2.1 两条直线的位置关系
教学分析
教学目标：
1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。
2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。
3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。
教学重难点
重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备 实物图片、ppt课件。
我的思考
本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。
本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫.
从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大.
教学设计
教学过程
一、创设情境，引入新课
教师活动：
向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。
【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】
二、建立模型，探索新知
互动探究一、平行线、相交线的概念：
师生活动：
1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义)
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系） 同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种。
3、若两直线不相交，则这两条直线在同一平面内是什么位置关系？
板书：（留空）不相交的两条直线叫做平行线。
4、出示立方体框架，谁能指出立方体框架中哪些棱既不
平行也不相交呢？为什么？
5、在留空之处用彩色粉笔填上“在同一平面内。”
6、那么理解平行线时，必须注意什么？
重点给学生强调平行线的三层意思：
（1）“在同一平面”是前提条件； 图1
（2）“不相交”是指两条直线没有交点；
（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段（有时我们也说两条射线或两条线段平行，这实际上市指它们所在的直线平行）。
【设计意图：让学生用两支笔动手操作，不但培养了学生的动手能力，还能让学生更深层次的体会到平行线的含义，进一步明确同一平面内两条直线的位置关系。】
互动探究二、对顶角的概念和性质：
教师活动：进入七年级学习以来，大家都有这样的感受：“生活中处处有----数学。”现在请各位同学看一组生活中的图片，你们觉得这些图片有什么共同点吗？（多媒体展示X型晾衣架、栅栏、剪刀、小孔成像原理等图片）（教师板书，给出对顶角定义）
两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角。
教师应关注：（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现。
（2）对顶角是指两个角的位置关系。
学生活动：在纸上任意画两条相交直线，分别度量所成的四个角的大小，你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系？
学生动手操作，自己得出结论，教师板书对顶角的性质：
对顶角相等。
牛刀小试：1、如图2，图中共有________对对顶角.
答案：4.
互动探究三、余角、补角的概念和性质：
图2 学生活动：（教师演示ppt）
计算：
（1）44°+ 46°= ； （2）30°20′34″+ 59°39′26″= ；
（3）10°+ 25°+ 55°= ； （4）96°+ 84°= ；
（5）58°45′+ 121°15′= ； （6）50°+ 75°+ 55°= 。 答案：都填90°。
学生计算并回答,总结它们的特点.教师判断对错.
教师应关注：
（1）计算的准确性
（2）学生是否认真观察并思考
【设计意图：通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使渴望尽快的寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫。】
师生活动：
A:出示一组互余角 B:出示一组互补角
教师演示ppt互为余角.
学生通过观察，回答教师提出的问题.师生总结互为余角的概念.然后，类比互为余角学习互为补角的概念
.
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
教师应关注：
（1）学生的语言表达.
（2）学生是否能独立思考并积极参与到数学的问题中.
（3）学生是否真正理解了这两个概念.
【设计意图：教师演示，让学生通过观察，从直观的角度去感受互为余角、补角的概念.并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力. 】
牛刀小试：2、填表：
从中，你发现一个锐角的补角比它的余角大______.
答案：表格第一行：58°，148°；第二行：27°37′，117°37′；
第三行：90°- x，180°- x； 空格：90°。
3、判断。
（1）一个角有余角也一定有补角.（ ）（2）一个角有补角也一定有余角. ( )
（3)一个角的补角一定大于这个角.（ ）
答案：（1）√；（2）×；（3）×。
学生计算并回答，对照答案，教师根据回答给以评价.
教师应关注：
（1）计算的准确性.
（2）是否会用含有未知数的式子表示余角和补角，是否准确理解概念.
【设计意图：通过利用余角和补角的概念来进行计算，一方面检查是否理解概念；另一方面培养计算能力.】
学生活动：
1
、如图3，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，
那么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规
律吗？
图3
2、如图4，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，
那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
学生分组进行讨论，交流并让代表发言. 图4
教师让学生猜想、简单说理、得出结论.根据回答进行引导，
并给以积极的评价.并让学生反思这个过程. 教师提出问题，学生类比余角的性质独立解决该问题.
教师应关注：
（1）学生语言是否准确、规范.
（2）几何语言的表达是否准确、规范.
（3）思维是否清晰.
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
【设计意图：学生有了探究余角的经验，会主动迁移到补角上来，类比余角的性质进行自主探究，从而达到“由扶到放”的目的.从而培养学生独立思考的习惯，以及迁移知识的能力.】 例1、已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.
分析：可以利用方程思想解决这道题。
解：设这个角为x°，则180 – x = 4（90 - x），
∴x = 60.
答：这个角是60°。
【设计意图：本例题不但考查学生对概念的理解，同时也渗透方程的思想.学生感觉到几何问题用方程解决更简单.】
牛刀小试：
4、如图5，E、F是直线DG上两点，∠1 = ∠2,∠3 = ∠4 = 90 °，找出图中相等的角并说明理由.
答案：∠5 = ∠6,理由是：等角的余角相等。
本题相对复杂，为了更好让学生得到发展，先让学生独
立思考，然后在进行交流.教师给以评价.
【设计意图：本题是利用余角的性质解决，学生经历“独立
思考——交流——结论”这样一个过程，既培养独立的意识，
又有合作.既充分发表个人的见解，让他们体验成功，又锻
炼了口语表达.】 图5
:5、如图6，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，
∠DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？
答案：互余：∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠4与∠3；
互补：∠1与∠EOB，∠3与∠EOB，∠4与∠AOD，
∠2与∠AOD，∠AOC与∠BOC，
∠AOC与∠DOE，∠BOC与∠DOE。
相等：∠AOC=∠BOC=∠DOE，∠1=∠3，∠2=∠4。 图6 教师应关注：
（1）学生对余角和补角概念的理解，是否会用含有未知数的代数式表示一个角的余角和补角.
（2）学生是否真正理解余角的性质，并能在具体的问题中进行应用.学生的几何语言是否规范、标准.
【设计意图：本题是利用余角和补角的性质、角的平分线和直角定义来解决，学生充分运用所学知识来尝试解决，先独立思考，然后一起讨论，培养学生独立思考的习惯、合作交流的意识，又从多个角度了解、认识这个问题，从而真正做到理解.】
三、归纳小结，认知升华：
学生思考，谈自己的收获和体会.教师给以补充.总结一下内容：
1、同一平面内两条直线的位置关系：平行、相交。
2、概念：（1）对顶角；（2）余角；（3）补角.
3、性质：（1）对顶角性质；（2）余角性质；（3）补角性质。
四、巩固新知，学以致用：
教材第42页习题2.1。
五、布置作业，分层训练：
必做作业：教科书第37页1，2，3
选做作业：
1、在下列4个判断中:
①在同一平面内,不相交的两条线段一定平行；②不相交的两条直线一定平行；③在同一平面内,不平行的两条射线一定相交；④在同一平面内,不平行的两条直线一定相交.其中正确的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2、如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
2
3、如果∠A＝35°18′，那么∠A的余角等于 ；∠A的补角等于 。
4、如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 。
5、已知与互补，且与是对顶角，则=_________。
6、已知24,且与互余，与互余，则的余角和补角的度数分别为_____________________.
7、一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度，求这个角的度数。
答案：1、D； 2、D； 3、54°42′，144°42′； 4、60°； 5、90°； 6、24°，114°； 7、50°；
课后评析
教学反思
本课教学是非常成功的一节课，学生的积极性、主动性完全崩发，整个课堂完全就是和谐统一的有机整体.
细细思想从中得出：对于新旧知识具有类似的内容可以用类比的方法，这样省时高效；对于几何的命题的验证，可通过多种方法证明，如本节的“等角的余角相等”，可以通过测量、叠合法、逻辑证明，这样可以让不同的学生得到清晰而深刻的理解；更重要的是通过本课学习知道说明一个几何命题的过程是怎样的，须经历“猜想—推理—结论”这样一个过程，为以后的学习做了铺垫.
2.1 两条直线的位置关系
教学分析
教学目标：
1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。
2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。
3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。
教学重难点
重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备 实物图片、ppt课件。
我的思考
本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。
本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫.
从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大.
教学设计
教学过程
一、创设情境，引入新课
教师活动：
向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。
【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】
二、建立模型，探索新知
互动探究一、平行线、相交线的概念：
师生活动：
1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义)
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系） 同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种。
3、若两直线不相交，则这两条直线在同一平面内是什么位置关系？
板书：（留空）不相交的两条直线叫做平行线。
4、出示立方体框架，谁能指出立方体框架中哪些棱既不
平行也不相交呢？为什么？
5、在留空之处用彩色粉笔填上“在同一平面内。”
6、那么理解平行线时，必须注意什么？
重点给学生强调平行线的三层意思：
（1）“在同一平面”是前提条件； 图1
（2）“不相交”是指两条直线没有交点；
（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段（有时我们也说两条射线或两条线段平行，这实际上市指它们所在的直线平行）。
【设计意图：让学生用两支笔动手操作，不但培养了学生的动手能力，还能让学生更深层次的体会到平行线的含义，进一步明确同一平面内两条直线的位置关系。】
互动探究二、对顶角的概念和性质：
教师活动：进入七年级学习以来，大家都有这样的感受：“生活中处处有----数学。”现在请各位同学看一组生活中的图片，你们觉得这些图片有什么共同点吗？（多媒体展示X型晾衣架、栅栏、剪刀、小孔成像原理等图片）（教师板书，给出对顶角定义）
两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角。
教师应关注：（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现。
（2）对顶角是指两个角的位置关系。
学生活动：在纸上任意画两条相交直线，分别度量所成的四个角的大小，你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系？
学生动手操作，自己得出结论，教师板书对顶角的性质：
对顶角相等。
牛刀小试：1、如图2，图中共有________对对顶角.
答案：4.
互动探究三、余角、补角的概念和性质：
图2 学生活动：（教师演示ppt）
计算：
（1）44°+ 46°= ； （2）30°20′34″+ 59°39′26″= ；
（3）10°+ 25°+ 55°= ； （4）96°+ 84°= ；
（5）58°45′+ 121°15′= ； （6）50°+ 75°+ 55°= 。 答案：都填90°。
学生计算并回答,总结它们的特点.教师判断对错.
教师应关注：
（1）计算的准确性
（2）学生是否认真观察并思考
【设计意图：通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使渴望尽快的寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫。】
师生活动：
A:出示一组互余角 B:出示一组互补角
教师演示ppt互为余角.
学生通过观察，回答教师提出的问题.师生总结互为余角的概念.然后，类比互为余角学习互为补角的概念
.
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
教师应关注：
（1）学生的语言表达.
（2）学生是否能独立思考并积极参与到数学的问题中.
（3）学生是否真正理解了这两个概念.
【设计意图：教师演示，让学生通过观察，从直观的角度去感受互为余角、补角的概念.并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力. 】
牛刀小试：2、填表：
从中，你发现一个锐角的补角比它的余角大______.
答案：表格第一行：58°，148°；第二行：27°37′，117°37′；
第三行：90°- x，180°- x； 空格：90°。
3、判断。
（1）一个角有余角也一定有补角.（ ）（2）一个角有补角也一定有余角. ( )
（3)一个角的补角一定大于这个角.（ ）
答案：（1）√；（2）×；（3）×。
学生计算并回答，对照答案，教师根据回答给以评价.
教师应关注：
（1）计算的准确性.
（2）是否会用含有未知数的式子表示余角和补角，是否准确理解概念.
【设计意图：通过利用余角和补角的概念来进行计算，一方面检查是否理解概念；另一方面培养计算能力.】
学生活动：
1
、如图3，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，
那么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规
律吗？
图3
2、如图4，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，
那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
学生分组进行讨论，交流并让代表发言. 图4
教师让学生猜想、简单说理、得出结论.根据回答进行引导，
并给以积极的评价.并让学生反思这个过程. 教师提出问题，学生类比余角的性质独立解决该问题.
教师应关注：
（1）学生语言是否准确、规范.
（2）几何语言的表达是否准确、规范.
（3）思维是否清晰.
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
【设计意图：学生有了探究余角的经验，会主动迁移到补角上来，类比余角的性质进行自主探究，从而达到“由扶到放”的目的.从而培养学生独立思考的习惯，以及迁移知识的能力.】 例1、已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.
分析：可以利用方程思想解决这道题。
解：设这个角为x°，则180 – x = 4（90 - x），
∴x = 60.
答：这个角是60°。
【设计意图：本例题不但考查学生对概念的理解，同时也渗透方程的思想.学生感觉到几何问题用方程解决更简单.】
牛刀小试：
4、如图5，E、F是直线DG上两点，∠1 = ∠2,∠3 = ∠4 = 90 °，找出图中相等的角并说明理由.
答案：∠5 = ∠6,理由是：等角的余角相等。
本题相对复杂，为了更好让学生得到发展，先让学生独
立思考，然后在进行交流.教师给以评价.
【设计意图：本题是利用余角的性质解决，学生经历“独立
思考——交流——结论”这样一个过程，既培养独立的意识，
又有合作.既充分发表个人的见解，让他们体验成功，又锻
炼了口语表达.】 图5
:5、如图6，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，
∠DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？
答案：互余：∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠4与∠3；
互补：∠1与∠EOB，∠3与∠EOB，∠4与∠AOD，
∠2与∠AOD，∠AOC与∠BOC，
∠AOC与∠DOE，∠BOC与∠DOE。
相等：∠AOC=∠BOC=∠DOE，∠1=∠3，∠2=∠4。 图6 教师应关注：
（1）学生对余角和补角概念的理解，是否会用含有未知数的代数式表示一个角的余角和补角.
（2）学生是否真正理解余角的性质，并能在具体的问题中进行应用.学生的几何语言是否规范、标准.
【设计意图：本题是利用余角和补角的性质、角的平分线和直角定义来解决，学生充分运用所学知识来尝试解决，先独立思考，然后一起讨论，培养学生独立思考的习惯、合作交流的意识，又从多个角度了解、认识这个问题，从而真正做到理解.】
三、归纳小结，认知升华：
学生思考，谈自己的收获和体会.教师给以补充.总结一下内容：
1、同一平面内两条直线的位置关系：平行、相交。
2、概念：（1）对顶角；（2）余角；（3）补角.
3、性质：（1）对顶角性质；（2）余角性质；（3）补角性质。
四、巩固新知，学以致用：
教材第42页习题2.1。
五、布置作业，分层训练：
必做作业：教科书第37页1，2，3
选做作业：
1、在下列4个判断中:
①在同一平面内,不相交的两条线段一定平行；②不相交的两条直线一定平行；③在同一平面内,不平行的两条射线一定相交；④在同一平面内,不平行的两条直线一定相交.其中正确的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2、如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
2
3、如果∠A＝35°18′，那么∠A的余角等于 ；∠A的补角等于 。
4、如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 。
5、已知与互补，且与是对顶角，则=_________。
6、已知24,且与互余，与互余，则的余角和补角的度数分别为_____________________.
7、一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度，求这个角的度数。
答案：1、D； 2、D； 3、54°42′，144°42′； 4、60°； 5、90°； 6、24°，114°； 7、50°；
课后评析
教学反思
本课教学是非常成功的一节课，学生的积极性、主动性完全崩发，整个课堂完全就是和谐统一的有机整体.
细细思想从中得出：对于新旧知识具有类似的内容可以用类比的方法，这样省时高效；对于几何的命题的验证，可通过多种方法证明，如本节的“等角的余角相等”，可以通过测量、叠合法、逻辑证明，这样可以让不同的学生得到清晰而深刻的理解；更重要的是通过本课学习知道说明一个几何命题的过程是怎样的，须经历“猜想—推理—结论”这样一个过程，为以后的学习做了铺垫.