2012.1数值分析试卷
1（10）设f(x)具有连续的m 阶导数，x*是f(x)=0的m 重根，其中m ≥2. {x k }是由newton 迭代法产生的序列且收敛，证明lim x →∞x k +1-x *1=1- x k -x *m
（2）试把newton 迭代公式加以改进提高迭代公式的收敛速度。
22⎧⎪x +y =42（10）newton 法解方程组⎨22，取初值(x 0, y 0) =(1.6,1.2)T 求出⎪⎩x -y =1
迭代两步的结果，计算结果保留5位小数。
⎡126⎤⎡x 1⎤⎡1⎤⎥⎢x ⎥=⎢3⎥ 25153（1）试用Doolittle 分解方法求解方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣61546⎥⎦⎢⎣9⎥⎦⎣x 3⎥⎦⎢
⎡126⎤⎥按模最大特征值及对应的2515（2）试用乘幂法求出系数矩阵⎢⎢⎥⎢⎣61546⎥⎦
特征向量，初始向量为（1,0,0）T ，求出迭代两步的结果，计算结果保留4位小数。
⎡-223⎤⎡x 1⎤⎡12⎤⎥⎢x ⎥=⎢12⎥写出Gauss-seidel 迭代法的迭代-4214已知线性方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣123⎥⎦⎢⎣16⎥⎦⎣x 3⎥⎦⎢
格式并分析收敛性。
5已知一组实验数据：
试用最小二乘法确定拟合公式y =ax b 中参数是a ，b 。
6试求出过平面五点（-2,3）（-1,2）(0,5) (1,) (2,9
233) 的有理多项式 7
7推导求积公式⎰f (x ) dx =(b -a ) f a b a +b f "(η) ) +(b -a ) 3其中η∈[a,b]并指224
明代数精度。
8用复化梯形公式适当的选取分段长度h 使得误差在（0.03,0.06）之间并用其计算积分⎰e x dx 的近似值（计算中保留小数点后4位）
01
9利用显示的Euler 方法计算函数y (x ) =⎰e t dt 在点x =0.5,1,1.5,2的近似
0x 2
值，步长h=0.5（计算中保留小数点后4位）。
10
y n +1=对求解初值问题31h y n -y n -1+[3y ' n -y ' n -1] 224⎧y ' =f (x , y ) ⎨⎩y (x 0) =a 的二步方法
（1）确定方法的局部截断误差主项，并指出方法的阶数。
（2）讨论方法的收敛性并求出绝对稳定区间。
（3）如果f (x , y ) =-30y ，用绝对稳定区间确定步长h 应取多大（Cr 公式已知）
2012.1数值分析试卷
1（10）设f(x)具有连续的m 阶导数，x*是f(x)=0的m 重根，其中m ≥2. {x k }是由newton 迭代法产生的序列且收敛，证明lim x →∞x k +1-x *1=1- x k -x *m
（2）试把newton 迭代公式加以改进提高迭代公式的收敛速度。
22⎧⎪x +y =42（10）newton 法解方程组⎨22，取初值(x 0, y 0) =(1.6,1.2)T 求出⎪⎩x -y =1
迭代两步的结果，计算结果保留5位小数。
⎡126⎤⎡x 1⎤⎡1⎤⎥⎢x ⎥=⎢3⎥ 25153（1）试用Doolittle 分解方法求解方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣61546⎥⎦⎢⎣9⎥⎦⎣x 3⎥⎦⎢
⎡126⎤⎥按模最大特征值及对应的2515（2）试用乘幂法求出系数矩阵⎢⎢⎥⎢⎣61546⎥⎦
特征向量，初始向量为（1,0,0）T ，求出迭代两步的结果，计算结果保留4位小数。
⎡-223⎤⎡x 1⎤⎡12⎤⎥⎢x ⎥=⎢12⎥写出Gauss-seidel 迭代法的迭代-4214已知线性方程组⎢⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣123⎥⎦⎢⎣16⎥⎦⎣x 3⎥⎦⎢
格式并分析收敛性。
5已知一组实验数据：
试用最小二乘法确定拟合公式y =ax b 中参数是a ，b 。
6试求出过平面五点（-2,3）（-1,2）(0,5) (1,) (2,9
233) 的有理多项式 7
7推导求积公式⎰f (x ) dx =(b -a ) f a b a +b f "(η) ) +(b -a ) 3其中η∈[a,b]并指224
明代数精度。
8用复化梯形公式适当的选取分段长度h 使得误差在（0.03,0.06）之间并用其计算积分⎰e x dx 的近似值（计算中保留小数点后4位）
01
9利用显示的Euler 方法计算函数y (x ) =⎰e t dt 在点x =0.5,1,1.5,2的近似
0x 2
值，步长h=0.5（计算中保留小数点后4位）。
10
y n +1=对求解初值问题31h y n -y n -1+[3y ' n -y ' n -1] 224⎧y ' =f (x , y ) ⎨⎩y (x 0) =a 的二步方法
（1）确定方法的局部截断误差主项，并指出方法的阶数。
（2）讨论方法的收敛性并求出绝对稳定区间。
（3）如果f (x , y ) =-30y ，用绝对稳定区间确定步长h 应取多大（Cr 公式已知）