长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构
有关空间与图形部分的知识是小学数学知识的重要组成部分。该部分知识是人们认识现实生活中物体的形状、大小和空间位置关系，以及解决现实问题的重要依据。
在“空间与图形”的知识中，长度、面积和体积是一组最为基本的从一维到二维再到三维的度量概念。因此，在九年义务教育阶段的小学数学教学中，如何帮助学生建构起清晰的三维空间观念，是我们必须思考和解决的问题。为此，我们首先需要对以往线段长度、面积，体积的概念教学不断进行反思；其次是要重新认识线段长度、面积、体积概念教学的价值取向；最后要在开发合理利用教材资源的基础上对线段长度、面积和体积概念教学进行整合规划设计。
一、长度、面积、体积概念教学常存在的问题
长度、面积和体积是空间与图形知识中一组最为基本度量概念。由于小学数学教材一般将长度、面积和体积分别编排在小学不同的年级进行教学，在教学中就容易表现出以下方面的问题：
第一，教师容易关注知识点的教学，却忽视了知识之间的内在联系。教师常常既不注意在长度的概念教学中进行思想方法的渗透和揭示；也不注意在面积的概念教学中与长度概念进行差异比较和内在思想方法的沟通；更不注意在体积的概念教学中进行一维的长度概念、二维的面积概念和三维的体积概念之间的差异比较和纵向发展脉络上的梳理。这种教学有局限性，不利于学生发展。如果说对概念认识不够，直接影响理解程度不利于较好解决问题。
第二，教师容易注重知识掌握结果，而忽视知识形成过程。即使是在具体的一节课的教学中，许多教师也只是把教学的重心放在如何认识度量单位和准确使用度量工具上面，忽视度量工具的发明和度量单位的形成过程对于学生成长的重要价值。以长度概念的教学为例，教师在教学中一般会注意以下几方面的问题：首先，教师会关注学生对度量单位建立初步的感性体验认识，如 1 厘米相当于人的指甲的长度， 1 米相当于一个一年级学生的身高，等等；其次，教师十分关注学生正确使用度量工具，如学生是否使直尺的零刻度线与度量对象的起始点对齐，是否使直尺与度量对象重合 ( 点对点，线对线 ) ，等等。
第三，教师会关注学生对度量单位使用的合理性，如度量较短物体的的长度选择使用厘米做单位，度量比较长的物体一般选择米做单位，等等。诸如此类，从学生对于度量单位认识和度量工具使用的角度来说，该注意的教师似乎都注意到了，但恰恰忽视了教学过程中；最重要的育人资源的开发，即前人在形成度量工具和度量单位过程中的智慧。
二、长度、面积、体积概念教学的育人价值
长度、面积、体积概念教学的育人价值至少可以从两个方面来加以关注，一是从知识之间整体的内在联系中开发育人的资源，二是从知识形成过程中开发育人的资源。
1．知识结构关系的梳理对于学生认识概念的价值
长度、面积和体积三者之间有着密切的内在结构关系。
首先，长度、面积和体积在要素构成上具有逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线和面的有机结合，其中，点动成线 ( 从这个意义上长度也可以称为线积 ) ；数线动成面 ( 称为面积 ) ；面动成体 ( 称为体积) 。因此，点、线、面和体中的前者分别是后者的构成要素，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展而成。
其次，长度、面积、体积在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。 “长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度；“面积”是二维概念，表示物体表面或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系 ( 见表 2) 。的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接
比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系。
因此，如果教师能够认识到这些知识之间的内在结构关系，努力在教学中梳理和沟通这些概念之间的区别与联系，开发和实现教学对学生认识这些概念的意义，帮助学生对这些概念形成既清晰又丰富的认识，从而为学生构建正确的三维空间观念。
2．度量工具和单位的形成过程对于学生发展思维的价值
长度、面积、体积的度量工具和单位的产生是人类不断思索，挖掘知识归结出来的精髓。是前人智慧的结晶，我们需要开发这些知识形成过程中的育人资源和价值。这里以长度的度量工具和单位的产生过程为例来说明。
首先，度量单位的产生基于现实生活的需要。它产生于在两个物体的长度不能直接进行比较的情况下，需要借助于作为中介的第三个物体长度进行间接比较的过程之中。在间接比较的过程中，由于各人所采用的中介物的长度不一样，导致比较的标准和结果不一致，这样就带来间接比较的困难，于是需要统一比较的标准，度量的基本单位便在探索过程中逐渐形成。
其次，度量单位的使用具有地域流通性的特征。度量单位是一个约定俗成的概念，不同的地域内流通着各自不同的度量单位。我国度量长度的标准是 “ 市制 ” 单位，基本的度量单位有 l 尺、 1 寸、 l 里等；英国度量长度的标准是“英制”单位，基本的度量单位有 1 英尺、 1 英寸、 1 英里等。由此又形成了不同地域之间度量长度的换算标准，如 l 英寸 =2.54 厘米 =0.762 寸。由于换算的麻烦，又产生了国际上通用的度量长度的统一标准“公制”单位，其基本的度量单位有 1 厘米、 1 米 、 1 千米，等等。
第三，度量工具的多样性与适用性体现了人类创造的智慧。由于现实生活需要的丰富多样，人们创造发明了各式各样的度量工具。例如，度量线段长度的工具有学生作为学习用品的以厘米为单位的直尺，商店营业员用来度量商品长度的以米为单位的米尺，裁缝师傅用来量体裁衣的塑料软尺，建筑工人用来度量地基长度的卷尺，等等。尽管这些度量工具的度量对象、材料性质各不相同，但它们都具有度量长度的功能。这些度量工具的开发充分体现了前人的智慧。
总而言之，长度、面积和体积的概念对于学生来说不仅是遥远的历史，更是抽象的概念；不仅是远离学生的，更是外在于学生的。它们是前人生命实践的成果和经验的结晶，已然成为符号化的书本知识。如果我们只是关注到了这些表面的符号化的知识，就会仅仅关注知识的传递价值，容易把学生当作是为接受这些知识而存在的，也就容易忽视知识形成过程中的资源开发，教学也就难以体现其促进学生成长发展的价值。
因此，我们需要透过符号化知识的表面，对其背后的过程形态的知识加以关注。这样，我们就会发现，无论是度量比较过程中的标准统一，还是三维空间的度量单位体系的形成，甚至是适应现实生活需要的各种度量工具的发明，它们无一不体现了前人生命实践活动过程中的智慧。如果在教学中能够使学生经历这样的生命实践活动的过程，教学就有可能使这些固化了的知识得到活化。在这个过程中，学生不仅能够认识和体会到比较过程中标准统一的必要性，而且还能够了解从一维到二维再到三维的度量工具和单位体系的形成过程。更为重要的是，学生在经历生命实践活动的过程中可以实现自身的再创造。从这个意义上可以说，这是一种习得和形成智慧的教学，唯有这样的教学才能够体现促进学生成长发展的价值。
总之，通过这些有意识的沟通与比较，不仅可以使学生形成清晰的概念认识，而且还可以使学生建立起从一维的线到二维的面再到三维的体的整体认识，从而使学生形成结构化的认知和思维方式。
长度、周长、面积与体积等概念的共同本质结构
有关空间与图形部分的知识是小学数学知识的重要组成部分。该部分知识是人们认识现实生活中物体的形状、大小和空间位置关系，以及解决现实问题的重要依据。
在“空间与图形”的知识中，长度、面积和体积是一组最为基本的从一维到二维再到三维的度量概念。因此，在九年义务教育阶段的小学数学教学中，如何帮助学生建构起清晰的三维空间观念，是我们必须思考和解决的问题。为此，我们首先需要对以往线段长度、面积，体积的概念教学不断进行反思；其次是要重新认识线段长度、面积、体积概念教学的价值取向；最后要在开发合理利用教材资源的基础上对线段长度、面积和体积概念教学进行整合规划设计。
一、长度、面积、体积概念教学常存在的问题
长度、面积和体积是空间与图形知识中一组最为基本度量概念。由于小学数学教材一般将长度、面积和体积分别编排在小学不同的年级进行教学，在教学中就容易表现出以下方面的问题：
第一，教师容易关注知识点的教学，却忽视了知识之间的内在联系。教师常常既不注意在长度的概念教学中进行思想方法的渗透和揭示；也不注意在面积的概念教学中与长度概念进行差异比较和内在思想方法的沟通；更不注意在体积的概念教学中进行一维的长度概念、二维的面积概念和三维的体积概念之间的差异比较和纵向发展脉络上的梳理。这种教学有局限性，不利于学生发展。如果说对概念认识不够，直接影响理解程度不利于较好解决问题。
第二，教师容易注重知识掌握结果，而忽视知识形成过程。即使是在具体的一节课的教学中，许多教师也只是把教学的重心放在如何认识度量单位和准确使用度量工具上面，忽视度量工具的发明和度量单位的形成过程对于学生成长的重要价值。以长度概念的教学为例，教师在教学中一般会注意以下几方面的问题：首先，教师会关注学生对度量单位建立初步的感性体验认识，如 1 厘米相当于人的指甲的长度， 1 米相当于一个一年级学生的身高，等等；其次，教师十分关注学生正确使用度量工具，如学生是否使直尺的零刻度线与度量对象的起始点对齐，是否使直尺与度量对象重合 ( 点对点，线对线 ) ，等等。
第三，教师会关注学生对度量单位使用的合理性，如度量较短物体的的长度选择使用厘米做单位，度量比较长的物体一般选择米做单位，等等。诸如此类，从学生对于度量单位认识和度量工具使用的角度来说，该注意的教师似乎都注意到了，但恰恰忽视了教学过程中；最重要的育人资源的开发，即前人在形成度量工具和度量单位过程中的智慧。
二、长度、面积、体积概念教学的育人价值
长度、面积、体积概念教学的育人价值至少可以从两个方面来加以关注，一是从知识之间整体的内在联系中开发育人的资源，二是从知识形成过程中开发育人的资源。
1．知识结构关系的梳理对于学生认识概念的价值
长度、面积和体积三者之间有着密切的内在结构关系。
首先，长度、面积和体积在要素构成上具有逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线和面的有机结合，其中，点动成线 ( 从这个意义上长度也可以称为线积 ) ；数线动成面 ( 称为面积 ) ；面动成体 ( 称为体积) 。因此，点、线、面和体中的前者分别是后者的构成要素，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展而成。
其次，长度、面积、体积在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。 “长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度；“面积”是二维概念，表示物体表面或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系 ( 见表 2) 。的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接
比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系。
因此，如果教师能够认识到这些知识之间的内在结构关系，努力在教学中梳理和沟通这些概念之间的区别与联系，开发和实现教学对学生认识这些概念的意义，帮助学生对这些概念形成既清晰又丰富的认识，从而为学生构建正确的三维空间观念。
2．度量工具和单位的形成过程对于学生发展思维的价值
长度、面积、体积的度量工具和单位的产生是人类不断思索，挖掘知识归结出来的精髓。是前人智慧的结晶，我们需要开发这些知识形成过程中的育人资源和价值。这里以长度的度量工具和单位的产生过程为例来说明。
首先，度量单位的产生基于现实生活的需要。它产生于在两个物体的长度不能直接进行比较的情况下，需要借助于作为中介的第三个物体长度进行间接比较的过程之中。在间接比较的过程中，由于各人所采用的中介物的长度不一样，导致比较的标准和结果不一致，这样就带来间接比较的困难，于是需要统一比较的标准，度量的基本单位便在探索过程中逐渐形成。
其次，度量单位的使用具有地域流通性的特征。度量单位是一个约定俗成的概念，不同的地域内流通着各自不同的度量单位。我国度量长度的标准是 “ 市制 ” 单位，基本的度量单位有 l 尺、 1 寸、 l 里等；英国度量长度的标准是“英制”单位，基本的度量单位有 1 英尺、 1 英寸、 1 英里等。由此又形成了不同地域之间度量长度的换算标准，如 l 英寸 =2.54 厘米 =0.762 寸。由于换算的麻烦，又产生了国际上通用的度量长度的统一标准“公制”单位，其基本的度量单位有 1 厘米、 1 米 、 1 千米，等等。
第三，度量工具的多样性与适用性体现了人类创造的智慧。由于现实生活需要的丰富多样，人们创造发明了各式各样的度量工具。例如，度量线段长度的工具有学生作为学习用品的以厘米为单位的直尺，商店营业员用来度量商品长度的以米为单位的米尺，裁缝师傅用来量体裁衣的塑料软尺，建筑工人用来度量地基长度的卷尺，等等。尽管这些度量工具的度量对象、材料性质各不相同，但它们都具有度量长度的功能。这些度量工具的开发充分体现了前人的智慧。
总而言之，长度、面积和体积的概念对于学生来说不仅是遥远的历史，更是抽象的概念；不仅是远离学生的，更是外在于学生的。它们是前人生命实践的成果和经验的结晶，已然成为符号化的书本知识。如果我们只是关注到了这些表面的符号化的知识，就会仅仅关注知识的传递价值，容易把学生当作是为接受这些知识而存在的，也就容易忽视知识形成过程中的资源开发，教学也就难以体现其促进学生成长发展的价值。
因此，我们需要透过符号化知识的表面，对其背后的过程形态的知识加以关注。这样，我们就会发现，无论是度量比较过程中的标准统一，还是三维空间的度量单位体系的形成，甚至是适应现实生活需要的各种度量工具的发明，它们无一不体现了前人生命实践活动过程中的智慧。如果在教学中能够使学生经历这样的生命实践活动的过程，教学就有可能使这些固化了的知识得到活化。在这个过程中，学生不仅能够认识和体会到比较过程中标准统一的必要性，而且还能够了解从一维到二维再到三维的度量工具和单位体系的形成过程。更为重要的是，学生在经历生命实践活动的过程中可以实现自身的再创造。从这个意义上可以说，这是一种习得和形成智慧的教学，唯有这样的教学才能够体现促进学生成长发展的价值。
总之，通过这些有意识的沟通与比较，不仅可以使学生形成清晰的概念认识，而且还可以使学生建立起从一维的线到二维的面再到三维的体的整体认识，从而使学生形成结构化的认知和思维方式。