第八章离散控制系统

8．1 引言

自动控制系统发展至今，数字计算机作为补偿装置或控制装置越来越多的应用到控制系统中。数字计算机中处理的信号是离散的数字信号。所谓离散信号，是指定义在离散的时刻点上信号，连续信号经过等间隔时间采样后就变成离散时间信号。而数字信号，是指由二进制数表示的信号，计算机中的信号就是数字信号。数字信号的取值只能是有限个离散的数值。如果一个系统中的变量有离散时间信号，就把这个系统叫做离散时间系统，简称离散系统。如果一个系统中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统。图8－1为典型的计算机控制系统框图，计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统。计算机工作在离散状态，控制对象和测量元件工作在模拟状态。偏差信号e (t ) 是模拟信号，经过A/D变换后转换成离散的数字信号e (t ) 进入计算机。计算机按照一定的控制规律处理输入信号，完成控制器的功能。计算机的输出信号u *(t ) 为离散的数字信号，经过D/A 变换后转换成模拟信号u h (t ) 。u h (t ) 输入到控制对象，是其按预定方式工作。将图8－1中的A/D转换器由一个采样开关代替，D/A转换器由采样开关和保持器代替，得到图8－2。在量化误差可以忽略的情况下，计算机控制系统可以看作是离散控制系统。

图8－1 计算机控制系统

图8－2 离散控制系统

8．2 采样系统

在离散控制系统中，数字计算机只能处理离散的数字信号，而系统中其余元件则处理模拟信号，所以在数字计算机与其余元件之间需要进行信号转换。信号经过A/D转换，变成离散的数字信号输入到计算机。而计算机输出的离散的数字信号经过D/A转换，变成模拟信号输入到其余元件。在分析离散控制系统时，假定输入到计算机和从计算机输出的每一个

e *(t )

δ(t -kT )

图8－3 采样过程

数字量之间的时间间隔为T ，称为采样时间，1/T 为采样频率，单位为Hz 。所以在图8－2中，偏差信号

∞

e (t ) =∑e (kT ) δ(t -kT )

k =0

（8－1）

e *(t ) 为离散信号，该信号实际上是由二进制表示的数字信号，通常为8位、10位、12位或者16位数字信号。若数字信号的位数为N ，则其最小单位为

1q =N （8－2）

q 称为量化单位。可以看出量化会带来一定的误差，q 越小，量化误差越小。在分析离散系

统的特性时，通常忽略量化误差。图8－3是模拟信号经过采样后变换成离散的数字信号的过程，经过采样后，离散信号只在kT 时刻上有意义，而在其余时刻无意义。

计算机的输出信号通过D/A变换，变成模拟信号。D/A变换首先将计算机中的数字信号变成模拟电压值，然后在每个采样间隔内保持输出信号的值。D/A转换通常采用零阶保持器，它将采样时刻kT 时的电压或电流值保持到下一个采样时刻(k +1) T 到来之前。若经零阶保持器保持之后，D/A转换器输出的模拟信号记为x h (t ) ，则有

x h (KT +τ) =x (kT ) 0

（8－3）

图8－4为零阶保持器的输出特性，可以看出每个采样时刻的离散信号经过零阶保持器都保持到下一个采样时刻到来之前，保持时间为一个采样周期，x h (t ) 为阶梯信号。

图8－4 零阶保持器输出特性

从零阶保持器的特性可以得出，其单位冲激响应为幅值为1，宽度为T 的矩形脉冲，表示为

g h (t ) =1(t ) -1(t -T )

对g h (t ) 取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为

（8－4）

1e -Ts 1-e -Ts

H 0(s ) =-=

s s s

（8－5）

由采样定理可知，若信号的频率分量中最大频率为ω，则采样频率1/T >2ω，才能保证信号不失真的进行A/D和D/A转换。在控制系统中，通常要求采样频率为系统闭环带宽的20倍或20倍以上。

8．3 z变换

8．3．1 z变换

在分析线性连续系统时，使用了拉普拉斯变换，对离散信号

x (t ) =∑x (kT ) δ(t -kT )

k =0

∞

进行拉氏变换，得到

X (s ) =∑x (kT ) e -kTs

k =0

∞

（8－6）

令z =e ，得到

X (z ) =∑x (kT ) z -k

k =0

∞

（8－7）

X (z ) 称为离散时间函数——脉冲序列x *(t ) 的z 变换，记为

X (z ) = [x (t ) ]= ⎡x ⎣(t ) ⎤⎦

（8－8）

可以看出，z 变换是的离散信号进行拉氏变换的一种表示方法。常用的z 变换方法有级数求

和法和部分分式法。 1. 级数求和法

根据z 变换的定义，将连续信号e (t ) 按周期T 进行采样，将采样点处的值代入式（8－7），可得

E (z ) =e (0) +e (T ) z -1+e (2T ) z -2+ +e (nT ) z -n +

再求出上式的闭合形式，即可求得E (z ) 。

例8-1 对连续时间函数

⎧⎪a t

e (t ) =⎨

⎪⎩0

按周期T =1进行采样，可得

t ≥0

⎧⎪a n

e (n ) =⎨

⎪⎩0

试求E (z ) 。

解

按(8-7)z 变换的定义

∞

n ≥0

E (z ) =∑e (nT ) z

n =0

-n

=∑(az -1) n =1+az -1+(az -1) 2+(az -1) 3+

n =0

若z >a ，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为

E (z ) =

2. 部分分式法（查表法）

z z -a

z >a

已知连续信号e (t ) 的拉氏变换E (s ) ，将E (s ) 展开成部分分式之和

E (s ) =E 1(s ) +E 2(s ) + +E n (s )

且每一个部分分式E i (s ) (i =1, 2, n ) 都是z 变换表中所对应的标准函数，其z 变换即可查表得出

E (z ) =E 1(z ) +E 2(z ) + +E n (z )

例8-2 已知连续函数的拉氏变换为

E (s ) =

试求相应的z 变换E (z ) 。

解

将E (s ) 展成部分分式：

s +2

s 2(s +1)

E (s ) =

对上式逐项查z 变换表，可得

2s 2

11+ s s +1

E (z ) =

2Tz z z

(z -1) 2z -1z -e -T (2T +e

-T

-1) z +[1-e (2T +1)]z (z -1) 2(z -e -T )

2-T

常用函数的z 变换表见附录A 表A-2。由表可见，这些函数的z 变换都是z 的有理分式。

8．3．2 z变换的基本定理

应用z 变换的基本定理，可以使z 变换的应用变得简单方便，下面介绍常用的几种z 变

换定理。

1. 线性定理

若E 1(z ) =Z [e 1(t )], E 2(z ) =Z [e 2(t )], a , b 为常数，则

Z [ae 1(t ) ±be 2(t )]=aE 1(z ) ±bE 2(z ) (8－9) 上式表明，z 变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。 2. 实数位移定理

实数位移是指整个采样序列e (nT ) 在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移

e (nT +kT ) 为超前，向右平移e (nT -kT ) 为滞后。实数位移定理表示如下：

如果函数e (t ) 是可z 变换的，其z 变换为E (z ) ，则有滞后定理

Z [E (t -kT )]=z -k E (z ) (8－10)

以及超前定理

Z [e (t +kT )]=z [E (z ) -其中k 为正整数。

显然可见，算子z 有明确的物理意义：z

-k

∑e (nT ) z

n =0

k -1

-n

] （8－11）

代表时域中的延迟算子，它将采样信号滞后

k 个采样周期；同理，z k 代表超前环节，它把采样信号超前k 个采样周期。

实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理。应用实数位移定理，可将描述离散系统的差分方程转换为z 域的代数方程。

例8-3 试用实数位移定理计算滞后函数(t -5T ) 3的z 变换。解由式(8－10)

t 3

Z [(t -5T ) ]=z Z [t ]=z 3! Z []

3232-5

T (z +4z +1) T (z +4z +1) z =6z -5=

6(z -1) 4(z -1) 4

-5

3. 复数位移定理

如果函数e (t ) 是可z 变换的，其z 变换为E (z ) ，则有

Z [a

e (t )]=E (za ±bT ) (8－12)

例8-4 试用复数位移定理计算函数t e 解

令e (t ) =t ，查表可得

的z 变换。

t 2T 2z (z +1)

E (z ) =Z [t ]=2Z ]=

2(z -1) 3

根据复数位移定理(8－12) ，有

Z [t e ]=E (ze

2at -at

) =

T 2ze -at (ze -at +1) (ze

-at

-1)

T 2ze at (z +e at ) (z -e at ) 3

4. 终值定理

如果信号e(t)的z 变换为E(z)，信号序列e(nT)为有限值(n＝o ，1，2，…) ，且极限

lim e (nT ) 存在，则信号序列的终值

n →∞

lim e (nT ) =lim (z -1) E (z ) (8－13)

n →∞

z →1

例8-5 设z 变换函数为

z 3

E (z ) =2

(z -1)(z +7z +5)

试利用终值定理确定e (nT ) 的终值。

解

由终值定理(8－13) 得

z 3z 31

e (∞) =lim (z -1) E (z ) =lim (z -1) =lim = 22z →1z →1z →113(z -1)(z +7z +5) (z +7z +5)

5. 卷积定理

设x (nT ) 和y (nT ) (n =0, 1, 2, ) ，为两个采样信号序列，其离散卷积定义为 x (nT ) *y (nT ) =则卷积定理可描述为：在时域中，若

g (nT ) =x (nT )*y (nT ) (8－15) 则在z 域中必有

G (z ) =X (z ) ⋅Y (z ) (8－16) 在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域与z 域的桥梁。利用卷积定理可建立离散系统的脉冲传递函数。

应当注意，z 变换只反映信号在采样点上的信息，而不能描述采样点间信号的状态。因此z 变换与采样序列对应，而不对应唯一的连续信号。不论什么连续信号，只要采样序列一样，其z 变换就一样。

∞

∑x (kT ) y [(n -k ) T ] (8－14)

k =0

8．3．3 z反变换

已知z 变换表达式E (z ) ，求相应离散序列e (nT ) 的过程, 称为z 反变换，记为 e (nT ) =Z [E (z )] (8－17) 当n

部分分式法又称查表法，根据已知的E (z ) ，通过查z 变换表找出相应的e (t ) ，或者

-1

e (nT ) 。考虑到z 变换表中，所有z 变换函数E (z ) 在其分子上都有因子z ，所以，通常先将E (z ) z 展成部分分式之和，然后将分母中的z 乘到各分式中，再逐项查表反变换。

例8-6 设E (z ) 为

E (z ) =

试用部分分式法求e (nT ) 。

解首先将

10z

(z -1)(z -2)

E (z )

展开成部分分式，即 z

E (z ) 10-1010

==+

z (z -1)(z -2) z -1z -2

-10z 10z

+ z -1z -2

把部分分式中的每一项乘上因子z 后，得

E (z ) =

查z 变换表得

Z -1[

最后可得

z z ]=1，Z -1[]=2n z -1z -2

e (t ) =∑e (nT ) δ(t -nT ) =10(-1+2n ) δ(t -nT ) n =0, 1, 2

n =0

∞

2. 幂级数法

z 变换函数的无穷项级数形式具有鲜明的物理意义。变量z -n 的系数代表连续时间函数

在nT 时刻上的采样值。若E (z ) 是一个有理分式，则可以直接通过长除法，得到一个无穷

-n

项幂级数的展开式。根据z 的系数便可以得出时间序列e (nT ) 的值。

例8-7 设E (z ) 为

E (z ) =

试用长除法求e (nT ) 或e *(t ) 。

解

10z

(z -1)(z -2)

E (z ) =

10z 10z

(z -1)(z -2) z -3z +2

应用长除法，用分母去除分子，即

10z -1+30z -2+70z -3+150z -4+

z 2-3z +210z

-) 10z -30z 0+20z -1

30z 0-20z -1-) 30z 0

-90z -1+60z -270z -1-60z -2

-) 70z -1-210z -2+140z -3

150z -2-140z -3

E (z ) 可写成

E (z ) =0z 0+10z -1+30z -2+70z -3+150z -4+

所以

e *(t ) =10δ(t -T ) +30δ(t -2T ) +70δ(t -3T ) +150δ(t -4T ) +

长除法以序列的形式给出e (0), e (T ), e (2T ), e (3T ), 的数值，但不容易得出e (nT )

的封闭表达形式。

3. 反演积分法（留数法）

反演积分法又称留数法。在实际问题中遇到的z 变换函数E (z ) ，除了有理分式外，也可能是超越函数，此时无法应用部分分式法及幂级数法来求z 反变换，只能采用反演积分法。当然，反演积分法对E (z ) 为有理分式的情形也适用。E (z ) 的幂级数展开形式为

E (z ) =

∞

∑e (nT ) z

n =0

-n

(8－18)

设函数E (z ) z n -1除有限个极点z 1, z 2, …z k 外，在z 域上是解析的，则有反演积分公式

1n -1

e (nT ) =E (z ) z dz =∑Re s [E (z ) z n -1]z →z i (8－19) 2πj Γi =1

式中Re s [E (z ) z

]z →z i 表示函数E (z ) z n -1在极点z i 处的留数，留数计算方法如下：

若z i (i =0, 1, 2, , k ) 为单极点，则

Re s [E (z ) z

n -1

]z →z i =lim [(z -z i ) E (z ) z n -1] (8－20)

z →z i

若z i 为m 阶重极点，则

Re s [E (z ) z

例8-8 设E (z ) 为

n -1

]z →z i

1⎧d m -1m n -1⎫=⎨m -1[(z -z i ) E (z ) z ]⎬ (z -1)! ⎩dz ⎭z =z

E (z ) =

试用反演积分法求e (nT ) 。

解

根据式（8－19），有

10z

(z -1)(z -2)

e (nT ) =∑Re s [

10z

z n -1]

(z -1)(z -2)

10z n 10z n

=[⋅(z -1)]z =1+[⋅(z -2)]z =2 (z -1)(z -2) (z -1)(z -2) =-10+10⨯2n =10(-1+2n )

例8-9 设z 变换函数

n =0, 1, 2,

z 3

E (z ) =2

(z -1)(z -5)

试用留数法求其z 反变换。

解因为函数

E (z ) z

n -1

z n +2

(z -1)(z -5) 2

有z 1=1是单极点，z 2=5是2阶重极点，极点处留数

Re s [E (z ) z

n -1

]z →z 1=lim [(z -1) E (z ) z

z →1

n -1

z n +21

]=lim (z -1) = 2z →116(z -1)(z -5)

Re s [E (z ) z

]z →z 2

1⎧d m -15n -1⎫=[z -5]E (z ) z ⎨⎬

(m -1)! ⎩dz m -1⎭z →5

⎫1⎧d 2-1z n +22=[(z -5) ] ⎨⎬(2-1)! ⎩dz 2-1(z -1)(z -5) 2⎭z →5(4n +3) 5n +1=

所以

e (nT ) =∑Re s [E (z ) z

i =1

n -1

1(4n +3) 5n +1(4n +3) 5n +1+1

]z →z i =+=

161616

相应的采样函数

(4n +3) 5n +1+1

e (t ) =∑e (nT ) δ(t -nT ) =∑δ(t -nT )

16n =0n =0

=δ(t ) +11δ(t -1) +86δ(t -2) +

∞

8．4 脉冲传递函数

8．4．1 脉冲传递函数定义

设离散系统如图8－5所示，如果系统的输入信号为r (t ) ，采样信号r *(t ) 的z 变换函数为

R (z ) ，系统连续部分的输出为c (t ) ，采样信号

则线性定常离散系统c *(t ) 的z 变换函数为C (z ) ，

的脉冲传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出采样信号的z 变换C (z ) 与输入采样信号的z 变换R (z ) 之比，记作

∞

图8－5 离散系统

G (z ) =

C (z )

=R (z )

-n

c (nT ) z ∑

∑r (nT ) z

n =0

n =0∞

(8－21)

-n

所谓零初始条件，是指在t

式(8－31) 表明，如果已知R (z ) 和G (z ) ，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为

G (nT ) =Z -1[C (z )]=Z -1[G (z ) R (z )]

输出是连续信号c (t ) 的情况下，如图8－6所示。可以在系统输出端虚设一个开关，如图中虚线所示，它与输入采样开关同步工作，具有相同的采样周期。如果系统的实际输出c (t ) 比较平滑，且采样频率较高，则可用c *(t ) 近似描述c (t ) 。必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的只是输出连续函数c (t ) 在采样时刻的离散值c *(t ) 。

图8－6 开环采样系统

8．4．2 串联环节的脉冲传递函数

离散系统中，计算串联环节的脉冲传递函数需要考虑环节之间有无采样开关。 1. 串联环节之间有采样开关

如图8－7所示，当串联环节G 1(s ) 和G 2(s ) 之间有采样开关时，由脉冲传递函数定义可知

D (z ) =G 1(z ) R (z ) , C (z ) =

G 2(z ) D (z )

其中，G 1(z ) 和G 2(z ) 分别为G 1(s ) 和G 2(s ) 的脉冲传递函数。则

C (z ) =G 2(z ) G 1(z ) R (z )

可以得到串联环节的脉冲传递函数为

G (z ) =

C (z )

=G 1(z ) G 2(z ) (8－22) R (z )

上式标明，当串联环节之间有采样开关时，脉冲传递函数等于两个环节脉冲传递函数的乘积。同理可知，n 个串联环节间都有采样开关时，脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的乘积。

图8－7 串联环节间有采样开关

2. 串联环节之间无采样开关

如图8－8所示，当串联环节G 1(s ) 和G 2(s ) 之间没有理想采样开关时，系统的传递函数为

图8－8 环节间无采样开关的串联离散系统

G (s ) =G 1(s ) G 2(s )

由脉冲传递函数定义可知 G (z ) =

C (z )

=Z [G 1(s ) G 2(s ) ]=G 1G 2(z ) (8－23) R (z )

上式表明，当串联环节之间没有采样开关时，脉冲传递函数等于两个环节的连续传递函数乘积的z 变换。同理可知，n 个串联环节间都没有采样开关时，脉冲传递函数等于各环节的连续传递函数乘积的z 变换。

显然，G 1(z ) G 2(z ) ≠G 1G 2(z ) ，从上面的分析我们可以得出结论：在串联环节之间有无采样开关，脉冲传递函数是不相同的。

例8－10 设开环离散系统如图8－7、图8－8所示，G 1(s ) =1/s , G 2(s ) =a /(s +a ) ，输入信号r (t ) =1(t ) ，试求两种系统的脉冲传递函数G (z ) 和输出的z 变换C (z ) 。

解

输入r (t ) =1(t ) 的z 变换为

R (z ) =

对如图8－7系统

z -1

G 1(z ) =Z []=

s z -1

a az

G 2(z ) =Z []=

s +a z -e -aT

有

az 2

G (z ) =G 1(z ) G 2(z ) =-aT

(z -1)(z -e ) az 3

C (z ) =G (z ) R (z ) =2-aT

(z -1) (z -e )

对如图8－8系统

G 1(s ) G 2(s ) =

a s (s +a )

a z (1-e -aT )

G (z ) =G 1G 2(z ) =Z []= -aT

s (s +a ) (z -1)(z -e ) z 2(1-e -aT )

C (z ) =G (z ) R (z ) =

(z -1) 2(z -e -aT )

显然，在串联环节之间有无采样开关时，其总的脉冲传递函数和输出z 变换是不相同的。但是，不同之处仅表现在其开环零点不同，极点仍然一样。 3. 环节与零阶保持器串联

图8－9 环节与零阶保持器串联

如图8－9所示，当环节与零阶保持器串联时，串联环节的连续传递函数为

G (s ) 1-e -Ts

G (s ) =H 0(s ) G 0(s ) =G 0(s ) =(1-e -Ts ) 0

s s

令G 1(s ) =G 0(s ) /s ，则有

G (s ) =(1-e -Ts ) G 1(s ) =G 1(s ) -e -Ts G 1(s )

G (s ) 的单位冲激响应为

-Ts

g (t ) = -1[G (s ) ]= -1⎡G (s ) -e G 1(s ) ⎤1⎣⎦

=g 1(t ) -g 1(t -T )

对上式做z 变换可得环节与零阶保持器串联时的脉冲传递函数为

G (z ) = [g (t ) ]= [g 1(t ) -g 1(t -T ) ]=G 1(z ) -z -1G 1(z )

即

⎡G (s ) ⎤

G (z ) =(1-z -1) ⎢0⎥

⎣s ⎦

例8－11 设离散系统如图8－10所示，已知

（8－24）

图8－10 有零阶保持器的离散系统

G 0(s ) =

试求系统的脉冲传递函数G (z ) 。

解因为

s (s +a )

G 0(s ) a 11⎛11⎫

=2=2- -⎪ s s (s +a ) s a ⎝s s +a ⎭

得

[

G 0(s ) Tz 1⎛z z ⎫]=-- ⎪s (z -1) 2a ⎝z -1z -e -aT ⎭

1-aT -aT -aT z ⎡⎣(e +aT -1) z +(1-aTe -e ) ⎤⎦ =

(z -1) 2(z -e -aT )

所以系统脉冲传递函数为

1-aT -aT -aT ⎡(e +aT -1) z +(1-aTe -e ) ⎤⎦⎡G 0(s ) ⎤⎣-1

G (z ) =(1-z ) ⎢=-aT ⎥s (z -1)(z -e ) ⎣⎦

可以看出，零阶保持器不改变开环脉冲传递函数的阶数也不影响开环脉冲传递函数的极点，只影响开环零点。

8．5 线性离散系统的脉冲传递函数

图8－11为一个典型的线性离散系统框图

由脉冲传递函数的定义及开环脉冲传递函数的求法，对图8－11可建立方程组如下：

图8－11 闭环离散系统结构图

⎧C (z ) =G (z ) E (z ) ⎪

⎨E (z ) =R (z ) -B (z ) ⎪B (z ) =GH (z ) E (z ) ⎩

解上面联立方程，可得该闭环离散系统脉冲传递函数

Φ(z ) =

闭环离散系统的误差脉冲传递函数

C (z ) G (z )

（8－25） =

R (z ) 1+GH (z )

Φe (z ) =

E (z ) 1

= （8－26） R (z ) 1+GH (z )

令Φ(z ) 或Φe (z ) 的分母多项式为零，便可得到闭环离散系统的特征方程：

D (z ) =1+GH (z ) =0 （8－27）

式中，GH (z ) 为离散系统的开环脉冲传递函数。

线性离散系统的结构多种多样，采样开关所处位置不同，结构相似的离散系统的传递函数完全不相同。而且当偏差信号不是以离散信号的形式输入到前向通道的第一个环节时，一般写不出闭环脉冲传递函数，而只能写出输出的z 变换表达式。表8－1为常见的线性离散系统的框图及输出信号的z 变换C (z ) 。

表8－1 常见线性离散系统的框图及C (z )

续表8－1

图8－12 线性离散系统

例8－12 试求图8－12中线性离散系统的闭环脉冲传递函数解

系统开环脉冲传递函数为

⎡1k ⎤

G (z ) = [G (s ) ]=(1-z -1) ⎢⎥

⎣s s (s +a ) ⎦

-aT -aT -aT

k [(aT -1+e ) z +(1-e -aTe )] =

a 2(z -1)(z -e -aT )

则系统的闭环脉冲传递函数为

Φ(z ) =

C (z ) G (z )

R (z ) 1+G (z )

k [(aT -1+e -aT ) z +(1-e -aT -aTe -aT )]

=22

a z +[k (aT -1+e -aT ) -a 2(1+e -aT )]z +[k (1-e -aT -aTe -aT ) +a 2e -aT ]

例8－13 试求图8－13线性离散系统的输出信号c (t ) 的z 变换。

图8－13 线性离散系统

解

从系统框图可以列些方程组如下

C (s ) =G 3(s ) N *(s )

N (s ) =G 2(s ) M *(s )

M (s ) =G 1(s ) E (s ) =G 1(s )[R (s ) -H (s ) C (s )] =G 1(s ) R (s ) -G 1(s ) H (s ) G 3(s ) N (s )

以上3个方程的左边信号均有离散信号存在，对以上3个方程作z 变换可得

C (z ) =G 3(z ) N (z ) N (z ) =G 2(z ) M (z )

M (z ) =G 1(z ) R (z ) -G 1HG 3(z ) N (z )

整理上3式可得

C (z ) =G 3(z ) G 2(z ) N (z )

=G 3(z ) G 2(z )[G 1R (z ) -G 1G 3H (z ) C (z ) /G 3(z )] =G 2(z ) G 3(z ) G 1R (z ) -G 2(z ) G 1G 3H (z ) C (z )

由上式可以得到输出信号的z 变换为

C (z ) =

G 2(z ) G 3(z ) G 1R (z )

1+G 2(z ) G 1G 3H (z )

因为该系统的偏差信号未经采样开关就输入到前向通道第一个环节，所以系统的闭环传递函数不能写出来，只能得到输出信号的z 变换式。

8．6 线性离散系统的稳定性

线性离散系统的数学模型是建立在z 变换的基础上的，在z 平面上分析线性离散系统的稳定性，可以借助于连续系统在s 平面上稳定性的分析方法。为此首先需要研究s 平面与z 平面的映射关系。

8．6．1 s平面到z 平面的映射关系

在z 变换定义中，

z =e sT

其中，T 为采样周期。将s

（8－28）

=σ+j ω代入到式（8－28），得到

z =e (σ+j ω) T =e σT e j ωT （8－29）

于是s 域到z 域的基本映射关系式为

z =e

σT

∠z =ωT （8－30）

在s 平面的虚轴，即σ=0。当ω从-∞变到∞时，由式(8－30) 知，映射到z 平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆。只是当s 平面上的点沿虚轴从-ωs 2移到ωs 2时(其中

ωs =2π为采样角频率) ，z 平面上的相应点沿单位圆从-π逆时针变化到π正好转了一圈；而当s 平面上的点在虚轴上从从-ωs 2移到3ωs 2时，z 平面上的相应点又将逆时针沿单位圆转过一圈。依次类推，如图8－14所示。由此可见，可以把s 平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从-ωs 2到ωs 2的周期带称为主带，其余的周期带称为辅带。

而s 平面的整个虚轴在z 平面的映像为单位圆。

图8－14 s 平面虚轴在z 平面上的映射

在s 平面左半部，即σ0，z

从s 平面与z 平面的映射关系可以看出，s 平面上稳定区域，即s 平面的左半部在z 平面的映射为单位圆内。这说明，z 平面的上的稳定区域为单位圆内，而单位圆外为不稳定区域，单位圆是稳定与不稳定的分界线。

8．6．2 线性离散系统稳定的充要条件

闭环线性离散系统稳定的充要条件为：线性离散系统的闭环特征根全部位于z 平面的单位圆内，或者说全部闭环特征根的模均小于1。如果闭环特征根中，有位于z 平面单位圆以外者时，则闭环线性离散系统是不稳定的。

例8－14 设线性离散系统的闭环特征方程为z -0. 736z +0. 368=0

试判断系统的稳定性。

解

由系统闭环特征方程

z 2-0. 736z +0. 368=0

解出特征方程的根

z 1=0. 37+j 0. 48, z 2=0. 37-j 0. 48

因为z 1=z 2=

0. 372+0. 482=0. 606

该例子中，闭环特征方程的阶数为2阶，直接求闭环特征根比较容易。而当系统阶数较高时，求根就比较麻烦。

8．6．3 劳斯稳定判据

在连续系统的稳定性分析中，利用劳思稳定判据来判断系统特征方程的根是否都在s 平面左半部。若要在离散系统的稳定性分析中应用劳斯判据，需要将z 平面的单位圆映射到另一个平面的左半部。采用w 变换，令

z =

则有

w =

w +1

（8－31） w -1z +1

z -1

（8－32）

式（8－31）和（8－32）表明，w 变换为可逆的双向线性变换，便于应用。令

z =x +jy ， w =u +jv 代入式（8－32），得

(x 2+y 2) -12y

u +jv =-j 2222

(x -1) +y (x -1) +y

显然

(x 2+y 2) -1

u =

(x -1) 2+y 2

由于上式的分母(x -1) +y 始终为正，因此可得

① u =0等价为x +y =1，表明w 平面的虚轴对应于z 平面的单位圆周；

② u

③ u >0等价为x +y >1，表明右半w 平面对应于z 平面单位圆外的区域。

图8－15 z平面与w 平面的对应关系

z 平面和w 平面的这种对应关系，如图8－15所示。经过w 变换之后，z 平面上的单位圆内映射到w 平面左半部，所以根据w 域中的特征方程系数，可以直接应用劳思判据判

断离散系统的稳定性。

例8－15 设闭环离散系统的脉冲传递函数为

G (z ) =

0.632Kz

z -1.368z +

0.368

试用劳斯判据求出系统临界稳定时的K 值。

解

闭环特征方程为

1+G (z ) =z 2+(0. 632K -1. 368) z +0. 368=0

令z =(w +1) (w -1) , 得

⎛w +1⎫⎛w +1⎫ ⎪+(0. 632K -1. 368) ⎪+0. 368=0 ⎝w -1⎭⎝w -1⎭

化简后，得w 域特征方程

0. 632Kw 2+1. 264w +(2. 736-0. 632K ) =0

列出劳思表

w 2w 1w 0

界增益K =4.33。

0. 632K 1. 264

2. 736-0. 632K

从劳思表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须有0

8．7 线性离散系统的时域分析

8．7．1 极点在z 平面的分布与暂态响应

同连续系统类似，线性离散系统的闭环极点在z 平面上的分布，决定了系统时域响应的形式。设离散系统的闭环脉冲传递函数为

M (z )

Φ(z ) ==k

D (z )

∏(z -z )

∏(z -p )

k =1

i =1n

m ≤n

其中，z i (i =1, 2, , m ) 为Φ(z ) 的零点，p k (k =1, 2, , n ) 为Φ(z ) 的极点。不失一般性，且为了便于讨论，假定Φ(z ) 无重极点。

当r (t ) =1(t ) 时，离散系统输出的z 变换

C (z ) =Φ(z ) R (z ) =

将C (z ) 展成部分分式

M (z ) z

⋅ D (z ) z -1

z z

（8－33） C (z ) =A ⋅+∑B k

z -1k =1z -p k

其中

A =

M (z ) D (z )

, B k =

z =1

M (z )(z -p k ) D (z )(z -1)

z =p k

对（8－33）进行反z 变换得到

（8－34） c (nT ) =A +∑B k p k

k =1n

式（8－34）中，第二项为暂态分量，显然极点p k 在z 平面的位置决定了暂态响应中各分量的类型。 1.

p k 为实数

当闭环脉冲传递函数的极点为实数时，暂态响应对应的分量为

c k (nT ) =B k p k

（8－35）

1) 若p k >1，闭环单极点位于z 平面单位圆外的正实轴上，有a >0，故动态响应c k (nT )

是按指数规律发散的脉冲序列；

2) 若p k =1，闭环单极点位于右半z 平面的单位圆周上，有a =0，故动态响应c k (nT ) ＝

B k ，为等幅脉冲序列；

3) 若0

p k

图8－16 闭环实极点分布与相应的动态响应形式

且p k a 越大，c k (nT ) 衰减越快。 c k (nT ) 是按指数规律收敛的脉冲序列，

4) 若p k

散脉冲序列；

5) 若p k =-1，闭环单极点位于左半z 平面的单位圆周上，则c k (nT ) 为交替变号的等幅

脉冲序列；

6) 若-1

号的衰减脉冲序列，且p k 离原点越近，c k (nT ) 衰减越快。闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系如图8－16所示。

2. 共轭复数极点

当闭环脉冲传递函数有一对共轭复数极点p k , k +1=a ±jb 时，可以证明这一对极点对应的暂态响应为

c k , k +1(nT ) =A k λk n cos(n θk +ϕk )

其中，A k 和ϕk 是由部分分式展开式的系数所决定的常数，而

（8－36）

λk ==p k

θk =tg -1

1) 若p k >1，闭环复数极点位于z 平面上的单位圆外，有a >0，故动态响应c k , k +1(nT )

为振荡发散脉冲序列

2) 若p k =1，闭环复数极点位于z 平面上的单位圆上，有a =0，故动态响应c k , k +1(nT )

为等幅振荡脉冲序列

3) 若p k

为振荡收敛脉冲序列，且p k 越小，即复极点越靠近原点，振荡收敛越快。闭环共轭复数极点分布与相应动态响应形式的关系，如图8－17所示。

综上所述，离散系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关。当闭环实极点位于z 平面的左半单位圆内时，由于输出衰减脉冲交替变号，故动态过程质量很差；当闭环复极点位于左半单位圆内时，由于输出是衰减的高频脉冲，故系统动态过程性能欠佳。因此，在离散系统设计时，应把闭环极点安置在z 平面的右半单位圆内，且尽量靠近原点。

图8－17 闭环复极点分布与相应的动态响应形式

8．7．2 线性离散系统的时间响应

线性离散系统的时间响应可由输出信号C (z ) 的反z 变换求出c *(t ) 得到例 8－16 设线性离散系统的闭环脉冲传递函数为

Φ(z ) =

0.368z +0.264

z 2-z +0.632

输入信号r (t ) =1(t ) ，采样周期T =1s ，试分析系统的时间响应。

解

输入信号r (t ) =1(t ) ，则

R (z ) =

得到

z z -1

0. 368z -1+0

. 264z -2

C (z ) =Φ(z ) R (z ) =

1-2z -1

+1. 632z -2-0. 632z -3

通过长除法，得到系统的阶跃响应序列 c (nT ) 为

c (0T ) =0

c (1T ) =0.3679 c (2T ) =1.0000 c (3T ) =1.3996 c (4T ) =1.3996 c (5T ) =1.1470

c (11T ) =1.0810 c (12T ) =1.0323 c (13T ) =0.9811 c (14T ) =0.9607 c (15T ) =0.9726

c (6T ) =0.8944 c (7T ) =0.8015 c (8T ) =0.8682 c (9T ) =0.9937 c (10T ) =1.0770

c (16T ) =0.9975 c (17T ) =1.0148 c (18T ) =1.0164 c (19T ) =1.0070 c (20T ) =0.9967

绘出离散系统的单位阶跃响应c *(t ) 如图8－18所示。由图可以求得离散系统的近似性能指标：超调量σ％＝40%，峰值时间t p =4s，调节时间t s =12s。

8．7．3 线性离散系统的稳态误差

设离散系统的误差信号的脉冲序列为e *(t ) ，当离散系统稳定时，其稳态误差为t ≥t s 时，

e *(t ) 序列的值，记为

e ss (t ) t ≥t s

当t →∞时，离散系统稳态误差序列e ss (t ) 的终值e ss (∞) 为

e ss (∞) =lim e *(t ) =lim e ss (t )

t →∞

如果误差信号的z 变换为E (z ) ，则由z 变换终值定理，当线性离散系统稳定时，系统稳态

误差终值e ss (∞) 为

e ss (∞) =lim e *(t ) =lim(z -1) E (z )

t →∞

z →1

例8－17 设单位负反馈离散系统的如图8－19所示，其中G (s ) =输入连续信号r (t ) 为t ，试求离散系统的稳态误差。

s (s +1) , T =1s ，

图8－19 单位反馈离散系统

解 G (s ) 的z 变换为

z (1-e -1)

(z ) =Z [G (s ) ]=-1

(z -1)(z -e )

系统的误差脉冲传递函数

Φe (z ) =

闭环极点z 1=0. 368+j 0. 482, 应用终值定理方法求稳态误差。

1(z -1)(z -0. 368)

1+G (z ) z -0. 736z +0. 368

z 2=0. 368-j 0. 482，全部位于z 平面的单位圆内，可以

当r (t ) =t ，相应r (nT ) =nT 时，R (z ) =T z (z -1) 。由终值定理，得

e (∞) =lim

z →1

T (z -0. 368)

=T =1 2

z -0. 736z +0. 368

第八章离散控制系统

8．1 引言

图8－1 计算机控制系统

图8－2 离散控制系统

8．2 采样系统

e *(t )

δ(t -kT )

图8－3 采样过程

数字量之间的时间间隔为T ，称为采样时间，1/T 为采样频率，单位为Hz 。所以在图8－2中，偏差信号

∞

e (t ) =∑e (kT ) δ(t -kT )

k =0

（8－1）

e *(t ) 为离散信号，该信号实际上是由二进制表示的数字信号，通常为8位、10位、12位或者16位数字信号。若数字信号的位数为N ，则其最小单位为

1q =N （8－2）

q 称为量化单位。可以看出量化会带来一定的误差，q 越小，量化误差越小。在分析离散系

x h (KT +τ) =x (kT ) 0

（8－3）

图8－4 零阶保持器输出特性

从零阶保持器的特性可以得出，其单位冲激响应为幅值为1，宽度为T 的矩形脉冲，表示为

g h (t ) =1(t ) -1(t -T )

对g h (t ) 取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为

（8－4）

1e -Ts 1-e -Ts

H 0(s ) =-=

s s s

（8－5）

8．3 z变换

8．3．1 z变换

在分析线性连续系统时，使用了拉普拉斯变换，对离散信号

x (t ) =∑x (kT ) δ(t -kT )

k =0

∞

进行拉氏变换，得到

X (s ) =∑x (kT ) e -kTs

k =0

∞

（8－6）

令z =e ，得到

X (z ) =∑x (kT ) z -k

k =0

∞

（8－7）

X (z ) 称为离散时间函数——脉冲序列x *(t ) 的z 变换，记为

X (z ) = [x (t ) ]= ⎡x ⎣(t ) ⎤⎦

（8－8）

可以看出，z 变换是的离散信号进行拉氏变换的一种表示方法。常用的z 变换方法有级数求

和法和部分分式法。 1. 级数求和法

根据z 变换的定义，将连续信号e (t ) 按周期T 进行采样，将采样点处的值代入式（8－7），可得

E (z ) =e (0) +e (T ) z -1+e (2T ) z -2+ +e (nT ) z -n +

再求出上式的闭合形式，即可求得E (z ) 。

例8-1 对连续时间函数

⎧⎪a t

e (t ) =⎨

⎪⎩0

按周期T =1进行采样，可得

t ≥0

⎧⎪a n

e (n ) =⎨

⎪⎩0

试求E (z ) 。

解

按(8-7)z 变换的定义

∞

n ≥0

E (z ) =∑e (nT ) z

n =0

-n

=∑(az -1) n =1+az -1+(az -1) 2+(az -1) 3+

n =0

若z >a ，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为

E (z ) =

2. 部分分式法（查表法）

z z -a

z >a

已知连续信号e (t ) 的拉氏变换E (s ) ，将E (s ) 展开成部分分式之和

E (s ) =E 1(s ) +E 2(s ) + +E n (s )

且每一个部分分式E i (s ) (i =1, 2, n ) 都是z 变换表中所对应的标准函数，其z 变换即可查表得出

E (z ) =E 1(z ) +E 2(z ) + +E n (z )

例8-2 已知连续函数的拉氏变换为

E (s ) =

试求相应的z 变换E (z ) 。

解

将E (s ) 展成部分分式：

s +2

s 2(s +1)

E (s ) =

对上式逐项查z 变换表，可得

2s 2

11+ s s +1

E (z ) =

2Tz z z

(z -1) 2z -1z -e -T (2T +e

-T

-1) z +[1-e (2T +1)]z (z -1) 2(z -e -T )

2-T

常用函数的z 变换表见附录A 表A-2。由表可见，这些函数的z 变换都是z 的有理分式。

8．3．2 z变换的基本定理

应用z 变换的基本定理，可以使z 变换的应用变得简单方便，下面介绍常用的几种z 变

换定理。

1. 线性定理

若E 1(z ) =Z [e 1(t )], E 2(z ) =Z [e 2(t )], a , b 为常数，则

Z [ae 1(t ) ±be 2(t )]=aE 1(z ) ±bE 2(z ) (8－9) 上式表明，z 变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。 2. 实数位移定理

实数位移是指整个采样序列e (nT ) 在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移

e (nT +kT ) 为超前，向右平移e (nT -kT ) 为滞后。实数位移定理表示如下：

如果函数e (t ) 是可z 变换的，其z 变换为E (z ) ，则有滞后定理

Z [E (t -kT )]=z -k E (z ) (8－10)

以及超前定理

Z [e (t +kT )]=z [E (z ) -其中k 为正整数。

显然可见，算子z 有明确的物理意义：z

-k

∑e (nT ) z

n =0

k -1

-n

] （8－11）

代表时域中的延迟算子，它将采样信号滞后

k 个采样周期；同理，z k 代表超前环节，它把采样信号超前k 个采样周期。

实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理。应用实数位移定理，可将描述离散系统的差分方程转换为z 域的代数方程。

例8-3 试用实数位移定理计算滞后函数(t -5T ) 3的z 变换。解由式(8－10)

t 3

Z [(t -5T ) ]=z Z [t ]=z 3! Z []

3232-5

T (z +4z +1) T (z +4z +1) z =6z -5=

6(z -1) 4(z -1) 4

-5

3. 复数位移定理

如果函数e (t ) 是可z 变换的，其z 变换为E (z ) ，则有

Z [a

e (t )]=E (za ±bT ) (8－12)

例8-4 试用复数位移定理计算函数t e 解

令e (t ) =t ，查表可得

的z 变换。

t 2T 2z (z +1)

E (z ) =Z [t ]=2Z ]=

2(z -1) 3

根据复数位移定理(8－12) ，有

Z [t e ]=E (ze

2at -at

) =

T 2ze -at (ze -at +1) (ze

-at

-1)

T 2ze at (z +e at ) (z -e at ) 3

4. 终值定理

如果信号e(t)的z 变换为E(z)，信号序列e(nT)为有限值(n＝o ，1，2，…) ，且极限

lim e (nT ) 存在，则信号序列的终值

n →∞

lim e (nT ) =lim (z -1) E (z ) (8－13)

n →∞

z →1

例8-5 设z 变换函数为

z 3

E (z ) =2

(z -1)(z +7z +5)

试利用终值定理确定e (nT ) 的终值。

解

由终值定理(8－13) 得

z 3z 31

e (∞) =lim (z -1) E (z ) =lim (z -1) =lim = 22z →1z →1z →113(z -1)(z +7z +5) (z +7z +5)

5. 卷积定理

设x (nT ) 和y (nT ) (n =0, 1, 2, ) ，为两个采样信号序列，其离散卷积定义为 x (nT ) *y (nT ) =则卷积定理可描述为：在时域中，若

g (nT ) =x (nT )*y (nT ) (8－15) 则在z 域中必有

G (z ) =X (z ) ⋅Y (z ) (8－16) 在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域与z 域的桥梁。利用卷积定理可建立离散系统的脉冲传递函数。

∞

∑x (kT ) y [(n -k ) T ] (8－14)

k =0

8．3．3 z反变换

已知z 变换表达式E (z ) ，求相应离散序列e (nT ) 的过程, 称为z 反变换，记为 e (nT ) =Z [E (z )] (8－17) 当n

部分分式法又称查表法，根据已知的E (z ) ，通过查z 变换表找出相应的e (t ) ，或者

-1

例8-6 设E (z ) 为

E (z ) =

试用部分分式法求e (nT ) 。

解首先将

10z

(z -1)(z -2)

E (z )

展开成部分分式，即 z

E (z ) 10-1010

==+

z (z -1)(z -2) z -1z -2

-10z 10z

+ z -1z -2

把部分分式中的每一项乘上因子z 后，得

E (z ) =

查z 变换表得

Z -1[

最后可得

z z ]=1，Z -1[]=2n z -1z -2

e (t ) =∑e (nT ) δ(t -nT ) =10(-1+2n ) δ(t -nT ) n =0, 1, 2

n =0

∞

2. 幂级数法

z 变换函数的无穷项级数形式具有鲜明的物理意义。变量z -n 的系数代表连续时间函数

在nT 时刻上的采样值。若E (z ) 是一个有理分式，则可以直接通过长除法，得到一个无穷

-n

项幂级数的展开式。根据z 的系数便可以得出时间序列e (nT ) 的值。

例8-7 设E (z ) 为

E (z ) =

试用长除法求e (nT ) 或e *(t ) 。

解

10z

(z -1)(z -2)

E (z ) =

10z 10z

(z -1)(z -2) z -3z +2

应用长除法，用分母去除分子，即

10z -1+30z -2+70z -3+150z -4+

z 2-3z +210z

-) 10z -30z 0+20z -1

30z 0-20z -1-) 30z 0

-90z -1+60z -270z -1-60z -2

-) 70z -1-210z -2+140z -3

150z -2-140z -3

E (z ) 可写成

E (z ) =0z 0+10z -1+30z -2+70z -3+150z -4+

所以

e *(t ) =10δ(t -T ) +30δ(t -2T ) +70δ(t -3T ) +150δ(t -4T ) +

长除法以序列的形式给出e (0), e (T ), e (2T ), e (3T ), 的数值，但不容易得出e (nT )

的封闭表达形式。

3. 反演积分法（留数法）

E (z ) =

∞

∑e (nT ) z

n =0

-n

(8－18)

设函数E (z ) z n -1除有限个极点z 1, z 2, …z k 外，在z 域上是解析的，则有反演积分公式

1n -1

e (nT ) =E (z ) z dz =∑Re s [E (z ) z n -1]z →z i (8－19) 2πj Γi =1

式中Re s [E (z ) z

]z →z i 表示函数E (z ) z n -1在极点z i 处的留数，留数计算方法如下：

若z i (i =0, 1, 2, , k ) 为单极点，则

Re s [E (z ) z

n -1

]z →z i =lim [(z -z i ) E (z ) z n -1] (8－20)

z →z i

若z i 为m 阶重极点，则

Re s [E (z ) z

例8-8 设E (z ) 为

n -1

]z →z i

1⎧d m -1m n -1⎫=⎨m -1[(z -z i ) E (z ) z ]⎬ (z -1)! ⎩dz ⎭z =z

E (z ) =

试用反演积分法求e (nT ) 。

解

根据式（8－19），有

10z

(z -1)(z -2)

e (nT ) =∑Re s [

10z

z n -1]

(z -1)(z -2)

10z n 10z n

=[⋅(z -1)]z =1+[⋅(z -2)]z =2 (z -1)(z -2) (z -1)(z -2) =-10+10⨯2n =10(-1+2n )

例8-9 设z 变换函数

n =0, 1, 2,

z 3

E (z ) =2

(z -1)(z -5)

试用留数法求其z 反变换。

解因为函数

E (z ) z

n -1

z n +2

(z -1)(z -5) 2

有z 1=1是单极点，z 2=5是2阶重极点，极点处留数

Re s [E (z ) z

n -1

]z →z 1=lim [(z -1) E (z ) z

z →1

n -1

z n +21

]=lim (z -1) = 2z →116(z -1)(z -5)

Re s [E (z ) z

]z →z 2

1⎧d m -15n -1⎫=[z -5]E (z ) z ⎨⎬

(m -1)! ⎩dz m -1⎭z →5

⎫1⎧d 2-1z n +22=[(z -5) ] ⎨⎬(2-1)! ⎩dz 2-1(z -1)(z -5) 2⎭z →5(4n +3) 5n +1=

所以

e (nT ) =∑Re s [E (z ) z

i =1

n -1

1(4n +3) 5n +1(4n +3) 5n +1+1

]z →z i =+=

161616

相应的采样函数

(4n +3) 5n +1+1

e (t ) =∑e (nT ) δ(t -nT ) =∑δ(t -nT )

16n =0n =0

=δ(t ) +11δ(t -1) +86δ(t -2) +

∞

8．4 脉冲传递函数

8．4．1 脉冲传递函数定义

设离散系统如图8－5所示，如果系统的输入信号为r (t ) ，采样信号r *(t ) 的z 变换函数为

R (z ) ，系统连续部分的输出为c (t ) ，采样信号

则线性定常离散系统c *(t ) 的z 变换函数为C (z ) ，

的脉冲传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出采样信号的z 变换C (z ) 与输入采样信号的z 变换R (z ) 之比，记作

∞

图8－5 离散系统

G (z ) =

C (z )

=R (z )

-n

c (nT ) z ∑

∑r (nT ) z

n =0

n =0∞

(8－21)

-n

所谓零初始条件，是指在t

式(8－31) 表明，如果已知R (z ) 和G (z ) ，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为

G (nT ) =Z -1[C (z )]=Z -1[G (z ) R (z )]

图8－6 开环采样系统

8．4．2 串联环节的脉冲传递函数

离散系统中，计算串联环节的脉冲传递函数需要考虑环节之间有无采样开关。 1. 串联环节之间有采样开关

如图8－7所示，当串联环节G 1(s ) 和G 2(s ) 之间有采样开关时，由脉冲传递函数定义可知

D (z ) =G 1(z ) R (z ) , C (z ) =

G 2(z ) D (z )

其中，G 1(z ) 和G 2(z ) 分别为G 1(s ) 和G 2(s ) 的脉冲传递函数。则

C (z ) =G 2(z ) G 1(z ) R (z )

可以得到串联环节的脉冲传递函数为

G (z ) =

C (z )

=G 1(z ) G 2(z ) (8－22) R (z )

图8－7 串联环节间有采样开关

2. 串联环节之间无采样开关

如图8－8所示，当串联环节G 1(s ) 和G 2(s ) 之间没有理想采样开关时，系统的传递函数为

图8－8 环节间无采样开关的串联离散系统

G (s ) =G 1(s ) G 2(s )

由脉冲传递函数定义可知 G (z ) =

C (z )

=Z [G 1(s ) G 2(s ) ]=G 1G 2(z ) (8－23) R (z )

显然，G 1(z ) G 2(z ) ≠G 1G 2(z ) ，从上面的分析我们可以得出结论：在串联环节之间有无采样开关，脉冲传递函数是不相同的。

解

输入r (t ) =1(t ) 的z 变换为

R (z ) =

对如图8－7系统

z -1

G 1(z ) =Z []=

s z -1

a az

G 2(z ) =Z []=

s +a z -e -aT

有

az 2

G (z ) =G 1(z ) G 2(z ) =-aT

(z -1)(z -e ) az 3

C (z ) =G (z ) R (z ) =2-aT

(z -1) (z -e )

对如图8－8系统

G 1(s ) G 2(s ) =

a s (s +a )

a z (1-e -aT )

G (z ) =G 1G 2(z ) =Z []= -aT

s (s +a ) (z -1)(z -e ) z 2(1-e -aT )

C (z ) =G (z ) R (z ) =

(z -1) 2(z -e -aT )

图8－9 环节与零阶保持器串联

如图8－9所示，当环节与零阶保持器串联时，串联环节的连续传递函数为

G (s ) 1-e -Ts

G (s ) =H 0(s ) G 0(s ) =G 0(s ) =(1-e -Ts ) 0

s s

令G 1(s ) =G 0(s ) /s ，则有

G (s ) =(1-e -Ts ) G 1(s ) =G 1(s ) -e -Ts G 1(s )

G (s ) 的单位冲激响应为

-Ts

g (t ) = -1[G (s ) ]= -1⎡G (s ) -e G 1(s ) ⎤1⎣⎦

=g 1(t ) -g 1(t -T )

对上式做z 变换可得环节与零阶保持器串联时的脉冲传递函数为

G (z ) = [g (t ) ]= [g 1(t ) -g 1(t -T ) ]=G 1(z ) -z -1G 1(z )

即

⎡G (s ) ⎤

G (z ) =(1-z -1) ⎢0⎥

⎣s ⎦

例8－11 设离散系统如图8－10所示，已知

（8－24）

图8－10 有零阶保持器的离散系统

G 0(s ) =

试求系统的脉冲传递函数G (z ) 。

解因为

s (s +a )

G 0(s ) a 11⎛11⎫

=2=2- -⎪ s s (s +a ) s a ⎝s s +a ⎭

得

[

G 0(s ) Tz 1⎛z z ⎫]=-- ⎪s (z -1) 2a ⎝z -1z -e -aT ⎭

1-aT -aT -aT z ⎡⎣(e +aT -1) z +(1-aTe -e ) ⎤⎦ =

(z -1) 2(z -e -aT )

所以系统脉冲传递函数为

1-aT -aT -aT ⎡(e +aT -1) z +(1-aTe -e ) ⎤⎦⎡G 0(s ) ⎤⎣-1

G (z ) =(1-z ) ⎢=-aT ⎥s (z -1)(z -e ) ⎣⎦

可以看出，零阶保持器不改变开环脉冲传递函数的阶数也不影响开环脉冲传递函数的极点，只影响开环零点。

8．5 线性离散系统的脉冲传递函数

图8－11为一个典型的线性离散系统框图

由脉冲传递函数的定义及开环脉冲传递函数的求法，对图8－11可建立方程组如下：

图8－11 闭环离散系统结构图

⎧C (z ) =G (z ) E (z ) ⎪

⎨E (z ) =R (z ) -B (z ) ⎪B (z ) =GH (z ) E (z ) ⎩

解上面联立方程，可得该闭环离散系统脉冲传递函数

Φ(z ) =

闭环离散系统的误差脉冲传递函数

C (z ) G (z )

（8－25） =

R (z ) 1+GH (z )

Φe (z ) =

E (z ) 1

= （8－26） R (z ) 1+GH (z )

令Φ(z ) 或Φe (z ) 的分母多项式为零，便可得到闭环离散系统的特征方程：

D (z ) =1+GH (z ) =0 （8－27）

式中，GH (z ) 为离散系统的开环脉冲传递函数。

表8－1 常见线性离散系统的框图及C (z )

续表8－1

图8－12 线性离散系统

例8－12 试求图8－12中线性离散系统的闭环脉冲传递函数解

系统开环脉冲传递函数为

⎡1k ⎤

G (z ) = [G (s ) ]=(1-z -1) ⎢⎥

⎣s s (s +a ) ⎦

-aT -aT -aT

k [(aT -1+e ) z +(1-e -aTe )] =

a 2(z -1)(z -e -aT )

则系统的闭环脉冲传递函数为

Φ(z ) =

C (z ) G (z )

R (z ) 1+G (z )

k [(aT -1+e -aT ) z +(1-e -aT -aTe -aT )]

=22

a z +[k (aT -1+e -aT ) -a 2(1+e -aT )]z +[k (1-e -aT -aTe -aT ) +a 2e -aT ]

例8－13 试求图8－13线性离散系统的输出信号c (t ) 的z 变换。

图8－13 线性离散系统

解

从系统框图可以列些方程组如下

C (s ) =G 3(s ) N *(s )

N (s ) =G 2(s ) M *(s )

M (s ) =G 1(s ) E (s ) =G 1(s )[R (s ) -H (s ) C (s )] =G 1(s ) R (s ) -G 1(s ) H (s ) G 3(s ) N (s )

以上3个方程的左边信号均有离散信号存在，对以上3个方程作z 变换可得

C (z ) =G 3(z ) N (z ) N (z ) =G 2(z ) M (z )

M (z ) =G 1(z ) R (z ) -G 1HG 3(z ) N (z )

整理上3式可得

C (z ) =G 3(z ) G 2(z ) N (z )

=G 3(z ) G 2(z )[G 1R (z ) -G 1G 3H (z ) C (z ) /G 3(z )] =G 2(z ) G 3(z ) G 1R (z ) -G 2(z ) G 1G 3H (z ) C (z )

由上式可以得到输出信号的z 变换为

C (z ) =

G 2(z ) G 3(z ) G 1R (z )

1+G 2(z ) G 1G 3H (z )

因为该系统的偏差信号未经采样开关就输入到前向通道第一个环节，所以系统的闭环传递函数不能写出来，只能得到输出信号的z 变换式。

8．6 线性离散系统的稳定性

8．6．1 s平面到z 平面的映射关系

在z 变换定义中，

z =e sT

其中，T 为采样周期。将s

（8－28）

=σ+j ω代入到式（8－28），得到

z =e (σ+j ω) T =e σT e j ωT （8－29）

于是s 域到z 域的基本映射关系式为

z =e

σT

∠z =ωT （8－30）

而s 平面的整个虚轴在z 平面的映像为单位圆。

图8－14 s 平面虚轴在z 平面上的映射

在s 平面左半部，即σ0，z

8．6．2 线性离散系统稳定的充要条件

例8－14 设线性离散系统的闭环特征方程为z -0. 736z +0. 368=0

试判断系统的稳定性。

解

由系统闭环特征方程

z 2-0. 736z +0. 368=0

解出特征方程的根

z 1=0. 37+j 0. 48, z 2=0. 37-j 0. 48

因为z 1=z 2=

0. 372+0. 482=0. 606

该例子中，闭环特征方程的阶数为2阶，直接求闭环特征根比较容易。而当系统阶数较高时，求根就比较麻烦。

8．6．3 劳斯稳定判据

z =

则有

w =

w +1

（8－31） w -1z +1

z -1

（8－32）

式（8－31）和（8－32）表明，w 变换为可逆的双向线性变换，便于应用。令

z =x +jy ， w =u +jv 代入式（8－32），得

(x 2+y 2) -12y

u +jv =-j 2222

(x -1) +y (x -1) +y

显然

(x 2+y 2) -1

u =

(x -1) 2+y 2

由于上式的分母(x -1) +y 始终为正，因此可得

① u =0等价为x +y =1，表明w 平面的虚轴对应于z 平面的单位圆周；

② u

③ u >0等价为x +y >1，表明右半w 平面对应于z 平面单位圆外的区域。

图8－15 z平面与w 平面的对应关系

断离散系统的稳定性。

例8－15 设闭环离散系统的脉冲传递函数为

G (z ) =

0.632Kz

z -1.368z +

0.368

试用劳斯判据求出系统临界稳定时的K 值。

解

闭环特征方程为

1+G (z ) =z 2+(0. 632K -1. 368) z +0. 368=0

令z =(w +1) (w -1) , 得

⎛w +1⎫⎛w +1⎫ ⎪+(0. 632K -1. 368) ⎪+0. 368=0 ⎝w -1⎭⎝w -1⎭

化简后，得w 域特征方程

0. 632Kw 2+1. 264w +(2. 736-0. 632K ) =0

列出劳思表

w 2w 1w 0

界增益K =4.33。

0. 632K 1. 264

2. 736-0. 632K

从劳思表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须有0

8．7 线性离散系统的时域分析

8．7．1 极点在z 平面的分布与暂态响应

同连续系统类似，线性离散系统的闭环极点在z 平面上的分布，决定了系统时域响应的形式。设离散系统的闭环脉冲传递函数为

M (z )

Φ(z ) ==k

D (z )

∏(z -z )

∏(z -p )

k =1

i =1n

m ≤n

其中，z i (i =1, 2, , m ) 为Φ(z ) 的零点，p k (k =1, 2, , n ) 为Φ(z ) 的极点。不失一般性，且为了便于讨论，假定Φ(z ) 无重极点。

当r (t ) =1(t ) 时，离散系统输出的z 变换

C (z ) =Φ(z ) R (z ) =

将C (z ) 展成部分分式

M (z ) z

⋅ D (z ) z -1

z z

（8－33） C (z ) =A ⋅+∑B k

z -1k =1z -p k

其中

A =

M (z ) D (z )

, B k =

z =1

M (z )(z -p k ) D (z )(z -1)

z =p k

对（8－33）进行反z 变换得到

（8－34） c (nT ) =A +∑B k p k

k =1n

式（8－34）中，第二项为暂态分量，显然极点p k 在z 平面的位置决定了暂态响应中各分量的类型。 1.

p k 为实数

当闭环脉冲传递函数的极点为实数时，暂态响应对应的分量为

c k (nT ) =B k p k

（8－35）

1) 若p k >1，闭环单极点位于z 平面单位圆外的正实轴上，有a >0，故动态响应c k (nT )

是按指数规律发散的脉冲序列；

2) 若p k =1，闭环单极点位于右半z 平面的单位圆周上，有a =0，故动态响应c k (nT ) ＝

B k ，为等幅脉冲序列；

3) 若0

p k

图8－16 闭环实极点分布与相应的动态响应形式

且p k a 越大，c k (nT ) 衰减越快。 c k (nT ) 是按指数规律收敛的脉冲序列，

4) 若p k

散脉冲序列；

5) 若p k =-1，闭环单极点位于左半z 平面的单位圆周上，则c k (nT ) 为交替变号的等幅

脉冲序列；

6) 若-1

号的衰减脉冲序列，且p k 离原点越近，c k (nT ) 衰减越快。闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系如图8－16所示。

2. 共轭复数极点

当闭环脉冲传递函数有一对共轭复数极点p k , k +1=a ±jb 时，可以证明这一对极点对应的暂态响应为

c k , k +1(nT ) =A k λk n cos(n θk +ϕk )

其中，A k 和ϕk 是由部分分式展开式的系数所决定的常数，而

（8－36）

λk ==p k

θk =tg -1

1) 若p k >1，闭环复数极点位于z 平面上的单位圆外，有a >0，故动态响应c k , k +1(nT )

为振荡发散脉冲序列

2) 若p k =1，闭环复数极点位于z 平面上的单位圆上，有a =0，故动态响应c k , k +1(nT )

为等幅振荡脉冲序列

3) 若p k

为振荡收敛脉冲序列，且p k 越小，即复极点越靠近原点，振荡收敛越快。闭环共轭复数极点分布与相应动态响应形式的关系，如图8－17所示。

图8－17 闭环复极点分布与相应的动态响应形式

8．7．2 线性离散系统的时间响应

线性离散系统的时间响应可由输出信号C (z ) 的反z 变换求出c *(t ) 得到例 8－16 设线性离散系统的闭环脉冲传递函数为

Φ(z ) =

0.368z +0.264

z 2-z +0.632

输入信号r (t ) =1(t ) ，采样周期T =1s ，试分析系统的时间响应。

解

输入信号r (t ) =1(t ) ，则

R (z ) =

得到

z z -1

0. 368z -1+0

. 264z -2

C (z ) =Φ(z ) R (z ) =

1-2z -1

+1. 632z -2-0. 632z -3

通过长除法，得到系统的阶跃响应序列 c (nT ) 为

c (0T ) =0

c (1T ) =0.3679 c (2T ) =1.0000 c (3T ) =1.3996 c (4T ) =1.3996 c (5T ) =1.1470

c (11T ) =1.0810 c (12T ) =1.0323 c (13T ) =0.9811 c (14T ) =0.9607 c (15T ) =0.9726

c (6T ) =0.8944 c (7T ) =0.8015 c (8T ) =0.8682 c (9T ) =0.9937 c (10T ) =1.0770

c (16T ) =0.9975 c (17T ) =1.0148 c (18T ) =1.0164 c (19T ) =1.0070 c (20T ) =0.9967

绘出离散系统的单位阶跃响应c *(t ) 如图8－18所示。由图可以求得离散系统的近似性能指标：超调量σ％＝40%，峰值时间t p =4s，调节时间t s =12s。

8．7．3 线性离散系统的稳态误差

设离散系统的误差信号的脉冲序列为e *(t ) ，当离散系统稳定时，其稳态误差为t ≥t s 时，

e *(t ) 序列的值，记为

e ss (t ) t ≥t s

当t →∞时，离散系统稳态误差序列e ss (t ) 的终值e ss (∞) 为

e ss (∞) =lim e *(t ) =lim e ss (t )

t →∞

如果误差信号的z 变换为E (z ) ，则由z 变换终值定理，当线性离散系统稳定时，系统稳态

误差终值e ss (∞) 为

e ss (∞) =lim e *(t ) =lim(z -1) E (z )

t →∞

z →1

例8－17 设单位负反馈离散系统的如图8－19所示，其中G (s ) =输入连续信号r (t ) 为t ，试求离散系统的稳态误差。

s (s +1) , T =1s ，

图8－19 单位反馈离散系统

解 G (s ) 的z 变换为

z (1-e -1)

(z ) =Z [G (s ) ]=-1

(z -1)(z -e )

系统的误差脉冲传递函数

Φe (z ) =

闭环极点z 1=0. 368+j 0. 482, 应用终值定理方法求稳态误差。

1(z -1)(z -0. 368)

1+G (z ) z -0. 736z +0. 368

z 2=0. 368-j 0. 482，全部位于z 平面的单位圆内，可以

当r (t ) =t ，相应r (nT ) =nT 时，R (z ) =T z (z -1) 。由终值定理，得

e (∞) =lim

z →1

T (z -0. 368)

=T =1 2

z -0. 736z +0. 368

第八章 离散控制系统

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