数值计算(数值分析)试题及答案

武汉理工大学研究生课程考试标准答案

用纸

课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：

一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）

绝对误差和相对误差分别是多少？

3分）

2分）

01

32. 已知f (x )=x 8+x 5-32，求f ⎡⎣,3,

01

⎡,38⎤f 3，⎦⎣,3,

,39⎤⎦.

(5分）

3. 确定求积公式

⎰

1

f (x ) dx ≈A 0f (0)+A 1f (1)+A 2f '(0)中的待定系数，使其代数

精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令f (x ) =1, x ,

x m , 使积分公式对尽可能

大的正整数m 准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即m =2。 由f (x ) =1数值积分准确成立得：A 0+A 1=1 由f (x ) =x 数值积分准确成立得：A 1+A 2=1/2 由f (x ) =x 2数值积分准确成立得：A 1=1/3

解得A 1=1/3, A 2=1/6, A 0=2/3. (3分）

此时，取f (x ) =x 3积分准确值为1/4, 而数值积分为A 1=1/3≠1/4, 所以该求积公式的最高代数精度为2次。 (2分）

⎡10-1⎤

⎥的谱半径。 0104. 求矩阵A =⎢⎢⎥

⎢⎣-202⎥⎦

λ-1

解 λI -A =

01

0=λ(λ-)(1λ-λ- )3

2

λ-1

矩阵A 的特征值为λ1=0, λ2=1, λ3=3 所以谱半径ρ(A )=max {0,1,3}=3 (5分）

⎛10099⎫

5. 设A = ⎪, 计算A 的条件数cond (A )p , (P =2, ∞).

⎝9998⎭

⎛98-99⎫A *⎛-9899⎫-1

解：A = = ⎪⇒A =⎪

-9910099-100A ⎝⎭⎝⎭

*

矩阵A 的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则

cond (A ) 2=A 2⨯A -1c o n (d ) A ∞=

2

=198.00505035/0.00505035=39206(2分）

390 1 6 (3分）

A ∞

-1

=199⨯199=

∞

H 3(x ) =(1-2

x -x 0x -x 12x -x 1x -x 02

)() y 0+(1-2)() y 1

x 0-x 1x 0-x 1x 1-x 0x 1-x 0

x -x 02x -x 12

'+(x -x 1)('+(x -x 0)() y 0) y 1

x 0-x 1x 1-x 0

(5分）

1

并依条件H (0)=1, H '(0)=, H (1)=2, H '(1)=2. ，得

21

H 3(x ) =(1+2x )(x -1) 2+2(3-2x ) x 2+x (x -1) 2+2(x -1) x 2

2

(5分）

131

=x +x +122

2. 已知f (-1)=2, f (1)=1, f (2)=1，求f (x )的Lagrange 插值多项式。

解：注意到：

x 0=-1, x 1=1, x 2=2; y 0=2, y 1=1, y 2=1l 0=l 1=l 2=

(x -x 1)(x -x 2) (x -1)(x -2)

=

(x 0-x 1)(x 0-x 2) 6(x -x 0)(x -x 2) (x +1)(x -2)

=

(x 1-x 0)(x 1-x 2) -2(x -x 0)(x -x 1) (x +1)(x -1)

=

(x 2-x 0)(x 2-x 1) 3

n

2

j j j =0

∴L (x ) =∑y l (x )=(x -1)(x -2) ⨯2+(x +1)(x -2) ⨯1+(x +1)(x -1) ⨯1

6-23

=

12

x -3x +8)(6

3.3. 给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合

解: P (x ) =a 0+a 1x

m m

⎧

ma 0+(∑x i ) a 1=∑y i

⎪⎪i =1i =1

(5分） ⎨m m m

2⎪(∑x i ) a 0+(∑x i ) a 1=∑x i y i

⎪i =1i =1⎩i =1

⎧4a 0+6a 1=12

⎨

6a +14a =251⎩0

a 0=0. 9, a 1=1. 4，P (x ) =0. 9+1. 4x (5分）

⎧20x 1+2x 2+3x 3=24

T ⎪(0)

4. 用Jacobi 迭代法求解方程组⎨x 1+8x 2+x 3=12，取初值x =(0,0,0)，计算

⎪2x -3x +15x =30

23⎩1

迭代二次的值；（2分）

问Jacobi 迭代法是否收敛？为什么？（2分）

若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于10-

6？（提示：

问Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？（1分）

解：先将方程组化成便于迭代的形式，以20,8,15分别除以三个方程两边得

136⎧⎛x =-x -x +0123 ⎪10205

⎪

133⎪ -1x =-x -x +B = ， 迭代矩阵⎨213 8882⎪ 212⎪ x =-x +x +2-23 ⎪3

155⎩⎝15

由于||B ||∞=

-

1

100

-

315

3⎫20⎪⎪1⎪-,

⎪8⎪0⎪⎪⎭

1

=q

Gauss-Seidel 迭代法收敛。

由||x *-x

(k )

q k ||≤||x (1)-x (0)||得公式 K >1-q

ln

ε(1-||B ||∞)

||x (1)-x (0)||∞

及||x (1)-x (0)||∞

ln ||B ||∞

1

10-6(1-)

1ln(⨯10-6) ln

ln(3⨯106) ==≈13.57 可得K >

ln 3ln ln 33

所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于10.

-6

2

⎧⎪y '=-x +y

5. 用欧拉法解初值问题⎨在[0,1.5]上的数值解，取h =0.5，计算过程保

⎪⎩y (0)=2

留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分）

解：欧拉法的公式为

y (x k )≈y k =y k -1+hf (x k -1, y k -1)=y k -1+h (-x k -1+y k 2-1)，k =1,2,3,4 （4分）

已知x 0=0，y 0=2

y (0.5)≈y 1=2+0.5⨯(-0+22)=4 y (1)≈y 2=4+0.5⨯(-0.5+42)=11.75

y (1.5)≈y 3=11.75+0.5⨯(-1+11.752)=80.28125 （6分）

三. 分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分） 1. 设Ax =b ，其中A ∈R n ⨯n 为非奇异矩阵，证明cond (A T A )=⎡⎣cond (A )2⎤⎦ 2

2

证明： (AAT ) =(AT ) T A T =AA T ⇒AA T 为对称矩阵

T

对于任意给定的非零列向量X, 都有XT A T A X=(AX) T (AX) =b 2>0

所以A A 为正定矩阵, ⇒AA 也为正定矩阵所以AA T 为对称正定矩阵.

cond(A T A ) 2=A T A

2

T T

(AT A) -1

2

=ρ(AT A) ρ[(AT A) -1]

=

λmax (AT A) λmax [(AT A) -1]

2

又由于A 2=A -1⇒cond[(A ) 2]2=(A

2

2

=A -1) 2=λmax (AT A) λmax [(AT A) -1]

2

所以cond(A T A ) 2=cond[(A ) 2] （5分）

证明：设x j 是向量X 的分量，则X

2∞

2

n

2∞

2

=⎡max x i ⎤≤∑x i ≤n X ⎣i ⎦i =1

，

所以由向量范数的概念可知，结论成立. （5分）

证：因为f '(x ) =-

，故牛顿迭代格式为 x 2

1-a x f (x )

=x k -k =x k (2-ax k ), k =0,1, 2, x k +1=x k -

1f '(x ) -2x k

下证明其收敛性。

记第k 步的误差为e k =x *-x k 和构造r k =ae k ，k =0,1, 则有a , r k , x k 三者之间的关系为

r k =ae k =a (x *-x k ) =ax *-ax k =1-ax k ； 而 r k +1=1-ax k +1=1-ax k (2-ax k ) =1-ax k (1+r k ) =(1-ax k ) -ax k r k =r k -ax k r k =(1-ax k ) r k =r k 2, （+）式是一个递推关系，重复使用它，得 r k =r k 2-1=r k 2-1=若0

2

（5分）

，

k =0,1,

（+）

=r , k =0,1,

2k 0

（*）

2

，那么 -1

也即有 |r 0|

r 02=0, 即lim r k =0。 从而有 l i m

k →∞

k →∞

k

又因为r k =ae k ，所以lim e k =0，

k →∞

也就是牛顿法产生的序列{x k }收敛于x *=

1

。（5分） a

武汉理工大学研究生课程考试标准答案

用纸

课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：

一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）

绝对误差和相对误差分别是多少？

3分）

2分）

01

32. 已知f (x )=x 8+x 5-32，求f ⎡⎣,3,

01

⎡,38⎤f 3，⎦⎣,3,

,39⎤⎦.

(5分）

3. 确定求积公式

⎰

1

f (x ) dx ≈A 0f (0)+A 1f (1)+A 2f '(0)中的待定系数，使其代数

精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令f (x ) =1, x ,

x m , 使积分公式对尽可能

大的正整数m 准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即m =2。 由f (x ) =1数值积分准确成立得：A 0+A 1=1 由f (x ) =x 数值积分准确成立得：A 1+A 2=1/2 由f (x ) =x 2数值积分准确成立得：A 1=1/3

解得A 1=1/3, A 2=1/6, A 0=2/3. (3分）

此时，取f (x ) =x 3积分准确值为1/4, 而数值积分为A 1=1/3≠1/4, 所以该求积公式的最高代数精度为2次。 (2分）

⎡10-1⎤

⎥的谱半径。 0104. 求矩阵A =⎢⎢⎥

⎢⎣-202⎥⎦

λ-1

解 λI -A =

01

0=λ(λ-)(1λ-λ- )3

2

λ-1

矩阵A 的特征值为λ1=0, λ2=1, λ3=3 所以谱半径ρ(A )=max {0,1,3}=3 (5分）

⎛10099⎫

5. 设A = ⎪, 计算A 的条件数cond (A )p , (P =2, ∞).

⎝9998⎭

⎛98-99⎫A *⎛-9899⎫-1

解：A = = ⎪⇒A =⎪

-9910099-100A ⎝⎭⎝⎭

*

矩阵A 的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则

cond (A ) 2=A 2⨯A -1c o n (d ) A ∞=

2

=198.00505035/0.00505035=39206(2分）

390 1 6 (3分）

A ∞

-1

=199⨯199=

∞

H 3(x ) =(1-2

x -x 0x -x 12x -x 1x -x 02

)() y 0+(1-2)() y 1

x 0-x 1x 0-x 1x 1-x 0x 1-x 0

x -x 02x -x 12

'+(x -x 1)('+(x -x 0)() y 0) y 1

x 0-x 1x 1-x 0

(5分）

1

并依条件H (0)=1, H '(0)=, H (1)=2, H '(1)=2. ，得

21

H 3(x ) =(1+2x )(x -1) 2+2(3-2x ) x 2+x (x -1) 2+2(x -1) x 2

2

(5分）

131

=x +x +122

2. 已知f (-1)=2, f (1)=1, f (2)=1，求f (x )的Lagrange 插值多项式。

解：注意到：

x 0=-1, x 1=1, x 2=2; y 0=2, y 1=1, y 2=1l 0=l 1=l 2=

(x -x 1)(x -x 2) (x -1)(x -2)

=

(x 0-x 1)(x 0-x 2) 6(x -x 0)(x -x 2) (x +1)(x -2)

=

(x 1-x 0)(x 1-x 2) -2(x -x 0)(x -x 1) (x +1)(x -1)

=

(x 2-x 0)(x 2-x 1) 3

n

2

j j j =0

∴L (x ) =∑y l (x )=(x -1)(x -2) ⨯2+(x +1)(x -2) ⨯1+(x +1)(x -1) ⨯1

6-23

=

12

x -3x +8)(6

3.3. 给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合

解: P (x ) =a 0+a 1x

m m

⎧

ma 0+(∑x i ) a 1=∑y i

⎪⎪i =1i =1

(5分） ⎨m m m

2⎪(∑x i ) a 0+(∑x i ) a 1=∑x i y i

⎪i =1i =1⎩i =1

⎧4a 0+6a 1=12

⎨

6a +14a =251⎩0

a 0=0. 9, a 1=1. 4，P (x ) =0. 9+1. 4x (5分）

⎧20x 1+2x 2+3x 3=24

T ⎪(0)

4. 用Jacobi 迭代法求解方程组⎨x 1+8x 2+x 3=12，取初值x =(0,0,0)，计算

⎪2x -3x +15x =30

23⎩1

迭代二次的值；（2分）

问Jacobi 迭代法是否收敛？为什么？（2分）

若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于10-

6？（提示：

问Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？（1分）

解：先将方程组化成便于迭代的形式，以20,8,15分别除以三个方程两边得

136⎧⎛x =-x -x +0123 ⎪10205

⎪

133⎪ -1x =-x -x +B = ， 迭代矩阵⎨213 8882⎪ 212⎪ x =-x +x +2-23 ⎪3

155⎩⎝15

由于||B ||∞=

-

1

100

-

315

3⎫20⎪⎪1⎪-,

⎪8⎪0⎪⎪⎭

1

=q

Gauss-Seidel 迭代法收敛。

由||x *-x

(k )

q k ||≤||x (1)-x (0)||得公式 K >1-q

ln

ε(1-||B ||∞)

||x (1)-x (0)||∞

及||x (1)-x (0)||∞

ln ||B ||∞

1

10-6(1-)

1ln(⨯10-6) ln

ln(3⨯106) ==≈13.57 可得K >

ln 3ln ln 33

所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于10.

-6

2

⎧⎪y '=-x +y

5. 用欧拉法解初值问题⎨在[0,1.5]上的数值解，取h =0.5，计算过程保

⎪⎩y (0)=2

留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分）

解：欧拉法的公式为

y (x k )≈y k =y k -1+hf (x k -1, y k -1)=y k -1+h (-x k -1+y k 2-1)，k =1,2,3,4 （4分）

已知x 0=0，y 0=2

y (0.5)≈y 1=2+0.5⨯(-0+22)=4 y (1)≈y 2=4+0.5⨯(-0.5+42)=11.75

y (1.5)≈y 3=11.75+0.5⨯(-1+11.752)=80.28125 （6分）

三. 分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分） 1. 设Ax =b ，其中A ∈R n ⨯n 为非奇异矩阵，证明cond (A T A )=⎡⎣cond (A )2⎤⎦ 2

2

证明： (AAT ) =(AT ) T A T =AA T ⇒AA T 为对称矩阵

T

对于任意给定的非零列向量X, 都有XT A T A X=(AX) T (AX) =b 2>0

所以A A 为正定矩阵, ⇒AA 也为正定矩阵所以AA T 为对称正定矩阵.

cond(A T A ) 2=A T A

2

T T

(AT A) -1

2

=ρ(AT A) ρ[(AT A) -1]

=

λmax (AT A) λmax [(AT A) -1]

2

又由于A 2=A -1⇒cond[(A ) 2]2=(A

2

2

=A -1) 2=λmax (AT A) λmax [(AT A) -1]

2

所以cond(A T A ) 2=cond[(A ) 2] （5分）

证明：设x j 是向量X 的分量，则X

2∞

2

n

2∞

2

=⎡max x i ⎤≤∑x i ≤n X ⎣i ⎦i =1

，

所以由向量范数的概念可知，结论成立. （5分）

证：因为f '(x ) =-

，故牛顿迭代格式为 x 2

1-a x f (x )

=x k -k =x k (2-ax k ), k =0,1, 2, x k +1=x k -

1f '(x ) -2x k

下证明其收敛性。

记第k 步的误差为e k =x *-x k 和构造r k =ae k ，k =0,1, 则有a , r k , x k 三者之间的关系为

r k =ae k =a (x *-x k ) =ax *-ax k =1-ax k ； 而 r k +1=1-ax k +1=1-ax k (2-ax k ) =1-ax k (1+r k ) =(1-ax k ) -ax k r k =r k -ax k r k =(1-ax k ) r k =r k 2, （+）式是一个递推关系，重复使用它，得 r k =r k 2-1=r k 2-1=若0

2

（5分）

，

k =0,1,

（+）

=r , k =0,1,

2k 0

（*）

2

，那么 -1

也即有 |r 0|

r 02=0, 即lim r k =0。 从而有 l i m

k →∞

k →∞

k

又因为r k =ae k ，所以lim e k =0，

k →∞

也就是牛顿法产生的序列{x k }收敛于x *=

1

。（5分） a


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