2015福建省高职招考数学试卷

2015福建省高职招考（面向普高）统一考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共70分）

一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．设集合A ={1,3,5},B ={1,2}，则A B =（ D ）

A ．{1}

B ．{1,3,5} C ．{2,3,5} D ．{1, 2,3,5}

2．函数f (x ) =log 2x 的图象大致为（ B ）

A. B. C. D.

3．已知向量a =(1,0), b =(1,2) ，a ⋅b 的值为（ C ）

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

4．函数f (x ) =3sin(3x +

) 的最小正周期是（ B ）

2ππ

B. C. 3π D. 6π

5. 下列几何体是棱柱的是（ B ）

6. 圆x +y -2x =0的圆心坐标为（ A ）

A. (1,0)

B. (2,0) C. (0,1)

D. (0,2)

7. 设x , y ∈R ，则“x 0”的（A ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

x 2

8. 椭圆+y 2=1的离心率为（ C ）

D. 3x

9. 函数f (x )=2+x 的零点所在的区间是（ B ）

A. (-2, -1) B. (-1,0)

C. (0,1)

D. (1,2)

⎧x +y ≥1

⎪

10. 设x , y 满足约束条件⎨x ≤1，则z =-x +y 的最大值为（ D ）

⎪y ≤1⎩

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

11. 在∆

ABC 中，的内角A =30 , AB =AC =2，则BC =（ A ）

A ．1 B

． C

D ．2

12. 如图，在正方形ABCD 中，以对角线AC 和BD 的交点O 为

圆心作圆O ，若在正方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自于阴影部分的概率为（ C ）

1113 B. C. D. 4324

13. 函数f (x ) =x ++1(x >0) 的最小值是（ D ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

14. 设f (x ) 是定义在R 上的增函数，且不等式f (m +2x )

m 的取值范围是（ A ）

A. (-∞, -1)

B. (-∞, -1]

C. (1,+∞)

D. [1,+∞)

第Ⅱ卷（非选择题共80分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。 15．复数(1+i )(1-i ) 等于

16．一支田径队有男运动员28人、女运动员21人，先按性别用分层抽样的方法从全体运动

员中7人进行常规检测，则女运动员应该抽取的人数为 3 。 17．已知函数f (x ) =⎨

⎧x (x +4), x ≥0

，则f (3)= 21 。

⎩x (x -4), x

18．已知某工厂用铝片体积为128π立方厘米的圆柱形饮料罐（含上、下底面），为使所用材料最省，则这种饮料罐的高应等于多少 8 。（单位：厘米）

三．解答题：本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 19．（本小题满分8分）

已知函数f (x ) =sin 2x +2cos 2x -1，（Ⅰ）若α=

，求f (α) 的值；

（Ⅱ）求函数f (x ) 的最大值。

解：依题意f (x ) =sin 2x +2cos x -1=sin 2x +cos 2x =

x +) ，

πππ3ππ

=1。（Ⅰ）当α=

时，f (α) =f () =⨯+) =44444

ππ

（Ⅱ）当2x +=2k

π+时，f (x ) max 。

20．（本小题满分8分）

设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1=1, S 3=6；（Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b n =2n ，求b 1+b 2+b 3+b 4+b 5的值。解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1=1, S 3=6，

a 1+所以 6=3

⨯2d =3+3d ⇒d =1 ，2

所以{a n }的通项公式为：a n =a 1+(n -1) d =1+(n -1) ⨯1=n 。（Ⅱ）因为b n =2

a n

=2n ，

2(1-25)

=62。所以 b 1+b 2+b 3+b 4+b 5=2+2+2+2+2 =

1-2

21．（本小题满分10分）

右图是某公司5个销售点某月销售某机器的数量（单位：台）的茎叶图，

（Ⅰ）求该公司5个销售点当月销售这种机器的平均台数；

（Ⅱ）该公司为提高销售业绩，从5个销售点中随机抽取2个进行分析，求抽到的2个销售点当月销量均高于平均数的概率。

解：（Ⅰ）由茎叶图知识知，该公司5个销售点当月销售这种机器的平均台数：

24+26+32+33+35

=30（台）。

（Ⅱ）从24,26,32,33,35中随机抽取2个，所有可能情况有：

(24,26),(24,32),(24,33),(24,35),

(26,32),(26,33),(26,35),

(32,33),(32,35)

(33,35)

共10种，其中抽到的2个销售点当月销量均高于平均数的情况有：

(32,33),(32,35),(33,35)共3种，故所求的概率为p =

22．（本小题满分10分）

设直线l 过抛物线Γ:y 2=2px (p >0) 的

焦点F ，且与抛物线Γ相交于A , B 两点，其中点A

(4,4) ；（Ⅰ）求抛物线Γ

的方程；（Ⅱ）求线段AB 的长。解：（Ⅰ）依题意：抛物线Γ:y 2=2px (p >0) 过点A (4,4) 3

。 10

所以 4=2p ⋅4⇒p =2，故抛物线Γ的方程为：y （Ⅱ）由（Ⅰ）易知，抛物线Γ的焦点F 坐标为F (1,0)，又A (4,4) ，故直线l 的斜率k =

4-04

=， 4-134

故直线l 的方程为y =(x -1) ，即4x -3y -4=0；

112

代人y =4x 解得：x 1=4, y 1=4; x 2=, y 2=-1，即B (, -1) ，

所以线段AB 的长为AB ==

。 =

23．（本小题满分12分）

某实心零件是一个几何体，其三视图如图所示（单位：毫米，π取3.14）；

（Ⅰ）球该零件的表面积；

（Ⅱ）电镀这种零件需要用锌，已知每平方毫米用锌

1.1⨯10-4克，问电镀100000个零件需用锌多少克？

解：（Ⅰ）该零件的表面积

S =2π⨯102+2π⨯10⨯20+π⨯102=700π。

（Ⅱ）电镀100000个这样的零件，需要锌的质量为：

。 y =100000⨯700π⨯1.1⨯10-4≈24178（克）答：制造100000个这样的零件，需要锌24178克。

24．（本小题满分12分）

已知函数f (x )=

x -ax +1，且y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线与y 轴垂直。 3

（Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）求f (x ) 在区间[-2, 2]的最大值；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线y =k (x -1) -

与曲线y =f (x )有三个交点？若3

存在，求出实数k 的取值范围，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）因为函数f (x ) =

x -ax +1，所以f '(x ) =x 2-a ， 3

因为曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))的切线与y 轴垂直，所以f '(1)=0，即1-a =0，解得a =1。（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数f (x ) =13

x -x +1，f '(x ) =x 2-1，令f '(x ) =0，解得x =±1，

由上表可知f (x ) 在区间[-2, 2]上的最大值为（Ⅲ）因为直线y =k (x -1) -

经过定点直线3

4A (1,-) ，做示意图如右，可知当直线与曲线相切，或k

或不存在时，直线与曲线有且仅有1个交点，设直线

y =k (x -1) -与曲线相切于点(x 0, y 0)，

413

则y 0=k (x 0-1) -，y 0=x 0-x 0+1，

k =x 02-1，解得k =3，

从而存在实数k ∈(3, +∞)，使得直线y =k (x -1) -

与曲线y =f (x ) 有三个交点。 3