§3函数的单调性 教学目的：
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
阅读与思考
1、阅读教材
P36
的实例分析及思考交流止。
[***********]040200
1
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2、思考问题
（1）从P36图2-15 （北京从20030421-20030519每日新增非典病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？
（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
保持量（百分数）
问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？
问题1、 作出下列函数的图象, 并指出图象的变化趋势: (1) y =x +1
(4) y =
(2) y =-2x +2
(3) y =-x 2
1x
x
x
问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内，
图象在该区间呈上升趋势 当x 的值增大时，函数值y 也增大 图象在该区间呈下降趋势 当x 的值增大时，函数值y 反而减小 如何用x 与 f(x)来描述上升的图象？
一般地, 设函数y=f(x)的定义域为A ，
区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值
⊇
x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）
那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.
一般地, 设函数y=f(x)的定义域为A ，
区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值
x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2） 那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.
单调区间
如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数, 那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间.
[例1] 证明函数f (x ) =2x +1在区间 （-∞，+∞）上是增函数。
证明：
设x 1, x 2是区间(-∞, +∞) 内任意
（条件）
两个实数，且x 1
f (x 1) -f (x 2) =(2x 1+1) -(2x 2+1) =2(x1-x 2)
x 1
则函数f (x ) =2x +1在区间(-∞, +∞) 是增函数。
（论证结果）
（结论）
[例2] 判断函数f (x ) =x 2-2x 的 单调性，并加以证明。
2x
单调递减区间：
(-∞, 1）
单调递增区间：
[1 , +∞
)
【练习】：
1、判断函数f(x)=1/x在(－∞，0) 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 减函数
2、判断函数f(x)=1/x在(0，+∞) 上
是增函数还是减函数？并证明你的结论.
减函数
【想一想】：能否说函数f(x)=1/x在(－∞，+∞)
∞)
答： 不能. 因为x=0不属于f(x)=1/x的定义域.
解题步骤
用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x 1＜x 2, 并且是某个区间上任意二个值; (2). 作差 f(x1) －f(x2) ; (3). 判断 f(x1) －f(x2) 的符号: ① 分解因式, 得出因式x 1－x 2 .
② 配成非负实数和.
(4). 作结论.
小结
1. 概念
定义法
2. 方法
图象法
§3函数的单调性 教学目的：
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
阅读与思考
1、阅读教材
P36
的实例分析及思考交流止。
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2、思考问题
（1）从P36图2-15 （北京从20030421-20030519每日新增非典病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？
（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
保持量（百分数）
问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？
问题1、 作出下列函数的图象, 并指出图象的变化趋势: (1) y =x +1
(4) y =
(2) y =-2x +2
(3) y =-x 2
1x
x
x
问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内，
图象在该区间呈上升趋势 当x 的值增大时，函数值y 也增大 图象在该区间呈下降趋势 当x 的值增大时，函数值y 反而减小 如何用x 与 f(x)来描述上升的图象？
一般地, 设函数y=f(x)的定义域为A ，
区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值
⊇
x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）
那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.
一般地, 设函数y=f(x)的定义域为A ，
区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值
x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2） 那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.
单调区间
如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数, 那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间.
[例1] 证明函数f (x ) =2x +1在区间 （-∞，+∞）上是增函数。
证明：
设x 1, x 2是区间(-∞, +∞) 内任意
（条件）
两个实数，且x 1
f (x 1) -f (x 2) =(2x 1+1) -(2x 2+1) =2(x1-x 2)
x 1
则函数f (x ) =2x +1在区间(-∞, +∞) 是增函数。
（论证结果）
（结论）
[例2] 判断函数f (x ) =x 2-2x 的 单调性，并加以证明。
2x
单调递减区间：
(-∞, 1）
单调递增区间：
[1 , +∞
)
【练习】：
1、判断函数f(x)=1/x在(－∞，0) 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 减函数
2、判断函数f(x)=1/x在(0，+∞) 上
是增函数还是减函数？并证明你的结论.
减函数
【想一想】：能否说函数f(x)=1/x在(－∞，+∞)
∞)
答： 不能. 因为x=0不属于f(x)=1/x的定义域.
解题步骤
用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x 1＜x 2, 并且是某个区间上任意二个值; (2). 作差 f(x1) －f(x2) ; (3). 判断 f(x1) －f(x2) 的符号: ① 分解因式, 得出因式x 1－x 2 .
② 配成非负实数和.
(4). 作结论.
小结
1. 概念
定义法
2. 方法
图象法