§8.与圆有关的位置关系
☆黄冈 杨俊涛
一．知识整理
1.点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆外＜＝＞ d＞r；点在圆上＜＝＞ d =r；点在圆内＜＝＞ d ＜r。 2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
直线与圆相交＜＝＞ d ＜r；直线与圆相切＜＝＞ d =r；直线与圆相离＜＝＞ d ＞r。 3.圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含（同心）。 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r（R＞r），则：
两圆外离＜＝＞d＞R +r； 两圆外切＜＝＞ d =R＋r； 两圆相交＜＝＞ R－r＜d＜R +r； 两圆内切＜＝＞ d =R－r；两圆内含＜＝＞ 0≤d＜R—r。
4.相交两圆的连心线，垂直平分公共弦；相切两圆的连心线，必过切点。
5.切线的性质：如果一条直线满足“①过圆心②过切点③垂直于切线”中的任意两条，必满足 第三条。
6.切线的判定：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线。
7.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆（不在同一直线上的三点确定一个圆），这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 三角形的外心到三个顶点的距离相等。
9.三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等。
10.反证法的步骤是:先假设命题不成立；然后进行推理论证，得出矛盾；最后判定假设不成立，从而肯定原命题正确。
二.本节内容常添加的辅助线
1.证明直线和圆相切常有两种作辅助线的方法：
①若已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心，得到辅助半径，再证明直线垂直于所作的半径；②若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，再证明这条线段的长等于圆的半径。 2.在解决有关圆的切线长问题时，常作辅助线的方法有：
①分别连结圆心和切点；②连结两切点；③连结圆心和圆外一点。
3.两圆相交，常作公共弦。目的：利用公共圆周角或圆内接四边形性质架设两圆角的关系的桥梁，实现角的等量代换。
4.两圆相切，常作公切线。目的:利用弦切角架设两圆角的关系的桥梁。
5.圆心与圆心，常常心连心。目的：利用连心线垂直平分公共弦，通过构造直角三角形解决有关计算问题。
6.在解决有关三角形内（外）心问题时，常连结内（外）心和各顶点。目的：利用内（外）心的性质。
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三.典型例题
例1.（2006•雅安）如图，BC是⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，且弧CD=弧DE，连接EB、DO． （1）求证：EB∥DO；
（2）连接EC，在∠CEB的外部作∠BEA=∠C，直线EA交CB的延长线于A，
求证：直线EA是⊙O的切线。
分析：（1）由垂径定理得：OD⊥EC；由圆周角定理，得：
BE⊥EC；由此可证得EB∥DO．
（2）连接OE，证得∠OEA=90°即可． 证明：（1）∵弧CD=弧DE，∴OD⊥EC．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC=90°． ∴BE⊥EC． ∴EB∥DO． （2）连接OE；
∵OC=OE，∴∠C=∠OEC． ∵∠BEA=∠C，∴∠BEA=∠OEC； ∵∠BEC=90°,即∠OEC+∠BEO=90°， ∴∠BEA+∠BEO=90°,即∠OEA=90°． ∴直线EA是⊙O的切线．
例2 .如图，在Rt△ABC中，∠B=90°, ∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC,以D为
圆心，DB的长为半径作⊙D.
求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC.
分析：（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF，
得出AB+EB=AC．
证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AD平分∠BAC，AB⊥BC，DF⊥AC, ∴DF=DB，
∴AC为⊙D的切线． （2）在Rt△BDE和Rt△FDC中：
∵BD=FD，DE=DC，
∴△BDE≌△FDC（HL），∴EB=CF． 又AB、AF为⊙D的切线长， ∴AB=AF，∴AB+EB=AF+CF， 即AB+EB=AC．
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例3 .如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，直径BD=6，连接CD、AO． （1）求证：CD∥AO；
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若AO+CD=11，求AB的长．
分析：（1）欲证CD∥AO，根据平行线的判断，证明∠DCB=∠OEB即可；
（2）由题可知求y与x之间的函数关系式，可以通过△BDC∽△AOB的比例关系式得出； （3）求AB的长，因为AB是⊙O的切线，可先求OA，OB的长．AO+CD=11结合（2），解方程组并且检验，从而求解． 证明：（1）连接BC交OA于E点，
∵AB、AC是⊙O的切线， ∴AB=AC，∠1=∠2． ∴AE⊥BC． ∴∠OEB=90°． ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DCB=90°． ∴∠DCB=∠OEB． ∴CD∥AO． （2）∵CD∥AO，
∴∠D=∠AOB．
∵AB是⊙O的切线，DB是直径， ∴∠DCB=∠ABO=90°． ∴△BDC∽△AOB． ∴CD/BO = BD/AO． ∴x/3 = 6/y． ∴y=18/x．(0﹤x﹤6)
（3）由已知和（2）知：｛x + y = 11，xy = 18
把x、y看作方程z2
-11z+18=0的两根， 解这个方程得z1=2，z2=9，
∴｛x1 =2，y1 =9
｛x2 =9，y2 =2 （舍去）．
∴AB= √92-32 =√
．
3
例4 .（2005•包头）如图1，圆O1与圆O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与圆O1交于点C， 与圆O2交于点D．经过点B的直线EF与圆O1交于点E，与圆O2交于点F．
（1）求证：CE∥DF；
（2）在图1中，若CD和EF可以分别绕点 A和点B转动，当点C与点E重合时 （如图2），过点E作直线MN∥DF， 试判断直线MN与圆O1的位置关系， 并证明你的结论．
分析：（1）只需连接AB，利用“圆的内接四边形的外角等于内对角”证明∠E+∠F=180°， 从而证明CE∥DF；
（2）作辅助线：构造直径所对的圆周角是90°．利用平行线的性质求出∠ABE=∠AHE， 根据“圆的内接四边形的外角等于内对角”得出∠D=∠ABE，所以得到∠MEA=∠AHE， ∠MEA+∠AEH=90°，利用切线的判定定理，可知MN为圆O1的切线．
解：（1）证明：连接AB； （2）MN与圆O1相切，
∵四边形ABEC是圆O1的内接四边形， 过E作圆O1的直径EH，连接AH和AB ∴∠BAD=∠E． ∵MN∥DF，∴∠MEA=∠D． 又∵四边形ADFB是圆O2的内接四边形， 又∵∠D=∠ABE，∠ABE=∠AHE， ∴∠BAD+∠F=180°． ∴∠MEA=∠AHE. ∴∠E+∠F=180°． ∵EH为圆O1的直径, ∴CE∥DF． ∴∠EAH=90°．
∴∠AHE+∠AEH=90°．
∴∠MEA+∠AEH=90°,即∠MEH=90° 又∵EH为圆O1的直径， ∴MN为圆O1的切线.
例5. 如果两圆外切，切点为M，外公切线AB，切点为A、B，则∠AMB＝_________。 解： 如图所示，过点M作两圆的公切线交AB于点C, ∵AB是两圆的公切线， ∴CA=CM=CB
∴∠CAM=∠CMA，∠CBM=∠CMB， ∵∠CAM+∠CMA+∠CBM+∠CMB=180° ∴∠CMA+∠CMB=90°，即∠AMB=90°.
点拨：本题是一道典型题，可作为一般的结论记忆。
4
例6 . 如图，已知：⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C交⊙O1于 点B，直线AP交⊙O2于点D． （1）求证：PC平分∠BPD；
（2）将“⊙O1、⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变．（1）中的结论 是否仍然成立？画出图形并证明你的结论．
分析：（1）欲证PC平分∠BPD，即证∠BPC=∠CPD，可过点P作两圆的公切线PM交AC于点M，根 据切线的性质得出∠BPM=∠A，∠MPC=∠C，再通过角与角相互间的关系得出； （2）同（1），只是∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA． 证明：（1）过点P作两圆的公切线PM，交AC于点M．
则∠BPM=∠A，∠MPC=∠C．
∴∠BPC=∠BPM+∠MPC=∠A+∠C=∠CPD， ∴PC平分∠BPD．
（2）过点P作两圆的公切线PM，则∠MPB=∠A，∠MPC=∠BCP；
∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA， ∴PC平分∠BPD．
例7.如图，在内切的两圆中，设C为小圆的圆心，O为大圆的圆心，P为切点，⊙O的弦PQ和⊙C 相交于R，过点R作⊙C的切线与⊙O交于A、B两点，求证：Q是弧AB的中点.
分析：此题根据两圆相切，切点一定在连心线上，可以作辅助线．连接过切点 的半径可以得到直角．要证明弧相等，结合垂径定理的推论，只需证明 OQ⊥AB．所以根据同位角相等，证明出OQ∥CR，此题可解． 证明：连接OC并延长，则延长线必经过切点P，连接CR,OQ. ∵CP=CR，∴∠P=∠CRP． ∵OP=OQ，∴∠P=∠Q． ∴∠CRP=∠Q． ∴CR∥OQ．
∵AB与⊙C相切于点R， ∴CR⊥AB． ∴OQ⊥AB．
∴Q是弧AB的中点．
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例8 . 为了探索三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取
等边三角形（图甲）和直角三角形（图乙）进行研究．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分 别为点D、E、F．
（1） 用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长，填入空格处，并计算出周长L和面积S.
（结果精确到0.1厘米）
（2） 观察图形，利用上表实验数据分析、猜测特殊三角形的r与L、S之间关系，并证明这种
关系对任意三角形（图丙）是否也成立？
分析：（1）首先运用刻度尺进行准确测量，然后根据周长等于三边之和进行计算，根据面积等于 分割成的三个三角形的面积进行计算；
（2）根据表格中的数据，易猜想得到r=2S/L ．再根据三角形的总面积等于分割成的三部
分的面积进行计算证明．
解：（1）
（2）由图表信息猜测，得r=2S/L（或者2s=Lr）并且此关系对一般三角形都成立．
证明：在任意△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA、OB、OD，得
S△ABC= S△oBC+ S△oAC+ S△oAB
=
1111BC•r+ AC•r+ AB•r= Lr 2222
∴r = 2S/L ．
补充：在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c，BC=a，AC=b，r是△ABC的内切圆半径，R是△ABC的
外接圆半径。则：
r=a+b-c/2=ab/a+b+c， R=c/2.
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四．经典习题
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径长为： .
2.△ABC中，∠A=70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC= ，若O为△ABC的内心，则 ∠BOC= ，若O为△ABC的垂心，则∠BOC= .
3.两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是 . 4.△ABC周长为10，内切圆半径为2，则△ABC的面积为 . 5.如图，PA切⊙O于A，求证：∠PAB=∠C.
6.如图，△ABC中，∠C=90°，点O在BC边上，半圆O过点C，切AB于点D，交BC于E，又BE=1，
BD=2，求AD的长。
7.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD。 求证：DC是⊙O的切线。
8.如图，⊙O与△ABC三边分别截于DE、FG、HM，且DE=FG=HM，若∠A=70°, 求∠BOC度数.
9.如图，C为⊙O直径AB延长线上的点，CD切⊙O于D点，CE平分∠DCA，交AD于E点， 求∠DEC的大小。
7
10. 如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC中点，DE⊥AC于E，DE=6cm，CE=2cm， （1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求AC、AB的长.
11.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF，（1）求证：AE是∠BAC的平分线，（2）若∠ABD=60°，AB是否与EF平行，为什么？
12.如图，梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD+BC=CD，求证： （1）以AB为直径的圆与CD相切；（2）以CD为直径的圆与AB相切.
13.如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，A，B为切点，试判断以线段AB为 直径的圆与直线O1O2的位置关系，并说明理由。
8
14.阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被 划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA
11
又∵S△OAB=AB•r，S△OBC=BC•r，
221
S△OCA= CA•r.
2111
∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r
2221
=l•r 2
∴r=2S/L （或者2s=Lr）. （可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各
边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别
为a1、a2、a3、„、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
15.如图1，两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O1和⊙O2于A，B两点，连接NA，NB． （1）猜想点O2与⊙O1有什么位置关系，并给出证明； （2）猜想△NAB的形状，并给出证明；
（3）如图2，若过M的点所在的直线AB不垂直于MN，且点A，B在点M的两侧，那么（2）中的
结论是否成立，若成立请给出证明．
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§8.与圆有关的位置关系
☆黄冈 杨俊涛
一．知识整理
1.点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆外＜＝＞ d＞r；点在圆上＜＝＞ d =r；点在圆内＜＝＞ d ＜r。 2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
直线与圆相交＜＝＞ d ＜r；直线与圆相切＜＝＞ d =r；直线与圆相离＜＝＞ d ＞r。 3.圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含（同心）。 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r（R＞r），则：
两圆外离＜＝＞d＞R +r； 两圆外切＜＝＞ d =R＋r； 两圆相交＜＝＞ R－r＜d＜R +r； 两圆内切＜＝＞ d =R－r；两圆内含＜＝＞ 0≤d＜R—r。
4.相交两圆的连心线，垂直平分公共弦；相切两圆的连心线，必过切点。
5.切线的性质：如果一条直线满足“①过圆心②过切点③垂直于切线”中的任意两条，必满足 第三条。
6.切线的判定：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线。
7.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆（不在同一直线上的三点确定一个圆），这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 三角形的外心到三个顶点的距离相等。
9.三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等。
10.反证法的步骤是:先假设命题不成立；然后进行推理论证，得出矛盾；最后判定假设不成立，从而肯定原命题正确。
二.本节内容常添加的辅助线
1.证明直线和圆相切常有两种作辅助线的方法：
①若已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心，得到辅助半径，再证明直线垂直于所作的半径；②若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，再证明这条线段的长等于圆的半径。 2.在解决有关圆的切线长问题时，常作辅助线的方法有：
①分别连结圆心和切点；②连结两切点；③连结圆心和圆外一点。
3.两圆相交，常作公共弦。目的：利用公共圆周角或圆内接四边形性质架设两圆角的关系的桥梁，实现角的等量代换。
4.两圆相切，常作公切线。目的:利用弦切角架设两圆角的关系的桥梁。
5.圆心与圆心，常常心连心。目的：利用连心线垂直平分公共弦，通过构造直角三角形解决有关计算问题。
6.在解决有关三角形内（外）心问题时，常连结内（外）心和各顶点。目的：利用内（外）心的性质。
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三.典型例题
例1.（2006•雅安）如图，BC是⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，且弧CD=弧DE，连接EB、DO． （1）求证：EB∥DO；
（2）连接EC，在∠CEB的外部作∠BEA=∠C，直线EA交CB的延长线于A，
求证：直线EA是⊙O的切线。
分析：（1）由垂径定理得：OD⊥EC；由圆周角定理，得：
BE⊥EC；由此可证得EB∥DO．
（2）连接OE，证得∠OEA=90°即可． 证明：（1）∵弧CD=弧DE，∴OD⊥EC．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC=90°． ∴BE⊥EC． ∴EB∥DO． （2）连接OE；
∵OC=OE，∴∠C=∠OEC． ∵∠BEA=∠C，∴∠BEA=∠OEC； ∵∠BEC=90°,即∠OEC+∠BEO=90°， ∴∠BEA+∠BEO=90°,即∠OEA=90°． ∴直线EA是⊙O的切线．
例2 .如图，在Rt△ABC中，∠B=90°, ∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC,以D为
圆心，DB的长为半径作⊙D.
求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC.
分析：（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF，
得出AB+EB=AC．
证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AD平分∠BAC，AB⊥BC，DF⊥AC, ∴DF=DB，
∴AC为⊙D的切线． （2）在Rt△BDE和Rt△FDC中：
∵BD=FD，DE=DC，
∴△BDE≌△FDC（HL），∴EB=CF． 又AB、AF为⊙D的切线长， ∴AB=AF，∴AB+EB=AF+CF， 即AB+EB=AC．
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例3 .如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，直径BD=6，连接CD、AO． （1）求证：CD∥AO；
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若AO+CD=11，求AB的长．
分析：（1）欲证CD∥AO，根据平行线的判断，证明∠DCB=∠OEB即可；
（2）由题可知求y与x之间的函数关系式，可以通过△BDC∽△AOB的比例关系式得出； （3）求AB的长，因为AB是⊙O的切线，可先求OA，OB的长．AO+CD=11结合（2），解方程组并且检验，从而求解． 证明：（1）连接BC交OA于E点，
∵AB、AC是⊙O的切线， ∴AB=AC，∠1=∠2． ∴AE⊥BC． ∴∠OEB=90°． ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DCB=90°． ∴∠DCB=∠OEB． ∴CD∥AO． （2）∵CD∥AO，
∴∠D=∠AOB．
∵AB是⊙O的切线，DB是直径， ∴∠DCB=∠ABO=90°． ∴△BDC∽△AOB． ∴CD/BO = BD/AO． ∴x/3 = 6/y． ∴y=18/x．(0﹤x﹤6)
（3）由已知和（2）知：｛x + y = 11，xy = 18
把x、y看作方程z2
-11z+18=0的两根， 解这个方程得z1=2，z2=9，
∴｛x1 =2，y1 =9
｛x2 =9，y2 =2 （舍去）．
∴AB= √92-32 =√
．
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例4 .（2005•包头）如图1，圆O1与圆O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与圆O1交于点C， 与圆O2交于点D．经过点B的直线EF与圆O1交于点E，与圆O2交于点F．
（1）求证：CE∥DF；
（2）在图1中，若CD和EF可以分别绕点 A和点B转动，当点C与点E重合时 （如图2），过点E作直线MN∥DF， 试判断直线MN与圆O1的位置关系， 并证明你的结论．
分析：（1）只需连接AB，利用“圆的内接四边形的外角等于内对角”证明∠E+∠F=180°， 从而证明CE∥DF；
（2）作辅助线：构造直径所对的圆周角是90°．利用平行线的性质求出∠ABE=∠AHE， 根据“圆的内接四边形的外角等于内对角”得出∠D=∠ABE，所以得到∠MEA=∠AHE， ∠MEA+∠AEH=90°，利用切线的判定定理，可知MN为圆O1的切线．
解：（1）证明：连接AB； （2）MN与圆O1相切，
∵四边形ABEC是圆O1的内接四边形， 过E作圆O1的直径EH，连接AH和AB ∴∠BAD=∠E． ∵MN∥DF，∴∠MEA=∠D． 又∵四边形ADFB是圆O2的内接四边形， 又∵∠D=∠ABE，∠ABE=∠AHE， ∴∠BAD+∠F=180°． ∴∠MEA=∠AHE. ∴∠E+∠F=180°． ∵EH为圆O1的直径, ∴CE∥DF． ∴∠EAH=90°．
∴∠AHE+∠AEH=90°．
∴∠MEA+∠AEH=90°,即∠MEH=90° 又∵EH为圆O1的直径， ∴MN为圆O1的切线.
例5. 如果两圆外切，切点为M，外公切线AB，切点为A、B，则∠AMB＝_________。 解： 如图所示，过点M作两圆的公切线交AB于点C, ∵AB是两圆的公切线， ∴CA=CM=CB
∴∠CAM=∠CMA，∠CBM=∠CMB， ∵∠CAM+∠CMA+∠CBM+∠CMB=180° ∴∠CMA+∠CMB=90°，即∠AMB=90°.
点拨：本题是一道典型题，可作为一般的结论记忆。
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例6 . 如图，已知：⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C交⊙O1于 点B，直线AP交⊙O2于点D． （1）求证：PC平分∠BPD；
（2）将“⊙O1、⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变．（1）中的结论 是否仍然成立？画出图形并证明你的结论．
分析：（1）欲证PC平分∠BPD，即证∠BPC=∠CPD，可过点P作两圆的公切线PM交AC于点M，根 据切线的性质得出∠BPM=∠A，∠MPC=∠C，再通过角与角相互间的关系得出； （2）同（1），只是∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA． 证明：（1）过点P作两圆的公切线PM，交AC于点M．
则∠BPM=∠A，∠MPC=∠C．
∴∠BPC=∠BPM+∠MPC=∠A+∠C=∠CPD， ∴PC平分∠BPD．
（2）过点P作两圆的公切线PM，则∠MPB=∠A，∠MPC=∠BCP；
∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA， ∴PC平分∠BPD．
例7.如图，在内切的两圆中，设C为小圆的圆心，O为大圆的圆心，P为切点，⊙O的弦PQ和⊙C 相交于R，过点R作⊙C的切线与⊙O交于A、B两点，求证：Q是弧AB的中点.
分析：此题根据两圆相切，切点一定在连心线上，可以作辅助线．连接过切点 的半径可以得到直角．要证明弧相等，结合垂径定理的推论，只需证明 OQ⊥AB．所以根据同位角相等，证明出OQ∥CR，此题可解． 证明：连接OC并延长，则延长线必经过切点P，连接CR,OQ. ∵CP=CR，∴∠P=∠CRP． ∵OP=OQ，∴∠P=∠Q． ∴∠CRP=∠Q． ∴CR∥OQ．
∵AB与⊙C相切于点R， ∴CR⊥AB． ∴OQ⊥AB．
∴Q是弧AB的中点．
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例8 . 为了探索三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取
等边三角形（图甲）和直角三角形（图乙）进行研究．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分 别为点D、E、F．
（1） 用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长，填入空格处，并计算出周长L和面积S.
（结果精确到0.1厘米）
（2） 观察图形，利用上表实验数据分析、猜测特殊三角形的r与L、S之间关系，并证明这种
关系对任意三角形（图丙）是否也成立？
分析：（1）首先运用刻度尺进行准确测量，然后根据周长等于三边之和进行计算，根据面积等于 分割成的三个三角形的面积进行计算；
（2）根据表格中的数据，易猜想得到r=2S/L ．再根据三角形的总面积等于分割成的三部
分的面积进行计算证明．
解：（1）
（2）由图表信息猜测，得r=2S/L（或者2s=Lr）并且此关系对一般三角形都成立．
证明：在任意△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA、OB、OD，得
S△ABC= S△oBC+ S△oAC+ S△oAB
=
1111BC•r+ AC•r+ AB•r= Lr 2222
∴r = 2S/L ．
补充：在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c，BC=a，AC=b，r是△ABC的内切圆半径，R是△ABC的
外接圆半径。则：
r=a+b-c/2=ab/a+b+c， R=c/2.
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四．经典习题
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径长为： .
2.△ABC中，∠A=70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC= ，若O为△ABC的内心，则 ∠BOC= ，若O为△ABC的垂心，则∠BOC= .
3.两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是 . 4.△ABC周长为10，内切圆半径为2，则△ABC的面积为 . 5.如图，PA切⊙O于A，求证：∠PAB=∠C.
6.如图，△ABC中，∠C=90°，点O在BC边上，半圆O过点C，切AB于点D，交BC于E，又BE=1，
BD=2，求AD的长。
7.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD。 求证：DC是⊙O的切线。
8.如图，⊙O与△ABC三边分别截于DE、FG、HM，且DE=FG=HM，若∠A=70°, 求∠BOC度数.
9.如图，C为⊙O直径AB延长线上的点，CD切⊙O于D点，CE平分∠DCA，交AD于E点， 求∠DEC的大小。
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10. 如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC中点，DE⊥AC于E，DE=6cm，CE=2cm， （1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求AC、AB的长.
11.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF，（1）求证：AE是∠BAC的平分线，（2）若∠ABD=60°，AB是否与EF平行，为什么？
12.如图，梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD+BC=CD，求证： （1）以AB为直径的圆与CD相切；（2）以CD为直径的圆与AB相切.
13.如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，A，B为切点，试判断以线段AB为 直径的圆与直线O1O2的位置关系，并说明理由。
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14.阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被 划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA
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又∵S△OAB=AB•r，S△OBC=BC•r，
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S△OCA= CA•r.
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∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r
2221
=l•r 2
∴r=2S/L （或者2s=Lr）. （可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各
边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别
为a1、a2、a3、„、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
15.如图1，两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O1和⊙O2于A，B两点，连接NA，NB． （1）猜想点O2与⊙O1有什么位置关系，并给出证明； （2）猜想△NAB的形状，并给出证明；
（3）如图2，若过M的点所在的直线AB不垂直于MN，且点A，B在点M的两侧，那么（2）中的
结论是否成立，若成立请给出证明．
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