程是x =-b
⎛b 4ac -b 2⎫
2a ，顶点坐标是 ⎪⎝-2a
4a ⎪ 二⎭
次函数的解析式的三种形式:
(1)一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ;
(3)零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 5. 解连续不等式N
N
零点存在性定理:
函数在区间[a , b ]上的图像是连续的，且f (a ) f (b )
个零点. 即存在c ∈(a , b ) ，使得f (c ) =0，这个c 也就是方程f (x ) =0的根.
7. 闭区间上的二次函数的最值
二次函数f (x ) =ax 2
+bx +c (a ≠0) 在闭区间
[p , q ]上的最值只能在x =-
b
2a
处及区间的两端点处取得.
8.
逻辑连接词有“或”
、“且”和“非”： 9.
题 互 否 非ｐ
11. 充要条件：
（1）充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
12. 函数的单调性
(1)设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔f (x 1) -f (x 2)
x x >0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；
1-2(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]
x x
1-2
(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果
f '(x ) >0，
则f (x ) 为增函数；如果f '(x )
13. 如果函数f (x ) 和g (x ) 都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数f (x ) +g (x ) 也是减函数; 如果函数
y =f (u ) 和u =g (x ) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数y =f [g (x )]是增函数. 复合函数的单调性
口诀:同增异减.
14．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
15. 若函数y =f (x ) 是偶函数，则
f (x +a ) =f (-x -a ) ；若函数y =f (x +a ) 是偶函数，则f (x +a ) =f (-x +a ) .
16.
对于函数
y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函
数f (x ) 的对称轴是函数x =a +b
2
; 两个函数
y =f (x +a ) 与y =f (b -x ) 的图象关于直线
x =a +b 2
对称.
17. 函数y =f (x ) 的图象的对称性: ①函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (2a -x ) =f (x ) . ②函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称.
18．多项式函数P (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 0的奇偶性
多项式函数P (x ) 是奇函数⇔P (x ) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零.
多项式函数P (x ) 是偶函数⇔P (x ) 的奇次项(即偶数项) 的系数全为零.
19. 函数y =f (x ) 的图象的对称性
函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称
⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (2a -x ) =f (x ) .
20. 若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x -a ) +b 的图象；若将曲线f (x , y ) =0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线f (x -a , y -b ) =0的图象.
21. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f (x ) =f (x +a ) ，则f (x ) 的周期T=a； （2）f (x ) =f (x +a ) =0， 或f (x +a ) =
1
f (x )
(f (x ) ≠0) ， 或f (x +a ) =-
1
f (x )
(f (x ) ≠0) , 则f (x ) 的周期T=2a；
22. 分数指数幂 ：
m (1)a n
=
a >0, m , n ∈N *，且n >1）. (2)a
-
m n
=
1
m （a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a
n
23．根式的性质： （1
）n =a .
（2）当n
=a ； 当n
=|a |=⎨
⎧a , a ≥0
-a , a
.
⎩24．有理指数幂的运算性质： (1) a r
⋅a s
=a
r +s
(a >0, r , s ∈Q ) .
(2) (a r ) s =a rs
(a >0, r , s ∈Q ) .
(3)(ab ) r =a r b r
(a >0, b >0, r ∈Q ) .
注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
25. 指数式与对数式的互化式：
log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
26. 对数的换底公式
log log m N
a N =
log a
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且
m m ≠1, N >0).
推论 log n
n
a m b =
m
log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0).
35．对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN ) =log a M +log a N ;
(2) log M
a
N =log a M -log a N ; (3)log n
a M =n log a M (n ∈R ) .
27. 设函数f (x ) =log 2m (ax +bx +c )(a ≠0) , 记
∆=b 2-4ac . 若f (x ) 的定义域为R , 则a >0，且∆0，且∆≥0. 对于a =0的情形, 需要单独检验.
28. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有y =N (1+p ) x
.
29. 数列的同项公式与前n 项的和的关系
30. 等差数列的通项公式
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；
其前n 项和公式为
s n (a 1+a n )
n (n -1)
n =
2
=na 1+
2
d =d 2n 2+(a 1
1-2
d ) n . 31. 等比数列的通项公式
a n -1n =a 1q =
a 1⋅q n
(n ∈N *q
) ； 其前n 项的和公式为
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
s ⎪-q , q ≠1或s ⎪
, q ≠1n =⎨1n =⎨1-q .
⎪⎩na 1, q =1⎪⎩na 1
, q =132. 若m 、n 、p 、q ∈N ，且m +n =p +q ，那么：当数列{a n }是等差数列时，有a m +a n =a p +a q ；当数列
{a n }是等比数列时，有a m ⋅a n =a p ⋅a q 。
33. 弧长公式：l =α⋅r （α是圆心角的弧度数，α>0）
； 扇形面积公式：
S =
1
2
l ⋅r ； 34．三角函数的定义:以角α的顶点为坐标原点，始边
为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点P (x , y ) ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=
y r ，cos α=x y
r ，tan α=x
，符号法则:全STC.
35. 同角三角函数的基本关系式 :
平方关系：sin 2
θ+cos 2
θ=1，”1”的代换. 商数关
系:tan θ=sin θ
cos θ
，弦化切互化.
36. 正弦、余弦的诱导公式: 概括为：奇变偶不变，符号看象限。
n
sin(n π⎧
+⎪(-1) 2sin α, 2α) =⎨⎪n -1
(-1) ⎩
2co s α,
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan(α±β) =
tan α±tan β
1 tan αtan β
. sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正
弦公式);
cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β.
注意：二化一(辅助角) 公式
a sin α+b cos α=α+ϕ) (辅助角ϕ所在
象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ=b
a
).
3８. 二倍角公式 ：
sin 2α=sin αcos α.
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
.
tan 2α=
2tan α
1-tan 2
α
. 注意:半角公式是：sin
α2=±1-cos α
2
cos
α+cos α2=±2
tan
α1-cos α12=±1+cos α
=-cos αsin α=
sin α
1+cos α
。
升
幂
公
式
是
：
1+cos α=2cos 2
α
2
1-c o s α=2s i n
2
α
2
。
降幂公式是：sin 2
α=
1-cos 2α
2
c o s 2α=
1+c o s 2α
2
。 38. 三角函数的单调区间：
y =s i n
x 的
递
增
区
间
是
⎡
⎢⎣
2k π-π2，2k π+π⎤2⎥⎦(k ∈Z ) ，递减区间是⎡
⎢π3π⎤⎣
2k π+2，2k π+2⎥⎦(k ∈Z ) ；y =cos x 的递增区间是[2k π-π，2k π](k ∈Z ) ，递减区间是
[2k π，2k π+π](k ∈Z ) ，y =tgx 的递增区间是
⎛
⎝
k π-ππ⎫2，k π+2⎪⎭(k ∈Z )
39. 三角函数的周期公式 :
函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R
及函数
y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，
ω＞0) 的周期T =
2π
ω
；函数y =tan(ωx +ϕ) ，
x ≠k π+
π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω
＞0) 的周期T =π
ω
.
函
数
y =A s i n ω(x +ϕ) +B （其中A >0，ω>0）的最
大值是A +B ，最小值是B -A ，周期是T =
2π
ω
，
频率是f =
ω
2π
，相位是ωx +ϕ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线ωx +ϕ=k π+
π
2
(k ∈Z ) ，
凡是该图象与直线y =B 的交点都是该图象的对
称中心。 40. 正弦定理: a sin A =b sin B =c
sin C
=2R . 41. 余弦定理:
a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;
第一形式，b 2=c 2+a 2
-2ca cos B ; 第二形式，a 2+c 2-b 2
cosB=2ac
c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
42. 面积定理： （1）S =
12ah 11
a =2bh b =2
ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）.
（2）S =12ab sin C =11
2bc sin A =2
ca sin B . ③S =2R 2
sin A sin B sin C ；④S =abc 4R
；
⑤S =
p (p -a )(p -b )(p -c ) ；⑥S =pr
43.三角形内角和定理 : 在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )
⇔
C πA +2=2-B
2
⇔2C =2π-2(A +B ) . △ABC 中：
sin(A+B) =sinC , cos(A+B) =-cosC , tg(A+B
sin
A +B 2=cos C
2， c o A +B C 2=s i 2
，
44. 平
面
+=+, 向+)
量运
+=+算+)
性质：
, +=+=：
→
→
坐标运算：设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)，则
→
a ±b →
=(x 1±x 2, y 1±y 2)
设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
→
则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1).
45. 实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
→
坐标表示：设
a =(x , y )，则λ
→
a =λ(x , y )=(λx , λy )，
46. 平面向量的数量积: 定义
：→a ⋅→
b =a →⋅b →
cos θ⎛→→→→ 0⎫
⎝a ≠0, b ≠0, 0≤θ≤1800⎪
⎭，
0→⋅a →
=0.
运算律:(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b）·c= a ·c +b·c.
→→
→2→
→→(4)a ⋅a =a , a ⊥b ⇔a ⋅b →
=0
→
→
坐标运算:设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) , 则
→a ⋅→
b =x 1x 2+y 1y 2
（５） a ·b 的几何意义:
数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 47. 平面向量基本定理：
如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．
其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
→
→
→
48．两个向量平行的充要条件 a //b ⇔a =λb →
(λ∈R )
→
坐标表示: a =(x 1, y →
1), b =(x 2, y 2)，则
→
a //b →
⇔ x 1y 2-x 2y 1=0
P 、A 、B 三
点
⇔ 共
线
AP || AB ⇔
AP =t AB
⇔
OP =(1-t ) OA +tOB .
→49. 两个非零向量垂直的充要条件a ⊥b →⇔a →⋅b →
=0
→
→
坐标表示:
a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)，则
→
a ⊥→
b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
50. 两向量的夹角公式: a =(x 1, y 1) ,b=(x 2, y
2) 则
cos θ=
.
51. 平面两点间的距离公式: A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 则
AB =
52. 线段的定比分公式 ：
设P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段PP 12的→
分点, 且P 1P =λPP →
2, λ是实数，则
⎧
则⎪x 1+λx 2⎪x =⎨1+λλy 。 中点坐标公式⎪⎪⎩y =y 1+21+λ⎧⎪x 1+x 2⎪x =⎨
2
⎪⎪y =y 1+y 2⎩
253. 三角形的重心坐标公式 ：
△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、
B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐标是G (x 1+x 2+x 3y +y +231y 33
) .
54. 常用不等式：
（1）a , b ∈R ⇒a 2
+b 2
≥2ab (当且仅当a ＝b 时
取“=”号) ．
（2）两个正数的平均值不等式是：
a , b ∈
R +⇒
a +b
2
≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．
（3）双向绝对值不等式：
a -b ≤a ±b ≤a +b
左边：ab ≤0(≥0) 时取得等号。右边：
ab ≥0(≤0) 时取得等号。
55. 平均值定理用来求最值：
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ；
（2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值
14
s 2
. 推
广
：
已
知
x , y ∈R
，则有
(x +y ) 2=(x -y ) 2+2xy
（1）若积xy 是定值, 则当|x -y |最大时, |x +y |
最大；
当|x -y |最小时, |x +y |最小.
（2）若和|x +y |是定值, 则当|x -y |最大时,
|xy |最小；
当|x -y |最小时, |xy |最大.
56.
一
元
二
次
不
等
式
ax 2+bx +c >0(或0) ，如
程是x =-b
⎛b 4ac -b 2⎫
2a ，顶点坐标是 ⎪⎝-2a
4a ⎪ 二⎭
次函数的解析式的三种形式:
(1)一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ;
(3)零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 5. 解连续不等式N
N
零点存在性定理:
函数在区间[a , b ]上的图像是连续的，且f (a ) f (b )
个零点. 即存在c ∈(a , b ) ，使得f (c ) =0，这个c 也就是方程f (x ) =0的根.
7. 闭区间上的二次函数的最值
二次函数f (x ) =ax 2
+bx +c (a ≠0) 在闭区间
[p , q ]上的最值只能在x =-
b
2a
处及区间的两端点处取得.
8.
逻辑连接词有“或”
、“且”和“非”： 9.
题 互 否 非ｐ
11. 充要条件：
（1）充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
12. 函数的单调性
(1)设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔f (x 1) -f (x 2)
x x >0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；
1-2(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]
x x
1-2
(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果
f '(x ) >0，
则f (x ) 为增函数；如果f '(x )
13. 如果函数f (x ) 和g (x ) 都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数f (x ) +g (x ) 也是减函数; 如果函数
y =f (u ) 和u =g (x ) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数y =f [g (x )]是增函数. 复合函数的单调性
口诀:同增异减.
14．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
15. 若函数y =f (x ) 是偶函数，则
f (x +a ) =f (-x -a ) ；若函数y =f (x +a ) 是偶函数，则f (x +a ) =f (-x +a ) .
16.
对于函数
y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函
数f (x ) 的对称轴是函数x =a +b
2
; 两个函数
y =f (x +a ) 与y =f (b -x ) 的图象关于直线
x =a +b 2
对称.
17. 函数y =f (x ) 的图象的对称性: ①函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (2a -x ) =f (x ) . ②函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称.
18．多项式函数P (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 0的奇偶性
多项式函数P (x ) 是奇函数⇔P (x ) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零.
多项式函数P (x ) 是偶函数⇔P (x ) 的奇次项(即偶数项) 的系数全为零.
19. 函数y =f (x ) 的图象的对称性
函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称
⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (2a -x ) =f (x ) .
20. 若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x -a ) +b 的图象；若将曲线f (x , y ) =0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线f (x -a , y -b ) =0的图象.
21. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f (x ) =f (x +a ) ，则f (x ) 的周期T=a； （2）f (x ) =f (x +a ) =0， 或f (x +a ) =
1
f (x )
(f (x ) ≠0) ， 或f (x +a ) =-
1
f (x )
(f (x ) ≠0) , 则f (x ) 的周期T=2a；
22. 分数指数幂 ：
m (1)a n
=
a >0, m , n ∈N *，且n >1）. (2)a
-
m n
=
1
m （a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a
n
23．根式的性质： （1
）n =a .
（2）当n
=a ； 当n
=|a |=⎨
⎧a , a ≥0
-a , a
.
⎩24．有理指数幂的运算性质： (1) a r
⋅a s
=a
r +s
(a >0, r , s ∈Q ) .
(2) (a r ) s =a rs
(a >0, r , s ∈Q ) .
(3)(ab ) r =a r b r
(a >0, b >0, r ∈Q ) .
注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
25. 指数式与对数式的互化式：
log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
26. 对数的换底公式
log log m N
a N =
log a
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且
m m ≠1, N >0).
推论 log n
n
a m b =
m
log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0).
35．对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN ) =log a M +log a N ;
(2) log M
a
N =log a M -log a N ; (3)log n
a M =n log a M (n ∈R ) .
27. 设函数f (x ) =log 2m (ax +bx +c )(a ≠0) , 记
∆=b 2-4ac . 若f (x ) 的定义域为R , 则a >0，且∆0，且∆≥0. 对于a =0的情形, 需要单独检验.
28. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有y =N (1+p ) x
.
29. 数列的同项公式与前n 项的和的关系
30. 等差数列的通项公式
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；
其前n 项和公式为
s n (a 1+a n )
n (n -1)
n =
2
=na 1+
2
d =d 2n 2+(a 1
1-2
d ) n . 31. 等比数列的通项公式
a n -1n =a 1q =
a 1⋅q n
(n ∈N *q
) ； 其前n 项的和公式为
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
s ⎪-q , q ≠1或s ⎪
, q ≠1n =⎨1n =⎨1-q .
⎪⎩na 1, q =1⎪⎩na 1
, q =132. 若m 、n 、p 、q ∈N ，且m +n =p +q ，那么：当数列{a n }是等差数列时，有a m +a n =a p +a q ；当数列
{a n }是等比数列时，有a m ⋅a n =a p ⋅a q 。
33. 弧长公式：l =α⋅r （α是圆心角的弧度数，α>0）
； 扇形面积公式：
S =
1
2
l ⋅r ； 34．三角函数的定义:以角α的顶点为坐标原点，始边
为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点P (x , y ) ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=
y r ，cos α=x y
r ，tan α=x
，符号法则:全STC.
35. 同角三角函数的基本关系式 :
平方关系：sin 2
θ+cos 2
θ=1，”1”的代换. 商数关
系:tan θ=sin θ
cos θ
，弦化切互化.
36. 正弦、余弦的诱导公式: 概括为：奇变偶不变，符号看象限。
n
sin(n π⎧
+⎪(-1) 2sin α, 2α) =⎨⎪n -1
(-1) ⎩
2co s α,
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan(α±β) =
tan α±tan β
1 tan αtan β
. sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正
弦公式);
cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β.
注意：二化一(辅助角) 公式
a sin α+b cos α=α+ϕ) (辅助角ϕ所在
象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ=b
a
).
3８. 二倍角公式 ：
sin 2α=sin αcos α.
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
.
tan 2α=
2tan α
1-tan 2
α
. 注意:半角公式是：sin
α2=±1-cos α
2
cos
α+cos α2=±2
tan
α1-cos α12=±1+cos α
=-cos αsin α=
sin α
1+cos α
。
升
幂
公
式
是
：
1+cos α=2cos 2
α
2
1-c o s α=2s i n
2
α
2
。
降幂公式是：sin 2
α=
1-cos 2α
2
c o s 2α=
1+c o s 2α
2
。 38. 三角函数的单调区间：
y =s i n
x 的
递
增
区
间
是
⎡
⎢⎣
2k π-π2，2k π+π⎤2⎥⎦(k ∈Z ) ，递减区间是⎡
⎢π3π⎤⎣
2k π+2，2k π+2⎥⎦(k ∈Z ) ；y =cos x 的递增区间是[2k π-π，2k π](k ∈Z ) ，递减区间是
[2k π，2k π+π](k ∈Z ) ，y =tgx 的递增区间是
⎛
⎝
k π-ππ⎫2，k π+2⎪⎭(k ∈Z )
39. 三角函数的周期公式 :
函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R
及函数
y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，
ω＞0) 的周期T =
2π
ω
；函数y =tan(ωx +ϕ) ，
x ≠k π+
π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω
＞0) 的周期T =π
ω
.
函
数
y =A s i n ω(x +ϕ) +B （其中A >0，ω>0）的最
大值是A +B ，最小值是B -A ，周期是T =
2π
ω
，
频率是f =
ω
2π
，相位是ωx +ϕ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线ωx +ϕ=k π+
π
2
(k ∈Z ) ，
凡是该图象与直线y =B 的交点都是该图象的对
称中心。 40. 正弦定理: a sin A =b sin B =c
sin C
=2R . 41. 余弦定理:
a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;
第一形式，b 2=c 2+a 2
-2ca cos B ; 第二形式，a 2+c 2-b 2
cosB=2ac
c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
42. 面积定理： （1）S =
12ah 11
a =2bh b =2
ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）.
（2）S =12ab sin C =11
2bc sin A =2
ca sin B . ③S =2R 2
sin A sin B sin C ；④S =abc 4R
；
⑤S =
p (p -a )(p -b )(p -c ) ；⑥S =pr
43.三角形内角和定理 : 在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )
⇔
C πA +2=2-B
2
⇔2C =2π-2(A +B ) . △ABC 中：
sin(A+B) =sinC , cos(A+B) =-cosC , tg(A+B
sin
A +B 2=cos C
2， c o A +B C 2=s i 2
，
44. 平
面
+=+, 向+)
量运
+=+算+)
性质：
, +=+=：
→
→
坐标运算：设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)，则
→
a ±b →
=(x 1±x 2, y 1±y 2)
设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
→
则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1).
45. 实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
→
坐标表示：设
a =(x , y )，则λ
→
a =λ(x , y )=(λx , λy )，
46. 平面向量的数量积: 定义
：→a ⋅→
b =a →⋅b →
cos θ⎛→→→→ 0⎫
⎝a ≠0, b ≠0, 0≤θ≤1800⎪
⎭，
0→⋅a →
=0.
运算律:(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b）·c= a ·c +b·c.
→→
→2→
→→(4)a ⋅a =a , a ⊥b ⇔a ⋅b →
=0
→
→
坐标运算:设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) , 则
→a ⋅→
b =x 1x 2+y 1y 2
（５） a ·b 的几何意义:
数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 47. 平面向量基本定理：
如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．
其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
→
→
→
48．两个向量平行的充要条件 a //b ⇔a =λb →
(λ∈R )
→
坐标表示: a =(x 1, y →
1), b =(x 2, y 2)，则
→
a //b →
⇔ x 1y 2-x 2y 1=0
P 、A 、B 三
点
⇔ 共
线
AP || AB ⇔
AP =t AB
⇔
OP =(1-t ) OA +tOB .
→49. 两个非零向量垂直的充要条件a ⊥b →⇔a →⋅b →
=0
→
→
坐标表示:
a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)，则
→
a ⊥→
b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
50. 两向量的夹角公式: a =(x 1, y 1) ,b=(x 2, y
2) 则
cos θ=
.
51. 平面两点间的距离公式: A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 则
AB =
52. 线段的定比分公式 ：
设P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段PP 12的→
分点, 且P 1P =λPP →
2, λ是实数，则
⎧
则⎪x 1+λx 2⎪x =⎨1+λλy 。 中点坐标公式⎪⎪⎩y =y 1+21+λ⎧⎪x 1+x 2⎪x =⎨
2
⎪⎪y =y 1+y 2⎩
253. 三角形的重心坐标公式 ：
△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、
B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐标是G (x 1+x 2+x 3y +y +231y 33
) .
54. 常用不等式：
（1）a , b ∈R ⇒a 2
+b 2
≥2ab (当且仅当a ＝b 时
取“=”号) ．
（2）两个正数的平均值不等式是：
a , b ∈
R +⇒
a +b
2
≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．
（3）双向绝对值不等式：
a -b ≤a ±b ≤a +b
左边：ab ≤0(≥0) 时取得等号。右边：
ab ≥0(≤0) 时取得等号。
55. 平均值定理用来求最值：
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ；
（2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值
14
s 2
. 推
广
：
已
知
x , y ∈R
，则有
(x +y ) 2=(x -y ) 2+2xy
（1）若积xy 是定值, 则当|x -y |最大时, |x +y |
最大；
当|x -y |最小时, |x +y |最小.
（2）若和|x +y |是定值, 则当|x -y |最大时,
|xy |最小；
当|x -y |最小时, |xy |最大.
56.
一
元
二
次
不
等
式
ax 2+bx +c >0(或0) ，如