2.1合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
第2课时
教学目标
1．知识与技能目标
通过对已学知识的回顾，进一步理解推理这种基本的分析问题方法，了解类比推理的含义，掌握类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2．过程与方法目标
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质；通过教学使学生认识到，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3．情感、态度与价值观 （1）．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。 （2）．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。 重点难点
教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
教学过程
引入新课
我们先看几个推理的实例：
1. 工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿, 发明了锯。
2. 仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇. 3. 利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理. 提出问题1：这些推理过程是归纳推理吗？
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流。
学情预测：学生根据上节所学归纳推理的定义，很快就可以得出答案。 活动结果：以上推理不是归纳推理。
提出问题2：这三个推理过程有何共同特点？
活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论。
学情预测：以实例1为例，学生的思路有可能是这样的：
茅草是齿形的； 茅草能割破手；
我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的。
这是学生应该能想到的，但对思维方式共同点的总结存在一定的难度。
活动结果：在两类不同事物之间进行对比, 找出若干相同或相似点之后, 推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式,
设计意图：自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”。创造和谐积极的学习气氛。 探究新知
我们再看几个类似的推理实例。
例1、科学家对火星进行研究, 发现火星与地球有许多类似的特征;
（1) 火星也绕太阳运行、绕轴自转的行星; （2) 有大气层, 在一年中也有季节变更;
（3) 火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存, 等等.
科学家猜想; 火星上也可能有生命存在. 例2、根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a ＞b ⇒a+c＞b+c; (2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b ⇒ ac＞bc;
(3) a=b⇒a 2=b2; 等等。 (3) a＞b ⇒a 2＞b 2; 等等。 提出问题：这两个推理在思维方式上有什么共同特点？
活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论, 教师适当加以指导。 活动结果：共同特点：由特殊到特殊的推理．
类比推理的定义：这种由两个（两类）对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
设计意图：从大量的实例出发，让学生充分体会类比推理的含义和类比推理的构成，使类比推理概念的形成更自然、更生动。并训练和培养学生的抽象概括和表达能力。 理解新知
教师举例：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．
活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论。教师适时介入全班引导：提醒学生注意类比的对象是什么？平面内直角三角形的性质是什么？反映的是那些几何量之间的关系？给出空间四面体性质应从那一些方面进行类比？
学情预测：学生的回答可能很杂，甚至于偏离主题，教师及时的加以引导。
Ｂ
A
c =a+b
b
222
2
Ｃ
Ａ
3
B
C
+S 2
OAC
猜想:
S 2
ABC
=S 2
OAB
+S 2
OBC
类比推理的几个特点：
1. 类比是从人们已经掌握的事物的属性, 推测正在研究的事物的属性, 是以旧有的认识为基础, 类比出新的结果；
2. 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； 3. 类比的结果是猜测, 不一定可靠, 但它却有发现的功能。
设计意图：通过所举的例子教师可以了解学生对类比推理的理解程度，加深对关键词、重点词的理解，掌握类比推理的特点，及时更正学生在认识理解中产生的偏差，巩固类比推理的定义。 运用新知
例1、计算机中常用的十六进位制是逢１６进１的计算制，采用数字０-９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ×Ｂ＝（ ） Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
思路分析：类比十六进位制是逢１６进１的规律，找到本题所规定的进位制的规律。 解：因为用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，所以Ａ×Ｂ＝６E ，应选A 点评：类比推理的一般步骤：
⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征。
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。即证明结论.
例2、试将平面上的圆的性质与空间的球的性质进行类比.
思路分析：从已掌握的平面上的圆的基本性质出发，逐步类比推测出空间的球的性质，圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积
解：
点评：通过例题让学生进一步熟悉进行类比推理进行的一般过程，同时体会类比推理的特点和作用。虽然猜想的正确还有待严格证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向。
设计意图：选择开放性命题加以练习，让全班同学做。在学生充分感受到类比推理方法和步骤的同时，完成对类比推理的再认识。
教师：我们上节所学的归纳推理和今节所学的类比推理，所进行的推理过程概括为： 从具体问题出发
提出猜想
可见，上节所学的归纳推理和今节所学的类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理。
提出问题：合情推理所得的结论有时是正确的，有时是错误的，那么我们为什么还要进行合情推理呢？ 活动设计：学生先独立思考，然后进行讨论，并由学生之间予以评价。
活动成果：合情推理是指“合乎情理”的推理。数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。
下面再来看一个例子：
例3、有三根针和套在一根针上的若干金属片。按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
1. 每次只能移动1个金属片；
2. 较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
试推测：把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
思路分析：我们从1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n 个金属片所需的次数。
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次。
当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：
(1) 把第1个金属片从1号针移到2号针； (2)把第2个金属片从1号针移到3号针； (3)把第1个金属片从2号针移到3号针； 用符号表示为：（12）（13）（23）共移动了3次。
当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，移动的顺序是： （1） 把上面两个金属片从1号针移到2号针；
（2）把第3个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面两个金属片从2号针移到3号针。
其中（1）和（3）都需要借助中间针。用符号表示为： （13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13）。 共移动了7次。
当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是： （1） 把上面3个金属片从1号针移到2号针； （2）把第4个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面3个金属片从2号针移到3号针。 用符号表示为： （12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）；（13）；（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）。 共移动了15次。
至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需次数构成的数列： 1，3，7，15
观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：
234
1=2-1，3=2-1，7=2-1，15=2-1。
1
由此我们猜想：若把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动a n 次，则数列{a n }的通项公式为：
a n =2n -1(n ∈N *) -------①
点评： 通过研究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n 个金属片都适用的移动方法。当移动n 个金属片时，可分为下列3个步骤：
（1） 把上面(n-1)个金属片从1号针移到2号针； （2）把第n 个金属片从1号针移到3号针；
（3）把上面（n-1）个金属片从2号针移到3号针。
这样就把移动n 个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第n 个金属片的任务。而移动（n-1）个金属片需要移动两次(n-2)个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动(n-2)个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次(n-2)个金属片„„如此继续下去，直到转化为移动1个金属片的情形。根据这个过程，可得递推公式
{
a 1=1
a n =2a n -1+1(n ∈N *, 且n >1)
从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的。
一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。
变练演编
前面我们类比平面内直角三角形的勾股定理，给出了对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．
A
Ｂ
c =a+b
222
3
2
得到猜想:
S 2
ABC
=S 2
OAB
+S 2
OBC
+S 2
OAC
变式1：平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比
内三角形与棱柱性质类
活动设计：学生讨论交流并回答问题老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结果一一列举，并在学生之间互相评价
活动结果：
变式1：平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比
形与空间柱性质类
设计意图：通过变练演编，使学生对类比推理的方法和步骤的掌握更加牢固，同时培养学生发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
达标检测
1. “金导电、银导电、铜导电，所以一切金属都导电”，此推理方法是（ ）
A ．完全归纳推理 B．归纳推理 Ｃ．类比推理 Ｄ．演绎推理 2、已知扇形的弧长为l , 半径为r ，类比三角形的面积公式：s =
底⨯高
，可知扇形面积公式（ ） 2
lr r 2l 2
A . B . c . D. 不可类比
222
3、对于非零实数a ，b ，以下四个命题都成立： ① a +
1
≠0； ② (a +b ) 2=a 2+2ab +b 2； a
2
③ 若|a |=|b |，则a =±b ； ④ 若a =ab ，则a =b ．
那么，对于非零复数a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是 【答案】
1、B
2、C
3、② 、 ④．
课堂小结
1. 知识收获：了解了类比推理和合情推理的含义； 2. 方法收获：利用类比进行简单推理的方法和步骤；
3. 思维收获：合情推理是进行猜测发现结论、探索和提供思路的常用思维方法。 布置作业
1．课本P94页 A组 第5题
2．实习作业:登陆网站，选择两例用类比推理得到的猜想并探究其来源。 补充练习 基础练习
1、下列那个平面图形与空间中平行六面体作为类比对象比较合适。（ ）
A. 三角形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 矩形
2、下面使用类比推理正确的是 A.“若a ⋅3=b ⋅3, 则a =b ”类推出“若a ⋅0=b ⋅0, 则a =b ” B.“若(a +b ) c =ac +bc ”类推出“(a ⋅b ) c =ac ⋅bc ”
a +b a b
=+ （c ≠0）” c c c
n n
（a b ）=a n b n ” 类推出“（a +b ）=a n +b n ” D.“
C.“若(a +b ) c =ac +bc ” 类推出“
3、等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0,则有a 4a 6>a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，
q>0,写出b 5, b 7, b 4, b 8的一个不等关系
4、中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a ∈A ，都有a -a ；
（2）对称性：对于a ，b ∈A ，若a -b ，则有b -a ；
（3）传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a -b ，b -c ，则有a -c ． 则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______； 5、. 由图（1）有面积关系.
∨s '∆PA'B'PA'∙PB'
。则由图（2）有体积关系：P -A 'B 'C ' =
s '∆PABPA∙PB∨P -ABC
B P
(1)
【答案】1、C 2、C
3、b 4+b 8>b 5+b 7.
4、集合相等；充要条件；非零向量共线。
B A
C
A'
P
A' (2)
A
PA /∙PB /∙PC /5、、
PA ∙PB ∙PC
拓展练习
6、把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立： （1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。 （2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。
【答案】6解析：（1）一个平面如和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，此结论成立；
（2）若两个平面同时垂直第三个平面，则这两个平面也相互平行，此结论不成立。
设计说明
设计思想
从已学知识入手，以学生熟知的生活实例和数学实例为载体，引导他们提炼、概括类比推理的含义和类比推理的方法，。
设计意图
给学生创建一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境。 感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事。
设计特点
自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”。创造和谐积极的学习气氛。让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比，形成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃。并借助例题具体说明在数学发现的过程中应用类比推理的过程。
备课资料
《合情推理》
合情推理是波利亚的" 启发法" 中的一个推理模式. 波利亚多年深入研究数学问题解决过程得出的
理论成果. 在问题解决过程中, 人们总是针对具体情况, 不断地向自己提出有启发性的问句, 提示, 以启动与推进思维的小船. 因此, 他试图总结出一般的方法或模式, 这些方法和模式在以后的问题解决活动中可起到启发和指导的作用. 波利亚曾著书给出这样一些启发性的模式或方法:分解与组合, 笛卡尔模式, 递归模式, 叠加模式, 特殊化方法, 一般化方法," 从后往前推", 设立次目标, 合情推理的模式(归纳和类比), 画图法," 看着未知数", 回到定义去, 考虑相关的问题, 对问题进行变形, 等等.
在上述启发法框架中提到的合情推理的模式(归纳和类比), 它是指观察, 归纳, 类比, 实验, 联想, 猜测, 矫正与调控等方法. 公理, 定理, 定义及严格的证明, 而且还有许许多多其它方面:推广, 归纳, 类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等等, 数学教师应使学生了解这些十分重要的" 非形式" 思维过程. 在日常生活中, 合情推理几乎无处不在, 比如:"它可能是……"(猜测)," 做出来看一看"(实验)," 由上所述可得……"(归纳)," 将人心比自心"(类比)," 可以想象"(联想)," 实践是检验真理的唯一标准"(检测) 等. 在社会生活中, 医生诊断疾病, 法官审判案件, 军事家指挥战争, 人际交往等都应用合情推理. 贯彻任何科学发现的思维, 也主要是合情推理:量子力学方程是猜出来的; 球体公式是阿基米德" 称" 出来的; 在对热在金属中流动的观察研究中, 傅立叶发明了级数; 而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果. 因此加强合情推理的教育将有助于发挥学科的两个功能, 并学会发现和发明的方法. 科学思维具有两重性:一类是进行论证推理的逻辑思维; 另一类则是形象思维. 形象思维最直接的层面是合情推理. 逻辑思维是在" 抓到真理" 后进行完善和" 补行证明" 的思维, 而合情推理则是" 发现真理" 的思维. 因此, 波利亚呼吁:"让我们教猜想吧!" 我国的理科教学, 历来较多强调逻辑推理, 而对合情推理有所忽视. 再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息, 不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓. 因此," 既教证明, 又教猜想", 给合情推理能力的教学以适当的地位, 是开发学生创造性素质的需要, 是全面提高学生优秀文化素质的需要, 是全面开发大脑潜力的需要. 若在教学中能正确地使用合情推理的教学模式, 至少不会削弱学科教学的技术功能, 而文化教育功能将得到明显的加强, 学生有效地应用合情推理的技能得到提高, 创造能力得到加强, 教学质量也将有一定的提高, 同时将有一批科研型的教师脱颖而出.
2.1合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
第2课时
教学目标
1．知识与技能目标
通过对已学知识的回顾，进一步理解推理这种基本的分析问题方法，了解类比推理的含义，掌握类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2．过程与方法目标
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质；通过教学使学生认识到，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3．情感、态度与价值观 （1）．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。 （2）．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。 重点难点
教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
教学过程
引入新课
我们先看几个推理的实例：
1. 工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿, 发明了锯。
2. 仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇. 3. 利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理. 提出问题1：这些推理过程是归纳推理吗？
活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流。
学情预测：学生根据上节所学归纳推理的定义，很快就可以得出答案。 活动结果：以上推理不是归纳推理。
提出问题2：这三个推理过程有何共同特点？
活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论。
学情预测：以实例1为例，学生的思路有可能是这样的：
茅草是齿形的； 茅草能割破手；
我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的。
这是学生应该能想到的，但对思维方式共同点的总结存在一定的难度。
活动结果：在两类不同事物之间进行对比, 找出若干相同或相似点之后, 推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式,
设计意图：自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”。创造和谐积极的学习气氛。 探究新知
我们再看几个类似的推理实例。
例1、科学家对火星进行研究, 发现火星与地球有许多类似的特征;
（1) 火星也绕太阳运行、绕轴自转的行星; （2) 有大气层, 在一年中也有季节变更;
（3) 火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存, 等等.
科学家猜想; 火星上也可能有生命存在. 例2、根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a ＞b ⇒a+c＞b+c; (2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b ⇒ ac＞bc;
(3) a=b⇒a 2=b2; 等等。 (3) a＞b ⇒a 2＞b 2; 等等。 提出问题：这两个推理在思维方式上有什么共同特点？
活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论, 教师适当加以指导。 活动结果：共同特点：由特殊到特殊的推理．
类比推理的定义：这种由两个（两类）对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
设计意图：从大量的实例出发，让学生充分体会类比推理的含义和类比推理的构成，使类比推理概念的形成更自然、更生动。并训练和培养学生的抽象概括和表达能力。 理解新知
教师举例：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．
活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论。教师适时介入全班引导：提醒学生注意类比的对象是什么？平面内直角三角形的性质是什么？反映的是那些几何量之间的关系？给出空间四面体性质应从那一些方面进行类比？
学情预测：学生的回答可能很杂，甚至于偏离主题，教师及时的加以引导。
Ｂ
A
c =a+b
b
222
2
Ｃ
Ａ
3
B
C
+S 2
OAC
猜想:
S 2
ABC
=S 2
OAB
+S 2
OBC
类比推理的几个特点：
1. 类比是从人们已经掌握的事物的属性, 推测正在研究的事物的属性, 是以旧有的认识为基础, 类比出新的结果；
2. 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； 3. 类比的结果是猜测, 不一定可靠, 但它却有发现的功能。
设计意图：通过所举的例子教师可以了解学生对类比推理的理解程度，加深对关键词、重点词的理解，掌握类比推理的特点，及时更正学生在认识理解中产生的偏差，巩固类比推理的定义。 运用新知
例1、计算机中常用的十六进位制是逢１６进１的计算制，采用数字０-９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ×Ｂ＝（ ） Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
思路分析：类比十六进位制是逢１６进１的规律，找到本题所规定的进位制的规律。 解：因为用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，所以Ａ×Ｂ＝６E ，应选A 点评：类比推理的一般步骤：
⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征。
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。即证明结论.
例2、试将平面上的圆的性质与空间的球的性质进行类比.
思路分析：从已掌握的平面上的圆的基本性质出发，逐步类比推测出空间的球的性质，圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积
解：
点评：通过例题让学生进一步熟悉进行类比推理进行的一般过程，同时体会类比推理的特点和作用。虽然猜想的正确还有待严格证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向。
设计意图：选择开放性命题加以练习，让全班同学做。在学生充分感受到类比推理方法和步骤的同时，完成对类比推理的再认识。
教师：我们上节所学的归纳推理和今节所学的类比推理，所进行的推理过程概括为： 从具体问题出发
提出猜想
可见，上节所学的归纳推理和今节所学的类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理。
提出问题：合情推理所得的结论有时是正确的，有时是错误的，那么我们为什么还要进行合情推理呢？ 活动设计：学生先独立思考，然后进行讨论，并由学生之间予以评价。
活动成果：合情推理是指“合乎情理”的推理。数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。
下面再来看一个例子：
例3、有三根针和套在一根针上的若干金属片。按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
1. 每次只能移动1个金属片；
2. 较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
试推测：把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
思路分析：我们从1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n 个金属片所需的次数。
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次。
当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：
(1) 把第1个金属片从1号针移到2号针； (2)把第2个金属片从1号针移到3号针； (3)把第1个金属片从2号针移到3号针； 用符号表示为：（12）（13）（23）共移动了3次。
当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，移动的顺序是： （1） 把上面两个金属片从1号针移到2号针；
（2）把第3个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面两个金属片从2号针移到3号针。
其中（1）和（3）都需要借助中间针。用符号表示为： （13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13）。 共移动了7次。
当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是： （1） 把上面3个金属片从1号针移到2号针； （2）把第4个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面3个金属片从2号针移到3号针。 用符号表示为： （12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）；（13）；（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）。 共移动了15次。
至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需次数构成的数列： 1，3，7，15
观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：
234
1=2-1，3=2-1，7=2-1，15=2-1。
1
由此我们猜想：若把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动a n 次，则数列{a n }的通项公式为：
a n =2n -1(n ∈N *) -------①
点评： 通过研究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n 个金属片都适用的移动方法。当移动n 个金属片时，可分为下列3个步骤：
（1） 把上面(n-1)个金属片从1号针移到2号针； （2）把第n 个金属片从1号针移到3号针；
（3）把上面（n-1）个金属片从2号针移到3号针。
这样就把移动n 个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第n 个金属片的任务。而移动（n-1）个金属片需要移动两次(n-2)个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动(n-2)个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次(n-2)个金属片„„如此继续下去，直到转化为移动1个金属片的情形。根据这个过程，可得递推公式
{
a 1=1
a n =2a n -1+1(n ∈N *, 且n >1)
从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的。
一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。
变练演编
前面我们类比平面内直角三角形的勾股定理，给出了对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．
A
Ｂ
c =a+b
222
3
2
得到猜想:
S 2
ABC
=S 2
OAB
+S 2
OBC
+S 2
OAC
变式1：平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比
内三角形与棱柱性质类
活动设计：学生讨论交流并回答问题老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结果一一列举，并在学生之间互相评价
活动结果：
变式1：平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比
形与空间柱性质类
设计意图：通过变练演编，使学生对类比推理的方法和步骤的掌握更加牢固，同时培养学生发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
达标检测
1. “金导电、银导电、铜导电，所以一切金属都导电”，此推理方法是（ ）
A ．完全归纳推理 B．归纳推理 Ｃ．类比推理 Ｄ．演绎推理 2、已知扇形的弧长为l , 半径为r ，类比三角形的面积公式：s =
底⨯高
，可知扇形面积公式（ ） 2
lr r 2l 2
A . B . c . D. 不可类比
222
3、对于非零实数a ，b ，以下四个命题都成立： ① a +
1
≠0； ② (a +b ) 2=a 2+2ab +b 2； a
2
③ 若|a |=|b |，则a =±b ； ④ 若a =ab ，则a =b ．
那么，对于非零复数a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是 【答案】
1、B
2、C
3、② 、 ④．
课堂小结
1. 知识收获：了解了类比推理和合情推理的含义； 2. 方法收获：利用类比进行简单推理的方法和步骤；
3. 思维收获：合情推理是进行猜测发现结论、探索和提供思路的常用思维方法。 布置作业
1．课本P94页 A组 第5题
2．实习作业:登陆网站，选择两例用类比推理得到的猜想并探究其来源。 补充练习 基础练习
1、下列那个平面图形与空间中平行六面体作为类比对象比较合适。（ ）
A. 三角形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 矩形
2、下面使用类比推理正确的是 A.“若a ⋅3=b ⋅3, 则a =b ”类推出“若a ⋅0=b ⋅0, 则a =b ” B.“若(a +b ) c =ac +bc ”类推出“(a ⋅b ) c =ac ⋅bc ”
a +b a b
=+ （c ≠0）” c c c
n n
（a b ）=a n b n ” 类推出“（a +b ）=a n +b n ” D.“
C.“若(a +b ) c =ac +bc ” 类推出“
3、等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0,则有a 4a 6>a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，
q>0,写出b 5, b 7, b 4, b 8的一个不等关系
4、中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a ∈A ，都有a -a ；
（2）对称性：对于a ，b ∈A ，若a -b ，则有b -a ；
（3）传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a -b ，b -c ，则有a -c ． 则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______； 5、. 由图（1）有面积关系.
∨s '∆PA'B'PA'∙PB'
。则由图（2）有体积关系：P -A 'B 'C ' =
s '∆PABPA∙PB∨P -ABC
B P
(1)
【答案】1、C 2、C
3、b 4+b 8>b 5+b 7.
4、集合相等；充要条件；非零向量共线。
B A
C
A'
P
A' (2)
A
PA /∙PB /∙PC /5、、
PA ∙PB ∙PC
拓展练习
6、把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立： （1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。 （2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。
【答案】6解析：（1）一个平面如和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，此结论成立；
（2）若两个平面同时垂直第三个平面，则这两个平面也相互平行，此结论不成立。
设计说明
设计思想
从已学知识入手，以学生熟知的生活实例和数学实例为载体，引导他们提炼、概括类比推理的含义和类比推理的方法，。
设计意图
给学生创建一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境。 感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事。
设计特点
自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”。创造和谐积极的学习气氛。让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比，形成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃。并借助例题具体说明在数学发现的过程中应用类比推理的过程。
备课资料
《合情推理》
合情推理是波利亚的" 启发法" 中的一个推理模式. 波利亚多年深入研究数学问题解决过程得出的
理论成果. 在问题解决过程中, 人们总是针对具体情况, 不断地向自己提出有启发性的问句, 提示, 以启动与推进思维的小船. 因此, 他试图总结出一般的方法或模式, 这些方法和模式在以后的问题解决活动中可起到启发和指导的作用. 波利亚曾著书给出这样一些启发性的模式或方法:分解与组合, 笛卡尔模式, 递归模式, 叠加模式, 特殊化方法, 一般化方法," 从后往前推", 设立次目标, 合情推理的模式(归纳和类比), 画图法," 看着未知数", 回到定义去, 考虑相关的问题, 对问题进行变形, 等等.
在上述启发法框架中提到的合情推理的模式(归纳和类比), 它是指观察, 归纳, 类比, 实验, 联想, 猜测, 矫正与调控等方法. 公理, 定理, 定义及严格的证明, 而且还有许许多多其它方面:推广, 归纳, 类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等等, 数学教师应使学生了解这些十分重要的" 非形式" 思维过程. 在日常生活中, 合情推理几乎无处不在, 比如:"它可能是……"(猜测)," 做出来看一看"(实验)," 由上所述可得……"(归纳)," 将人心比自心"(类比)," 可以想象"(联想)," 实践是检验真理的唯一标准"(检测) 等. 在社会生活中, 医生诊断疾病, 法官审判案件, 军事家指挥战争, 人际交往等都应用合情推理. 贯彻任何科学发现的思维, 也主要是合情推理:量子力学方程是猜出来的; 球体公式是阿基米德" 称" 出来的; 在对热在金属中流动的观察研究中, 傅立叶发明了级数; 而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果. 因此加强合情推理的教育将有助于发挥学科的两个功能, 并学会发现和发明的方法. 科学思维具有两重性:一类是进行论证推理的逻辑思维; 另一类则是形象思维. 形象思维最直接的层面是合情推理. 逻辑思维是在" 抓到真理" 后进行完善和" 补行证明" 的思维, 而合情推理则是" 发现真理" 的思维. 因此, 波利亚呼吁:"让我们教猜想吧!" 我国的理科教学, 历来较多强调逻辑推理, 而对合情推理有所忽视. 再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息, 不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓. 因此," 既教证明, 又教猜想", 给合情推理能力的教学以适当的地位, 是开发学生创造性素质的需要, 是全面提高学生优秀文化素质的需要, 是全面开发大脑潜力的需要. 若在教学中能正确地使用合情推理的教学模式, 至少不会削弱学科教学的技术功能, 而文化教育功能将得到明显的加强, 学生有效地应用合情推理的技能得到提高, 创造能力得到加强, 教学质量也将有一定的提高, 同时将有一批科研型的教师脱颖而出.