§2.3.1,2.3.2离散型随机变量的数学期望与方差
一、 基础知识
1、一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1, x 2,...... x n ，这些值对应的概率是p 1, p 2,...... p n ，则_________________________叫做离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）。D （X ）=________________________,叫做离散型随机变量X 的方差。
2、关于随机变量的函数Y =aX +b 的期望的计算公式的推导：
因为P (Y =ax i +b ) =P (X =x i ) ，i=1,2,3,….. 由此可得到Y 的分布列，由期望的定义求得Y 的数学期望E (Y ) =aE (X ) +b 即E (aX +b ) =aE (X ) +b 3、D (aX +b ) =________________.
4、若X ~B (n , p ) ，则E (X ) =np , D (X ) =np （1-p ）
若离散型随机变量X 服从参数为N,M,n 的超几何分布，则E (X ) =二、 预习自测：
1
1、设离散型随机变量X 的分布列为P (X =k ) =, k =1, 2, 3, 4, 5，则E （X ）的值为
5
1
（ ） A、1 B、3 C、2 D、
5
nM
, N
2、已知一个离散型随机变量X 的分布列如下表：E (X ) =7. 5, 则a=( )
A 、5 B、6 C、7 D、8
1
3、已知X ~B (6, ) ，则E (X ) =__________,D (X ) =____________
2
4、已知离散型随机变量的分布列如下表，若
E (X ) =0, D (X ) =1，则a________
b=_____________.
1、已知随机变量X 的分布列如下表，则X 的标准差为__________.
三、 知识点探究
探究一、离散型随机变量的期望与方差
1、交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望。
拓展延伸1、已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现在从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和。
（1） 求X 的分布列；
（2） 求X 的数学期望E （X ）及方差D （X ）
探究二：二项分布的期望和方差 2、（1）一个人投篮，投中的概率为0.8
① 这个人投篮一次，求投中次数的分布列及数学期望
2 这个人投篮6次，求投中次数的分布列及数学期望 ○
（2）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池。现从中取二节电池检验，求取出废电池的分布列、数学期望及方差
拓展延伸2、某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间领取，假设任一客户去领奖的概率为4％，问寻呼台能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？
探究三：离散型随机变量的期望与方差的应用
3、甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的分布列如下：
试对这两名工人的技术水平进行比较。
拓展延伸3、（1）运动员投篮命中率为0.6
1求投篮一次时命中次数X 的均值与方差； ○
2求重复5次投篮时，命中次数Y 的均值与方差。 ○
（2）甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表
试比较甲乙两人的成绩的好坏。
拓展延伸4、有甲乙两种钢筋，从中各抽取等量样品检查他们的抗拉强度指标，如下表：
试分析甲、乙两种钢筋质量的好坏。
四、 随堂检测：43页练习A
、B
1、甲乙丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
试比较三人的成绩的好坏。
2、已知随机变量X 的分布列如下
(1) 求D(X) (2) 求D(2X-1)
§2.3.1,2.3.2离散型随机变量的数学期望与方差
一、 基础知识
1、一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1, x 2,...... x n ，这些值对应的概率是p 1, p 2,...... p n ，则_________________________叫做离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）。D （X ）=________________________,叫做离散型随机变量X 的方差。
2、关于随机变量的函数Y =aX +b 的期望的计算公式的推导：
因为P (Y =ax i +b ) =P (X =x i ) ，i=1,2,3,….. 由此可得到Y 的分布列，由期望的定义求得Y 的数学期望E (Y ) =aE (X ) +b 即E (aX +b ) =aE (X ) +b 3、D (aX +b ) =________________.
4、若X ~B (n , p ) ，则E (X ) =np , D (X ) =np （1-p ）
若离散型随机变量X 服从参数为N,M,n 的超几何分布，则E (X ) =二、 预习自测：
1
1、设离散型随机变量X 的分布列为P (X =k ) =, k =1, 2, 3, 4, 5，则E （X ）的值为
5
1
（ ） A、1 B、3 C、2 D、
5
nM
, N
2、已知一个离散型随机变量X 的分布列如下表：E (X ) =7. 5, 则a=( )
A 、5 B、6 C、7 D、8
1
3、已知X ~B (6, ) ，则E (X ) =__________,D (X ) =____________
2
4、已知离散型随机变量的分布列如下表，若
E (X ) =0, D (X ) =1，则a________
b=_____________.
1、已知随机变量X 的分布列如下表，则X 的标准差为__________.
三、 知识点探究
探究一、离散型随机变量的期望与方差
1、交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望。
拓展延伸1、已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现在从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和。
（1） 求X 的分布列；
（2） 求X 的数学期望E （X ）及方差D （X ）
探究二：二项分布的期望和方差 2、（1）一个人投篮，投中的概率为0.8
① 这个人投篮一次，求投中次数的分布列及数学期望
2 这个人投篮6次，求投中次数的分布列及数学期望 ○
（2）盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池。现从中取二节电池检验，求取出废电池的分布列、数学期望及方差
拓展延伸2、某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间领取，假设任一客户去领奖的概率为4％，问寻呼台能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？
探究三：离散型随机变量的期望与方差的应用
3、甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的分布列如下：
试对这两名工人的技术水平进行比较。
拓展延伸3、（1）运动员投篮命中率为0.6
1求投篮一次时命中次数X 的均值与方差； ○
2求重复5次投篮时，命中次数Y 的均值与方差。 ○
（2）甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表
试比较甲乙两人的成绩的好坏。
拓展延伸4、有甲乙两种钢筋，从中各抽取等量样品检查他们的抗拉强度指标，如下表：
试分析甲、乙两种钢筋质量的好坏。
四、 随堂检测：43页练习A
、B
1、甲乙丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
试比较三人的成绩的好坏。
2、已知随机变量X 的分布列如下
(1) 求D(X) (2) 求D(2X-1)