2014年北京邮电大学随机信号分析与处理期末考试试题

北京邮电大学随机信号分析与处理综合练习题

一、判断题：

1. 设X(t)和Y(t)是相互独立的平稳随机过程，则它们的乘积也是平稳的。 2.X(t)为一个随机过程，对于任意一个固定的时刻ti，X(ti)是一个确定值。 3. 设X和Y是两个随机变量，X和Y不相关且不独立，有D(XY)D(X)D(Y)。 4. 一般来说，平稳正态随机过程与确定性信号之和仍然为平稳的正态过程。 5. 设X(t)是不含周期分量的零均值平稳随机过程，其自相关函数为RX()，从物

理概念上理解，有limRX()0。



6. 对于线性系统，假设输入为非平稳随机过程，则不能用频谱法来分析系统输

出随机过程的统计特性。 7. 若随机过程X(t)满足

平稳）过程。

8. 随机过程的方差表示消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值。 9. 广义循环平稳的随机过程本身也是一种广义平稳的随机过程。 10. 高斯白噪声经过匹配滤波器后仍然为高斯白噪声。 二．选择填空

1．对于联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数RXY()，以下关系正确的是

（1） A．RXY()RXY() B. RXY()-RYX()

C. RXY()RYX() D. RXY()RXY()

2. 随机过程X(t)的自相关函数满足RX(t1,t2)mX(t1)mX(t2)0，则可以断定X(t1)和X(t2)之间的关系是

（2） A. 相互独立 B.相关 C. 不相关 D. 正交

1

，与t无关，则X(t)是广义平稳（宽

3．两个不相关的高斯随机过程X(t)和Y(t)，均值分别为mX和mY，方差分别为

22和Y，则X(t)和Y(t)的联合概率密度为。 X

22

(xmX)(ymY)（3） A

．f(x,y) 22

2Y2X

22

(xmX)(ymY)

B. f(x,y)exp

22

2XY22XY

1

(xmX)2(ymY)2

C. f(x,y) 22

2(XY)

(xmX)2(ymY)2

D. f(x,y)exp 22

2XY2(XY)

1

4. 设X(t)Asin(ct)n(t)，其中n(t)nc(t)cos(ct)ns(t)sin(ct)是零均值平稳窄带高斯噪声，A是不等于0的常数，则X(t)的包络服从 （4） ，X(t)的复包络服从 （5） 。

（4）A. 莱斯分布 B. 瑞利分布 C. 高斯分布 D. 均匀分布 （5）A. 莱斯分布 B. 瑞利分布 C. 高斯分布 D. 均匀分布 5. 设N(t)是平稳随机过程，其功率谱密度为GN()，定义X(t)N(t)sin0t，

在0到2之间均匀分布，则X(t)的平均功率谱密度为。

（6）A. [GN(0)GN(0)] B. [GN(0)GN(0)]

C. [GN(0)GN(0)] D. [GN(0)GN(0)]

6. 已知2101，信号m(t)cos1tcos2t的Hilbert变换为复包络为

（7）A. sin1tsin2t B. cos1tsin2t C. sin1tcos2t D. sin1tcos2t （8）A. sin1t B. cos1t C. sin2t D. cos2t

ˆ(t)，则Z(t)的平均功率是7. 设频带信号X(t)为一实数平稳过程，Z(t)X(t)jX

1

41214

14

ˆ(t)平均功率的倍。X(t)平均功率的X(t)的平均功率是X （9）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/4

（10）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/4

a,X(t)0

8. 设有理想限幅器Y(t)，其中a0为常数。假定输入X(t)为零

a,X(t)0均值正态随机过程，则输出Y(t)的均值为 （11） ，方差为 （12） 。

（11）A. a B. a/2 C. 0 D. a （12）A. a B. a/2 C. a2 D. 2a2

9. 双边功率谱密度为N02的高斯白噪声的自相关函数为。 （13）A. () B. N02 C.

N0

 D. 。 2

10. 白噪声通过某线性系统后的物理谱（即单边功率谱）密度如图1所示，则

该系统的等效通能带（即等效矩形带宽）为 （14） Hz。 （14） A.

wN0wN0ww

B. C. D.

22

图1

0.10.70.2

，0.40.30.311. 已知三状态（编号0、1、2）马尔可夫链一步转移概率矩阵为

0.30.50.2

则P{X2=0|X0=1}= (15) 。

（15） A. 0.35 B. 0.25 C. 0.23 D. 0.52

三、（8分）随机过程X(t)=Acos(0t)，其中0为常数，A和是统计独立的随机变量，A以等概率分别取值3,1,1,3，在[0,2]之间均匀分布。

3

（1） 判断X(t)是否是广义平稳的； （2） 求X(t)的平均功率； （3） 求X(t)的功率谱密度。

四、（8分）考虑如图2所示的具有一个输入、两个输出的线性系统。

图2

*（1）证明：Y1(t)和Y2(t)的互功率谱密度为GYYHHGX，其1212

中GX为输入信号X(t)的功率谱密度；

（2）若输入信号X(t)为均值为0，双边功率谱密度为N02的高斯白噪声，请问

何种H1和H2可保证Y1(t)和Y2(t)统计独立。

10tTs2五、（10分）假设某通信系统在0时刻发送波形s1t，发送的

0else信号首先经过一个传递函数为Cf的滤波器后叠加了白高斯噪声，再通过一个匹配滤波器后进行取样判决，如图3（a）所示，其中nt是均值为0，双边功率谱密度为N02的白高斯噪声。发送滤波器的结构如图3(b)所示。

(a)

(b) 图3

(1)请画出发送s1t时发送滤波器输出的波形g1t； (2)请写出匹配滤波器的冲激响应ht，并画出图形；

(3)求发送s1t条件下，匹配滤波器输出端最佳采样时刻的均值、方差及信噪比。

六、（16分）考虑如图4(a)所示的系统，已知输入信号N(t)为均值为0，双边功率谱密度为N02的高斯白噪声，带通滤波器H1()和低通滤波器H2()的频率响应分别如图4(b)中所示。

(a)

c

c

(b) 图4

（1） 令X(t)A(t)cosct(t)，写出A(t)的一维概率密度函数，求其均值和

方差；

（2） 若检波器为平方律检波器，其传输特性为Y(t)[X(t)]2，求系统输出信号

5

Z(t)的均值、方差及其一维概率密度函数；

（3） 若检波器为同步检波器，即传输特性为Y(t)X(t)cosct，求输出信号

Z(t)的均值、方差及其一维概率密度函数。

七、（8分）设有一质点在线段上随机游动，线段的两端设有反射壁。假定质点只能停留在 a1= -L，a2=0，a3=L三个点上，每经过一单位时间按以下规则改变一次位置：如果游动前质点在 a2位置上，则下一时刻向左、向右移动一个单位L的概率均为1/4，停留在原地的概率为1/2；若游动前质点在 a1 位置，则下一时刻或以概率 1/2 向 a2 移动，或以概率1/2 停留在原地；若游动前质点在 a3位置，则下一时刻或以概率 1/2 向 a2 移动，或以概率1/2 停留在原地。 (1)试画出状态转移图； (2)写出一步转移概率矩阵；

(3)求在平稳情况下，各点的状态概率。

北京邮电大学随机信号分析与处理综合练习题

一、判断题：

1. 设X(t)和Y(t)是相互独立的平稳随机过程，则它们的乘积也是平稳的。 2.X(t)为一个随机过程，对于任意一个固定的时刻ti，X(ti)是一个确定值。 3. 设X和Y是两个随机变量，X和Y不相关且不独立，有D(XY)D(X)D(Y)。 4. 一般来说，平稳正态随机过程与确定性信号之和仍然为平稳的正态过程。 5. 设X(t)是不含周期分量的零均值平稳随机过程，其自相关函数为RX()，从物

理概念上理解，有limRX()0。



6. 对于线性系统，假设输入为非平稳随机过程，则不能用频谱法来分析系统输

出随机过程的统计特性。 7. 若随机过程X(t)满足

平稳）过程。

8. 随机过程的方差表示消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值。 9. 广义循环平稳的随机过程本身也是一种广义平稳的随机过程。 10. 高斯白噪声经过匹配滤波器后仍然为高斯白噪声。 二．选择填空

1．对于联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数RXY()，以下关系正确的是

（1） A．RXY()RXY() B. RXY()-RYX()

C. RXY()RYX() D. RXY()RXY()

2. 随机过程X(t)的自相关函数满足RX(t1,t2)mX(t1)mX(t2)0，则可以断定X(t1)和X(t2)之间的关系是

（2） A. 相互独立 B.相关 C. 不相关 D. 正交

1

，与t无关，则X(t)是广义平稳（宽

3．两个不相关的高斯随机过程X(t)和Y(t)，均值分别为mX和mY，方差分别为

22和Y，则X(t)和Y(t)的联合概率密度为。 X

22

(xmX)(ymY)（3） A

．f(x,y) 22

2Y2X

22

(xmX)(ymY)

B. f(x,y)exp

22

2XY22XY

1

(xmX)2(ymY)2

C. f(x,y) 22

2(XY)

(xmX)2(ymY)2

D. f(x,y)exp 22

2XY2(XY)

1

4. 设X(t)Asin(ct)n(t)，其中n(t)nc(t)cos(ct)ns(t)sin(ct)是零均值平稳窄带高斯噪声，A是不等于0的常数，则X(t)的包络服从 （4） ，X(t)的复包络服从 （5） 。

（4）A. 莱斯分布 B. 瑞利分布 C. 高斯分布 D. 均匀分布 （5）A. 莱斯分布 B. 瑞利分布 C. 高斯分布 D. 均匀分布 5. 设N(t)是平稳随机过程，其功率谱密度为GN()，定义X(t)N(t)sin0t，

在0到2之间均匀分布，则X(t)的平均功率谱密度为。

（6）A. [GN(0)GN(0)] B. [GN(0)GN(0)]

C. [GN(0)GN(0)] D. [GN(0)GN(0)]

6. 已知2101，信号m(t)cos1tcos2t的Hilbert变换为复包络为

（7）A. sin1tsin2t B. cos1tsin2t C. sin1tcos2t D. sin1tcos2t （8）A. sin1t B. cos1t C. sin2t D. cos2t

ˆ(t)，则Z(t)的平均功率是7. 设频带信号X(t)为一实数平稳过程，Z(t)X(t)jX

1

41214

14

ˆ(t)平均功率的倍。X(t)平均功率的X(t)的平均功率是X （9）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/4

（10）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/4

a,X(t)0

8. 设有理想限幅器Y(t)，其中a0为常数。假定输入X(t)为零

a,X(t)0均值正态随机过程，则输出Y(t)的均值为 （11） ，方差为 （12） 。

（11）A. a B. a/2 C. 0 D. a （12）A. a B. a/2 C. a2 D. 2a2

9. 双边功率谱密度为N02的高斯白噪声的自相关函数为。 （13）A. () B. N02 C.

N0

 D. 。 2

10. 白噪声通过某线性系统后的物理谱（即单边功率谱）密度如图1所示，则

该系统的等效通能带（即等效矩形带宽）为 （14） Hz。 （14） A.

wN0wN0ww

B. C. D.

22

图1

0.10.70.2

，0.40.30.311. 已知三状态（编号0、1、2）马尔可夫链一步转移概率矩阵为

0.30.50.2

则P{X2=0|X0=1}= (15) 。

（15） A. 0.35 B. 0.25 C. 0.23 D. 0.52

三、（8分）随机过程X(t)=Acos(0t)，其中0为常数，A和是统计独立的随机变量，A以等概率分别取值3,1,1,3，在[0,2]之间均匀分布。

3

（1） 判断X(t)是否是广义平稳的； （2） 求X(t)的平均功率； （3） 求X(t)的功率谱密度。

四、（8分）考虑如图2所示的具有一个输入、两个输出的线性系统。

图2

*（1）证明：Y1(t)和Y2(t)的互功率谱密度为GYYHHGX，其1212

中GX为输入信号X(t)的功率谱密度；

（2）若输入信号X(t)为均值为0，双边功率谱密度为N02的高斯白噪声，请问

何种H1和H2可保证Y1(t)和Y2(t)统计独立。

10tTs2五、（10分）假设某通信系统在0时刻发送波形s1t，发送的

0else信号首先经过一个传递函数为Cf的滤波器后叠加了白高斯噪声，再通过一个匹配滤波器后进行取样判决，如图3（a）所示，其中nt是均值为0，双边功率谱密度为N02的白高斯噪声。发送滤波器的结构如图3(b)所示。

(a)

(b) 图3

(1)请画出发送s1t时发送滤波器输出的波形g1t； (2)请写出匹配滤波器的冲激响应ht，并画出图形；

(3)求发送s1t条件下，匹配滤波器输出端最佳采样时刻的均值、方差及信噪比。

六、（16分）考虑如图4(a)所示的系统，已知输入信号N(t)为均值为0，双边功率谱密度为N02的高斯白噪声，带通滤波器H1()和低通滤波器H2()的频率响应分别如图4(b)中所示。

(a)

c

c

(b) 图4

（1） 令X(t)A(t)cosct(t)，写出A(t)的一维概率密度函数，求其均值和

方差；

（2） 若检波器为平方律检波器，其传输特性为Y(t)[X(t)]2，求系统输出信号

5

Z(t)的均值、方差及其一维概率密度函数；

（3） 若检波器为同步检波器，即传输特性为Y(t)X(t)cosct，求输出信号

Z(t)的均值、方差及其一维概率密度函数。

七、（8分）设有一质点在线段上随机游动，线段的两端设有反射壁。假定质点只能停留在 a1= -L，a2=0，a3=L三个点上，每经过一单位时间按以下规则改变一次位置：如果游动前质点在 a2位置上，则下一时刻向左、向右移动一个单位L的概率均为1/4，停留在原地的概率为1/2；若游动前质点在 a1 位置，则下一时刻或以概率 1/2 向 a2 移动，或以概率1/2 停留在原地；若游动前质点在 a3位置，则下一时刻或以概率 1/2 向 a2 移动，或以概率1/2 停留在原地。 (1)试画出状态转移图； (2)写出一步转移概率矩阵；

(3)求在平稳情况下，各点的状态概率。