2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一
项是符合题目要求的。 （1）设i 是虚数单位，则复数
2i
在复平面内所对应的点位于（ ） 1-i
（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B 【解析】由
2i 2i (1+i ) -2+2i ===-1+i 1-i (1-i )(1+i ) 2
其对应点的坐标为(-1,1) 在第二象限，故选B.
（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
（A ）y =cos x （B ）y =sin x （C ）y =ln x （D ）y =x 2+1 【答案】A
【解析】选项中A,D 都是偶函数，排除B,C. 而D 选项与x 轴没有交点，故选A.
（3）设p :11, 则p 是q 成立的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由q 解得x >0，可知由p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件， 故选A.
（4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是（ ）
y 2x 2y 2x 2222
=1 （B ）-y =1 （C ）-x =1 （D ）y -=1 （A ）x -4444
2
【答案】C
【解析】选项A 和B 中的双曲线的交点都在x 上，可排除。D 选项中的双曲线的a =1, b =2, 其 渐近线方程为y =±
1
x ，故也可排除。因此答案选C. 2
（5）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 ．．．．．．（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 ．．．．．．【答案】D
【解析】选项A 中α, β垂直于同一平面，α, β关系可能相交，故排除。 选项B 中m , n 平行于同一平面，m , n 关系无法确定，故排除。 选项C 中α, β不平行，在α中可以存在与β平行的直线，故排除。
因此，答案选D 。
（6）若样本数据x 1，x 2，……，x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，⋅⋅⋅，2x 10-1的 标准差为（ ）
（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C
【解析】设样本数据的平均数为x ，其标准差为8，则方差为64，
数据2x 1-1，2x 2-1，⋅⋅⋅，2x 10-1的平均数为2x -1，
根据方差计算公式知方差为256，故其标准差为16。因此答案选C 。
（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A
）1 （B
）2 （C
）1+ （D
）
【答案】B
【解析】由题意知该四面体的直观图如图所示：
s ∆BCD =
11
=
1，s ∆ABD ==1, 22
s ∆ABC =s ∆ACD =
1π，
sin =
23因此该四面体的表面积为2+B 。
（8）∆ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB=2a ，AC =2a +b ，则下列结论正确的是（ ）
（A ）b =1 （B ）a ⊥b （C ）a ⋅b =1 （D ）4a -b ⊥BC
【答案】D
()
【解析】由题意BC =AC -AB =b ，故b =2 ，故选项A 错。又AB=2a 且AB =2, 所以a =1， AB ⋅AC =2a (2a +b ) =4a +2a ⋅b =2⨯2⨯ 因此答案选D.
（9）函数f (x )=
2
1
=2，所以a ⋅b =-1，故B,C 错。 2
ax +b
(x +c )
2
的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A ）a >0，b >0，c 0，c >0
（C ）a 0，c
【解析】由题中图形可知x ≠-c 易知-c >0，所以c
f (0)=
b
>0，所以b >0。当y =0时，ax +b =0, 所以2c
b x =>0 ，所以a
a
（10）已知函数f (x )=Asin (ωx +ϕ)（A，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当x =时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
（A ）f (2)
【解析】由题意f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0, ϕ>0), T = 又f (
2π3
2π
2π2π2ππ) =A sin(2⨯+ϕ) =-A , 知2⨯+ϕ=-+2k π，即ϕ=+2k π,(k ∈Z ) 33326
ω
π
=π, ∴ω=2,
所以可求出函数的一个解析式为f (x ) =A sin(2x +因此答案选A 。
π
6
) ，可以判断f (2)
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）(x +【答案】35
3
17
) 的展开式中x 5的系数是 x
r
37-r
1
() r =C 7r x 21-4r x
4
令21-4r =5, 得r =4，所以所求的系数C
7=35.
【解析】由T r +1=C 7(x )
（12）在极坐标系中，圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=最大值是 【答案】6
π
3
(ρ∈R ) 距离的
【解析】由ρ2=8ρsin θ，得圆的方程为x 2+y 2=8y ，化为标准方程为x +(y -4) 2=16，直线方程为y =x ，可求得圆心到直线的距离为2，因此所求最大值为6.
（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 【答案】4
37
时，n =2；当a =时，n =3 25
1717
≈1. 417，故输出n 的值为4. 当a =时，n =4，由于
1212
【解析】当a =1时，n =1；当a =
（14）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1+a 4=9, a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和等于【答案】2-1
【解析】由题意可得方程a 1+a 1q 3=9和a 1q 3=8，解得a 1=1, q =2，
2
n
a 1(1-q n ) 1⨯(1-2n )
所以S n ===2n -1。
1-q 1-2
3
（15）设x +ax +b =0，其中a , b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个
实根的是 （写出所有正确条件的编号） (1)a =-3, b =-3； (2a ) =-3b , =；2 (3a ) =-3b , >；2
(4)a =0, b =2; (5a ) =1, b =. 2
【答案】⑴ ⑶ ⑷ ⑸
【解析】设f (x ) =x 3+ax +b ，则f ‘ (x ) =3x 2+a 。当a ≥0时，f ' (x ) ≥0，此时f (x ) 单调递增， 若方程有一个实根，⑷ ⑸正确；当a
得f (x ) 极大值=b +2，f (x ) 极小值=b -2，由于方程仅有一根，须满足b 2，因此 ⑴ ⑶正确。综上可得本题正确选项是⑴ ⑶ ⑷ ⑸。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （16）（本小题满分12分） 在∆ABC 中，∠A =
3π
，AB =6，AC =32, 点D 在BC 边上，AD =BD ，求AD 的长。 4
【答案】
【解析】设∆ABC 的内角A , B , C 所对边的长分别是a , b , c ，
由余弦定理得a =b +c -2bc cos ∠BAC =+6-2⨯6cos
所以a =………………………………4分
又由正弦定理得sin B =由题设知0
2
2
2
2
2
3π
=90 4
b sin ∠BAC ==
a =
4AB ⋅sin B 6sin B 3
=== ……………12分 在∆
ABD 中，由正弦定理得AD =
sin(π-2B ) 2sin B cos B cos B
, 所以cos B ==
（17）（本小题满分12分）
已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不
π
放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）
【答案】
【解析】（Ⅰ）第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品概率P =
（Ⅱ）由题意知X 的可能取值为200,300,400三种情况，
3；（Ⅱ） 10
EX =350
233
⨯=. ……5分 5410
2⨯11
= 5⨯4103⨯22⨯3⨯23
+= P (X =300) =
5⨯4⨯35⨯4⨯310
2⨯3⨯2⨯33⨯2⨯2⨯36
+= ……………10分 P (X =400) =
5⨯4⨯3⨯25⨯4⨯3⨯210
则P (X =200) =
所以X 的分布列如下
所以EX =200⨯
（18）（本小题满分12分） 设n ∈N ，x n 是曲线y =x
*
136
+300⨯+400⨯=350 ……………12分 101010
2n +2
2) 处的切线与x 轴交点的横坐标， +1在点(1，
1
. 4n
（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
22
（Ⅱ）记T n =x 1x 2
2
T ≥x 2n -1，证明：n
n
；（Ⅱ）证明见解析。 n +1' 2n +1
【解析】（Ⅰ）由题意y =(2n +2) x ，y x =1=2n +2
所以曲线在点(1, 2) 处的切线方程为y -2=(2n +2)(x -1)
n
当y =0时，x n =. ……………5分
n +1
【答案】（Ⅰ）x n =
（Ⅱ）由题设中和（1）中的计算结果知T n =x 1⋅x 2... x 2n -1=() () ...(
2
1
2
2
34
2
2n -12
) 2n
当n =1时，b 1=
22n -1
1 4
2n -12(2n -1) 2(2n -1) 2-12n -2n -1
当n ≥2时，x ， =() =>==22
2n (2n ) (2n ) 2n n
1212n -11
= 所以T n >() ⨯⨯⨯... ⨯ .
223n 4n
1
. ……………12分 综上可得对任意的n ∈N *, 均有T n ≥4n
（19）（本小题满分13分）
如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA ，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1, ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1, D , E 的平面交CD 1于F （Ⅰ）证明：EF //B 1C
（Ⅱ）求二面角E -A 1D -B 1余弦值.
6
3
【解析】（Ⅰ）证明： A 1D //B 1C , A 1D ⊄平面B 1CD 1, B 1C ⊂平面B 1CD 1 ∴A 1D //平面B 1CD 1 ……………3分
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
又 平面A 1DEF ⋂平面B 1CD 1=EF ∴A 1D //EF 而A 1D //B 1C
∴EF //B 1C ……………6分
（Ⅱ）如图所示，将原图形补全为正方体，过C 1作C 1G ⊥B 1C 取A 1D 的中点O ，连结C 1O ，则GO ⊥A 1C , C 1O ⊥A 1C 所以∠C 1OG 是二面角E -A 1D -B 1的平面角……………9分
设正方体的边长为2a ，所以GO =2a ，C 1O =6a 所以cos ∠C 1OG =
GO 2a 6
==
C 1O 36a
6
……………13分 3
故所求二面角E -A 1D -B 1的余弦值为
（20）（本小题满分13分）
x 2y 2
设椭圆E 的方程为2+2=1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为
a b
b )，点M 在线段AB 上，满足BM =2MA ，直线OM
(0，
（I ）求E 的离心率e ；
7
（II ）设点C 的坐标为(0，-b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为，
2
求E 的方程
.
x 2y 2+=1【答案】
；（Ⅱ）
459
2a 1
, b ) 33
b 2a 2-c 21b 5
= 因为K om ==, 可得2=
52a 10a a 2
c 24c 25
所以2=，可得椭圆的离心率e ==。……………5分
5a 5a
【解析】（Ⅰ）由BM =2得M (
（Ⅱ）设点N 关于AB 对称的点为P (x 0, ) ，NP 的中点为Q ，
7
2
a +2x 07-2b a b
, )
2244
b 7+b
所以K PN = 可求直线AB 的方程为y =-x +b
a 2x 0-a
由K PN ⋅K AB =-1及点Q 在直线AB 上得到
由题意知N (, -) ，所以点Q 的坐标为(
7+b b
⨯(-) =-1 ①
2x 0-a a 7-2b b a +2x 0
=-⨯+b ② ……………10分 4a 4
a 2+b 2+7b 由①解得x 0=代入②并且由（Ⅰ）中b =a 可求得
2a 5
x 2y 2
+=1 ……………13分 a =3, b =3，故椭圆方程为
459
（21）（本小题满分13分）
设函数f (x ) =x 2-ax +b .
（Ⅰ）讨论函数f (sinx ) 在(-
) 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
22
⎡ππ⎤2
（Ⅱ）记f 0(x ) =x -a 0x +b 0, 求函数f (sinx ) -f 0(sinx ) 在⎢-, ⎥上的最大值D ；
⎣22⎦
a
（Ⅲ）在中（Ⅱ）取a 0=b 0=0, 求z =b -2满足D ≤1时的最大值。
4'
【答案】（Ⅰ）①当a ≥2时，F (x ) ≤0，F (x ) 单调递减，无极值；
'
②当a ≤-2时，F (x ) ≥0，F (x ) 单调递增，无极值
③当-2
ππ
ππ
, ) 内存在唯一的x 0，使得2sin x 0=a ， 22
π
2
π
2
时，函数F (x ) 单调递增，
因此，-2
F (x ) 有极小值为 f (sinx ) 极小值
a a 2
=f () =b - ；
24
（Ⅱ）D =a -a 0+b -b 0；（Ⅲ）最大值为1.
【解析】（Ⅰ）f (sinx ) =sin 2x -a sin x +b ，令F (x ) =sin 2x -a sin x +b 可求得F ' (x ) =2sin x cos x -a cos x =(2sin x -a ) cos x 因为x ∈(-
, ) ，所以cos x >0 ，因此2sin x -a 的符号决定F ' (x ) 的符号，
22
①当a ≥2时，F ' (x ) ≤0，F (x ) 单调递减，无极值； ②当a ≤-2时，F ' (x ) ≥0，F (x ) 单调递增，无极值
ππ
③当-2
ππ
, ) 内存在唯一的x 0，使得2sin x 0=a ， 22
π
2
π
2
时，函数F (x ) 单调递增，
因此，-2
f (sinx ) 极小值
（Ⅱ）-
a a 2
=f () =b - ……………4分
24
π
2
≤x ≤-
π
2
时，f (sinx ) -f 0(sinx ) =(a 0-a )sin x +b -b 0≤a -a 0+b -b 0,
当(a 0-a )(b -b 0) ≥0时，取x =
π
2
, 等号成立，
当(a 0-a )(b -b 0)
π
2
, 等号成立。
由此可知，f (sinx ) -f 0(sinx ) 在⎢-, ⎥上的最大值为
⎣22⎦
⎡ππ⎤
D =a -a 0+b -b 0 ……………8分
a 2
≤1. （Ⅲ）D ≤1即为a +b ≤1，此时0≤a ≤1, -1≤b ≤1, 从而z =b -4
a 2
=1. 取a =0, b =1, 则a +b ≤1，并且z =b -4
a 2
由此可知，z =b -满足条件D ≤1的最大值为1. ……………13分
4
2
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一
项是符合题目要求的。 （1）设i 是虚数单位，则复数
2i
在复平面内所对应的点位于（ ） 1-i
（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B 【解析】由
2i 2i (1+i ) -2+2i ===-1+i 1-i (1-i )(1+i ) 2
其对应点的坐标为(-1,1) 在第二象限，故选B.
（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
（A ）y =cos x （B ）y =sin x （C ）y =ln x （D ）y =x 2+1 【答案】A
【解析】选项中A,D 都是偶函数，排除B,C. 而D 选项与x 轴没有交点，故选A.
（3）设p :11, 则p 是q 成立的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由q 解得x >0，可知由p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件， 故选A.
（4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是（ ）
y 2x 2y 2x 2222
=1 （B ）-y =1 （C ）-x =1 （D ）y -=1 （A ）x -4444
2
【答案】C
【解析】选项A 和B 中的双曲线的交点都在x 上，可排除。D 选项中的双曲线的a =1, b =2, 其 渐近线方程为y =±
1
x ，故也可排除。因此答案选C. 2
（5）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 ．．．．．．（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 ．．．．．．【答案】D
【解析】选项A 中α, β垂直于同一平面，α, β关系可能相交，故排除。 选项B 中m , n 平行于同一平面，m , n 关系无法确定，故排除。 选项C 中α, β不平行，在α中可以存在与β平行的直线，故排除。
因此，答案选D 。
（6）若样本数据x 1，x 2，……，x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，⋅⋅⋅，2x 10-1的 标准差为（ ）
（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C
【解析】设样本数据的平均数为x ，其标准差为8，则方差为64，
数据2x 1-1，2x 2-1，⋅⋅⋅，2x 10-1的平均数为2x -1，
根据方差计算公式知方差为256，故其标准差为16。因此答案选C 。
（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A
）1 （B
）2 （C
）1+ （D
）
【答案】B
【解析】由题意知该四面体的直观图如图所示：
s ∆BCD =
11
=
1，s ∆ABD ==1, 22
s ∆ABC =s ∆ACD =
1π，
sin =
23因此该四面体的表面积为2+B 。
（8）∆ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB=2a ，AC =2a +b ，则下列结论正确的是（ ）
（A ）b =1 （B ）a ⊥b （C ）a ⋅b =1 （D ）4a -b ⊥BC
【答案】D
()
【解析】由题意BC =AC -AB =b ，故b =2 ，故选项A 错。又AB=2a 且AB =2, 所以a =1， AB ⋅AC =2a (2a +b ) =4a +2a ⋅b =2⨯2⨯ 因此答案选D.
（9）函数f (x )=
2
1
=2，所以a ⋅b =-1，故B,C 错。 2
ax +b
(x +c )
2
的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A ）a >0，b >0，c 0，c >0
（C ）a 0，c
【解析】由题中图形可知x ≠-c 易知-c >0，所以c
f (0)=
b
>0，所以b >0。当y =0时，ax +b =0, 所以2c
b x =>0 ，所以a
a
（10）已知函数f (x )=Asin (ωx +ϕ)（A，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当x =时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
（A ）f (2)
【解析】由题意f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0, ϕ>0), T = 又f (
2π3
2π
2π2π2ππ) =A sin(2⨯+ϕ) =-A , 知2⨯+ϕ=-+2k π，即ϕ=+2k π,(k ∈Z ) 33326
ω
π
=π, ∴ω=2,
所以可求出函数的一个解析式为f (x ) =A sin(2x +因此答案选A 。
π
6
) ，可以判断f (2)
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）(x +【答案】35
3
17
) 的展开式中x 5的系数是 x
r
37-r
1
() r =C 7r x 21-4r x
4
令21-4r =5, 得r =4，所以所求的系数C
7=35.
【解析】由T r +1=C 7(x )
（12）在极坐标系中，圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=最大值是 【答案】6
π
3
(ρ∈R ) 距离的
【解析】由ρ2=8ρsin θ，得圆的方程为x 2+y 2=8y ，化为标准方程为x +(y -4) 2=16，直线方程为y =x ，可求得圆心到直线的距离为2，因此所求最大值为6.
（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 【答案】4
37
时，n =2；当a =时，n =3 25
1717
≈1. 417，故输出n 的值为4. 当a =时，n =4，由于
1212
【解析】当a =1时，n =1；当a =
（14）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1+a 4=9, a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和等于【答案】2-1
【解析】由题意可得方程a 1+a 1q 3=9和a 1q 3=8，解得a 1=1, q =2，
2
n
a 1(1-q n ) 1⨯(1-2n )
所以S n ===2n -1。
1-q 1-2
3
（15）设x +ax +b =0，其中a , b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个
实根的是 （写出所有正确条件的编号） (1)a =-3, b =-3； (2a ) =-3b , =；2 (3a ) =-3b , >；2
(4)a =0, b =2; (5a ) =1, b =. 2
【答案】⑴ ⑶ ⑷ ⑸
【解析】设f (x ) =x 3+ax +b ，则f ‘ (x ) =3x 2+a 。当a ≥0时，f ' (x ) ≥0，此时f (x ) 单调递增， 若方程有一个实根，⑷ ⑸正确；当a
得f (x ) 极大值=b +2，f (x ) 极小值=b -2，由于方程仅有一根，须满足b 2，因此 ⑴ ⑶正确。综上可得本题正确选项是⑴ ⑶ ⑷ ⑸。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （16）（本小题满分12分） 在∆ABC 中，∠A =
3π
，AB =6，AC =32, 点D 在BC 边上，AD =BD ，求AD 的长。 4
【答案】
【解析】设∆ABC 的内角A , B , C 所对边的长分别是a , b , c ，
由余弦定理得a =b +c -2bc cos ∠BAC =+6-2⨯6cos
所以a =………………………………4分
又由正弦定理得sin B =由题设知0
2
2
2
2
2
3π
=90 4
b sin ∠BAC ==
a =
4AB ⋅sin B 6sin B 3
=== ……………12分 在∆
ABD 中，由正弦定理得AD =
sin(π-2B ) 2sin B cos B cos B
, 所以cos B ==
（17）（本小题满分12分）
已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不
π
放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）
【答案】
【解析】（Ⅰ）第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品概率P =
（Ⅱ）由题意知X 的可能取值为200,300,400三种情况，
3；（Ⅱ） 10
EX =350
233
⨯=. ……5分 5410
2⨯11
= 5⨯4103⨯22⨯3⨯23
+= P (X =300) =
5⨯4⨯35⨯4⨯310
2⨯3⨯2⨯33⨯2⨯2⨯36
+= ……………10分 P (X =400) =
5⨯4⨯3⨯25⨯4⨯3⨯210
则P (X =200) =
所以X 的分布列如下
所以EX =200⨯
（18）（本小题满分12分） 设n ∈N ，x n 是曲线y =x
*
136
+300⨯+400⨯=350 ……………12分 101010
2n +2
2) 处的切线与x 轴交点的横坐标， +1在点(1，
1
. 4n
（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
22
（Ⅱ）记T n =x 1x 2
2
T ≥x 2n -1，证明：n
n
；（Ⅱ）证明见解析。 n +1' 2n +1
【解析】（Ⅰ）由题意y =(2n +2) x ，y x =1=2n +2
所以曲线在点(1, 2) 处的切线方程为y -2=(2n +2)(x -1)
n
当y =0时，x n =. ……………5分
n +1
【答案】（Ⅰ）x n =
（Ⅱ）由题设中和（1）中的计算结果知T n =x 1⋅x 2... x 2n -1=() () ...(
2
1
2
2
34
2
2n -12
) 2n
当n =1时，b 1=
22n -1
1 4
2n -12(2n -1) 2(2n -1) 2-12n -2n -1
当n ≥2时，x ， =() =>==22
2n (2n ) (2n ) 2n n
1212n -11
= 所以T n >() ⨯⨯⨯... ⨯ .
223n 4n
1
. ……………12分 综上可得对任意的n ∈N *, 均有T n ≥4n
（19）（本小题满分13分）
如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA ，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1, ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1, D , E 的平面交CD 1于F （Ⅰ）证明：EF //B 1C
（Ⅱ）求二面角E -A 1D -B 1余弦值.
6
3
【解析】（Ⅰ）证明： A 1D //B 1C , A 1D ⊄平面B 1CD 1, B 1C ⊂平面B 1CD 1 ∴A 1D //平面B 1CD 1 ……………3分
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
又 平面A 1DEF ⋂平面B 1CD 1=EF ∴A 1D //EF 而A 1D //B 1C
∴EF //B 1C ……………6分
（Ⅱ）如图所示，将原图形补全为正方体，过C 1作C 1G ⊥B 1C 取A 1D 的中点O ，连结C 1O ，则GO ⊥A 1C , C 1O ⊥A 1C 所以∠C 1OG 是二面角E -A 1D -B 1的平面角……………9分
设正方体的边长为2a ，所以GO =2a ，C 1O =6a 所以cos ∠C 1OG =
GO 2a 6
==
C 1O 36a
6
……………13分 3
故所求二面角E -A 1D -B 1的余弦值为
（20）（本小题满分13分）
x 2y 2
设椭圆E 的方程为2+2=1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为
a b
b )，点M 在线段AB 上，满足BM =2MA ，直线OM
(0，
（I ）求E 的离心率e ；
7
（II ）设点C 的坐标为(0，-b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为，
2
求E 的方程
.
x 2y 2+=1【答案】
；（Ⅱ）
459
2a 1
, b ) 33
b 2a 2-c 21b 5
= 因为K om ==, 可得2=
52a 10a a 2
c 24c 25
所以2=，可得椭圆的离心率e ==。……………5分
5a 5a
【解析】（Ⅰ）由BM =2得M (
（Ⅱ）设点N 关于AB 对称的点为P (x 0, ) ，NP 的中点为Q ，
7
2
a +2x 07-2b a b
, )
2244
b 7+b
所以K PN = 可求直线AB 的方程为y =-x +b
a 2x 0-a
由K PN ⋅K AB =-1及点Q 在直线AB 上得到
由题意知N (, -) ，所以点Q 的坐标为(
7+b b
⨯(-) =-1 ①
2x 0-a a 7-2b b a +2x 0
=-⨯+b ② ……………10分 4a 4
a 2+b 2+7b 由①解得x 0=代入②并且由（Ⅰ）中b =a 可求得
2a 5
x 2y 2
+=1 ……………13分 a =3, b =3，故椭圆方程为
459
（21）（本小题满分13分）
设函数f (x ) =x 2-ax +b .
（Ⅰ）讨论函数f (sinx ) 在(-
) 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
22
⎡ππ⎤2
（Ⅱ）记f 0(x ) =x -a 0x +b 0, 求函数f (sinx ) -f 0(sinx ) 在⎢-, ⎥上的最大值D ；
⎣22⎦
a
（Ⅲ）在中（Ⅱ）取a 0=b 0=0, 求z =b -2满足D ≤1时的最大值。
4'
【答案】（Ⅰ）①当a ≥2时，F (x ) ≤0，F (x ) 单调递减，无极值；
'
②当a ≤-2时，F (x ) ≥0，F (x ) 单调递增，无极值
③当-2
ππ
ππ
, ) 内存在唯一的x 0，使得2sin x 0=a ， 22
π
2
π
2
时，函数F (x ) 单调递增，
因此，-2
F (x ) 有极小值为 f (sinx ) 极小值
a a 2
=f () =b - ；
24
（Ⅱ）D =a -a 0+b -b 0；（Ⅲ）最大值为1.
【解析】（Ⅰ）f (sinx ) =sin 2x -a sin x +b ，令F (x ) =sin 2x -a sin x +b 可求得F ' (x ) =2sin x cos x -a cos x =(2sin x -a ) cos x 因为x ∈(-
, ) ，所以cos x >0 ，因此2sin x -a 的符号决定F ' (x ) 的符号，
22
①当a ≥2时，F ' (x ) ≤0，F (x ) 单调递减，无极值； ②当a ≤-2时，F ' (x ) ≥0，F (x ) 单调递增，无极值
ππ
③当-2
ππ
, ) 内存在唯一的x 0，使得2sin x 0=a ， 22
π
2
π
2
时，函数F (x ) 单调递增，
因此，-2
f (sinx ) 极小值
（Ⅱ）-
a a 2
=f () =b - ……………4分
24
π
2
≤x ≤-
π
2
时，f (sinx ) -f 0(sinx ) =(a 0-a )sin x +b -b 0≤a -a 0+b -b 0,
当(a 0-a )(b -b 0) ≥0时，取x =
π
2
, 等号成立，
当(a 0-a )(b -b 0)
π
2
, 等号成立。
由此可知，f (sinx ) -f 0(sinx ) 在⎢-, ⎥上的最大值为
⎣22⎦
⎡ππ⎤
D =a -a 0+b -b 0 ……………8分
a 2
≤1. （Ⅲ）D ≤1即为a +b ≤1，此时0≤a ≤1, -1≤b ≤1, 从而z =b -4
a 2
=1. 取a =0, b =1, 则a +b ≤1，并且z =b -4
a 2
由此可知，z =b -满足条件D ≤1的最大值为1. ……………13分
4
2