柯西不等式 1

柯西不等式1

☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：

1. 定理1 如果a , b ∈R , 那么a +b ≥2ab . 当且仅当a =b 时, 等号成立.

当a >0, b >0时，由a +b ≥2ab ⇒基本不等式： 2. 如果a , b , c , d ∈R , 那么a +b ≥2ab ，c +d ≥2cd ⇒(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥ 另一方面，有(ac +bd ) 2=a 2c 2+b 2d 2+2abcd ≥ 问题：(a 2+b 2)(c 2+d 2) ☻新知建构：

1. 柯西不等式：若a , b , c , d ∈R ，则(a +b )(c +d ) 当且仅当时, 等号成立.

此即二维形式的柯西不等式.

证法1. （综合法）(a 2+b 2)(c 2+d 2) =a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 =(

当且仅当时, 等号成立. 0

证法2. （构造法）分析

(ac +bd ) 2 ? ? ?

(ac +bd ) 2.

) 2+() 2(ac +bd ) 2

：

(a +

⇐[c a +)

+2c b -(

而[2(ac +bd )]-4(a +b )(c +d ) 的结构特征那么，证：设f (x ) =(a 2+b 2) x 2-2(ac +bd ) x +c 2+d 2，

∵ f (x ) =(ax -c ) 2+(bx -d ) 2恒成立.

∴ . 得证.

证法3. （向量法）设向量m =(a , b ) ，n =(c , d ) ，则|m |= ∵ m ⋅n =

，|n |=.

，且⋅=||⋅||⋅c 有|m ⋅n |o s ，|m |⋅|n |.

∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：

变式1. 若a , b , c , d ∈R ，则a 2+b 2⋅c 2+d 2

|ac +bd | 或a 2+b 2⋅c 2+d 2 ac +bd ；

变式2. 若a , b , c , d ∈R ，

；

变式30

. 若x 1, y 1, x 2, y 2∈R ，

几何意义:

3. 二维柯西不等式的应用：例1 已知a , b 为实数, 证明(a 4+b 4)(a 2+b 2) ≥(a 3+b 3) 2

例2 设a , b ∈R *

, a +b =1,

求证1a +1

≥4

例3 求函数y =

例4 若2x +3y =1, 求4x 2+9y 2的最小值, 并求最小值点.

解:由柯西不等式(4x 2+9y 2)(12+12) ≥(2x +3y ) 2=∴4x 2+9y 2≥1

当且仅当2x ⋅12

=3{

⎧y ⋅1, 即12x =3y 时取等号.

由22x x +=33y y =1得⎪x =

⎨

4⎪1⎩

y =

6∴4x 2+9y 2的最小值为111

2, 最小值点为(4, 6

)

选修4-5练习

1. 若a , b ∈R , 且a 2+b 2=10, 则a -b 的取值范围是( )

A. ⎣

⎡

B . ⎡⎣

C . ⎡⎣

D . ⎡⎣

已知x +y =1, 那么2x 2+3y 2的最小值是( ) A. 56 B . 6255 C .

36 D

. 36

3. 函数y =______ 4,

设实数x , y 满足3x 2+2y 2≤6, 则P =2x +y 的最大值是______

若a +b =1, 则(a +1a ) 2+(b +1

) 2的最小值是______

1．A 2、B 3．3 4

5．25

6、

求函数y =

7、已知3x +2y =1，求x 2+y 2的最小值.

8、若x , y ∈R 1+，x +y =2，求证：x +1

≥2. 9、已知x , y , a , b ∈R +，且

a x +b

=1，则x +y 的最小值. 10、若>b >，求证：11a -b +b -c ≥4

a -c

11、已知点P0(x 0, y 0)及直线l : Ax +By +C =0 (A2+B2≠0) 用柯西不等式推导点到直线的距离公式

12、已知a -b 2+b -a 2=1, 求证：a 2

+b 2

=1。

1 x x +1

练习

6．分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 →

变式：y →

推广：y =a , b , c , d , e , f ∈R +)

7．（凑配法）x 2+y 2=

113(x 2+y 2)(32+22) ≥113(3x +2y ) 2=1

. 8．分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）

要点：

1x +1y =12(x +y )(1x +1y ) =122+22+2

]≥„ 9．要点：x +y =(a b

x +y

)(x +y ) =„. → 其它证法

10、要点：(a -c )(

1-b +1b -c ) =[(a -b ) +(b -c )](1a -b +1b -c

) ≥(1+1) 2a =4 11、设点P1(x 1, y 1)是直线l 上的任意一点，则Ax 1+Bx 1+C =0 （1）点P 0, P 1两点间的距离:

p 0p 1=

（2）

p 0p 1的最小值就是点p 0到直线l 的距离， ∵

A(x 0-x 1)+B(y 0-y 1)

=Ax 0+By 0+C -(Ax 1+By 1+C ) 由（1）

（2）得： p 1p 2≥Ax 0+

By 0+C 即p 1p 2≥

3）

（当且仅当 (y 0-y 1):(x 0-x 1)=

1p 2⊥l （3）式取等号即点到直线的距离公式即p 1p 2=

12. 证明：由柯西不等式，得a -b 2+b -a 2≤[a 2+(1-a 2)][b 2+(1-b 2)]

=1 当且仅当b

-b 2-a

2=a 时，上式取等号， ∴ab =-a 2∙-b 2, a 2

b 2

1-a

)(1-b 2

), 于是 a

+b 2=1 。

13. 解： x 2

2∙(x +1)2+

x +12

= x +

2∙x +12

+(x +1)2

x 2+

由柯西不等式知

x 2

∙x +12

+(x +1)

≥

x x +1+x +1x

x 2+

1即

x 2⋅1(x +1) 2

+(x +1) 2≥2+1x (x +1) ,

∴x 2+

1x 2⋅(x +1) 2

(x +1) 2

≥2+

1x (x +1)

当上式取等号时有x (x +1) =

x (x +1)

成立，即

x 2+x +1=0（无实根）或x 2+x -1=0，即

x =

-1±2，经检验，原方程的根为x =-1±5

柯西不等式2

☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题 ☻知识情景：

1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定

了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值

定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式：若a , b , c , d ∈R ，

则 . 当且仅当, 等号成立. 变式10. 若a , b , c , d ∈R ，则a 2+b 2⋅c 2+d 2

|ac +bd |或a 2+b 2⋅c 2+d 2

ac +bd ；

∈R 变式20. 若a , b , c , d ，

；

变式30. （三角形不等式）设

x , y , x , y , x , y 为任意实数，则：

3. 一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，a i , b i

∈R (i =1,2,…,)，

则：. 当且仅当, 等号成立. (若a i =0时，约定b i =0，i =1,2,…,). 变式10. 设a i ∈R , b i >0(i =1,2,

(a i ) 2a i

, n ), 则：∑b ≥

i =1b i . i

当且仅当时, 等号成立. 变式2. 设a i ⋅b i >0(i =1,2,

2a i (a i )

. , n ), 则：∑≥

b a b i =1i i i

当且仅当b 1=b 2= =b n 时, 等号成立. 变式30. (积分形式) 设f (x ) 与g (x ) 都在[a , b ]可积，

b b b

则⎡⎰f (x ) g (x ) dx ⎤≤⎰f 2(x ) dx ⋅⎰g 2(x ) dx ，

⎢⎥a a ⎣a ⎦

当且仅当f (x ) =t ⋅g (x ) 时, 等号成立.

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面

都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：

例1. 已知实数a , b , c , d 满足a +b +c +d =3， a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5. 试求的最值

9⎧222

x +y +z =⎪

例2 在实数集内解方程⎨ 4

⎪⎩-8x +6y -24y =39

例3 设是三角形ABC 内的一点，x , y , z 是到三边a , b , c 的距离，是ABC 外接圆的半径，

例4 (证明恒等式) 已知a -b 2+b -a 2=1, 求证：a +b =1。

≤

1111

++ ++>0 例5 (证明不等式) 设a 1>a 2> >a n >a n +1, 求证:a -a a -a a -a a -a 1223n n +1n +11

选修4-5练习 1、已知a 1, a 2,

2、已知a , b , c , d 是不全相等的正数，求证：a +b +c +d >ab +bc +cd +da

3、已知x +2y +3z =1, 4

、

设

, a n ∈R +，求证：(a 1+a 2+

+a n ) 2≤a 12+a 22++a n 2

求x 2+y 2+z 2的最小值.

x 1,x 2, x n ∈R +,

且x 1+x 2++x n =1,

求证：

22x 1x 2

++1+x 11+x 22x n 1

+≥

1+x n n +1

5、已知实数a , b , c , d , e 满足a +b +c +d +e =8, a +b +c +d +e =16, 求的取值范围.

6、已知x , y , z ∈R +, 且x +y +z =1, 求证：

149

++≥36 x y z

a 2+b 2+c 2

7、已知正数a , b , c 满足a +b +c =1 证明 a +b +c ≥

⎧x +y +z =9

8、解方程组 ⎨x +w =6

42222222

⎩x +x (y +z +w ) +w (y +z ) =486

9、若n 是不小于2的正整数，试证：

4111

11-

参考答案:

一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，a i , b i

∈R (i =1,2, …,) ，则：∑a i

i =1

∑b

i =1

≥(∑a i b i ) 2，

i =1

其中等号当且仅当

b b 1b 2

== =n 时成立(当a i =0时，约定b i =0，i =1,2,…,). a 1a 2a n

等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i ≤n ) 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的

不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。例1 解：由柯西不等式得，有 2b +3c +6d

(

222

111⎫)⎛ ++⎪≥(b +c +d )⎝236⎭

2222

即2b +3c +6d ≥(b +c +d ) 由条件可得， 5-a ≥(3-a )

解得，1≤a ≤

2== 时等号成立， 11

, d =时， a m a x =2 3621

b =1, c =, d =时 a min =1

代入b =1, c =例2解：由柯西不等式，得

x 2+y 2+z 2⎡(-8)+6++x (-2)4⎤≥(-8

(

)⎣

⎦

6-y

① 2y )4

x +y +z

(

222

-8)⎡⎣()

9+62+(-24)⎤=⨯(64+36+4⨯1)44=2 3

⎦4

222222222

又(-8x +6y -24y )=39. x +y +z ⎡(-8)+6+(-24)⎤=(-8x +6y -24z )

(

)⎣

⎦

即不等式①中只有等号成立.

x y z == -86-246918

它与-8x +6y -24y =39联立，可得x =- y = z =-

132613

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

例3证明：由柯西不等式得，

≤abc abc =

4R 2R

记S 为ABC 的面积，则

ax +by +

=2S =

故不等式成立。

≤

例4 证明：由柯西不等式，得a -b 2+b -a 2≤a 2+1-a 2b 2+1-b 2=1

[()][()]

-b 2= 当且仅当时，上式取等号， 2a -a

∴ab =-a 2∙-b 2, a 2b 2=1-a 21-b 2,

于是 a +b =1 。

例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

()()

(a 1-a n +1)∙⎢

⎡

⎤111

++ +⎥>1,

a n -a n +1⎦⎣a 1-a 2a 2-a 3

证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n +1写成

a 1-a n +1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ +(a n -a n +1)于是

[(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ +(a n -a n +1)]∙

≥n 2>1.

⎛

⎫111

⎪++ +⎪ a -a a -a a -a 223n n +1⎭⎝1

⎫111

⎪++ +>1⎪a n -a n +1⎭ ⎝a 1-a 2a 2-a 3 即

1111∴++ +>, a 1-a 2a 2-a 3a n -a n +1a 1-a n +1

(a 1-a n +1)∙

⎛

故

1111

++ ++>0.

a 1-a 2a 2-a 3a n -a n +1a n +1-a 1

我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

练习 1．证：(12+12+

+12)(a 21+a 22++a 2n ) ≥(1⋅a 1+1⋅a 2+

+1⋅a n ) 2

∴ n (a 221+a 2+

+a 2n ) ≥(a 1+a 2+

+a 2n )

∴

(a +a 22a 212++a n ) 2≤a 1+a 2++n 证明 :(a 2≥(+2ab ++c 2bc ++d 2cd )(+b 2da +222

)

c 2+d +a ) 2、

a , b , c , d 是不全相等的正数, ∴a =b =c =d

不成立∴(a 22b c d a

2++b 2b 2++c c 2++d 2d 2) 2>>ab (ab +bc +bc +cd +cd +da

+da ) 2即 a解:(x 2+y 2+z 2)(12+22+32) ≥(x +2y +3∴x 2+y 2+z 2≥

z ) 2=1

3．

当且仅当x y 14z 1131=2=3即x =14, y =7, z =14

时

x 2+y 2+z 2

取最小值

114

2证明:(n +1) ⋅(x 21x 2

1+x ++

+x n 11+x 2

1+x ) n

=(1+x x 21x 2

1+1+x 2++1+x n ) ⋅( 4

、1+x ++

+x 211+x 2

n 1+x ) ≥

n ++2=(x 1+x 2++x n ) 2=

解 5

． :

4(a2+b 2+c 2+2

d ) 22

即 =4(16≥(1-(a+1+1+1)(a 2+b +c +d 2) e 2

+) ≥b +(8c -+e d) ) 2, 即64-4e 2≥64-16e 2

∴5e 2-16e ≥0, 故0≤e ≤

证法一1:用柯西不等式

x +4y 9z =(x +y +z ) 149x y +) z

6． ≥2

) 3= 6

当且仅当x 2=1y 2=z , 2即x , y 1, 1

等号成立.

4963时2

证法二1x +4:代入法y +9z 1(x x +y +z ) 4(x +y +) z +9(x +y +) z =14+y 4x z y 9x 4z z

≥14+x ) ) )

4+6y +12=x 36

z y z

当且仅当y =2x , z =3x 即, x 111

6, 3, 2

时等号成立,

7．证明：利用柯西不等式

+b 2+c

)

13131

⎛3⎫222222

= a a +b b +c c ⎪ ⎝⎭

⎡⎛3⎫2⎛3⎫2⎛3⎫2⎤

≤⎢ a 2⎪+ b 2⎪+ c 2⎪⎥[a +b +c ] ⎢⎣⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦

=(a 3+b 3+c 3)(a +b +c )

(a +b +c =1)

+ 在此不等式两边同乘以c a 又因为 a +b +c ≥a b +b c 2，再加上a +b +c

222得：(a +b +c )≤3a +b +c

222

()

+b 2+c 2)≤(a 3+b 3+c 3)∙3(a 2+b 2+c 2)

a 2+b 2+c 2

故a +b +c ≥

8. 解：原方程组可化为

x +y +z =9x +w =6

(x 2+y 2+z 2)(x 2+w 2) =486

926222

=27, x +w ≥=18 运用柯西不等式得(x +y +z ) ≥32

两式相乘，得x +y +z

(

222

)∙(x

+w 2≥486

)

当且仅当x=y=z=w=3时取等号。

故原方程组的解为x=y=z=w=3.

9、证明：

2+113-4

11111

2n -1-2n =(1+2+3+4

12n ) -2(11

2+4

)

11n +1+1n +2

所以求证式等价于

417

12n

由柯西不等式有(1n ++1++

1n +2

)[(n +1) +(n +2) ++2n ]>n 22 于是：

1+1++1n 2n +1n +22n >

(n +1) +(n +2)

+2n

3+1≥

又由柯西不等式有

1n +1+1n +2

二项式定理

教学目标：

1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2. 初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；

3. 能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用教学难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用课类型：新授课课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

0n 1n

（1）(a +b ) n =C n a +C n a b +1（2）(1+x ) n =1+C n x +

r n -r r

+C n a b +

n n

+C n b (n ∈N *) ，

r r

+C n x +

+x n .

r n -r r

2．二项展开式的通项公式：T r +1=C n a b

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：

1 二项式系数表（杨辉三角）

(a +b ) n 展开式的二项式系数，当依次取1, 2,3„时，二项式系数

表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

012n r ，，，„，．可以看成以为自变量的函数f (r ) (a +b ) n 展开式的二项式系数是C n C n C n C n C n

定义域是{0,1,2, , n }，例当n =6时，其图象是7个孤立的点（如图）

m n -m

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C n ）． =C n

直线r =

是图象的对称轴． 2

n (n -1)(n -2) (n -k +1) k -1n -k +1=C n ⋅，

k ! k

n -k +1n -k +1n +1k k -1

>1⇔k

k k 2

n +1当k

（2）增减性与最大值．∵C n =得最大值；

当是偶数时，中间一项C 取得最大值；当是奇数时，中间两项C （3）各二项式系数和：

∵(1+x ) n =1+C n x +

r r

+C n x +

n 2n n -12n

，C

n +12n

取得最大值．

+x n ，

r +C n +

+C n

012

令x =1，则2n =C n +C n +C n +

三、讲解范例：

例1．在(a +b ) 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

0n 1n 证明：在展开式(a +b ) n =C n a +C n a b +

r n -r r

+C n a b +

n n

+C n b (n ∈N *) 中，令

0123

a =1, b =-1，则(1-1) n =C n -C n +C n -C n +02即0=(C n +C n +02∴C n +C n +

， +(-1) n C n

) -(C n +C n +) ，

13=C n +C n +

，

即在(a +b ) 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知C n +C n +例2．已知(1-2x ) 7=a 0+a 1x +a 2x 2+（1）a 1+a 2+

=C n +C n +

=2n -1.

+a 7x 7，求：

+a 7；（2）a 1+a 3+a 5+a 7；（3）|a 0|+|a 1|+

+|a 7|.

解：（1）当x =1时，(1-2x ) =(1-2) =-1，展开式右边为

a 0+a 1+a 2+

+a 7∴a 0+a 1+a 2++a 7=-1，

当x =0时，a 0=1，∴a 1+a 2+（2）令x =1， a 0+a 1+a 2+

+a 7=-1-1=-2，

+a 7=-1 ①

令x =-1，a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37 ②

1+37

①② 得：2(a 1+a 3+a 5+a 7) =-1-3，∴ a 1+a 3+a 5+a 7-.

（3）由展开式知：a 1, a 3, a 5, a 7均为负，a 0, a 2, a 4, a 8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a 0+a 2+a 4+a 6) =-1+37，

-1+37

∴ a 0+a 2+a 4+a 6=，

∴|a 0|+|a 1|+

+|a 7|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7

=(a 0+a 2+a 4+a 6) -(a 1+a 3+a 5+a 7) =37

例3. 求(1+x)+(1+x)+„+(1+x)展开式中x 的系数

(1+x )[1-(1+x ) 10](x +1) 11-(x +1)

解：(1+x ) +(1+x ) + =，（1+x ）=

x 1-(1+x )

∴原式中x 实为这分子中的x ，则所求系数为C 11 例4. 在(x+3x+2)的展开式中，求x 的系数解：∵(x +3x +2) =(x +1) (x +2)

∴在(x+1)展开式中，常数项为1，含x 的项为C 15=5x ，

347

2555

在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x 的项为C 12x =80x 5

∴展开式中含x 的项为 1⋅(80x ) +5x (32) =240x ， ∴此展开式中x 的系数为240 例5. 已知(x -的常数项

) 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式2x

242

解：依题意C 4:C =14:3⇒3C =14C n n n n

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又 T r +1=C (x ) 令

10-r

2r (-2) r =(-2) r C 10x x

10-5r 2

10-5r

=0⇒r =2， 2

∴T 2+1=C 10(-2) 2=180. 此所求常数项为180

四、课堂练习：

（1）(2x -5y )的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为式系数最大的项为第项；

（2

）) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为．

012

（3）C n +2C n +4C n +123

+C n +C n ++2n C n n =729，则C n n

+C n =（）

A ．63 B. 64

C. 31 D. 32

（4

）已知：(2)

求：(a 0+a 2+

=a 0+a 1x +a 2x 2++a 50x 50，

+a 50) 2-(a 1+a 3++a 49) 2的值

答案：（1）2，3，；

（2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，

∴ n =10，

T 4=C 10() = （3）A ．

r n -r

五、小结：1．性质是组合数公式C n 的再现，性质是从函数的角度研究的二项式系=C n

数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；

2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法六、课后作业：七、板书设计

函数的极值与导数

一、选择题

1．若函数y ＝f (x ) 可导，则“f ′(x ) ＝0有实根”是“f (x ) 有极值”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)不充分．若f ′(x ) ＝0，则f (x ) 不一定有极值．例如：f (x ) ＝x 3，x ∈R ，f ′(x ) ＝3x 2. 令f ′(x ) ＝0，可得x ＝0.

∴f ′(x ) ＝0有实根不能推出f (x ) 有极值．

(2)必要：若f (x ) 有极值，则f ′(x ) ＝0一定有实根．如：f (x ) ＝|x |.在x ＝0处，f (x ) 的导数不存在．答案：A

2．设x 0为f (x ) 的极值点，则下列说法正确的是( ) A ．必有f ′(x 0) ＝0 B ．f ′(x 0) 不存在

C ．f ′(x 0) ＝0或f ′(x 0) 不存在 D ．f ′(x 0) 存在但可能不为0 解析：∵可导函数的某点是极值点的必要条件是这点的导数为0；函数的不可导点也可能是极值点(如y ＝|x |的极小值点为x ＝0) ．故选C. 答案：C

3．函数f (x ) 的定义域为开区间(a ，b ) ，导函数f ′(x ) 在(a ，

b ) 内的图象如右图所示，则2SX18.tif 函数f (x ) 在开区间(a ，b ) 内有极小值点( )

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

解析：如下图所示，由极值点定义可知，只有B 点是函数f (x ) 的极小值点．故选

答案：A

4．设f (x ) ＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0) 在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b ) B ．(a ，c )C ．(b ，c ) D ．(a ＋b ，c )

解析：f ′(x ) ＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知，1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，1－12b

＝－，b ＝0，故选

5．对于R 上可导的任意函数f (x ) ，若a >b >1且有(x －1) f ′(x ) ≥0，则必有( ) A ．f (a ) ＋f (b )2f (1) 解析：当x >1时，f ′(x ) ≥0，所以f (x ) 在(1，＋∞) 上是增函数．当x

6．(2009·安徽高考) 设a

)

解析：f ′(x ) ＝(x －a )(3x －2b －a ) ．令f ′(x ) ＝0⇔(x －a )(3x －2b －a ) ＝0，得x ＝a ，x 2b ＋a 2b ＋a 2b ＋a 12＝3，∵a 0⇔x 3或x

f ′(x )

函数的大致图象为：

答案：C 二、填空题

7．(2009·辽宁高考) 若函数f (x ) ＝x 2＋a

x ＋1x ＝1处取极值，则a ＝________.

解析：∵f ′(x ) ＝(x 2＋a x ＋1) ′＝(x 2＋a ) ′·(x ＋1) －(x 2＋a )(x ＋1) ′x 2＋2x －a

(x ＋1) (x ＋1) ，

又∵x ＝1为函数的极值点，∴有f ′(1)＝0. ∴1＋2×1－a ＝0，即a ＝3. 答案：3

8．(2008·江苏) f (x ) ＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x ) ≥0成立，则a ＝________.

解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x ) ≥0显然恒成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x ) ＝3(1－2x ) 3131

ax 3－3x ＋1≥0可化为a －，设g (x ) ＝－，则g ′(x ) ＝，所以g (x ) 在区间(0，

x x x x x 111

上单调递增，在区间[1]上单调递减，因此g (x ) max ＝g () ＝4，从而a ≥4；当x

1,0) 时，f (x ) ＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ，g (x ) 在区间[－1,0) 上单调递增，因此g (x ) min

x x ＝g (－1) ＝4，从而a ≤4. 综上可得a ＝4.

答案：4

9．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有相异的三个交点，则a 的取值范围是________．解析：由函数y ＝x 3－3x 的图象可知，直线若跟函数有三个不同交点，则y 极小值

值

，易求当x ＝－1时有y 极大值＝－2，当x ＝1时有y 极小值＝2，所以－2

10．已知函数f (x ) ＝x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．

3解析：(1)f ′(x ) ＝x 2－4.

解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x ) 、f (x ) 的变化情况如下表：

从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且f (－2) ＝(－2) 3－4×(－2) ＋4＝；

3314

而当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－4×2＋4＝－231

函数f (x ) ＝x 3－4x ＋4的图象如图所示．

11．已知函数f (x ) ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，求a ，b 的值．解：f ′(x ) ＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有一个根是x ＝1，∴3＋2a ＋b ＝0. ① 又f (1)＝10，∴1＋a ＋b ＋a 2＝10. ②联立①、②消去b ，得a 2－a －12＝0.

由此可得⎧⎪⎨a ＝4，⎧⎪a ＝－⎪⎩b ＝－11 或⎨3，

⎪⎩b ＝3.

当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x ) ＝3(x －1) 2≥0，这时f (x ) 在x ＝1处无极值，不合题意．当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x ) ＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1) ，－3

11x 1时，f ′(x )>0，这时x ＝1是极值点．故a ＝4，b ＝－11适合题意． 12．设函数f (x ) ＝x (x －1)(x －a )(a >1)，

(1)求导数f ′(x ) ，并证明f (x ) 有两个不同的极值点x 1，x 2； (2)若不等式f (x 1) ＋f (x 2) ≤0成立，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x ) ＝3x 2－2(1＋a ) x ＋a . 令f ′(x ) ＝0得方程 3x 2－2(1＋a ) x ＋a ＝0. 因为Δ＝4(a 2－a ＋1)>0，故方程3x 2－2(1＋a ) x ＋a ＝0有两个不同实根x 1，x 2.

不妨设x 10；当x 1x 2时，f ′(x )>0. 因此x 1是极大值点，x 2是极小值点．故函数f (x ) 有两个不同的极值点x 1，x 2. (2)因f (x 1) ＋f (x 2) ≤0，故得不等式

x 31＋x 32－(1＋a )(x 21＋x 2

2) ＋a (x 1＋x 2) ≤0，

即(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]－(1＋a )[(x 1＋x 2) 2－2x 1x 2]＋a (x 1＋x 2) ≤0.(*)

⎧x ＝2

1＋x 2又由(1)知⎨3

(1＋a ) ，

⎩x 1x 2

代入(*)式，两边同除以(1＋a ) ，并化简得

2a 2－5a ＋2≥0. 解不等式得a ≥2或a ≤1

2(舍去) ．

a ≥2时，不等式f (x 1) ＋f (x 2) ≤0成立因此，当

定积分的概念

一：教学目标知识与技能目标

通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；过程与方法

借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；情感态度与价值观二：教学重难点

重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义三：教学目标：

1．创设情景复习：

1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：

2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 2．新课讲授

1．定积分的概念一般地，设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，用分点

a =x 0

b -a

），在每个小区间n

将区间[a , b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为∆x （∆x =

[x i -1, x i ]上取一点ξi (i =1,2, , n )，作和式：S n =∑f (ξi ) ∆x =∑

i =1

b -a

f (ξi ) n i =1

如果∆x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那么称该常数

S 为函数f (x ) 在区间[a , b ]上的定积分。记为：S =⎰f (x ) dx

其中f (x ) 成为被积函数，x 叫做积分变量，[a , b ]为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分为

⎰

f (x ) dx 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S （n →+∞时）称

⎰

f (x ) dx ，而不是S n ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：

①分割：n 等分区间[a , b ]； ②近似代替：取点ξi ∈[x i -1, x i ]； ③求和：

b -a

f (ξi ) ； ∑n i =1

④取极限：

⎰

f (x ) dx =lim ∑f (ξi )

n →∞

i =1

b -a

t 2t 1

（3）曲边图形面积：S =变力做功 W =

⎰f (x )dx ；变速运动路程S =⎰

v (t ) dt ；

⎰

F (r ) dr

2．定积分的几何意义

如果在区间[a , b ]上函数连续且恒有f (x ) ≥0，那么定积分

⎰

，y =0和曲线f (x ) dx 表示由直线x =a , x =b （a ≠b ）

y =f (x ) 所围成的曲边梯形的面积。

说明：一般情况下，定积分

⎰

f (x ) dx 的几何意义是介于x 轴、函数f (x ) 的图形以及

直线x =a , x =b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．

分析：一般的，设被积函数y =f (x ) ，若y =f (x ) 在[a , b ]上可取负值。

考察和式f (x 1)∆x +f (x 2)∆x +不妨设f (x i ), f (x i +1), 于是和式即为

+f (x i ) ∆x +

+f (x n )∆x

, f (x n )

f (x 1)∆x +f (x 2)∆x +

b a

+f (x i -1) ∆x -{[-f (x i ) ∆x ]+

+[-f (x n )∆x ]}

∴⎰f (x ) dx =阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1 性质2

⎰1dx =b -a

⎰

kf (x ) dx =k ⎰f (x ) dx （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）

性质3

⎰[f

(x ) ±f ]=x ⎰2(x ) d

f (x ) ±d ⎰x

d x （定积分的线性性质）f ( ) x

b b

性质4

x ⎰⎰f (x ) d =

f () x +d x ⎰

(f ) x 其中d (x

（定积分对积分区间的可加性）

性质5 若f (x ) ≥0, x ∈[a , b ]，则推论1：f (x ) ≥g (x ) ，推论2：

⎰

f (x ) dx ≥0

b a

⎰

f (x ) dx ≥⎰g (x ) dx (a

⎰

f (x ) dx ≥⎰g (x ) dx (a

性质6设M , m 为f (x ) 在[a , b ]上的最大值、最小值，则

m (b -a ) ≤⎰f (x ) dx ≤M (b -a )

性质7（中值定理）若f (x ) ∈[a , b ]，则至少有一ξ∈[a , b ]，使证：由性质6知，m ≤

⎰

f (x ) dx =f (ξ)(b -a ) .

f (x ) dx ≤M ，依介值定理，必有ξ∈[a , b ]，

b -a ⎰a

b 1b

f (x ) dx =f (ξ) ，即⎰f (x ) dx =f (ξ)(b -a ) 。使

a b -a ⎰a

说明： ①推广： ②推广:

⎰

b a

[f 1(x ) ±f 2(x ) ±

c 1a

±f m (x )]dx =⎰f 1(x ) dx ±⎰f 2(x ) dx ±

b b

±⎰f m (x )

⎰f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx +

c 1

c 2

+⎰f (x ) dx

c k

③性质解释：

S 曲边梯形AMNB =S 曲边梯形AMPC +S 曲边梯形CPNB

例1．计算定积分

⎰

(x +1) dx

5。 2

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为即：

⎰

(x +1) dx =

5 2

思考：若改为计算定积分

⎰

-2

(x +1) dx 呢？

改变了积分上、下限，被积函数在[-2, 2]上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）

练习

计算下列定积分

1．

⎰⎰

(2x -4) dx

解：2．

⎰

(2x -4) dx =9-4=5 x dx

x dx =⨯1⨯1+⨯1⨯1=1

例2．计算由两条抛物线y 2=x 和y =x 2所围成的图形的面积.

-1

解：

⎰

-1

【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积

的差得到。

⎧⎪y =x =0及x =1，所以两曲线的交点为解：⎨2

⎪⎩y =x

（0，0）、（1，1），面积

S==

⎰

-⎰

x 2dx ，所以

y 3

⎡23⎤1x

S =⎰x )dx =⎢x -⎥=3

03⎦0⎣3

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1. 作图象；2. 求交点；3. 用定积分表示所求的面积；4. 微积分基本定理求定积分。

C y =x O D A

巩固练习计算由曲线y =x -6x 和y =x 所围成的图形的面积. 四：课堂小结

定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．五：教学反思

微积分基本定理

一：教学目标知识与技能目标

通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法

通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二：教学重难点

重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点了解微积分基本定理的含义三：教学过程： 1、复习：

定积分的概念及用定义计算 2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分, 但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v (t ) ≥o ），则物体在时间间隔[T 1, T 2]内经过的路程可用速度函数表示为达，即

⎰

T 2

T 1

v (t ) dt 。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在[T 1, T 2]上的增量S (T 1) -S (T 2) 来表

⎰

T 2

T 1

v (t ) dt =S (T 1) -S (T 2)

而S '(t ) =v (t ) 。

对于一般函数f (x ) ，设F '(x ) =f (x ) ，是否也有

⎰

f (x ) d x =F (-b ) F ( a )

若上式成立，我们就找到了用f (x ) 的原函数（即满足F '(x ) =f (x ) ）的数值差

F (b ) -F (a ) 来计算f (x ) 在[a , b ]上的定积分的方法。

注：1：定理如果函数F (x ) 是[a , b ]上的连续函数f (x ) 的任意一个原函数，则

⎰

f (x ) dx =F (b ) -F (a )

证明：因为Φ(x ) =

⎰

f (t ) dt 与F (x ) 都是f (x ) 的原函数，故

F (x ) -Φ(x ) =C（a ≤x ≤b ）其中C 为某一常数。

令x =a 得F (a ) -Φ(a ) =C，且Φ(a ) =

⎰

f (t ) dt =0

即有C=F (a ) ，故F (x ) =Φ(x ) +F (a )

∴ Φ(x ) =F (x ) -F (a ) =⎰f (t ) dt

令x =b ，有

⎰

f (x ) dx =F (b ) -F (a )

此处并不要求学生理解证明的过程

为了方便起见，还常用F (x ) |b a 表示F (b ) -F (a ) ，即

⎰

f (x ) dx =F (x ) |b a =F (b ) -F (a )

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的

一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

例1．计算下列定积分：

311

（1）⎰dx ；（2）⎰(2x -2) dx 。

1x 1x

211' 2

(lnx ) =解：（1）因为，所以⎰=ln x |1=ln 2-ln1=ln 2。

1x x

33311' 112'

（2））因为(x ) =2x ,() =-2，所以⎰(2x -2) dx =⎰2xdx -⎰2

111x x x x

131223

=x 2|1+|1=(9-1) +(-1) =。

x 33

练习：计算解：由于

⎰

x 2dx

x 是x 2的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 [1**********]

⎰x d x =x |0=⋅1-⋅0=

03333

例2．计算下列定积分：

⎰

sin xdx , ⎰sin xdx , ⎰sin xdx 。

2π2π

由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为(-cos x ) ' =sin x ，所以

⎰π

sin xdx =(-cos x ) |=(-cos 2π) -(-cos π) =-2， π⎰ππ

⎰sin xdx =(-cos x ) |=(-cos 2π) -(-cos0) =0.

sin xdx =(-cos x ) |π0=(-cos π) -(-cos0) =2，

可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；

图1 . 6 一 3 ( 2 ）

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；

( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v 0=32公里/小

32⨯1000

米/秒≈8.88米/秒, 刹车后汽车减速行驶, 其速度为v (t)=v 0-a t=8.88-1.8t当

3600

8.88

≈4.93秒汽车停住时, 速度v (t)=0, 故从v (t)=8.88-1.8t=0解得t=1.8

时=

于是在这段时间内, 汽车所走过的距离是

s =⎰

4.93

v (t)dt =⎰

4.93

(8.88-1.8t) dt =(8.88-1.8⨯t 2) ≈21.90米, 即在刹车后, 汽

4.93

车需走过21.90米才能停住.

微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．

四：课堂小结：

本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式. 成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！五：教学反思

定积分的简单应用

一：教学目标知识与技能目标

1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；

4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。过程与方法情感态度与价值观二：教学重难点重点曲边梯形面积的求法

难点定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程： 1、复习

1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用

（一）利用定积分求平面图形的面积

例1．计算由两条抛物线y =x 和y =x 所围成的图形的面积.

【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：⎨

⎧⎪y =⎪⎩y =x

x =0及x =1，所以两曲线的交点为

（0，0）、（1，1），面积

S==

⎰

-⎰

x 2dx ，所以

y 3

⎡2⎤1x 2

S =⎰x )dx =⎢x -⎥=3

03⎦0⎣3

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1. 作图象；2. 求交点；3. 用定积分表示所求的面积；4. 微积分基本定理求定积分。

C y =x D A O

巩固练习计算由曲线y =x -6x 和y =x 所围成的图形的面积.

例2．计算由直线y =x -

4，曲线y =

x 轴所围图形的面积S.

分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线y =x -

4与曲线y =线y =x -4与 x 轴的交点．

解：作出直线y =x -

4，曲线y =面积．

解方程组⎨

1. 7一2 阴影部分的

⎧y =⎪

⎪⎩y =x -4

得直线y =x -

4与曲线y =8,4) .

直线y =x -4与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S1+S

=⎰

+[⎰

-⎰

(x -4) dx ]

3140428=2|0x 2|8(x -4) |=. 44

由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，

再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

例3. 求曲线y =sin x 　　x ∈[0,

2π30

2π2π]与直线x =0, x =, x 轴所围成的图形面积。 33=3

答案： S ＝练习

⎰

sin xdx =-cos x

2π|o 3

1、求直线y =2x +3与抛物线y =x 2所围成的图形面积。

x 3332

2x ＋3－x ) dx =（x +3x -) |-1=答案：S ＝（ -133

⎰

2、求由抛物线y =-x 2+4x -3及其在点M （0，－3）和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。略解： y /=-2x +4，切线方程分别为y =4x -3、

y =-2x +6，则所求图形的面积为

S ＝

⎰

2[(4x 0

-3) -(-x 2+4x -3)]dx +

3[(-2x 2

+6) -(-x 2+4x -3)]dx ＝

3、求曲线y =log 2x 与曲线y =log 2(4-x ) 以及x 轴所围成的图形面积。略解：所求图形的面积为

S ＝【g (y ) -f (y ) dy =

⎰

(4-2⨯2y ) dy

=（4y -2⨯2y log 2e ) |10=4-2log 2e

4、在曲线y =x (x ≥0) 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为

试求：切点A 的坐标以及切线方程.

略解：如图由题可设切点坐标为（x 0, x 0) 为y =2x 0x -x 0，切线与x 轴的交点坐标为

. 12

(0, 0) ，则由题可知有S =2

⎰

x 020

x dx +x 0(x -2x 0x 2

x 0

2∴x 0=1，所以切点坐标与切线方程分别为A (1, 1), y =2x -1

[a , b ]上的曲线y =f (x ) 与直线x =a 、总结：1、定积分的几何意义是：在区间x =b 以及x 轴所围成的图形的面积的代数和，即

⎰f (x ) dx =S

x 轴上方－S x 轴下方

因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要

［０, 2π］特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数y =sin x 　x ∈的图像与x 轴围成的

图形的面积为4, 而其定积分为0.

2、求曲边梯形面积的方法与步骤：

（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；

（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；

（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：（1）x 型区域：

）①由一条曲线y =f (x )(其中f (x ) ≥0与直线x =a , x =b (a

的曲边梯形的面积：S ＝f (x ) dx （如图（1））；

⎰

）②由一条曲线y =f (x )(其中f (x ) ≤0与直线x =a , x =b (a

的曲边梯形的面积：S ⎰

f (x ) dx f (x ) dx （如图（2））；

⎰

）③由两条曲线y =f (x ) ，y =g (x )(其中f (x ) ≥g (x ) 与直线x =a , x =b (a

所围成的曲边梯形的面积：S ＝|f (x ) －g (x ) |dx （如图（3））；

⎰

（2）y 型区域：

）①由一条曲线y =f (x )(其中x ≥0与直线y =a , y =b (a

曲边梯形的面积, 可由y =f (x ) 得x =h (y ) ，然后利用S ＝h (y ) dy 求出（如图（4））；

⎰

）②由一条曲线y =f (x )(其中x ≤0与直线y =a , y =b (a

曲边梯形的面积，可由y =f (x ) 先求出x =h (y ) ，然后利用S ＝h (y ) dy h (y ) dy

⎰

求出（如图（5））；

③由两条曲线y =f (x ) ，y =g (x ) 与直线y =a , y =b (a

）； S ＝|h (y ) －h (y ) |dy 求出（如图（6）

图（6）

2．求平面曲线的弧长

设曲线AB 方程为y =f (x )(a ≤x ≤b ) ，函数f (x ) 在区间[a , b ]上可导，且f ' (x ) 连续，则曲线AB 的弧长为

l =⎰

3．求旋转体的体积和侧面积

由曲线y =f (x ) ，直线x =a , x =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体体积为

V =π⎰[f (x )]2dx .

其侧面积为

S 侧=2π⎰f (x .

（二）、定积分在物理中应用 (1)求变速直线运动的路程

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即

s =⎰v (t ) dt

例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．

解：由速度一时间曲线可知：

⎧3t ,0≤t ≤10,

⎪

v (t ) =⎨30,10≤t ≤40

⎪-1.5t +90, 40≤t ≤60. ⎩

因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

s =⎰3tdt +[⎰30dt +⎰(-1.5t +90) dt

104060

33240=t 2|10+30t |+(-t +90t ) |6001040=1350(m ) 24

答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . 2．变力作功

一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m) ，则力F 所作的功为W=Fs .

探究

如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a

与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到

W =⎰F (x ) dx

例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．

解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x

）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,

其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到

12l 12

x |0=kl (J )

022

答：克服弹力所作的功为kl J .

2W =⎰kxdx =

例6．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s，在B 点恰好停车，试求

（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s, 等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分, 即S ＝v (t ) dt

⎰

略解：（1）设A 到C 的时间为t 1则1.2t=24, t 1=20(s),则AC ＝

⎰

201. 2tdt =0. 6t 2|0=240(m )

（2）设D 到B 的时间为t 21则24-1.2t 2=0, t21=20(s), 则DB ＝

⎰

（24－1. 2t ）dt =0. 6t 2|0=240(m )

（3）CD=7200-2⨯240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为

20+280+20=320（s ）

例7：如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J

略解：设F =kx ，则由题可得k =0. 01，所以做功就是求定积分0. 01xdx =0. 18。

⎰

练习：四：课堂小结

本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。五教后反思

教学反思

P25定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误

P29从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。

P36根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性

柯西不等式1

☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：

1. 定理1 如果a , b ∈R , 那么a +b ≥2ab . 当且仅当a =b 时, 等号成立.

1. 柯西不等式：若a , b , c , d ∈R ，则(a +b )(c +d ) 当且仅当时, 等号成立.

此即二维形式的柯西不等式.

证法1. （综合法）(a 2+b 2)(c 2+d 2) =a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 =(

当且仅当时, 等号成立. 0

证法2. （构造法）分析

(ac +bd ) 2 ? ? ?

(ac +bd ) 2.

) 2+() 2(ac +bd ) 2

：

(a +

⇐[c a +)

+2c b -(

而[2(ac +bd )]-4(a +b )(c +d ) 的结构特征那么，证：设f (x ) =(a 2+b 2) x 2-2(ac +bd ) x +c 2+d 2，

∵ f (x ) =(ax -c ) 2+(bx -d ) 2恒成立.

∴ . 得证.

证法3. （向量法）设向量m =(a , b ) ，n =(c , d ) ，则|m |= ∵ m ⋅n =

，|n |=.

，且⋅=||⋅||⋅c 有|m ⋅n |o s ，|m |⋅|n |.

∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：

变式1. 若a , b , c , d ∈R ，则a 2+b 2⋅c 2+d 2

|ac +bd | 或a 2+b 2⋅c 2+d 2 ac +bd ；

变式2. 若a , b , c , d ∈R ，

；

变式30

. 若x 1, y 1, x 2, y 2∈R ，

几何意义:

3. 二维柯西不等式的应用：例1 已知a , b 为实数, 证明(a 4+b 4)(a 2+b 2) ≥(a 3+b 3) 2

例2 设a , b ∈R *

, a +b =1,

求证1a +1

≥4

例3 求函数y =

例4 若2x +3y =1, 求4x 2+9y 2的最小值, 并求最小值点.

解:由柯西不等式(4x 2+9y 2)(12+12) ≥(2x +3y ) 2=∴4x 2+9y 2≥1

当且仅当2x ⋅12

=3{

⎧y ⋅1, 即12x =3y 时取等号.

由22x x +=33y y =1得⎪x =

⎨

4⎪1⎩

y =

6∴4x 2+9y 2的最小值为111

2, 最小值点为(4, 6

)

选修4-5练习

1. 若a , b ∈R , 且a 2+b 2=10, 则a -b 的取值范围是( )

A. ⎣

⎡

B . ⎡⎣

C . ⎡⎣

D . ⎡⎣

已知x +y =1, 那么2x 2+3y 2的最小值是( ) A. 56 B . 6255 C .

36 D

. 36

3. 函数y =______ 4,

设实数x , y 满足3x 2+2y 2≤6, 则P =2x +y 的最大值是______

若a +b =1, 则(a +1a ) 2+(b +1

) 2的最小值是______

1．A 2、B 3．3 4

5．25

6、

求函数y =

7、已知3x +2y =1，求x 2+y 2的最小值.

8、若x , y ∈R 1+，x +y =2，求证：x +1

≥2. 9、已知x , y , a , b ∈R +，且

a x +b

=1，则x +y 的最小值. 10、若>b >，求证：11a -b +b -c ≥4

a -c

11、已知点P0(x 0, y 0)及直线l : Ax +By +C =0 (A2+B2≠0) 用柯西不等式推导点到直线的距离公式

12、已知a -b 2+b -a 2=1, 求证：a 2

+b 2

=1。

1 x x +1

练习

6．分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 →

变式：y →

推广：y =a , b , c , d , e , f ∈R +)

7．（凑配法）x 2+y 2=

113(x 2+y 2)(32+22) ≥113(3x +2y ) 2=1

. 8．分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）

要点：

1x +1y =12(x +y )(1x +1y ) =122+22+2

]≥„ 9．要点：x +y =(a b

x +y

)(x +y ) =„. → 其它证法

10、要点：(a -c )(

1-b +1b -c ) =[(a -b ) +(b -c )](1a -b +1b -c

) ≥(1+1) 2a =4 11、设点P1(x 1, y 1)是直线l 上的任意一点，则Ax 1+Bx 1+C =0 （1）点P 0, P 1两点间的距离:

p 0p 1=

（2）

p 0p 1的最小值就是点p 0到直线l 的距离， ∵

A(x 0-x 1)+B(y 0-y 1)

=Ax 0+By 0+C -(Ax 1+By 1+C ) 由（1）

（2）得： p 1p 2≥Ax 0+

By 0+C 即p 1p 2≥

3）

（当且仅当 (y 0-y 1):(x 0-x 1)=

1p 2⊥l （3）式取等号即点到直线的距离公式即p 1p 2=

12. 证明：由柯西不等式，得a -b 2+b -a 2≤[a 2+(1-a 2)][b 2+(1-b 2)]

=1 当且仅当b

-b 2-a

2=a 时，上式取等号， ∴ab =-a 2∙-b 2, a 2

b 2

1-a

)(1-b 2

), 于是 a

+b 2=1 。

13. 解： x 2

2∙(x +1)2+

x +12

= x +

2∙x +12

+(x +1)2

x 2+

由柯西不等式知

x 2

∙x +12

+(x +1)

≥

x x +1+x +1x

x 2+

1即

x 2⋅1(x +1) 2

+(x +1) 2≥2+1x (x +1) ,

∴x 2+

1x 2⋅(x +1) 2

(x +1) 2

≥2+

1x (x +1)

当上式取等号时有x (x +1) =

x (x +1)

成立，即

x 2+x +1=0（无实根）或x 2+x -1=0，即

x =

-1±2，经检验，原方程的根为x =-1±5

柯西不等式2

☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题 ☻知识情景：

1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定

了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值

定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式：若a , b , c , d ∈R ，

则 . 当且仅当, 等号成立. 变式10. 若a , b , c , d ∈R ，则a 2+b 2⋅c 2+d 2

|ac +bd |或a 2+b 2⋅c 2+d 2

ac +bd ；

∈R 变式20. 若a , b , c , d ，

；

变式30. （三角形不等式）设

x , y , x , y , x , y 为任意实数，则：

3. 一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，a i , b i

∈R (i =1,2,…,)，

则：. 当且仅当, 等号成立. (若a i =0时，约定b i =0，i =1,2,…,). 变式10. 设a i ∈R , b i >0(i =1,2,

(a i ) 2a i

, n ), 则：∑b ≥

i =1b i . i

当且仅当时, 等号成立. 变式2. 设a i ⋅b i >0(i =1,2,

2a i (a i )

. , n ), 则：∑≥

b a b i =1i i i

当且仅当b 1=b 2= =b n 时, 等号成立. 变式30. (积分形式) 设f (x ) 与g (x ) 都在[a , b ]可积，

b b b

则⎡⎰f (x ) g (x ) dx ⎤≤⎰f 2(x ) dx ⋅⎰g 2(x ) dx ，

⎢⎥a a ⎣a ⎦

当且仅当f (x ) =t ⋅g (x ) 时, 等号成立.

都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：

例1. 已知实数a , b , c , d 满足a +b +c +d =3， a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5. 试求的最值

9⎧222

x +y +z =⎪

例2 在实数集内解方程⎨ 4

⎪⎩-8x +6y -24y =39

例3 设是三角形ABC 内的一点，x , y , z 是到三边a , b , c 的距离，是ABC 外接圆的半径，

例4 (证明恒等式) 已知a -b 2+b -a 2=1, 求证：a +b =1。

≤

1111

++ ++>0 例5 (证明不等式) 设a 1>a 2> >a n >a n +1, 求证:a -a a -a a -a a -a 1223n n +1n +11

选修4-5练习 1、已知a 1, a 2,

2、已知a , b , c , d 是不全相等的正数，求证：a +b +c +d >ab +bc +cd +da

3、已知x +2y +3z =1, 4

、

设

, a n ∈R +，求证：(a 1+a 2+

+a n ) 2≤a 12+a 22++a n 2

求x 2+y 2+z 2的最小值.

x 1,x 2, x n ∈R +,

且x 1+x 2++x n =1,

求证：

22x 1x 2

++1+x 11+x 22x n 1

+≥

1+x n n +1

5、已知实数a , b , c , d , e 满足a +b +c +d +e =8, a +b +c +d +e =16, 求的取值范围.

6、已知x , y , z ∈R +, 且x +y +z =1, 求证：

149

++≥36 x y z

a 2+b 2+c 2

7、已知正数a , b , c 满足a +b +c =1 证明 a +b +c ≥

⎧x +y +z =9

8、解方程组 ⎨x +w =6

42222222

⎩x +x (y +z +w ) +w (y +z ) =486

9、若n 是不小于2的正整数，试证：

4111

11-

参考答案:

一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，a i , b i

∈R (i =1,2, …,) ，则：∑a i

i =1

∑b

i =1

≥(∑a i b i ) 2，

i =1

其中等号当且仅当

b b 1b 2

== =n 时成立(当a i =0时，约定b i =0，i =1,2,…,). a 1a 2a n

等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i ≤n ) 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的

(

222

111⎫)⎛ ++⎪≥(b +c +d )⎝236⎭

2222

即2b +3c +6d ≥(b +c +d ) 由条件可得， 5-a ≥(3-a )

解得，1≤a ≤

2== 时等号成立， 11

, d =时， a m a x =2 3621

b =1, c =, d =时 a min =1

代入b =1, c =例2解：由柯西不等式，得

x 2+y 2+z 2⎡(-8)+6++x (-2)4⎤≥(-8

(

)⎣

⎦

6-y

① 2y )4

x +y +z

(

222

-8)⎡⎣()

9+62+(-24)⎤=⨯(64+36+4⨯1)44=2 3

⎦4

222222222

又(-8x +6y -24y )=39. x +y +z ⎡(-8)+6+(-24)⎤=(-8x +6y -24z )

(

)⎣

⎦

即不等式①中只有等号成立.

x y z == -86-246918

它与-8x +6y -24y =39联立，可得x =- y = z =-

132613

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

例3证明：由柯西不等式得，

≤abc abc =

4R 2R

记S 为ABC 的面积，则

ax +by +

=2S =

故不等式成立。

≤

例4 证明：由柯西不等式，得a -b 2+b -a 2≤a 2+1-a 2b 2+1-b 2=1

[()][()]

-b 2= 当且仅当时，上式取等号， 2a -a

∴ab =-a 2∙-b 2, a 2b 2=1-a 21-b 2,

于是 a +b =1 。

例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

()()

(a 1-a n +1)∙⎢

⎡

⎤111

++ +⎥>1,

a n -a n +1⎦⎣a 1-a 2a 2-a 3

证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n +1写成

a 1-a n +1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ +(a n -a n +1)于是

[(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ +(a n -a n +1)]∙

≥n 2>1.

⎛

⎫111

⎪++ +⎪ a -a a -a a -a 223n n +1⎭⎝1

⎫111

⎪++ +>1⎪a n -a n +1⎭ ⎝a 1-a 2a 2-a 3 即

1111∴++ +>, a 1-a 2a 2-a 3a n -a n +1a 1-a n +1

(a 1-a n +1)∙

⎛

故

1111

++ ++>0.

a 1-a 2a 2-a 3a n -a n +1a n +1-a 1

练习 1．证：(12+12+

+12)(a 21+a 22++a 2n ) ≥(1⋅a 1+1⋅a 2+

+1⋅a n ) 2

∴ n (a 221+a 2+

+a 2n ) ≥(a 1+a 2+

+a 2n )

∴

(a +a 22a 212++a n ) 2≤a 1+a 2++n 证明 :(a 2≥(+2ab ++c 2bc ++d 2cd )(+b 2da +222

)

c 2+d +a ) 2、

a , b , c , d 是不全相等的正数, ∴a =b =c =d

不成立∴(a 22b c d a

2++b 2b 2++c c 2++d 2d 2) 2>>ab (ab +bc +bc +cd +cd +da

+da ) 2即 a解:(x 2+y 2+z 2)(12+22+32) ≥(x +2y +3∴x 2+y 2+z 2≥

z ) 2=1

3．

当且仅当x y 14z 1131=2=3即x =14, y =7, z =14

时

x 2+y 2+z 2

取最小值

114

2证明:(n +1) ⋅(x 21x 2

1+x ++

+x n 11+x 2

1+x ) n

=(1+x x 21x 2

1+1+x 2++1+x n ) ⋅( 4

、1+x ++

+x 211+x 2

n 1+x ) ≥

n ++2=(x 1+x 2++x n ) 2=

解 5

． :

4(a2+b 2+c 2+2

d ) 22

即 =4(16≥(1-(a+1+1+1)(a 2+b +c +d 2) e 2

+) ≥b +(8c -+e d) ) 2, 即64-4e 2≥64-16e 2

∴5e 2-16e ≥0, 故0≤e ≤

证法一1:用柯西不等式

x +4y 9z =(x +y +z ) 149x y +) z

6． ≥2

) 3= 6

当且仅当x 2=1y 2=z , 2即x , y 1, 1

等号成立.

4963时2

证法二1x +4:代入法y +9z 1(x x +y +z ) 4(x +y +) z +9(x +y +) z =14+y 4x z y 9x 4z z

≥14+x ) ) )

4+6y +12=x 36

z y z

当且仅当y =2x , z =3x 即, x 111

6, 3, 2

时等号成立,

7．证明：利用柯西不等式

+b 2+c

)

13131

⎛3⎫222222

= a a +b b +c c ⎪ ⎝⎭

⎡⎛3⎫2⎛3⎫2⎛3⎫2⎤

≤⎢ a 2⎪+ b 2⎪+ c 2⎪⎥[a +b +c ] ⎢⎣⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦

=(a 3+b 3+c 3)(a +b +c )

(a +b +c =1)

+ 在此不等式两边同乘以c a 又因为 a +b +c ≥a b +b c 2，再加上a +b +c

222得：(a +b +c )≤3a +b +c

222

()

+b 2+c 2)≤(a 3+b 3+c 3)∙3(a 2+b 2+c 2)

a 2+b 2+c 2

故a +b +c ≥

8. 解：原方程组可化为

x +y +z =9x +w =6

(x 2+y 2+z 2)(x 2+w 2) =486

926222

=27, x +w ≥=18 运用柯西不等式得(x +y +z ) ≥32

两式相乘，得x +y +z

(

222

)∙(x

+w 2≥486

)

当且仅当x=y=z=w=3时取等号。

故原方程组的解为x=y=z=w=3.

9、证明：

2+113-4

11111

2n -1-2n =(1+2+3+4

12n ) -2(11

2+4

)

11n +1+1n +2

所以求证式等价于

417

12n

由柯西不等式有(1n ++1++

1n +2

)[(n +1) +(n +2) ++2n ]>n 22 于是：

1+1++1n 2n +1n +22n >

(n +1) +(n +2)

+2n

3+1≥

又由柯西不等式有

1n +1+1n +2

二项式定理

教学目标：

1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2. 初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；

教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

0n 1n

（1）(a +b ) n =C n a +C n a b +1（2）(1+x ) n =1+C n x +

r n -r r

+C n a b +

n n

+C n b (n ∈N *) ，

r r

+C n x +

+x n .

r n -r r

2．二项展开式的通项公式：T r +1=C n a b

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：

1 二项式系数表（杨辉三角）

(a +b ) n 展开式的二项式系数，当依次取1, 2,3„时，二项式系数

表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

012n r ，，，„，．可以看成以为自变量的函数f (r ) (a +b ) n 展开式的二项式系数是C n C n C n C n C n

定义域是{0,1,2, , n }，例当n =6时，其图象是7个孤立的点（如图）

m n -m

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C n ）． =C n

直线r =

是图象的对称轴． 2

n (n -1)(n -2) (n -k +1) k -1n -k +1=C n ⋅，

k ! k

n -k +1n -k +1n +1k k -1

>1⇔k

k k 2

n +1当k

（2）增减性与最大值．∵C n =得最大值；

当是偶数时，中间一项C 取得最大值；当是奇数时，中间两项C （3）各二项式系数和：

∵(1+x ) n =1+C n x +

r r

+C n x +

n 2n n -12n

，C

n +12n

取得最大值．

+x n ，

r +C n +

+C n

012

令x =1，则2n =C n +C n +C n +

三、讲解范例：

例1．在(a +b ) 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

0n 1n 证明：在展开式(a +b ) n =C n a +C n a b +

r n -r r

+C n a b +

n n

+C n b (n ∈N *) 中，令

0123

a =1, b =-1，则(1-1) n =C n -C n +C n -C n +02即0=(C n +C n +02∴C n +C n +

， +(-1) n C n

) -(C n +C n +) ，

13=C n +C n +

，

=C n +C n +

=2n -1.

+a 7x 7，求：

+a 7；（2）a 1+a 3+a 5+a 7；（3）|a 0|+|a 1|+

+|a 7|.

解：（1）当x =1时，(1-2x ) =(1-2) =-1，展开式右边为

a 0+a 1+a 2+

+a 7∴a 0+a 1+a 2++a 7=-1，

当x =0时，a 0=1，∴a 1+a 2+（2）令x =1， a 0+a 1+a 2+

+a 7=-1-1=-2，

+a 7=-1 ①

令x =-1，a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37 ②

1+37

①② 得：2(a 1+a 3+a 5+a 7) =-1-3，∴ a 1+a 3+a 5+a 7-.

（3）由展开式知：a 1, a 3, a 5, a 7均为负，a 0, a 2, a 4, a 8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a 0+a 2+a 4+a 6) =-1+37，

-1+37

∴ a 0+a 2+a 4+a 6=，

∴|a 0|+|a 1|+

+|a 7|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7

=(a 0+a 2+a 4+a 6) -(a 1+a 3+a 5+a 7) =37

例3. 求(1+x)+(1+x)+„+(1+x)展开式中x 的系数

(1+x )[1-(1+x ) 10](x +1) 11-(x +1)

解：(1+x ) +(1+x ) + =，（1+x ）=

x 1-(1+x )

∴原式中x 实为这分子中的x ，则所求系数为C 11 例4. 在(x+3x+2)的展开式中，求x 的系数解：∵(x +3x +2) =(x +1) (x +2)

∴在(x+1)展开式中，常数项为1，含x 的项为C 15=5x ，

347

2555

在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x 的项为C 12x =80x 5

∴展开式中含x 的项为 1⋅(80x ) +5x (32) =240x ， ∴此展开式中x 的系数为240 例5. 已知(x -的常数项

) 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式2x

242

解：依题意C 4:C =14:3⇒3C =14C n n n n

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又 T r +1=C (x ) 令

10-r

2r (-2) r =(-2) r C 10x x

10-5r 2

10-5r

=0⇒r =2， 2

∴T 2+1=C 10(-2) 2=180. 此所求常数项为180

四、课堂练习：

（1）(2x -5y )的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为式系数最大的项为第项；

（2

）) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为．

012

（3）C n +2C n +4C n +123

+C n +C n ++2n C n n =729，则C n n

+C n =（）

A ．63 B. 64

C. 31 D. 32

（4

）已知：(2)

求：(a 0+a 2+

=a 0+a 1x +a 2x 2++a 50x 50，

+a 50) 2-(a 1+a 3++a 49) 2的值

答案：（1）2，3，；

（2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，

∴ n =10，

T 4=C 10() = （3）A ．

r n -r

五、小结：1．性质是组合数公式C n 的再现，性质是从函数的角度研究的二项式系=C n

数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；

函数的极值与导数

一、选择题

∴f ′(x ) ＝0有实根不能推出f (x ) 有极值．

(2)必要：若f (x ) 有极值，则f ′(x ) ＝0一定有实根．如：f (x ) ＝|x |.在x ＝0处，f (x ) 的导数不存在．答案：A

2．设x 0为f (x ) 的极值点，则下列说法正确的是( ) A ．必有f ′(x 0) ＝0 B ．f ′(x 0) 不存在

3．函数f (x ) 的定义域为开区间(a ，b ) ，导函数f ′(x ) 在(a ，

b ) 内的图象如右图所示，则2SX18.tif 函数f (x ) 在开区间(a ，b ) 内有极小值点( )

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

解析：如下图所示，由极值点定义可知，只有B 点是函数f (x ) 的极小值点．故选

答案：A

4．设f (x ) ＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0) 在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b ) B ．(a ，c )C ．(b ，c ) D ．(a ＋b ，c )

解析：f ′(x ) ＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知，1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，1－12b

＝－，b ＝0，故选

6．(2009·安徽高考) 设a

)

解析：f ′(x ) ＝(x －a )(3x －2b －a ) ．令f ′(x ) ＝0⇔(x －a )(3x －2b －a ) ＝0，得x ＝a ，x 2b ＋a 2b ＋a 2b ＋a 12＝3，∵a 0⇔x 3或x

f ′(x )

函数的大致图象为：

答案：C 二、填空题

7．(2009·辽宁高考) 若函数f (x ) ＝x 2＋a

x ＋1x ＝1处取极值，则a ＝________.

解析：∵f ′(x ) ＝(x 2＋a x ＋1) ′＝(x 2＋a ) ′·(x ＋1) －(x 2＋a )(x ＋1) ′x 2＋2x －a

(x ＋1) (x ＋1) ，

又∵x ＝1为函数的极值点，∴有f ′(1)＝0. ∴1＋2×1－a ＝0，即a ＝3. 答案：3

8．(2008·江苏) f (x ) ＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x ) ≥0成立，则a ＝________.

解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x ) ≥0显然恒成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x ) ＝3(1－2x ) 3131

ax 3－3x ＋1≥0可化为a －，设g (x ) ＝－，则g ′(x ) ＝，所以g (x ) 在区间(0，

x x x x x 111

上单调递增，在区间[1]上单调递减，因此g (x ) max ＝g () ＝4，从而a ≥4；当x

1,0) 时，f (x ) ＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ，g (x ) 在区间[－1,0) 上单调递增，因此g (x ) min

x x ＝g (－1) ＝4，从而a ≤4. 综上可得a ＝4.

答案：4

值

，易求当x ＝－1时有y 极大值＝－2，当x ＝1时有y 极小值＝2，所以－2

10．已知函数f (x ) ＝x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．

3解析：(1)f ′(x ) ＝x 2－4.

解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x ) 、f (x ) 的变化情况如下表：

从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且f (－2) ＝(－2) 3－4×(－2) ＋4＝；

3314

而当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－4×2＋4＝－231

函数f (x ) ＝x 3－4x ＋4的图象如图所示．

由此可得⎧⎪⎨a ＝4，⎧⎪a ＝－⎪⎩b ＝－11 或⎨3，

⎪⎩b ＝3.

当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x ) ＝3(x －1) 2≥0，这时f (x ) 在x ＝1处无极值，不合题意．当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x ) ＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1) ，－3

11x 1时，f ′(x )>0，这时x ＝1是极值点．故a ＝4，b ＝－11适合题意． 12．设函数f (x ) ＝x (x －1)(x －a )(a >1)，

不妨设x 10；当x 1x 2时，f ′(x )>0. 因此x 1是极大值点，x 2是极小值点．故函数f (x ) 有两个不同的极值点x 1，x 2. (2)因f (x 1) ＋f (x 2) ≤0，故得不等式

x 31＋x 32－(1＋a )(x 21＋x 2

2) ＋a (x 1＋x 2) ≤0，

即(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]－(1＋a )[(x 1＋x 2) 2－2x 1x 2]＋a (x 1＋x 2) ≤0.(*)

⎧x ＝2

1＋x 2又由(1)知⎨3

(1＋a ) ，

⎩x 1x 2

代入(*)式，两边同除以(1＋a ) ，并化简得

2a 2－5a ＋2≥0. 解不等式得a ≥2或a ≤1

2(舍去) ．

a ≥2时，不等式f (x 1) ＋f (x 2) ≤0成立因此，当

定积分的概念

一：教学目标知识与技能目标

通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；过程与方法

借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；情感态度与价值观二：教学重难点

重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义三：教学目标：

1．创设情景复习：

1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：

2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 2．新课讲授

1．定积分的概念一般地，设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，用分点

a =x 0

b -a

），在每个小区间n

将区间[a , b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为∆x （∆x =

[x i -1, x i ]上取一点ξi (i =1,2, , n )，作和式：S n =∑f (ξi ) ∆x =∑

i =1

b -a

f (ξi ) n i =1

如果∆x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那么称该常数

S 为函数f (x ) 在区间[a , b ]上的定积分。记为：S =⎰f (x ) dx

其中f (x ) 成为被积函数，x 叫做积分变量，[a , b ]为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分为

⎰

f (x ) dx 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S （n →+∞时）称

⎰

f (x ) dx ，而不是S n ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：

①分割：n 等分区间[a , b ]； ②近似代替：取点ξi ∈[x i -1, x i ]； ③求和：

b -a

f (ξi ) ； ∑n i =1

④取极限：

⎰

f (x ) dx =lim ∑f (ξi )

n →∞

i =1

b -a

t 2t 1

（3）曲边图形面积：S =变力做功 W =

⎰f (x )dx ；变速运动路程S =⎰

v (t ) dt ；

⎰

F (r ) dr

2．定积分的几何意义

如果在区间[a , b ]上函数连续且恒有f (x ) ≥0，那么定积分

⎰

，y =0和曲线f (x ) dx 表示由直线x =a , x =b （a ≠b ）

y =f (x ) 所围成的曲边梯形的面积。

说明：一般情况下，定积分

⎰

f (x ) dx 的几何意义是介于x 轴、函数f (x ) 的图形以及

直线x =a , x =b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．

分析：一般的，设被积函数y =f (x ) ，若y =f (x ) 在[a , b ]上可取负值。

考察和式f (x 1)∆x +f (x 2)∆x +不妨设f (x i ), f (x i +1), 于是和式即为

+f (x i ) ∆x +

+f (x n )∆x

, f (x n )

f (x 1)∆x +f (x 2)∆x +

b a

+f (x i -1) ∆x -{[-f (x i ) ∆x ]+

+[-f (x n )∆x ]}

∴⎰f (x ) dx =阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1 性质2

⎰1dx =b -a

⎰

kf (x ) dx =k ⎰f (x ) dx （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）

性质3

⎰[f

(x ) ±f ]=x ⎰2(x ) d

f (x ) ±d ⎰x

d x （定积分的线性性质）f ( ) x

b b

性质4

x ⎰⎰f (x ) d =

f () x +d x ⎰

(f ) x 其中d (x

（定积分对积分区间的可加性）

性质5 若f (x ) ≥0, x ∈[a , b ]，则推论1：f (x ) ≥g (x ) ，推论2：

⎰

f (x ) dx ≥0

b a

⎰

f (x ) dx ≥⎰g (x ) dx (a

⎰

f (x ) dx ≥⎰g (x ) dx (a

性质6设M , m 为f (x ) 在[a , b ]上的最大值、最小值，则

m (b -a ) ≤⎰f (x ) dx ≤M (b -a )

性质7（中值定理）若f (x ) ∈[a , b ]，则至少有一ξ∈[a , b ]，使证：由性质6知，m ≤

⎰

f (x ) dx =f (ξ)(b -a ) .

f (x ) dx ≤M ，依介值定理，必有ξ∈[a , b ]，

b -a ⎰a

b 1b

f (x ) dx =f (ξ) ，即⎰f (x ) dx =f (ξ)(b -a ) 。使

a b -a ⎰a

说明： ①推广： ②推广:

⎰

b a

[f 1(x ) ±f 2(x ) ±

c 1a

±f m (x )]dx =⎰f 1(x ) dx ±⎰f 2(x ) dx ±

b b

±⎰f m (x )

⎰f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx +

c 1

c 2

+⎰f (x ) dx

c k

③性质解释：

S 曲边梯形AMNB =S 曲边梯形AMPC +S 曲边梯形CPNB

例1．计算定积分

⎰

(x +1) dx

5。 2

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为即：

⎰

(x +1) dx =

5 2

思考：若改为计算定积分

⎰

-2

(x +1) dx 呢？

改变了积分上、下限，被积函数在[-2, 2]上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）

练习

计算下列定积分

1．

⎰⎰

(2x -4) dx

解：2．

⎰

(2x -4) dx =9-4=5 x dx

x dx =⨯1⨯1+⨯1⨯1=1

例2．计算由两条抛物线y 2=x 和y =x 2所围成的图形的面积.

-1

解：

⎰

-1

【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积

的差得到。

⎧⎪y =x =0及x =1，所以两曲线的交点为解：⎨2

⎪⎩y =x

（0，0）、（1，1），面积

S==

⎰

-⎰

x 2dx ，所以

y 3

⎡23⎤1x

S =⎰x )dx =⎢x -⎥=3

03⎦0⎣3

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1. 作图象；2. 求交点；3. 用定积分表示所求的面积；4. 微积分基本定理求定积分。

C y =x O D A

巩固练习计算由曲线y =x -6x 和y =x 所围成的图形的面积. 四：课堂小结

定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．五：教学反思

微积分基本定理

一：教学目标知识与技能目标

通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法

通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二：教学重难点

定积分的概念及用定义计算 2、引入新课

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

⎰

T 2

T 1

v (t ) dt 。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在[T 1, T 2]上的增量S (T 1) -S (T 2) 来表

⎰

T 2

T 1

v (t ) dt =S (T 1) -S (T 2)

而S '(t ) =v (t ) 。

对于一般函数f (x ) ，设F '(x ) =f (x ) ，是否也有

⎰

f (x ) d x =F (-b ) F ( a )

若上式成立，我们就找到了用f (x ) 的原函数（即满足F '(x ) =f (x ) ）的数值差

F (b ) -F (a ) 来计算f (x ) 在[a , b ]上的定积分的方法。

注：1：定理如果函数F (x ) 是[a , b ]上的连续函数f (x ) 的任意一个原函数，则

⎰

f (x ) dx =F (b ) -F (a )

证明：因为Φ(x ) =

⎰

f (t ) dt 与F (x ) 都是f (x ) 的原函数，故

F (x ) -Φ(x ) =C（a ≤x ≤b ）其中C 为某一常数。

令x =a 得F (a ) -Φ(a ) =C，且Φ(a ) =

⎰

f (t ) dt =0

即有C=F (a ) ，故F (x ) =Φ(x ) +F (a )

∴ Φ(x ) =F (x ) -F (a ) =⎰f (t ) dt

令x =b ，有

⎰

f (x ) dx =F (b ) -F (a )

此处并不要求学生理解证明的过程

为了方便起见，还常用F (x ) |b a 表示F (b ) -F (a ) ，即

⎰

f (x ) dx =F (x ) |b a =F (b ) -F (a )

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的

例1．计算下列定积分：

311

（1）⎰dx ；（2）⎰(2x -2) dx 。

1x 1x

211' 2

(lnx ) =解：（1）因为，所以⎰=ln x |1=ln 2-ln1=ln 2。

1x x

33311' 112'

（2））因为(x ) =2x ,() =-2，所以⎰(2x -2) dx =⎰2xdx -⎰2

111x x x x

131223

=x 2|1+|1=(9-1) +(-1) =。

x 33

练习：计算解：由于

⎰

x 2dx

x 是x 2的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 [1**********]

⎰x d x =x |0=⋅1-⋅0=

03333

例2．计算下列定积分：

⎰

sin xdx , ⎰sin xdx , ⎰sin xdx 。

2π2π

由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为(-cos x ) ' =sin x ，所以

⎰π

sin xdx =(-cos x ) |=(-cos 2π) -(-cos π) =-2， π⎰ππ

⎰sin xdx =(-cos x ) |=(-cos 2π) -(-cos0) =0.

sin xdx =(-cos x ) |π0=(-cos π) -(-cos0) =2，

可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；

图1 . 6 一 3 ( 2 ）

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v 0=32公里/小

32⨯1000

米/秒≈8.88米/秒, 刹车后汽车减速行驶, 其速度为v (t)=v 0-a t=8.88-1.8t当

3600

8.88

≈4.93秒汽车停住时, 速度v (t)=0, 故从v (t)=8.88-1.8t=0解得t=1.8

时=

于是在这段时间内, 汽车所走过的距离是

s =⎰

4.93

v (t)dt =⎰

4.93

(8.88-1.8t) dt =(8.88-1.8⨯t 2) ≈21.90米, 即在刹车后, 汽

4.93

车需走过21.90米才能停住.

四：课堂小结：

定积分的简单应用

一：教学目标知识与技能目标

4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。过程与方法情感态度与价值观二：教学重难点重点曲边梯形面积的求法

难点定积分求体积以及在物理中应用三：教学过程： 1、复习

1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用

（一）利用定积分求平面图形的面积

例1．计算由两条抛物线y =x 和y =x 所围成的图形的面积.

【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：⎨

⎧⎪y =⎪⎩y =x

x =0及x =1，所以两曲线的交点为

（0，0）、（1，1），面积

S==

⎰

-⎰

x 2dx ，所以

y 3

⎡2⎤1x 2

S =⎰x )dx =⎢x -⎥=3

03⎦0⎣3

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1. 作图象；2. 求交点；3. 用定积分表示所求的面积；4. 微积分基本定理求定积分。

C y =x D A O

巩固练习计算由曲线y =x -6x 和y =x 所围成的图形的面积.

例2．计算由直线y =x -

4，曲线y =

x 轴所围图形的面积S.

4与曲线y =线y =x -4与 x 轴的交点．

解：作出直线y =x -

4，曲线y =面积．

解方程组⎨

1. 7一2 阴影部分的

⎧y =⎪

⎪⎩y =x -4

得直线y =x -

4与曲线y =8,4) .

直线y =x -4与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S1+S

=⎰

+[⎰

-⎰

(x -4) dx ]

3140428=2|0x 2|8(x -4) |=. 44

由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，

再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

例3. 求曲线y =sin x 　　x ∈[0,

2π30

2π2π]与直线x =0, x =, x 轴所围成的图形面积。 33=3

答案： S ＝练习

⎰

sin xdx =-cos x

2π|o 3

1、求直线y =2x +3与抛物线y =x 2所围成的图形面积。

x 3332

2x ＋3－x ) dx =（x +3x -) |-1=答案：S ＝（ -133

⎰

2、求由抛物线y =-x 2+4x -3及其在点M （0，－3）和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。略解： y /=-2x +4，切线方程分别为y =4x -3、

y =-2x +6，则所求图形的面积为

S ＝

⎰

2[(4x 0

-3) -(-x 2+4x -3)]dx +

3[(-2x 2

+6) -(-x 2+4x -3)]dx ＝

3、求曲线y =log 2x 与曲线y =log 2(4-x ) 以及x 轴所围成的图形面积。略解：所求图形的面积为

S ＝【g (y ) -f (y ) dy =

⎰

(4-2⨯2y ) dy

=（4y -2⨯2y log 2e ) |10=4-2log 2e

4、在曲线y =x (x ≥0) 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为

试求：切点A 的坐标以及切线方程.

略解：如图由题可设切点坐标为（x 0, x 0) 为y =2x 0x -x 0，切线与x 轴的交点坐标为

. 12

(0, 0) ，则由题可知有S =2

⎰

x 020

x dx +x 0(x -2x 0x 2

x 0

2∴x 0=1，所以切点坐标与切线方程分别为A (1, 1), y =2x -1

[a , b ]上的曲线y =f (x ) 与直线x =a 、总结：1、定积分的几何意义是：在区间x =b 以及x 轴所围成的图形的面积的代数和，即

⎰f (x ) dx =S

x 轴上方－S x 轴下方

因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要

［０, 2π］特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数y =sin x 　x ∈的图像与x 轴围成的

图形的面积为4, 而其定积分为0.

2、求曲边梯形面积的方法与步骤：

（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；

（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；

（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：（1）x 型区域：

）①由一条曲线y =f (x )(其中f (x ) ≥0与直线x =a , x =b (a

的曲边梯形的面积：S ＝f (x ) dx （如图（1））；

⎰

）②由一条曲线y =f (x )(其中f (x ) ≤0与直线x =a , x =b (a

的曲边梯形的面积：S ⎰

f (x ) dx f (x ) dx （如图（2））；

⎰

）③由两条曲线y =f (x ) ，y =g (x )(其中f (x ) ≥g (x ) 与直线x =a , x =b (a

所围成的曲边梯形的面积：S ＝|f (x ) －g (x ) |dx （如图（3））；

⎰

（2）y 型区域：

）①由一条曲线y =f (x )(其中x ≥0与直线y =a , y =b (a

曲边梯形的面积, 可由y =f (x ) 得x =h (y ) ，然后利用S ＝h (y ) dy 求出（如图（4））；

⎰

）②由一条曲线y =f (x )(其中x ≤0与直线y =a , y =b (a

曲边梯形的面积，可由y =f (x ) 先求出x =h (y ) ，然后利用S ＝h (y ) dy h (y ) dy

⎰

求出（如图（5））；

③由两条曲线y =f (x ) ，y =g (x ) 与直线y =a , y =b (a

）； S ＝|h (y ) －h (y ) |dy 求出（如图（6）

图（6）

2．求平面曲线的弧长

设曲线AB 方程为y =f (x )(a ≤x ≤b ) ，函数f (x ) 在区间[a , b ]上可导，且f ' (x ) 连续，则曲线AB 的弧长为

l =⎰

3．求旋转体的体积和侧面积

由曲线y =f (x ) ，直线x =a , x =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体体积为

V =π⎰[f (x )]2dx .

其侧面积为

S 侧=2π⎰f (x .

（二）、定积分在物理中应用 (1)求变速直线运动的路程

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即

s =⎰v (t ) dt

例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．

解：由速度一时间曲线可知：

⎧3t ,0≤t ≤10,

⎪

v (t ) =⎨30,10≤t ≤40

⎪-1.5t +90, 40≤t ≤60. ⎩

因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

s =⎰3tdt +[⎰30dt +⎰(-1.5t +90) dt

104060

33240=t 2|10+30t |+(-t +90t ) |6001040=1350(m ) 24

答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . 2．变力作功

一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m) ，则力F 所作的功为W=Fs .

探究

如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a

与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到

W =⎰F (x ) dx

例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．

解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x

）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,

其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到

12l 12

x |0=kl (J )

022

答：克服弹力所作的功为kl J .

2W =⎰kxdx =

⎰

略解：（1）设A 到C 的时间为t 1则1.2t=24, t 1=20(s),则AC ＝

⎰

201. 2tdt =0. 6t 2|0=240(m )

（2）设D 到B 的时间为t 21则24-1.2t 2=0, t21=20(s), 则DB ＝

⎰

（24－1. 2t ）dt =0. 6t 2|0=240(m )

（3）CD=7200-2⨯240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为

20+280+20=320（s ）

例7：如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J

略解：设F =kx ，则由题可得k =0. 01，所以做功就是求定积分0. 01xdx =0. 18。

⎰

练习：四：课堂小结

教学反思

P25定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误

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