如何解一元二次不等式，例如：xˆ2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路
解：对于高中“解一元二次不等式”这一块，
通常有以下两种解决办法：
① 运用“分类讨论”解题思想；
② 运用“数形结合”解题思想。
以下分别详细探讨。
例1、解不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0。
解法①：原不等式可化为：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。
两部分的乘积大于等于零，
等价于以下两个不等式组：
（1） x -- 4 ≥ 0 或 （2）x -- 4 ≤ 0
x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0
解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”）
∴不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2。
其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪ [ 4，+ ∞）。
解法②：原不等式可化为：
[ (x² -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。
∴ (x -- 1)² ≥ 9
∴ x -- 1 ≥ 3 或 x -- 1 ≤ -- 3
∴ x ≥ 4 或 x ≤ -- 2。
∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪ [ 4，+ ∞）。
解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程 x² -- 2x -- 8 = 0
的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 下同解法①。
体会：以上三种解法，都是死板板地去解；
至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。
下面看“数形结合”法。
解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x² -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和 (4，0)， 显然，当自变量的取值范围为 x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 时， 图像在 x 轴的上方；
当自变量的取值范围为 -- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在 x 轴的下方。
∴ 当x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 时，x² -- 2x -- 8 ≥ 0，
即：不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2。
顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在 x 轴的下方，即：x² -- 2x -- 8 ≤ 0， ∴不等式x² -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。
领悟：对于ax² + bx + c ＞ 0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax² + bx + c ＜ 0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。
例2、解不等式 x² + 2x + 3 ＞ 0。
在实数范围内左边无法进行因式分解。
配方得：(x + 1)² + 2 ＞ 0。
无论 x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零。
∴ 该不等式的解集为 x ∈ R。
用“数形结合”考虑，
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集为 x ∈ R。
例3、解不等式 x² + 2x + 3 ＜ 0。
在实数范围内左边无法进行因式分解。
配方得：(x + 1)² + 2 ＜ 0。
无论 x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零，
∴ 该不等式的解集为 空集。
用“数形结合”考虑，
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集为 空集。
注：在以后的高中学习中，对于“不等式”这一块，较麻烦的是
“含有参数的不等式”。如：
f(x) = ax² + x （ a ∈ R 且 a ‡ 1）
若当x ∈[ 0，1] 时，总有 | f(x) | ≤ 1，求a的取值范围。
cos27°cos57°-sin27°cos147°=
解一
cos27°cos57°-sin27°cos147°
=cos27°cos57°+sin27°sin57°
=cos(27°-57°）
=cos30°
=√3/2
解二
cos27°cos57°-sin27°cos147°
=cos27°sin33°+sin27°cos33°
=sin（27°+33°）
=sin60°
=√3/2
解三
把cos147度用诱导公式cos(90度+A）=-sinA变成-sin57度，所以原式变为cos27度cos57度+sin27度sin57度=cos(57度-27度）=cos30度=根号3/2
根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．
解：依题意可得{a1+d=35a1+10d=25，
d=2，a1=1
∴a7=1+6×2=13
故答案为：13
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．
若x>0,则(x^2+4)/x的最小值为
若实数x>0,则(x^2+2x+4)/x的最小值是
原式=x²/x+2x/x+4/x =x+4/x+2 x>0 所以x+4/x+2≥2√(x*4/x)+2=4+2=6 所以最小值=6
如何解一元二次不等式，例如：xˆ2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路
解：对于高中“解一元二次不等式”这一块，
通常有以下两种解决办法：
① 运用“分类讨论”解题思想；
② 运用“数形结合”解题思想。
以下分别详细探讨。
例1、解不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0。
解法①：原不等式可化为：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。
两部分的乘积大于等于零，
等价于以下两个不等式组：
（1） x -- 4 ≥ 0 或 （2）x -- 4 ≤ 0
x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0
解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”）
∴不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2。
其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪ [ 4，+ ∞）。
解法②：原不等式可化为：
[ (x² -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。
∴ (x -- 1)² ≥ 9
∴ x -- 1 ≥ 3 或 x -- 1 ≤ -- 3
∴ x ≥ 4 或 x ≤ -- 2。
∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪ [ 4，+ ∞）。
解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程 x² -- 2x -- 8 = 0
的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 下同解法①。
体会：以上三种解法，都是死板板地去解；
至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。
下面看“数形结合”法。
解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x² -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和 (4，0)， 显然，当自变量的取值范围为 x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 时， 图像在 x 轴的上方；
当自变量的取值范围为 -- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在 x 轴的下方。
∴ 当x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 时，x² -- 2x -- 8 ≥ 0，
即：不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2。
顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在 x 轴的下方，即：x² -- 2x -- 8 ≤ 0， ∴不等式x² -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。
领悟：对于ax² + bx + c ＞ 0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax² + bx + c ＜ 0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。
例2、解不等式 x² + 2x + 3 ＞ 0。
在实数范围内左边无法进行因式分解。
配方得：(x + 1)² + 2 ＞ 0。
无论 x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零。
∴ 该不等式的解集为 x ∈ R。
用“数形结合”考虑，
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集为 x ∈ R。
例3、解不等式 x² + 2x + 3 ＜ 0。
在实数范围内左边无法进行因式分解。
配方得：(x + 1)² + 2 ＜ 0。
无论 x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零，
∴ 该不等式的解集为 空集。
用“数形结合”考虑，
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集为 空集。
注：在以后的高中学习中，对于“不等式”这一块，较麻烦的是
“含有参数的不等式”。如：
f(x) = ax² + x （ a ∈ R 且 a ‡ 1）
若当x ∈[ 0，1] 时，总有 | f(x) | ≤ 1，求a的取值范围。
cos27°cos57°-sin27°cos147°=
解一
cos27°cos57°-sin27°cos147°
=cos27°cos57°+sin27°sin57°
=cos(27°-57°）
=cos30°
=√3/2
解二
cos27°cos57°-sin27°cos147°
=cos27°sin33°+sin27°cos33°
=sin（27°+33°）
=sin60°
=√3/2
解三
把cos147度用诱导公式cos(90度+A）=-sinA变成-sin57度，所以原式变为cos27度cos57度+sin27度sin57度=cos(57度-27度）=cos30度=根号3/2
根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．
解：依题意可得{a1+d=35a1+10d=25，
d=2，a1=1
∴a7=1+6×2=13
故答案为：13
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．
若x>0,则(x^2+4)/x的最小值为
若实数x>0,则(x^2+2x+4)/x的最小值是
原式=x²/x+2x/x+4/x =x+4/x+2 x>0 所以x+4/x+2≥2√(x*4/x)+2=4+2=6 所以最小值=6