巧求图形的面积和周长
第一部分：知识介绍
巧求图形的面积和周长的方法： 1、平移法 2、差不变 3、旋转法 4、图形的切割拼
第二部分：例题精讲
【例 1】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米．它的周长是多少厘米
?
【考点】巧求图形的周长。
【解析】 长方形的长5+6=11(厘米) ，宽1+3=4(厘米) ，周长(11+4)×2=30(厘米) 。
【答案】30厘米
【例 2】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如
图) 的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。
【考点】巧求图形的周长
【解析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的5÷4=1.25倍。
每个小长方形的面积为45÷9=5平方厘米，所以1.25⨯宽⨯宽=5，所以宽为2厘米， 长为2.5厘米。大长方形的周长为(2.5⨯4+2+2.5) ⨯2=29厘米。
【答案】29厘米
【例 3】如右图，计算这个格点三角形的面积。
【考点】巧求图形的面积
【解析】这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，
如下右图（b ），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角 三角形面积, 就是所要求的三角形面积。矩形面积是6×4=24 ；直角三角形Ｉ的面 积是：6×2÷2＝6 ； 直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4 ；直角三角形Ⅲ的面积 是：4×2÷2=4 ；所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）。
【答案】10
【例 4】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图
中阴影部分的面积是 平方厘米．
【考点】巧求图形的面积、一半模型
E
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4⨯3÷2=6(平方厘米) 。 【答案】10
【例 5】(2005年口试真题) 右图中甲的面积比乙的面积大 __________ 平方厘米。 【考点】巧求图形的面积
48厘米
6厘米
【解析】甲的面积+白色三角形的面积=(8⨯6) ÷2=24(平方厘米) ，
乙的面积+白色三角形的面积=(8⨯4) ÷2=16(平方厘米) ， 所以，甲的面积-乙的面积=24-16=8(平方厘米) 。
【答案】8平方厘米
【例 6】用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm 2的大正方形，每个长方形的周长是多
少平方厘米？
【考点】巧求图形的周长
【解析】引导学生思考所求题目的关键是什么。本题的关键是找长方形的长和宽。
根据10⨯10=100知这个大正方形的边长是10cm ，即长加宽是10cm ， 长方形的周长是：10⨯2=20(cm ) 。
【答案】20厘米
【例 7】如图所示的四边形的面积等于多少？
C
13
12
O
13
12
13
D
13
12
12A
B
【考点】巧求图形的面积
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积。我们
可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长
为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置。这样，通过 旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来 四边形的面积12×12=144。
13
12
13
D
12
B
【答案】144
【例 8】如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米．以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时
高是16厘米. 求平行四边形ABCD 的面积。
【考点】巧求图形的面积
【解析】这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE ，切掉一个等腰直角三角形BCE 。
因为角A 是45°，角D 是90°，角E 是180°-45°-90°＝ 45°，所以ADE 是等 腰直角三角形，BCE 也是等腰直角三角形。四边形ABCD 的面积，是这两个等腰直 角三角形面积之差，即7×7÷2-3×3÷2＝20。
【答案】20
【例 9】如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米．以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时
高是16厘米．求平行四边形ABCD 的面积。
【考点】等积变形
【解析】因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14×BC=16 ×CD ，
即BC ：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC 为底，
对应高为14，20×14=280，所以平行四边形ABCD 的面积为280平方厘米。
【答案】280平方厘米
【例 10】图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。
【考点】巧求图形的面积
【解析】如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH 。设阴影部分面积为“阴”平方
厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米。DGH 、HMG 的面积相等， GCF 与GPF 的面积相等，FBE 与 EOF 的面积相等，HAE 与HNE 的面积相 等。阴一空=2×3=6，阴+空=lO×10=100。阴=(6+100)÷2=53，即阴影部分的面积 为53平方厘米。
【答案】53平方厘米
【例 11】（2011年口试真题）如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形
的面积是4平方厘米，长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？
【考点】图形的切割拼
【解析】取AB 、CD AE 的中点，BC 的三等分点进行连接，可以把长方形分割成如下图所示，
由于取得点都是等分点，分割后7个小正方形的面积都是4平方厘米，10个小等 腰直角三角形的面积都是2平方厘米，可以看出长方形ABCD 的面积等于： 7×4+10×2=48（平方厘米）。
【答案】48平方厘米
【例 12】如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽
15厘米的新长方形。
【考点】图形的切割拼
【解析】因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此
我们把原长方形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形。因为新长方形的长为 16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所 以原长方形的宽应增加一个小长方形。可以沿对角线的方向，把它切成k 阶梯状的 两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部 分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形。具体操作中可按下图中的粗 线把长方形分两成块，一移一错一对，便可得到如图所示的长为16厘米，宽为15 厘米的新长方形．
【答案】见上图
第三部分：课堂检测
【检测 1】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上
的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
A B
D G C
F
【考点】图形的切割拼
【解析】如右图，连接BH 、HC ，由E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 三边的中点有AE=EB、BF=FC、 CG=CD。因此S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积 =S1+S4+S5。所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部
分面积为28。
【答案】28
【检测 2】右图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF
的面积大9平方厘米，求ED 的长。
【考点】巧求图形的面积
F
E D
A
B C
【解析】EC =(4⨯6-9) ÷6⨯2=5(厘米) ，ED =EC -DC =1(厘米) 。 【答案】1厘米
【检测 3】如图，两个等腰直角三角形重叠在一起，阴影部分为重叠部分，求阴影部分的
面积。
【考点】用图形的切、割、拼巧求图形的面积
【解析】三角形ICF 的面积是2×2÷2=2（平方厘米），三角形BDH 的面积是5×5÷2=12.5
（平方厘米），三角形BFG 的面积是12×6÷2=36（平方厘米），所以阴影部分的 面积是36-12.5-2=21.5（平方厘米）。 【答案】21.5平方厘米
【检测 4】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如右图所示) ，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树。应怎样分
?
【考点】图形的切割拼 【解析】
【答案】见上图
第四部分：家庭作业
【作业 1】如下图正方形操场边长100米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走
了一圈，谁走的路长？ 它们各走了多少米？
【考点】线段平移法、巧求图形的周长
【解析】我们分别求甲、乙的周长。甲的周长可转化为长方形周长（如图），
即为（100+50+30）×2=360（米）。再求乙的周长。
乙的周长等于长方形周长加上2个30米，即为（100+50）×2+30×2=360（米）。 所以它俩走的一样长。
【答案】一样长
【作业 2】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积。
【考点】图形的切割拼、巧求图形的面积
【解析】把所求三角形扩展置正方形ABCD 中。这个正方形中有四个三角形：一个是要求的
△AEF ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的， 易求它们的面积分别为1.5cm ，2cm ，1.5cm 。所以，图中阴影部分的面积为： 3×3－(1.5×2+2)=4(cm) 。
【答案】4cm
【作业 3】比较图3中的两个阴影部分I 和Ⅱ的面积，它们的大小关系 ______ 。
2
2
2
2
2
【考点】图形的切割拼、一半模型、巧求图形的面积
【解析】I 和Ⅱ的面积一样大，都是等于6块的一半。 【答案】一样大
【作业 4】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC
的面积。
【考点】等积变形、蝴蝶定理 【解析】4×4÷2=8(cm) 。 【答案】8cm
【作业 5】如图，正六边形中，阴影部分的面积为1平方厘米，则正六边形的面积为多少平
方厘米？
2
2
【考点】图形的切割拼
【解析】由图易知，阴影部分的面积为整个正六边形的面积的一半。
正六边形的面积是1×2=2。
【答案】2
【作业 6】正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六
个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积。
【考点】图形的切割拼
【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有
12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现
在的大图形的面积是：1×2=2（平方米）。
【答案】2平方米
【作业 7】如图，正方形ABCD 的边长是5，E 、F 分别是AB 和BC 的中点，求四边形BFGE
的面积。
E
B F C
【考点】图形的切割拼
【解析】如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个
小正方形面积是5×5÷5=5，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也
是5。
11 / 12
F
【答案】5
【作业 8】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10。中间有两条道路，一条是
长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）
有多大？
【考点】巧求图形的面积
【解析】如图所示，将道路平移后的（16-2）×（10-2）=112。
【答案】112
课堂总结：
本讲主要讲的内容是用平移法、旋转法、图形的切割拼、差不变的方法来巧算图形面积。
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巧求图形的面积和周长
第一部分：知识介绍
巧求图形的面积和周长的方法： 1、平移法 2、差不变 3、旋转法 4、图形的切割拼
第二部分：例题精讲
【例 1】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米．它的周长是多少厘米
?
【考点】巧求图形的周长。
【解析】 长方形的长5+6=11(厘米) ，宽1+3=4(厘米) ，周长(11+4)×2=30(厘米) 。
【答案】30厘米
【例 2】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如
图) 的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。
【考点】巧求图形的周长
【解析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的5÷4=1.25倍。
每个小长方形的面积为45÷9=5平方厘米，所以1.25⨯宽⨯宽=5，所以宽为2厘米， 长为2.5厘米。大长方形的周长为(2.5⨯4+2+2.5) ⨯2=29厘米。
【答案】29厘米
【例 3】如右图，计算这个格点三角形的面积。
【考点】巧求图形的面积
【解析】这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，
如下右图（b ），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角 三角形面积, 就是所要求的三角形面积。矩形面积是6×4=24 ；直角三角形Ｉ的面 积是：6×2÷2＝6 ； 直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4 ；直角三角形Ⅲ的面积 是：4×2÷2=4 ；所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）。
【答案】10
【例 4】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图
中阴影部分的面积是 平方厘米．
【考点】巧求图形的面积、一半模型
E
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4⨯3÷2=6(平方厘米) 。 【答案】10
【例 5】(2005年口试真题) 右图中甲的面积比乙的面积大 __________ 平方厘米。 【考点】巧求图形的面积
48厘米
6厘米
【解析】甲的面积+白色三角形的面积=(8⨯6) ÷2=24(平方厘米) ，
乙的面积+白色三角形的面积=(8⨯4) ÷2=16(平方厘米) ， 所以，甲的面积-乙的面积=24-16=8(平方厘米) 。
【答案】8平方厘米
【例 6】用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm 2的大正方形，每个长方形的周长是多
少平方厘米？
【考点】巧求图形的周长
【解析】引导学生思考所求题目的关键是什么。本题的关键是找长方形的长和宽。
根据10⨯10=100知这个大正方形的边长是10cm ，即长加宽是10cm ， 长方形的周长是：10⨯2=20(cm ) 。
【答案】20厘米
【例 7】如图所示的四边形的面积等于多少？
C
13
12
O
13
12
13
D
13
12
12A
B
【考点】巧求图形的面积
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积。我们
可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长
为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置。这样，通过 旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来 四边形的面积12×12=144。
13
12
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D
12
B
【答案】144
【例 8】如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米．以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时
高是16厘米. 求平行四边形ABCD 的面积。
【考点】巧求图形的面积
【解析】这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE ，切掉一个等腰直角三角形BCE 。
因为角A 是45°，角D 是90°，角E 是180°-45°-90°＝ 45°，所以ADE 是等 腰直角三角形，BCE 也是等腰直角三角形。四边形ABCD 的面积，是这两个等腰直 角三角形面积之差，即7×7÷2-3×3÷2＝20。
【答案】20
【例 9】如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米．以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时
高是16厘米．求平行四边形ABCD 的面积。
【考点】等积变形
【解析】因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14×BC=16 ×CD ，
即BC ：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC 为底，
对应高为14，20×14=280，所以平行四边形ABCD 的面积为280平方厘米。
【答案】280平方厘米
【例 10】图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。
【考点】巧求图形的面积
【解析】如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH 。设阴影部分面积为“阴”平方
厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米。DGH 、HMG 的面积相等， GCF 与GPF 的面积相等，FBE 与 EOF 的面积相等，HAE 与HNE 的面积相 等。阴一空=2×3=6，阴+空=lO×10=100。阴=(6+100)÷2=53，即阴影部分的面积 为53平方厘米。
【答案】53平方厘米
【例 11】（2011年口试真题）如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形
的面积是4平方厘米，长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？
【考点】图形的切割拼
【解析】取AB 、CD AE 的中点，BC 的三等分点进行连接，可以把长方形分割成如下图所示，
由于取得点都是等分点，分割后7个小正方形的面积都是4平方厘米，10个小等 腰直角三角形的面积都是2平方厘米，可以看出长方形ABCD 的面积等于： 7×4+10×2=48（平方厘米）。
【答案】48平方厘米
【例 12】如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽
15厘米的新长方形。
【考点】图形的切割拼
【解析】因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此
我们把原长方形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形。因为新长方形的长为 16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所 以原长方形的宽应增加一个小长方形。可以沿对角线的方向，把它切成k 阶梯状的 两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部 分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形。具体操作中可按下图中的粗 线把长方形分两成块，一移一错一对，便可得到如图所示的长为16厘米，宽为15 厘米的新长方形．
【答案】见上图
第三部分：课堂检测
【检测 1】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上
的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
A B
D G C
F
【考点】图形的切割拼
【解析】如右图，连接BH 、HC ，由E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 三边的中点有AE=EB、BF=FC、 CG=CD。因此S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积 =S1+S4+S5。所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部
分面积为28。
【答案】28
【检测 2】右图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF
的面积大9平方厘米，求ED 的长。
【考点】巧求图形的面积
F
E D
A
B C
【解析】EC =(4⨯6-9) ÷6⨯2=5(厘米) ，ED =EC -DC =1(厘米) 。 【答案】1厘米
【检测 3】如图，两个等腰直角三角形重叠在一起，阴影部分为重叠部分，求阴影部分的
面积。
【考点】用图形的切、割、拼巧求图形的面积
【解析】三角形ICF 的面积是2×2÷2=2（平方厘米），三角形BDH 的面积是5×5÷2=12.5
（平方厘米），三角形BFG 的面积是12×6÷2=36（平方厘米），所以阴影部分的 面积是36-12.5-2=21.5（平方厘米）。 【答案】21.5平方厘米
【检测 4】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如右图所示) ，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树。应怎样分
?
【考点】图形的切割拼 【解析】
【答案】见上图
第四部分：家庭作业
【作业 1】如下图正方形操场边长100米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走
了一圈，谁走的路长？ 它们各走了多少米？
【考点】线段平移法、巧求图形的周长
【解析】我们分别求甲、乙的周长。甲的周长可转化为长方形周长（如图），
即为（100+50+30）×2=360（米）。再求乙的周长。
乙的周长等于长方形周长加上2个30米，即为（100+50）×2+30×2=360（米）。 所以它俩走的一样长。
【答案】一样长
【作业 2】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积。
【考点】图形的切割拼、巧求图形的面积
【解析】把所求三角形扩展置正方形ABCD 中。这个正方形中有四个三角形：一个是要求的
△AEF ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的， 易求它们的面积分别为1.5cm ，2cm ，1.5cm 。所以，图中阴影部分的面积为： 3×3－(1.5×2+2)=4(cm) 。
【答案】4cm
【作业 3】比较图3中的两个阴影部分I 和Ⅱ的面积，它们的大小关系 ______ 。
2
2
2
2
2
【考点】图形的切割拼、一半模型、巧求图形的面积
【解析】I 和Ⅱ的面积一样大，都是等于6块的一半。 【答案】一样大
【作业 4】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC
的面积。
【考点】等积变形、蝴蝶定理 【解析】4×4÷2=8(cm) 。 【答案】8cm
【作业 5】如图，正六边形中，阴影部分的面积为1平方厘米，则正六边形的面积为多少平
方厘米？
2
2
【考点】图形的切割拼
【解析】由图易知，阴影部分的面积为整个正六边形的面积的一半。
正六边形的面积是1×2=2。
【答案】2
【作业 6】正六边形ABCDEF 的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六
个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积。
【考点】图形的切割拼
【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有
12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现
在的大图形的面积是：1×2=2（平方米）。
【答案】2平方米
【作业 7】如图，正方形ABCD 的边长是5，E 、F 分别是AB 和BC 的中点，求四边形BFGE
的面积。
E
B F C
【考点】图形的切割拼
【解析】如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个
小正方形面积是5×5÷5=5，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也
是5。
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F
【答案】5
【作业 8】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10。中间有两条道路，一条是
长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）
有多大？
【考点】巧求图形的面积
【解析】如图所示，将道路平移后的（16-2）×（10-2）=112。
【答案】112
课堂总结：
本讲主要讲的内容是用平移法、旋转法、图形的切割拼、差不变的方法来巧算图形面积。
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