浅析高中数学排列、组合教学
摘要：排列和组合是高中数学教与学的一个难点，虽然高考中
所占比重不大，但试题具有一定的灵活性、机动性和综合性，教学
中又涉及到分类与整合、转化与化归、正难则反等多种思维方法，
又是概率的基础。排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因
为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者
很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚
了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，
还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”。
针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的
想法跟各位同行交流一下。
关键词：高中数学 排列组合 素质教育 能力培养
笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合
的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨
将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为
解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课
堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具
体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，
从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题
目转换的等价性，可操作性。
下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说
明：
1、占位子问题
例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、
4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，
问有多少种不同的方法？
①仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小
球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对
题目进行等价转换。
②转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我
将题目转换为：
让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五
张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的
凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？
③解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学
生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都
积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出
谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符
合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，
有c种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三
位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结
果为2×c=20（种）。这样原题也就得到了解决。
④学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法
对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）
⑤老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊
条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最
终解决问题。
2、分组问题
例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和
2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？
（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是p×p）
①仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，
但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问
题”，然后对题目进行等价转换。
②转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价
转换，有一位同学a将题目转换如下：
从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位
同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，
问有多少种不同的选法？
③解决问题：接着我就让同学a来提出选人的方案
同学a说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，
有p×p种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛
有p×p种选法；最后由乘法原理得出结论为（p×p）×（p×p）（种）。
（这时同学b表示反对）
同学b说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2
人就没有选择的余地。所以第二步应该是p×p.（同学们都表示同
意，但是同学c说太蘩）
同学c说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个
人在5门学科中排列，他列出的计算式是c×c×p（种）。（再次通
过互相讨论，都表示赞赏）
这样原题的解答结果就“浮现”出来c×c×p（种）。
④老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后
排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。
以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试
（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生
的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在
互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。
教者在这一环节的教学时，通过学生日常生活中一些简单的事例，
引导学生运用观察、猜测和实验等手段找出最简单的事物的排列数
和组合数。先用两个数字卡片组成两位数的排列数，然后采取学生
动手实践、小组合作探究的学习方式找出用三个数字卡片组成两位
数的排列数，最后找出几个同学趣味组合数等。在解决问题的过程
中，初步培养了学生有顺序地、全面地思考问题的意识，符合新课
程《标准》中提出的要求：“使学生能进行简单的、有条理的思考。”
由以上可见，排列、组合的问题复杂而有趣，教学中渗透了多种
思维方法和技巧，复习中应加强对两个原理的理解和运用，两个原
理要贯穿始终，从基础入手，让学生在解题中去总结方法和掌握技
巧，提高逻辑推理能力，激发学习兴趣，达到事半功倍的效果。
浅析高中数学排列、组合教学
摘要：排列和组合是高中数学教与学的一个难点，虽然高考中
所占比重不大，但试题具有一定的灵活性、机动性和综合性，教学
中又涉及到分类与整合、转化与化归、正难则反等多种思维方法，
又是概率的基础。排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因
为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者
很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚
了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，
还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”。
针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的
想法跟各位同行交流一下。
关键词：高中数学 排列组合 素质教育 能力培养
笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合
的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨
将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为
解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课
堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具
体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，
从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题
目转换的等价性，可操作性。
下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说
明：
1、占位子问题
例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、
4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，
问有多少种不同的方法？
①仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小
球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对
题目进行等价转换。
②转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我
将题目转换为：
让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五
张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的
凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？
③解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学
生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都
积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出
谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符
合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，
有c种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三
位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结
果为2×c=20（种）。这样原题也就得到了解决。
④学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法
对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）
⑤老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊
条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最
终解决问题。
2、分组问题
例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和
2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？
（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是p×p）
①仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，
但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问
题”，然后对题目进行等价转换。
②转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价
转换，有一位同学a将题目转换如下：
从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位
同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，
问有多少种不同的选法？
③解决问题：接着我就让同学a来提出选人的方案
同学a说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，
有p×p种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛
有p×p种选法；最后由乘法原理得出结论为（p×p）×（p×p）（种）。
（这时同学b表示反对）
同学b说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2
人就没有选择的余地。所以第二步应该是p×p.（同学们都表示同
意，但是同学c说太蘩）
同学c说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个
人在5门学科中排列，他列出的计算式是c×c×p（种）。（再次通
过互相讨论，都表示赞赏）
这样原题的解答结果就“浮现”出来c×c×p（种）。
④老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后
排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。
以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试
（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生
的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在
互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。
教者在这一环节的教学时，通过学生日常生活中一些简单的事例，
引导学生运用观察、猜测和实验等手段找出最简单的事物的排列数
和组合数。先用两个数字卡片组成两位数的排列数，然后采取学生
动手实践、小组合作探究的学习方式找出用三个数字卡片组成两位
数的排列数，最后找出几个同学趣味组合数等。在解决问题的过程
中，初步培养了学生有顺序地、全面地思考问题的意识，符合新课
程《标准》中提出的要求：“使学生能进行简单的、有条理的思考。”
由以上可见，排列、组合的问题复杂而有趣，教学中渗透了多种
思维方法和技巧，复习中应加强对两个原理的理解和运用，两个原
理要贯穿始终，从基础入手，让学生在解题中去总结方法和掌握技
巧，提高逻辑推理能力，激发学习兴趣，达到事半功倍的效果。