第四章答案 4.1 1. 满足，ξ=2.
1) 不满足，ξ=02）不满足，无ξ3）不满足，ξ=
12
π
2
3. 两个根x 1∈(1,2), x 2∈(2,3)
f (1)-f (0)1-0
3
4. 5.
=3=3x +2⇒x =±
2
负的舍掉。
1）f (x ) ≡0, 则f '(ξ) ≡0, 在(a , b ) 处处满足结论。2）f (x ) 0由于f (a ) =f (b ) =0, f (x ) 在[a , b ]连续，f '(x ) 符号必发生改变，设(a , b ) 内，f (x ) 无零点，则f '(a ) f '(b ) 0，设g (x ) =f (x ) +f '(x ), g (a ) g (b ) 0, 根据零点定理，至少有一点ξ，g (ξ) =f (ξ) +f '(ξ) =03）设(a , b ) 内，f (x ) 有零点，证明同2).
6.
设a 0x +a 1x
n
n -1
+ a n -1x =f (x ), f (0)=f (x 0) =0,
根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈（0，x 0）, 使得
n -1n -2
f '(ξ) =0, 即a 0nx +a 1(n -1) x + a n -1=f '(x )
有一个小于x 0的正根。
4.2 1 1) 2 2)
12
12
1a
32
3)
-2
4) 1
5) 0 6) 0 7) 0 8)
9) e 10) e
π
11)
1
12) ∞ 13)
2e
14) 0
2. m =3, n =-4 3.
lim
(x +sin x ) '
x 'x +sin x
x
x →∞
=lim
1+cos x
1sin x x
极限不存在。
x →∞
不能应用洛比达法。lim
=lim 1+
x →∞
=1
x →∞
4. f ''(x -h )
5.
P108 习题4.3 1.
13-x
=-2+2
-2
(x -1) +2
-3
(x -1) + +2
n -1
2-n
(x -1) +2
n -n -1
(ξ-1)
n +1
2. f (x ) =x +(-1) x + +
1
12
2
(-1)
(n -1)!
x +ο(x )
n n
3. （1）
6
P115 习题4.4
（2）
1. 略
2. （1）单调增区间(-1, 0) ⋃(1, +∞) ；单调减区间(-∞, -1) ⋃(0, 1) ，极值为：
f (0) =0, f (1) =f (-1) =-2
1
1
1
2
（2）单调增区间(0, 23) ；单调减区间(-∞, -1) ⋃(-1, 0) ⋃(23, +∞) ，极值为：f (23) =23 （3）单调增区间(-∞, -1) ⋃(0, +∞) ；单调减区间(-1, 0) ，极值为：
π
f (-1) =-2e 4, f (0) =-e
2
（4）略
（5）单调增区间(-∞,
f (1) =f (2) =0, f (
14
149
) ⋃(2, +∞) ；单调减区间(
149
, 2) ，极值为：
5544
) =() () 999
3. 极大值f (-1) =17，极小值f (-3) =-47。 4. p =3. 5
5. 上午7时到8时污染加重，上午8时到下午14时污染好转，14时之后污染又加重。
6. 递增区间(0, 4) ，递减区间(4, 5) ，社保基金在2005年之后的四十年是增加的，在第四十年到五十年是减少的。
7. 空气污染加重上午7时到11：30，11：30到下午17时污染好转。
8. 证明：设缺口函数为f (t ) =N (t ) -C (t ), f (0) =436. 2-365=71. 2，2005年缺口为71.2万人。
f '(t ) =7t +26. 7-24. 3=7t +2. 4
(t >0)
f '(t ) >09. （1）
(sin x x ) '=
x cos x -sin x
x
2
缺口函数为单调增函数。
=
cos x (x -tan x )
x
2
; cos x >0,
x -tan x
sin x x
) '
（2）
(ln(1+x ) -x +
x
2
2
) '=
11+x
-1+x =(x >0)
x
2
1+x
>0
同理(ln(1+x ) -x ) '
10. a =-2, f (P120 习题4.5
π
3
) =3是极大值。
1. x =88, p (88) =27440 2. x =731, 最大利润为1795 3. 舍。 4. x =3333
习题4.6 略
P 140
一 1.B 2. A 3.C 4.C 5.C 二 1. > 2. (1,2) 3. -29 4. 2 三 1.(1) -2 (2)∞ 2. 略
3.
(1) x >0, x =
1e
, 取极小值。
(2) x ≤0无极值。
4. 边长为x =五：证明：
a 6
, 最大容积为
227
a
3
设f (x ) =arctan x -ln(1+x ), f (1) =
2
π
4
-ln 2
（1）
f '(x ) =
1-2x 1+x
2
, x >
12
, f '(x )
（2）两边取对数
(1+
1x
) ln(1+x )
x 2
, 设f (x ) =1+
2
x 2
-(1+
1x
) ln(1+x )
f '(x ) =
2ln(1+x ) -2x +x
2x
2
2
设g (x ) =2ln(1+x ) -2x +x , g (0) =0
g '(x ) =
x 1+x
>0, 所以g (x ) >0, 可知f '(x ) >0
2
f (0) =0, 故f (x ) >0, 原题得证。
（3）
f (x ) =1+x ln(x +f '(x ) =ln(x +
+x ) -
2
2
+x , f (0) =0
2
+x ) >0, 原题得证。
第四章答案 4.1 1. 满足，ξ=2.
1) 不满足，ξ=02）不满足，无ξ3）不满足，ξ=
12
π
2
3. 两个根x 1∈(1,2), x 2∈(2,3)
f (1)-f (0)1-0
3
4. 5.
=3=3x +2⇒x =±
2
负的舍掉。
1）f (x ) ≡0, 则f '(ξ) ≡0, 在(a , b ) 处处满足结论。2）f (x ) 0由于f (a ) =f (b ) =0, f (x ) 在[a , b ]连续，f '(x ) 符号必发生改变，设(a , b ) 内，f (x ) 无零点，则f '(a ) f '(b ) 0，设g (x ) =f (x ) +f '(x ), g (a ) g (b ) 0, 根据零点定理，至少有一点ξ，g (ξ) =f (ξ) +f '(ξ) =03）设(a , b ) 内，f (x ) 有零点，证明同2).
6.
设a 0x +a 1x
n
n -1
+ a n -1x =f (x ), f (0)=f (x 0) =0,
根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈（0，x 0）, 使得
n -1n -2
f '(ξ) =0, 即a 0nx +a 1(n -1) x + a n -1=f '(x )
有一个小于x 0的正根。
4.2 1 1) 2 2)
12
12
1a
32
3)
-2
4) 1
5) 0 6) 0 7) 0 8)
9) e 10) e
π
11)
1
12) ∞ 13)
2e
14) 0
2. m =3, n =-4 3.
lim
(x +sin x ) '
x 'x +sin x
x
x →∞
=lim
1+cos x
1sin x x
极限不存在。
x →∞
不能应用洛比达法。lim
=lim 1+
x →∞
=1
x →∞
4. f ''(x -h )
5.
P108 习题4.3 1.
13-x
=-2+2
-2
(x -1) +2
-3
(x -1) + +2
n -1
2-n
(x -1) +2
n -n -1
(ξ-1)
n +1
2. f (x ) =x +(-1) x + +
1
12
2
(-1)
(n -1)!
x +ο(x )
n n
3. （1）
6
P115 习题4.4
（2）
1. 略
2. （1）单调增区间(-1, 0) ⋃(1, +∞) ；单调减区间(-∞, -1) ⋃(0, 1) ，极值为：
f (0) =0, f (1) =f (-1) =-2
1
1
1
2
（2）单调增区间(0, 23) ；单调减区间(-∞, -1) ⋃(-1, 0) ⋃(23, +∞) ，极值为：f (23) =23 （3）单调增区间(-∞, -1) ⋃(0, +∞) ；单调减区间(-1, 0) ，极值为：
π
f (-1) =-2e 4, f (0) =-e
2
（4）略
（5）单调增区间(-∞,
f (1) =f (2) =0, f (
14
149
) ⋃(2, +∞) ；单调减区间(
149
, 2) ，极值为：
5544
) =() () 999
3. 极大值f (-1) =17，极小值f (-3) =-47。 4. p =3. 5
5. 上午7时到8时污染加重，上午8时到下午14时污染好转，14时之后污染又加重。
6. 递增区间(0, 4) ，递减区间(4, 5) ，社保基金在2005年之后的四十年是增加的，在第四十年到五十年是减少的。
7. 空气污染加重上午7时到11：30，11：30到下午17时污染好转。
8. 证明：设缺口函数为f (t ) =N (t ) -C (t ), f (0) =436. 2-365=71. 2，2005年缺口为71.2万人。
f '(t ) =7t +26. 7-24. 3=7t +2. 4
(t >0)
f '(t ) >09. （1）
(sin x x ) '=
x cos x -sin x
x
2
缺口函数为单调增函数。
=
cos x (x -tan x )
x
2
; cos x >0,
x -tan x
sin x x
) '
（2）
(ln(1+x ) -x +
x
2
2
) '=
11+x
-1+x =(x >0)
x
2
1+x
>0
同理(ln(1+x ) -x ) '
10. a =-2, f (P120 习题4.5
π
3
) =3是极大值。
1. x =88, p (88) =27440 2. x =731, 最大利润为1795 3. 舍。 4. x =3333
习题4.6 略
P 140
一 1.B 2. A 3.C 4.C 5.C 二 1. > 2. (1,2) 3. -29 4. 2 三 1.(1) -2 (2)∞ 2. 略
3.
(1) x >0, x =
1e
, 取极小值。
(2) x ≤0无极值。
4. 边长为x =五：证明：
a 6
, 最大容积为
227
a
3
设f (x ) =arctan x -ln(1+x ), f (1) =
2
π
4
-ln 2
（1）
f '(x ) =
1-2x 1+x
2
, x >
12
, f '(x )
（2）两边取对数
(1+
1x
) ln(1+x )
x 2
, 设f (x ) =1+
2
x 2
-(1+
1x
) ln(1+x )
f '(x ) =
2ln(1+x ) -2x +x
2x
2
2
设g (x ) =2ln(1+x ) -2x +x , g (0) =0
g '(x ) =
x 1+x
>0, 所以g (x ) >0, 可知f '(x ) >0
2
f (0) =0, 故f (x ) >0, 原题得证。
（3）
f (x ) =1+x ln(x +f '(x ) =ln(x +
+x ) -
2
2
+x , f (0) =0
2
+x ) >0, 原题得证。