第２１卷第３期２００８年６月
高等函授学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ
Ｖ０１．２１Ｎｏ．３Ｊｕｎｅ２００８
Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
・高职高专教学・
函数的几种连续性及其相互关系
吴亚敏
（鄂东职业技术学院．湖北黄冈４３８０００）
摘要：本文系统讨论了函数的连续、单侧连续、一致连续和半连续四种连续性及它们之间关系。
关键词：连续；单侧连续；一致连续；半连续中图分类号：０１７１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６—７３５３（２００８）０３—００２８一０２
１
连续和单侧连续
２．３一致连续的应用
例１
１．１连续和单侧连续的定义描述
定义１
设，（ｚ）在［ｏ．＋ｏｏ）上一致连续，且有ｌｉｍｆ（ｘ
设函数八工）在ｎ点的某邻域中有定义．若它在
＋行）＝０，ｚ∈Ｅ０，＋ｏ。），证明：ｌｉｍｆ（ｘ）一０．
证明
ａ点处存在极限，且极限等于，（ｎ），即如果ｌｉｍｆ（ｘ）一，（ｄ），则称函数八ｚ）在ａ点连续。或称ａ为函数，（力的连续点。
定义２
对Ｖｅ＞０，ｊ占＞０，使得Ｉ，（ｚ）一，（ｙ）ｌ＜ｌ＜ｄｒ，对［ｏ，１３作分划：嚣∈Ｅｏ，１］（ｉ＝ｌ，２．
妻，ｌ
ｚ—Ｙ
若ｌｉｍ，（ｚ）一，（口），则称函数，（ｚ）在ａ点
…，ｍ），使得对Ｖｔ∈Ｅｏ，１３，必３ｉ，使得ｌｔ一．７１７。Ｉ＜占。又
由题设知，ｊＮ，当行≥Ｎ时，有
左连续，而ｌｉｍｆ（ｘ）＝，（口），称函数，（ｚ）在ｄ点右连续。ｉ—’４＋
１．２二者之间的关系
定理１
函数，（ｚ）在ａ点连续的充要条件是，（ｚ）在
ｆ（ｘｉ＋筇）ｌ＜÷（ｉ一１．２，…，ｍ）
现在，对ｚ＞Ｎ＋１。ｊ咒≥Ｎ，及ｉ使得ｌｚ一丑一竹Ｉ
＜占，因此，有
ａ点处既左连续又右连续。
２
连续和一致连续
２．１一致连续的定义描述
定义３设，（ｚ）在点ａ的某邻域内有定义，若对Ｖｅ＞０，ｊｄ（ｅ）＞ｏ．Ｖｚｌ，ｚ２∈ｊ。ｌ
ｌ＜艿时，有
Ｉ，（ｚ）Ｉ≤Ｉ，（而＋ｎ）Ｉ＋Ｉ，（ｚ）一，（丑＋ｎ）Ｉ＜ｅ．即
ｌｉｍｆ（ｘ）＝０．
定理４
ｚｌ—ｚ２
若，（ｚ）在［ｏ，＋ｏｏ）上一致连续，则存在正
数Ａ和Ｂ，使得Ｉ，（ｚ）Ｉ≤Ａｘ＋Ｂ．ｚ∈Ｅｏ，＋ｏ。）．
ｆ（ｘ１）一ｆ（ｘ２）ｆ＜ｅ。则称函数，（ｚ）在区间Ｊ上一致连
续。
证明
由题设，对Ｖ￡＞０，ｊ占＞０，使得当ｚ７，ｚ。∈
［ｏ，＋ｏ。）且Ｉｚ７一ａＴ，’Ｉ≤ｄ时，有ｌｆ（ｘ７）一，（ｚ。）ｌ＜ｅ，
现在对任意充分大的ｚ∈Ｅｏ，＋ｏ。），总可取Ｘｏ∈［ｏ，＋ｏｏ），使得ｚ有表达式ｚ＝ｒＢ＋勘－，竹是正整数。
注意到，（ｚ）在［ｏ，阳上有界，不妨设Ｉ，（工）Ｉ≤Ｍ，ｚ∈［ｏ。胡．从而有
定理２（Ｃａｎｔｏｒ定理）有界闭区间上的连续函数必
２．２二者之间的关系
一致连续。
定理３
’
设，（ｚ）在（口，６）上连续，则，（ｚ）在（口，６）上
Ｊ‘一¨
２一ｂ－－－
一致连续的充要条件是：存在极限ｌｉｍ，（ｚ）．１ｉｍ，（ｚ）．
，（ｚ）＝∑［ｆ（Ｘｏ＋彷）一ｆ（ｘｏ＋（ｉ一１）占）］＋，（勘）
ｆｚｌ
由定理３知：函数ｓｉｎ三在（Ｏ，１）上不一致连续；函数
．工
由此可知
ｓｍｘ在（Ｏ，１）上一致连续。
Ｉ，（ｚ）Ｉ＝∑Ｉ
ｆ（ｘ。＋ｉｄ）一ｆ（ｘｏ＋（ｆ—１）奶Ｉ＋Ｍ
收稿日期：２００８—０３—０８．
作者简介：吴亚敏（１９６０一），男，湖北黄冈人，副教授。主要从事高等数学教学与研究．
２８
第２１卷第３期２００８年６月
高等函授学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
Ｖ０１．２１Ｎｏ．３Ｊｕｎｅ２００８
≤堆＋Ｍ＝（工一Ｘｏ）Ｅ厣＋Ｍ≤缸／艿＋（Ｍ＋Ｅ）
令Ａ＝ｅ／艿，Ｂ＝Ｍ＋Ｅ，
３
在Ｘｏ处既上半连续，又下半连续。
例４
Ｒｉｅｍａｎｎ函数Ｒ（ｚ）一
即得所证。
连续与半连续
ｆ１／ｑ，当ｚ—Ｐ／ｑ（Ｐ．口）＝１．Ｐ。口∈ｚ＋．口＞０；１０，当ｚ一０．１及ｚ硭Ｑ－
３．１半连续的定义描述
定义４
设函数，（ｚ）在ＸＯ的附近有定义．对Ｖｅ＞
由定义知，Ｒ（ｚ）在无理点处既上半连续．又下半连续。由定理５知在无理点处连续；在有理点处上半连续，但不下半连续。从而在有理点处不连续。
４
０，ｊ占＞０，当ｚ∈Ｅ，ｌｚ一面Ｉ＜艿时．恒有，（ｚ）＜ｆ（ｘｏ）
＋ｅ。则称，（ｚ）在ＸＯ处上半连续。对Ｖ￡＞０。ｊ艿＞０．当
ｚ∈Ｅ，Ｉｚ—ＸＯｌ＜艿时，恒有ｆ（ｘｏ）一ｅ＜，（工）。则称
连续、单侧连续、一致连续和半连续四者之间的关系
连续一定单侧连续，单侧连续不一定连续；闭区间上
，（工）在Ｘｏ处下半连续。
例２
Ｄｉｒｉｃｈｅｔ函数Ｄ（ｚ）：ｆ１０，ｚ∈０１，ｚ三ｐ；
连续一定一致连续，开区间上连续当满足一些较强的条件时也可以一致连续；连续一定半连续。半连续不一定连续；由于一致连续一定连续，同样也就一定单侧连续和半连续了。
由定义知，它在有理点处上半连续，但不下半连续‘在无理点处的情况则恰恰相反。３．２半连续的性质和应用
性质１
保号性：上、下半连续具有局部保号性。无介值性：半连续函数介值定理不成立。有界性：在有界闭区间上的上（下）半连续函
‘
参考文献
性质２
性质３
１－１３朱正佑，秦成林．数学分析（上下册）［Ｍ］．上海：上海
大学出版社，２００１．
数必有上界，且达到上（下）确界。
［２３欧阳光中。姚允龙，周渊．数学分析［Ｍ］．上海：复旦
大学出版社，２００３．
［３］许绍傅。姜东平，宋国柱，任福贤．数学分析教程
［Ｍ］．南京：南京大学出版社，１９９０．
［４］李成章，黄玉民．数学分析［Ｍ］．北京：科学出版
例３，（ｚ）是闭区间［口，６］上的函数．满足条件：对每一点，ＴＯ∈ｋ，６］，任取ｅ＞０，有８＞０，对一切．７Ｃ∈［口。６］ｎ（ｘｏ一占，Ｘｏ＋∞，有，（ｚ）＜ｆ（ｘｏ）＋ｅ，证明，（ｚ）有最大值。
证明
对ｚｏ∈［口，６］，Ｖｅ＞０，｜疗＞０，当ｌｚ—ｚ。
社，１９９９．
［５］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教
育出版社，２００１．
［６３李峥，周放．高等数学［Ｍ］．北京：科学出版社．２００１．［７］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：
高等教育出版社，１９９３．
Ｉ＜占时，有，（ｚ）＜ｆ（Ｘｏ）＋ｅ。
所以，（ｚ）为上半连续函数，由性质３（有界性）知：，（ｚ）在［ｎ，６］上可达到上确界。即，（ｚ）有最大值。
３．３二者之间的关系
定理＿Ｓ
函数，（ｚ）在劫处连续的充要条件是：，（ｚ）
（上接第１８页）
解
由（１），得满足条件Ｌ２（ｏ）＝ｌ，Ｌ。‘虿１）＝
７
一ｏ）（工一÷）（ｚ—１）．时，有矿（￡）一∥（岛）＝ｏ，矿（÷）
＝０．注意到Ｌ”：（工）一２４。由引理２得：（０，１）内至少有一
，（专），Ｌ２（１）一２的多项式：
１
点手，使得ｇ－（０＝０，从而厂（０＝∥２（０—２４，
从而得
Ｌｚ（，）＝２（ｚ一÷）Ｉ（３ｚ—１）一４ｆ（－｛－）工（工一１）＋
ｃ（ｘ—ｏ）（ｚ一÷）（ｚ—１）．
ｌ厂（９Ｉ≥２４．
参考文献
，
令ｇ（ｚ）＝，（ｚ）－－Ｌ２（砒得ｇ（ｏ）一ｇ（÷）＝ｇ（１），
又因为ｇ（ｚ）在［ｏ，１］上连续，在（ｏ，１）内三阶可导，则由
［１］武忠祥．一类微分学问题的新方法［Ｊ］．工科数学，
１９９８．１４（２）：１６８－１６９．
罗尔中值定理知：存在￡∈（ｏ，Ｔ１）。岛∈（百１，１）使得：
［２］金聪。熊盛武．数值分析［Ｍ］。武汉：武汉理工大学
出版社，２００３：３８－５３．
９７（￡）＝９７（岛）＝ｏ。再令Ｌ７２（÷）一ｏ。得ｃ＝４，从而当
Ｌｚ（ｚ）＝２（ｚ－１）（３工－－１）－－４ｆ（－｝）ｚ（ｚ－－１）＋４（工
［３］同济大学应用数学系．高等数学（上）［Ｊ］．北京：高等
教育出版社，２００２：１３２－１３２．
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第２１卷第３期２００８年６月
高等函授学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ
Ｖ０１．２１Ｎｏ．３Ｊｕｎｅ２００８
Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
・高职高专教学・
函数的几种连续性及其相互关系
吴亚敏
（鄂东职业技术学院．湖北黄冈４３８０００）
摘要：本文系统讨论了函数的连续、单侧连续、一致连续和半连续四种连续性及它们之间关系。
关键词：连续；单侧连续；一致连续；半连续中图分类号：０１７１
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６—７３５３（２００８）０３—００２８一０２
１
连续和单侧连续
２．３一致连续的应用
例１
１．１连续和单侧连续的定义描述
定义１
设，（ｚ）在［ｏ．＋ｏｏ）上一致连续，且有ｌｉｍｆ（ｘ
设函数八工）在ｎ点的某邻域中有定义．若它在
＋行）＝０，ｚ∈Ｅ０，＋ｏ。），证明：ｌｉｍｆ（ｘ）一０．
证明
ａ点处存在极限，且极限等于，（ｎ），即如果ｌｉｍｆ（ｘ）一，（ｄ），则称函数八ｚ）在ａ点连续。或称ａ为函数，（力的连续点。
定义２
对Ｖｅ＞０，ｊ占＞０，使得Ｉ，（ｚ）一，（ｙ）ｌ＜ｌ＜ｄｒ，对［ｏ，１３作分划：嚣∈Ｅｏ，１］（ｉ＝ｌ，２．
妻，ｌ
ｚ—Ｙ
若ｌｉｍ，（ｚ）一，（口），则称函数，（ｚ）在ａ点
…，ｍ），使得对Ｖｔ∈Ｅｏ，１３，必３ｉ，使得ｌｔ一．７１７。Ｉ＜占。又
由题设知，ｊＮ，当行≥Ｎ时，有
左连续，而ｌｉｍｆ（ｘ）＝，（口），称函数，（ｚ）在ｄ点右连续。ｉ—’４＋
１．２二者之间的关系
定理１
函数，（ｚ）在ａ点连续的充要条件是，（ｚ）在
ｆ（ｘｉ＋筇）ｌ＜÷（ｉ一１．２，…，ｍ）
现在，对ｚ＞Ｎ＋１。ｊ咒≥Ｎ，及ｉ使得ｌｚ一丑一竹Ｉ
＜占，因此，有
ａ点处既左连续又右连续。
２
连续和一致连续
２．１一致连续的定义描述
定义３设，（ｚ）在点ａ的某邻域内有定义，若对Ｖｅ＞０，ｊｄ（ｅ）＞ｏ．Ｖｚｌ，ｚ２∈ｊ。ｌ
ｌ＜艿时，有
Ｉ，（ｚ）Ｉ≤Ｉ，（而＋ｎ）Ｉ＋Ｉ，（ｚ）一，（丑＋ｎ）Ｉ＜ｅ．即
ｌｉｍｆ（ｘ）＝０．
定理４
ｚｌ—ｚ２
若，（ｚ）在［ｏ，＋ｏｏ）上一致连续，则存在正
数Ａ和Ｂ，使得Ｉ，（ｚ）Ｉ≤Ａｘ＋Ｂ．ｚ∈Ｅｏ，＋ｏ。）．
ｆ（ｘ１）一ｆ（ｘ２）ｆ＜ｅ。则称函数，（ｚ）在区间Ｊ上一致连
续。
证明
由题设，对Ｖ￡＞０，ｊ占＞０，使得当ｚ７，ｚ。∈
［ｏ，＋ｏ。）且Ｉｚ７一ａＴ，’Ｉ≤ｄ时，有ｌｆ（ｘ７）一，（ｚ。）ｌ＜ｅ，
现在对任意充分大的ｚ∈Ｅｏ，＋ｏ。），总可取Ｘｏ∈［ｏ，＋ｏｏ），使得ｚ有表达式ｚ＝ｒＢ＋勘－，竹是正整数。
注意到，（ｚ）在［ｏ，阳上有界，不妨设Ｉ，（工）Ｉ≤Ｍ，ｚ∈［ｏ。胡．从而有
定理２（Ｃａｎｔｏｒ定理）有界闭区间上的连续函数必
２．２二者之间的关系
一致连续。
定理３
’
设，（ｚ）在（口，６）上连续，则，（ｚ）在（口，６）上
Ｊ‘一¨
２一ｂ－－－
一致连续的充要条件是：存在极限ｌｉｍ，（ｚ）．１ｉｍ，（ｚ）．
，（ｚ）＝∑［ｆ（Ｘｏ＋彷）一ｆ（ｘｏ＋（ｉ一１）占）］＋，（勘）
ｆｚｌ
由定理３知：函数ｓｉｎ三在（Ｏ，１）上不一致连续；函数
．工
由此可知
ｓｍｘ在（Ｏ，１）上一致连续。
Ｉ，（ｚ）Ｉ＝∑Ｉ
ｆ（ｘ。＋ｉｄ）一ｆ（ｘｏ＋（ｆ—１）奶Ｉ＋Ｍ
收稿日期：２００８—０３—０８．
作者简介：吴亚敏（１９６０一），男，湖北黄冈人，副教授。主要从事高等数学教学与研究．
２８
第２１卷第３期２００８年６月
高等函授学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｅｒＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
Ｖ０１．２１Ｎｏ．３Ｊｕｎｅ２００８
≤堆＋Ｍ＝（工一Ｘｏ）Ｅ厣＋Ｍ≤缸／艿＋（Ｍ＋Ｅ）
令Ａ＝ｅ／艿，Ｂ＝Ｍ＋Ｅ，
３
在Ｘｏ处既上半连续，又下半连续。
例４
Ｒｉｅｍａｎｎ函数Ｒ（ｚ）一
即得所证。
连续与半连续
ｆ１／ｑ，当ｚ—Ｐ／ｑ（Ｐ．口）＝１．Ｐ。口∈ｚ＋．口＞０；１０，当ｚ一０．１及ｚ硭Ｑ－
３．１半连续的定义描述
定义４
设函数，（ｚ）在ＸＯ的附近有定义．对Ｖｅ＞
由定义知，Ｒ（ｚ）在无理点处既上半连续．又下半连续。由定理５知在无理点处连续；在有理点处上半连续，但不下半连续。从而在有理点处不连续。
４
０，ｊ占＞０，当ｚ∈Ｅ，ｌｚ一面Ｉ＜艿时．恒有，（ｚ）＜ｆ（ｘｏ）
＋ｅ。则称，（ｚ）在ＸＯ处上半连续。对Ｖ￡＞０。ｊ艿＞０．当
ｚ∈Ｅ，Ｉｚ—ＸＯｌ＜艿时，恒有ｆ（ｘｏ）一ｅ＜，（工）。则称
连续、单侧连续、一致连续和半连续四者之间的关系
连续一定单侧连续，单侧连续不一定连续；闭区间上
，（工）在Ｘｏ处下半连续。
例２
Ｄｉｒｉｃｈｅｔ函数Ｄ（ｚ）：ｆ１０，ｚ∈０１，ｚ三ｐ；
连续一定一致连续，开区间上连续当满足一些较强的条件时也可以一致连续；连续一定半连续。半连续不一定连续；由于一致连续一定连续，同样也就一定单侧连续和半连续了。
由定义知，它在有理点处上半连续，但不下半连续‘在无理点处的情况则恰恰相反。３．２半连续的性质和应用
性质１
保号性：上、下半连续具有局部保号性。无介值性：半连续函数介值定理不成立。有界性：在有界闭区间上的上（下）半连续函
‘
参考文献
性质２
性质３
１－１３朱正佑，秦成林．数学分析（上下册）［Ｍ］．上海：上海
大学出版社，２００１．
数必有上界，且达到上（下）确界。
［２３欧阳光中。姚允龙，周渊．数学分析［Ｍ］．上海：复旦
大学出版社，２００３．
［３］许绍傅。姜东平，宋国柱，任福贤．数学分析教程
［Ｍ］．南京：南京大学出版社，１９９０．
［４］李成章，黄玉民．数学分析［Ｍ］．北京：科学出版
例３，（ｚ）是闭区间［口，６］上的函数．满足条件：对每一点，ＴＯ∈ｋ，６］，任取ｅ＞０，有８＞０，对一切．７Ｃ∈［口。６］ｎ（ｘｏ一占，Ｘｏ＋∞，有，（ｚ）＜ｆ（ｘｏ）＋ｅ，证明，（ｚ）有最大值。
证明
对ｚｏ∈［口，６］，Ｖｅ＞０，｜疗＞０，当ｌｚ—ｚ。
社，１９９９．
［５］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教
育出版社，２００１．
［６３李峥，周放．高等数学［Ｍ］．北京：科学出版社．２００１．［７］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：
高等教育出版社，１９９３．
Ｉ＜占时，有，（ｚ）＜ｆ（Ｘｏ）＋ｅ。
所以，（ｚ）为上半连续函数，由性质３（有界性）知：，（ｚ）在［ｎ，６］上可达到上确界。即，（ｚ）有最大值。
３．３二者之间的关系
定理＿Ｓ
函数，（ｚ）在劫处连续的充要条件是：，（ｚ）
（上接第１８页）
解
由（１），得满足条件Ｌ２（ｏ）＝ｌ，Ｌ。‘虿１）＝
７
一ｏ）（工一÷）（ｚ—１）．时，有矿（￡）一∥（岛）＝ｏ，矿（÷）
＝０．注意到Ｌ”：（工）一２４。由引理２得：（０，１）内至少有一
，（专），Ｌ２（１）一２的多项式：
１
点手，使得ｇ－（０＝０，从而厂（０＝∥２（０—２４，
从而得
Ｌｚ（，）＝２（ｚ一÷）Ｉ（３ｚ—１）一４ｆ（－｛－）工（工一１）＋
ｃ（ｘ—ｏ）（ｚ一÷）（ｚ—１）．
ｌ厂（９Ｉ≥２４．
参考文献
，
令ｇ（ｚ）＝，（ｚ）－－Ｌ２（砒得ｇ（ｏ）一ｇ（÷）＝ｇ（１），
又因为ｇ（ｚ）在［ｏ，１］上连续，在（ｏ，１）内三阶可导，则由
［１］武忠祥．一类微分学问题的新方法［Ｊ］．工科数学，
１９９８．１４（２）：１６８－１６９．
罗尔中值定理知：存在￡∈（ｏ，Ｔ１）。岛∈（百１，１）使得：
［２］金聪。熊盛武．数值分析［Ｍ］。武汉：武汉理工大学
出版社，２００３：３８－５３．
９７（￡）＝９７（岛）＝ｏ。再令Ｌ７２（÷）一ｏ。得ｃ＝４，从而当
Ｌｚ（ｚ）＝２（ｚ－１）（３工－－１）－－４ｆ（－｝）ｚ（ｚ－－１）＋４（工
［３］同济大学应用数学系．高等数学（上）［Ｊ］．北京：高等
教育出版社，２００２：１３２－１３２．
２９