则FC=FE=x+
在Rt △EMC 和Rt △FMC 中，
由勾股定理得：CE 2﹣EM 2=CF2﹣FM 2， ∴12﹣x 2=（x+解得：x=∴EM=
）2﹣（
）2，
，或x=﹣，FC=FE=
，
+
（舍去），
；
由（2）得：
把CE=1，BE=n代入计算得：CF=∴解得：n=4
，
，
2016年6月21日
第21页（共21页）
2016年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分
1．下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（ ）
A ．﹣2 B ．2 C ．0 D ．﹣
2．计算32×3﹣1的结果是（ ）
A ．3 B ．﹣3 C ．2 D ．﹣2
3．下列图形中，属于立体图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
4． +的运算结果正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．a+b
5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级
B ．八年级的学生人数为262名
C ．八年级的合格率高于全校的合格率
D ．九年级的合格人数最少
6．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+x+2=0 C．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0
7．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（ ）
A ．13 B ．17 C ．20 D ．26
8．在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ）
A ．M （2，﹣3），N （﹣4，6） B．M （﹣2，3），
N
（
4
，
6
）
C
．
M
（﹣2，﹣3），N （4，﹣6） D ．M （2，3），N （﹣4，6）
9． 用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A ． B ． C ． D ． 10．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是
BC=4，AD=，则AE 的长是（ ） 上一点，BD 交AC 于点E ，若
A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.2
二、填空题：每小题4分，共24分
11．分解因式：am ﹣3a=．
12．如图，在△ABC 中，∠A=63°，直线MN ∥BC ，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN=133°，则∠B 的度数为 ．
13．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是 ．
14．已知x 2+2x﹣1=0，则3x 2+6x﹣2=
15．如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，延长BD 至G ，使得DG=BD，连结EG ，FG ，若AE=DE，则= ．
16．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．
（1）b= （用含m 的代数式表示）；
（2）若S △OAF +S四边形EFBC =4，则m 的值是．
三、解答题
17．计算：（﹣3）0﹣|﹣|+．
18．解不等式：3x ﹣5＜2（2+3x）
19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC=2，求AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题．
20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．
（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；
（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；
（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．
21．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S
（千
米）与跑步时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求图中a 的值；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C ，该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟．
①求AB 所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
22．如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB，AD ，BC 的延长线相交于点E ．
（1）求证：AD 是半圆O 的切线；
（2）连结CD ，求证：∠A=2∠CDE ；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．
23．如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y=
的绳子． x 2﹣x+3
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；
（3）将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为，设MN 离AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围．
24．如图，矩形ABCD 中，点E 为BC 上一点，F 为DE 的中点，且∠BFC=90°． （1）当E 为BC 中点时，求证：△BCF ≌△DEC ；
（2）当BE=2EC时，求的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C 关于DE 的对称点C ′，连结FC ′，AF ，若点C ′到AF 的距离是，求n 的值．
2016年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分
1．下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（ ）
A ．﹣2 B ．2 C ．0 D ．﹣
【考点】相反数．
【分析】找出﹣2的相反数即为所求．
【解答】解：下列四个数中，与﹣2的和为0的数是2，
故选B
2．计算32×3﹣1的结果是（ ）
A ．3 B ．﹣3 C ．2 D ．﹣2
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：32×3﹣1=32﹣1=3．
故选：A ．
3．下列图形中，属于立体图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【考点】认识立体图形．
【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案．
【解答】解：A 、角是平面图形，故A 错误；
B 、圆是平面图形，故B 错误；
C 、圆锥是立体图形，故C 正确；
D 、三角形是平面图形，故D 错误．
故选：C ．
4． +的运算结果正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．a+b
【考点】分式的加减法．
【分析】首先通分，把、都化成以ab 为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法则，求出+的运算结果正确的是哪个即可．
【解答】解： +
=
=+
． 故+的运算结果正确的是
故选：C ．
5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级
B ．八年级的学生人数为262名
C ．八年级的合格率高于全校的合格率
D ．九年级的合格人数最少
【考点】统计表．
【分析】分析统计表，可得出各年级合格的人数，然后结合选项进行回答即可．
【解答】解：∵七、八、九年级的人数不确定，
∴无法求得七、八、九年级的合格率．
∴A 错误、C 错误．
由统计表可知八年级合格人数是262人，故B 错误．
∵270＞262＞254，
∴九年级合格人数最少．
故D 正确．
故选；D ．
6．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+x+2=0 C．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【解答】解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C 、△=0﹣4×1×（﹣1
）
=4
＞
，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D
、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B ．
7．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（ ）
A ．13 D ．26
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC 的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC 的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．
故选：B ．
8．在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ）
A ．M （2，﹣3），N （﹣4，6） B．M （﹣2，3），N （4，6） C ．M （﹣2，﹣3），N （4，﹣6） D ．M （2，3），N （﹣4，6）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，根据4个选项中得点M 的坐标求出k 的值，再代入N 点的坐标去验证点N 是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx，
A 、﹣3=2k，解得：k=﹣，
﹣4×（﹣）=6，6=6，
∴点N 在正比例函数y=﹣x 的图象上；
B 、3=﹣2k ，解得：k=﹣，
4×（﹣）=﹣6，﹣6≠6，
∴点N 不在正比例函数y=﹣x 的图象上；
C 、﹣3=﹣2k ，解得：k=，
4×=6，6≠﹣6，
∴点N 不在正比例函数y=x 的图象上；
D 、3=2k，解得：k=，
﹣4×=﹣6，﹣6≠6，
B ．17 C ．20
∴点N 不在正比例函数y=x 的图象上．
故选A ．
9． 用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的是（ ）A ． B ． C ． D ．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A 、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意；
B 、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意；
C 、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，不符合题意； D 、无法证明CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，符合题意．
故选：D ．
10．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是上一点，BD 交AC 于点E ，若BC=4，AD=，则AE 的长是（ ）
A ．3 D ．1.2
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB 为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE 和△BCE 边长之间的关系，利用相似比求出线段AE 的长度即可．
【解答】解：∵等腰Rt △ABC ，BC=4，
∴AB 为⊙O 的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt △ABD 中，AD=，AB=4
∴BD=， ， B ．2 C ．1
∵∠D=∠C ，∠DAC=∠CBE ，
∴△ADE ∽△BCE ，
∵AD ：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=﹣5x ，
∴CE=28﹣25x ，
∵AC=4，
∴x+28﹣25x=4，
解得：x=1．
故选：C ．
二、填空题：每小题4分，共24分
11．分解因式：am ﹣3a=．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】根据提公因式法的一般步骤进行因式分解即可．
【解答】解：am ﹣3a=a（m ﹣3）．
故答案为：a （m ﹣3）．
12．如图，在△ABC 中，∠A=63°，直线MN ∥BC ，且分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若∠AEN=133°，则∠B 的度数为 70° ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质只要求出∠ADE ，由∠AEN=∠A+∠ADE 计算即可．
【解答】解：∵∠AEN=∠A+∠ADE ，∠AEN=133°，∠A=63°，
∴∠ADE=70°，
∵MN ∥BC ，
∴∠B=∠ADE=70°，
故答案为70°．
13．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以列出相应的树状图，从而可以得到恰好为1个黑球和1个红球的概率．
【解答】解：由题意可得，
故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：故答案为；．
14．已知x 2+2x﹣1=0，则3x 2+6x﹣2= 【考点】代数式求值．
，
【分析】直接利用已知得出x 2+2x=1，再代入原式求出答案． 【解答】解：∵x 2+2x﹣1=0， ∴x 2+2x=1，
∴3x 2+6x﹣2=3（x 2﹣2x ）﹣2=3×1﹣2=1． 故答案为：1．
15．如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，延长BD 至G ，使得DG=BD，连结EG ，FG ，若AE=DE，则
=
．
【考点】菱形的性质．
【分析】连接AC 、EF ，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD 是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF 与BD 相交于点H ，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH ，再求出DH ，从而得到GH ，利用勾股定理列式求出EG ，最后求出比值即可． 【解答】解：如图，连接AC 、EF ， 在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∵BE ⊥AD ，AE=DE， ∴AB=BD，
又∵菱形的边AB=AD， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠ADB=60°，
设EF 与BD 相交于点H ，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的对称性，CF=DF， ∴EF 是△ACD 的中位线， ∴DH=DO=BD=x， 在Rt △EDH 中，EH=DH=∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
x ，
在Rt △EGH 中，由勾股定理得，EG=所以，
=
．
=
．
==2x ，
故答案为：
16．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．
（1）b=
m+
（用含
m
的代数式表示）
； （2）若S △OAF +S四边形EFBC =4，则m
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）根据待定系数法点A 的纵坐标相等列出等式即可解决问题．
（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．记△AOF 面积为S ，则△OEF 面积为2﹣S ，四边
△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 面积为4﹣2S=2形EFBN 面积为4﹣S ，（2﹣s ）， 所以S △ADM =2S△OEF ，推出EF=AM=NB ，得B （2m ，）代入直线解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，且点A 的横坐标为m ， ∴点A 的纵坐标为，即点A 的坐标为（m ，）． 令一次函数y=﹣x+b中x=m，则y=﹣m+b， ∴﹣m+b= 即b=m+． 故答案为：m+．
（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．
∵反比例函数y=，一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF 面积为S ，
△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 则△OEF 面积为2﹣S ，四边形EFBN 面积为4﹣S ，
面积为4﹣2S=2（2﹣s ）， ∴S △ADM =2S△OEF ， ∴EF=AM=NB ，
∴点B 坐标（2m ，）代入直线y=﹣x+m+， ∴=﹣2m=m+，整理得到m 2=2， ∵m ＞0， ∴m=．
故答案为．
三、解答题 17．计算：（﹣3）0﹣|﹣|+． 【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1﹣+2 =1+．
18．解不等式：3x ﹣5＜2（2+3x） 【考点】解一元一次不等式．
【分析】先去括号，然后移项及合并同类项，系数化为1，即可解答本题． 【解答】解：3x ﹣5＜2（2+3x）， 去括号，得3x ﹣5＜4+6x，
移项及合并同类项，得﹣3x ＜9， 系数化为1，得x ＞﹣3．
故原不等式组的解集是：x ＞﹣3．
19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC=2，求AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据正切的定义求出AC ，根据正弦的定义求出CF ，计算即可． 【解答】解：在Rt △ABC 中，BC=2，∠A=30°， AC=
=2
，
则EF=AC=2， ∵∠E=45°，
∴FC=EF•sinE=，
∴AF=AC﹣FC=2﹣． 20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．
（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；
（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；
（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．
【考点】条形统计图；频数（率）分布折线图． 【分析】（1）先根据统计图得到“掷实心球”项目男、女生总人数，除以2可求“跳绳”项目男、女生总人数，再减去“跳绳”项目男生人数，即可得到“跳绳”项目的女生人数；
（2）根据平均数公式得到该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目即可求解；
（3）根据统计图提出合理化建议，合理即可．
【解答】解：（1）÷2﹣260 =1000÷2﹣260 =500﹣260 =240（人）
答：“跳绳”项目的女生人数是240人； （2）“掷实心球”项目平均分： ÷
=÷1000 =9000÷1000 =9（分），
投篮项目平均分大于9分， 其余项目平均分小于9分．
故该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有投篮，掷实心球两个项目． （3）如：游泳项目考试的人数最多，可以选考游泳．
21．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S （千米）与跑步时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求图中a 的值；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C ，该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟． ①求AB 所在直线的函数解析式； ②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
【考点】一次函数综合题． 【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题． （2）①先求出A 、B 两点坐标即可解决问题． ②令s=0，求出x 的值即可解决问题． 【解答】解：（1）∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟， ∴a=0.3×35=10.5千米．
（2）①∵线段OA 经过点O （0，0），A （35，10.5）， ∴直线OA 解析式为y=0.3t（0≤t ≤35）， ∴当s=2.1时，0.3t=2.1，解得t=7，
∵该运动员从第一次经过C 点到第二次经过C 点所用的时间为68分钟， ∴该运动员从起点点到第二次经过C 点所用的时间是7+68=75分钟， ∴直线AB 经过（35，10.5），（75，2.1）， 设直线AB 解析式s=kt+b，
∴解得，
∴直线AB 解析式为s=﹣0.21t+17.85．
②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB 与x 轴交点的横坐标， ∴当s=0，时，﹣0.21t+17.85=0，解得t=85 ∴该运动员跑完赛程用时85分钟．
22．如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB，AD ，BC 的延长线相交于点E ．
（1）求证：AD 是半圆O 的切线； （2）连结CD ，求证：∠A=2∠CDE ； （3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．
【考点】切线的判定与性质；弧长的计算． 【分析】（1）连接OD ，BD ，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB ，∠DBO=∠BDO ，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可；
（2）由AD 是半圆O 的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO ，∠DOC=2∠CDE 即可得到结论； （3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果． 【解答】（1）证明：连接OD ，BD ， ∵AB 是⊙O 的直径，
∴AB ⊥BC ，即∠ABO=90°， ∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB ， ∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO ，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO ， ∴∠ADO=∠ABO=90°， ∴AD 是半圆O 的切线；
（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°﹣∠ADO ﹣∠ABO ﹣∠BOD=180°﹣∠BOD ， ∵AD 是半圆O 的切线， ∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE ， ∵∠BDO=∠OBD ， ∴∠DOC=2∠BDO ， ∴∠DOC=2∠CDE ， ∴∠A=∠CDE ；
（3）解：∵∠CDE=27°， ∴∠DOC=2∠CDE=54°， ∴∠BOD=180°﹣54°=126°， ∵OB=2， ∴
的长=
=π．
23．如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y=的绳子．
x 2﹣x+3
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；
（3）将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为，设MN 离AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线F 1的解析式，进而得出x=3时，y 的值，进而得出MN 的长；
（3）根据题意得出抛物线F 2的解析式，得出k 的值，进而得出m 的取值范围． 【解答】解：（1）∵a=∴抛物线顶点为最低点， ∵y=
x 2﹣x+3=
（x ﹣4）2+，
＞0，
∴绳子最低点离地面的距离为： m ；
（2）由（1）可知，BD=8， 令x=0得y=3， ∴A （0，3），C （8，3），
由题意可得：抛物线F 1的顶点坐标为：（2，1.8）， 设F 1的解析式为：y=a（x ﹣2）2+1.8， 将（0，3）代入得：4a+1.8=3， 解得：a=0.3，
∴抛物线F 1为：y=0.3（x ﹣2）2+1.8， 当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1， ∴MN 的长度为：2.1m ；
（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F 2的顶点在ND 的垂直平分线上， ∴抛物线F 2的顶点坐标为：（ m+4，k ）， ∴抛物线F 2的解析式为：y=（x ﹣m ﹣4）2+k， 把C （8，3）代入得：（4﹣m ﹣4）2+k=3， 解得：k=﹣（4﹣m ）2+3， ∴k=﹣
（m ﹣8）2+3，
∴k 是关于m 的二次函数，
又∵由已知m ＜8，在对称轴的左侧， ∴k 随m 的增大而增大， ∴当k=2时，﹣
（m ﹣8）2+3=2，
解得：m 1=4，m 2=12（不符合题意，舍去）， 当k=2.5时，﹣
（m ﹣8）2+3=2.5，
解得：m 18﹣24，m 2=8+2（不符合题意，舍去）， ∴m 的取值范围是：4≤m ≤8﹣2．
24．如图，矩形ABCD 中，点E 为BC 上一点，F 为DE 的中点，且∠BFC=90°． （1）当E 为BC 中点时，求证：△BCF ≌△DEC ； （2）当BE=2EC时，求
的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C 关于DE 的对称点C ′，连结FC ′，AF ，若点C ′到AF 的距离是
，求n 的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE ，证出CF=CE，由ASA 证明△BCF ≌△DEC 即可； （2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF ∽△DEC ，得出对应边成比例
=
，得出
ED 2=6a2，由勾股定理得出DC=a ，即可得出结果；
（3）过C ′作C ′H ⊥AF 于点H ，连接CC ′交EF 于M ，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE ，证出∠ADF=∠BCF ，由SAS 证明△ADF ≌△BCF ，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C ′MFH 是矩形，得出FM=C′H=股定理得出方程，解方程求出EM=
，设EM=x，则FC=FE=x+
+
；由（2）得：
，由勾，把
，FC=FE=
CE=1，BE=n代入计算即可得出n 的值． 【解答】（1）证明；∵在矩形ABCD 中，∠DCE=90°，F 是斜边DE 的中点， ∴CF=DE=EF，
∴∠FEC=∠FCE ，
∵∠BFC=90°，E 为BC 中点， ∴EF=EC， ∴CF=CE，
在△BCF 和△DEC 中，
，
∴△BCF ≌△DEC （ASA ）；
（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a， ∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线， ∴CF=DE ，
∵∠FEC=∠FCE ，∠BFC=∠DCE=90°， ∴△BCF ∽△DEC ， ∴
=
，
即： =，
解得：ED 2=6a2， 由勾股定理得：DC=
==a ，
∴==；
（3）解：过C ′作C ′H ⊥AF 于点H ，连接CC ′交EF 于M ，如图所示： ∵CF 是Rt △DCE 斜边上的中线， ∴FC=FE=FD， ∴∠FEC=∠FCE ，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，AD=BC， ∴∠ADF=∠CEF ， ∴∠ADF=∠BCF ， 在△ADF 和△BCF 中，
，
∴△ADF ≌△BCF （SAS ）， ∴∠AFD=∠BFC=90°，
∵CH ⊥AF ，C ′C ⊥EF ，∠HFE=∠C ′HF=∠C ′MF=90°， ∴四边形C ′MFH 是矩形， ∴FM=C′H=
，
，
设EM=x，则FC=FE=x+
在Rt △EMC 和Rt △FMC 中，
由勾股定理得：CE 2﹣EM 2=CF2﹣FM 2， ∴12﹣x 2=（x+解得：x=∴EM=
）2﹣（
）2，
，或x=﹣，FC=FE=
，
+
（舍去），
；
由（2）得：
把CE=1，BE=n代入计算得：CF=∴解得：n=4
，
，
2016年6月21日
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