中学物理・教材研究・
Ｖ０１．２９Ｎｏ．０３
２０１１年２月
平行板电容器电容公式的推导
曹铁岭鲁建全
（郑州外国语学校河南郑州４５０００１）
平行板电容器的电容由什么决定？人教版新教材这样说明：理论分析表明，当平行板电容器的两极板间是真空时，电
Ｃ
容Ｃ与极板的正对面积Ｓ、极板距离ｄ的关系为Ｃ＝ｊ４，ｒＬｋｄ，
式中五为静电力常量．
当两极板间充满同一种介质时，电容变大为真空时的ｅ，
＾Ｃ
倍，即Ｃ＝圭兰，ｅ，是一个常数，与电介质的性质有关，称为
叶ＺｆＦＭｄ
相对介电常数．
这个公式是如何理论推导出来的呢？这是很多师生关心的问题．本文从以下几个步骤，利用高中所学的知识进行推导，希望能解除师生心中的困惑．
１
真空中无穷大均匀带电平面激发场强公式
先定性分析，由对称性可知，无穷大均匀带电平面在空
间任一点激发电场的方向一定垂直于带电平面，在带电平面—侧空间中各点场强方向均相同，则该空间一定是匀强电场，如图ｌ，即场强大小与该点到带电平面距离无关．根据电场的叠加原理，电荷面密度盯加倍，相当于两个完全一样的带电平面激发的电场叠加，所以场强加倍，可得Ｅ。Ｃ盯．
再定量分析，可以证明，电荷面密度为盯的无穷大均匀径也为ｒ，电荷面密度也为盯的均匀带电半球壳上所有电荷均集中在Ａ点时在球心。处激发的场强相同．推导如下：
在平面上任取一面积微元
ｄＳ，带电量ａｄｓ，可看做点电荷．连
接０到ｄＳ面上边界所有点，形成’
￡
Ｅ
＿
包络面，在半球壳上可得到对应的面积微元ｄＳ。，设包络线与ｚ方向夹角０，面积微元ｄＳ在垂直包络面图ｌ
７＝ｄＳｃｏｓ０，如图２，
ｄＳ’一ｄＳｃｏｓ
０
嬲
爿
龇２
由几何关系可知：
鱼耐
ＩＪ
上临
一ｒ
＇１．１℃
万方数据
又有
簧＝ｅｏｓＯ，
得ｄＳ＝翁．
面积微元ｄＳ的点电荷在０处激发场强在ｚ方向的分量
ｄＥｘ一丝００ｓ口：下ｌａＳＳｏｏ．（葫ｒ）２
７
平面上所有面积微元的电荷在。处激发场强在ｚ方向分量的矢量合
Ｅ＝∑强＝∑丁Ｉ皈Ｓｏｏ＝笋∑弱。
＝等２肘２：２７ｒｋａ．
即真空中电荷面密度为盯的无穷大均匀带电平面在离平面
距离为，．的。处激发的场强公式Ｅ＝２砌．
２
真空中平行板电容器板间匀强电场的场强公式
真空中两个无穷大带等量异种电荷的平行导体板，电荷
都均匀分布在内表面上．
带正电的板单独在空间激发的电场大小为Ｅ。＝２，ｒｋａ，方向垂直板面且背离板面．
带负电的板在空间单独激发的电场大小为Ｅ２＝２，ｒｋａ，方向垂直板面且指向板面．
由电场的叠加原理可得平行板电容器外部场强为零，内部场强为
Ｅ＝Ｅｌ＋Ｅ２＝４兀ｌｅａ，
如图３所示．
。
Ｅ
＾
圈３
３
平行板电容器的两极板间是真空时的电容由电容的定义
ｃ＝罟，
一个极板的电量Ｑ＝ａＳ，
两板间的电压
Ｕ＝Ｅｄ＝４，ｒ：ｋａｄ＝４硅肇，
◆
・２５・
带电平面在离平面距离为ｒ的。处激发的场强，与单独的半方向投影的面积ｄＳ
２０１１年２月Ｖ０１．２９Ｎｏ．０３
中学物理
从物理知识的不同价值分析教材的建议
薄惠萍
（临沂师范学院理学院山东临沂２７６００５）
中国科学院院士陈佳洱说过“物理学不只是图表和数要认识牛顿第二定律在力学中的地位和作用，还要分析它对据，它能带给你很多更珍贵的东西：一种理性的思维方式、人学生以后学习电磁学和热学的影响．在力学知识背景中分析生的哲学和人生的道路”．这句话是对物理知识价值的一种时，不仅要从动力学观点来认识该定律，还要放在能量中进诠释．当前人们对物理知识具有理论价值、应用价值、思想教行分析，毕竟教材中关于动能定理和动量定理的理论推导都育价值和能力价值有了统一的认识．知识的理论价值和应用是以牛顿第二定律为基础．在掌握了整个物理知识结构的基价值在物理教材中表现比较明显，而能力培养价值和思想教础上，再深入钻研牛顿第二定律这一节的教材，才能更好设育价值却凝聚在知识中，具有隐蔽性．这就需要教师从知识计该节的教学活动方案，使教学系统整体达到最优化．
的不同价值来分析教材，不仅把知识的理论价值充分发挥出１．２
要有发展眼光
来，更要把教材本身没有直接写出来的情感因素和能力因素、由于人类对物理知识的研究和认识是不断向前发展变
挖掘出来。以实现对学生的全面培养．
化的，学生对物理知识的理解也随着知识和经验的积累不断Ｉ
从知识的理论价值分析教材
加深，这就要求我们在从知识的理论价值分析教材时要有发物理教学内容是以物理知识为载体，教学的各种目标都
展的眼光．要分析重要的物理概念、规律在中学物理教学中要通过学生掌握知识的过程来实现．进行教学设计的首要工是如何逐步扩展和加深的，这样处理教材时才能把握住分作是分析教材，明确对知识的理论价值和应用价值的要求．寸，合理设计教学方案，做到教学循序渐进，而不是盲目追求然而在教学中，有些教师在确定知识要求时往往把着眼点放一步到位．例如“质量”这一看似简单的物理概念的学习却贯在对局部的具体问题的分析上，只顾及所要讲的知识在本节穿于整个中学物理学习过程：密度质量一惯性质量（牛顿第
教材中是怎样写的，不能准确把握教材的要求和发展，这是一定律）一引力质量（万有引力定律）一能量质量（爱因斯坦
造成教学效果不好的重要原因．教师除了要研读每一节教质能方程）．可以说直到高中物理学习结束时，学生才可能对材，透彻理解该节教材中的全部知识外，还应考虑知识的背“质量”这一概念获得较深入的认识．我们要认识到对重要物景、前后联系及其发展变化．教师从知识的理论价值来分析理概念、规律的教学要求不是一节课就能完成的，要从发展教材时需要注意以下三点．
的观点引导学生掌握知识，避免绝对、片面地看待知识．
１．１
要有整体意识
１．３
要有联系观点
根据系统理论，一个系统的整体功能大于组成系统的各
分析教材时，要注意把握物理概念、规律问的相互联系，
个部分的功能之和．因此，进行教材分析，也要以知识整体为有针对性地设计教学方案，以实现对知识的深化理解和活化背景．虽然教材是一节一节写的，课堂教学是一堂一堂进行应用．例如分析楞次定律这一节教材需要联系动力学观点和的，但是要讲好某一知识点，只有把这～节知识放在知识整能量观点，首先认识楞次定律在运动上表现为阻碍相对体中去认识，进行全方位、多角度的分析研究，才能真正掌握运动，基于此分析楞次定律实际是能量转化和守恒定律在电它的内容，认识它在整个教材结构中的地位，准确把握它与磁学中的一种表现．在教学中引导学生用力学知识来深入分其它知识间的联系．唯有此，才能居高临下地深刻理解教材析电磁感应现象，让学生认识到电磁感应现象同样遵循能量中各部分具体知识，以做到融会贯通，深入浅出．例如，牛顿转化和守恒定律，这一定律是自然界的普适规律，这样也就第二定律有重要的理论价值，要想恰当地掌握这部分教材的充分发挥了该定律的理论价值．在分析教材时，只有把握住要求，就要把其放在整个中学物理知识背景中去分析．不仅
知识间的联系，才能实现知识的融会贯通，形成合理的知识
．Ｉ得
Ｃ
２南・
Ｅｏ
８ｒ
２百，
４
两极板闻充满同一种电介质时的电容
两极板问充满同一种介质后，两板间的电压
处在电场Ｅ０中的电介质，会产生极化电荷，极化电荷形
成的电场与原电场方向相反，使该处的实际场强Ｅ相对没有Ｕ：Ｅｄ：马；４，ｒｋａｄ：４ｎｋ％，
ｅ，
ｃｒ
ｅｒ３
电介质时变小．我们把没有电介质时电场Ｅ０与放入电介质得
后的实际场强Ｅ的比值定义为电介质的相对介电常数￡，，有
Ｃ：孺ｅ，Ｓ．
・２６・
万方数据
平行板电容器电容公式的推导
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
曹铁岭， 鲁建全
郑州外国语学校,河南,郑州,450001中学物理（高中版）
ZHONGXUE WULI(GAOZHONG BAN)2011,29(2)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxwl-gzb201102013.aspx
中学物理・教材研究・
Ｖ０１．２９Ｎｏ．０３
２０１１年２月
平行板电容器电容公式的推导
曹铁岭鲁建全
（郑州外国语学校河南郑州４５０００１）
平行板电容器的电容由什么决定？人教版新教材这样说明：理论分析表明，当平行板电容器的两极板间是真空时，电
Ｃ
容Ｃ与极板的正对面积Ｓ、极板距离ｄ的关系为Ｃ＝ｊ４，ｒＬｋｄ，
式中五为静电力常量．
当两极板间充满同一种介质时，电容变大为真空时的ｅ，
＾Ｃ
倍，即Ｃ＝圭兰，ｅ，是一个常数，与电介质的性质有关，称为
叶ＺｆＦＭｄ
相对介电常数．
这个公式是如何理论推导出来的呢？这是很多师生关心的问题．本文从以下几个步骤，利用高中所学的知识进行推导，希望能解除师生心中的困惑．
１
真空中无穷大均匀带电平面激发场强公式
先定性分析，由对称性可知，无穷大均匀带电平面在空
间任一点激发电场的方向一定垂直于带电平面，在带电平面—侧空间中各点场强方向均相同，则该空间一定是匀强电场，如图ｌ，即场强大小与该点到带电平面距离无关．根据电场的叠加原理，电荷面密度盯加倍，相当于两个完全一样的带电平面激发的电场叠加，所以场强加倍，可得Ｅ。Ｃ盯．
再定量分析，可以证明，电荷面密度为盯的无穷大均匀径也为ｒ，电荷面密度也为盯的均匀带电半球壳上所有电荷均集中在Ａ点时在球心。处激发的场强相同．推导如下：
在平面上任取一面积微元
ｄＳ，带电量ａｄｓ，可看做点电荷．连
接０到ｄＳ面上边界所有点，形成’
￡
Ｅ
＿
包络面，在半球壳上可得到对应的面积微元ｄＳ。，设包络线与ｚ方向夹角０，面积微元ｄＳ在垂直包络面图ｌ
７＝ｄＳｃｏｓ０，如图２，
ｄＳ’一ｄＳｃｏｓ
０
嬲
爿
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由几何关系可知：
鱼耐
ＩＪ
上临
一ｒ
＇１．１℃
万方数据
又有
簧＝ｅｏｓＯ，
得ｄＳ＝翁．
面积微元ｄＳ的点电荷在０处激发场强在ｚ方向的分量
ｄＥｘ一丝００ｓ口：下ｌａＳＳｏｏ．（葫ｒ）２
７
平面上所有面积微元的电荷在。处激发场强在ｚ方向分量的矢量合
Ｅ＝∑强＝∑丁Ｉ皈Ｓｏｏ＝笋∑弱。
＝等２肘２：２７ｒｋａ．
即真空中电荷面密度为盯的无穷大均匀带电平面在离平面
距离为，．的。处激发的场强公式Ｅ＝２砌．
２
真空中平行板电容器板间匀强电场的场强公式
真空中两个无穷大带等量异种电荷的平行导体板，电荷
都均匀分布在内表面上．
带正电的板单独在空间激发的电场大小为Ｅ。＝２，ｒｋａ，方向垂直板面且背离板面．
带负电的板在空间单独激发的电场大小为Ｅ２＝２，ｒｋａ，方向垂直板面且指向板面．
由电场的叠加原理可得平行板电容器外部场强为零，内部场强为
Ｅ＝Ｅｌ＋Ｅ２＝４兀ｌｅａ，
如图３所示．
。
Ｅ
＾
圈３
３
平行板电容器的两极板间是真空时的电容由电容的定义
ｃ＝罟，
一个极板的电量Ｑ＝ａＳ，
两板间的电压
Ｕ＝Ｅｄ＝４，ｒ：ｋａｄ＝４硅肇，
◆
・２５・
带电平面在离平面距离为ｒ的。处激发的场强，与单独的半方向投影的面积ｄＳ
２０１１年２月Ｖ０１．２９Ｎｏ．０３
中学物理
从物理知识的不同价值分析教材的建议
薄惠萍
（临沂师范学院理学院山东临沂２７６００５）
中国科学院院士陈佳洱说过“物理学不只是图表和数要认识牛顿第二定律在力学中的地位和作用，还要分析它对据，它能带给你很多更珍贵的东西：一种理性的思维方式、人学生以后学习电磁学和热学的影响．在力学知识背景中分析生的哲学和人生的道路”．这句话是对物理知识价值的一种时，不仅要从动力学观点来认识该定律，还要放在能量中进诠释．当前人们对物理知识具有理论价值、应用价值、思想教行分析，毕竟教材中关于动能定理和动量定理的理论推导都育价值和能力价值有了统一的认识．知识的理论价值和应用是以牛顿第二定律为基础．在掌握了整个物理知识结构的基价值在物理教材中表现比较明显，而能力培养价值和思想教础上，再深入钻研牛顿第二定律这一节的教材，才能更好设育价值却凝聚在知识中，具有隐蔽性．这就需要教师从知识计该节的教学活动方案，使教学系统整体达到最优化．
的不同价值来分析教材，不仅把知识的理论价值充分发挥出１．２
要有发展眼光
来，更要把教材本身没有直接写出来的情感因素和能力因素、由于人类对物理知识的研究和认识是不断向前发展变
挖掘出来。以实现对学生的全面培养．
化的，学生对物理知识的理解也随着知识和经验的积累不断Ｉ
从知识的理论价值分析教材
加深，这就要求我们在从知识的理论价值分析教材时要有发物理教学内容是以物理知识为载体，教学的各种目标都
展的眼光．要分析重要的物理概念、规律在中学物理教学中要通过学生掌握知识的过程来实现．进行教学设计的首要工是如何逐步扩展和加深的，这样处理教材时才能把握住分作是分析教材，明确对知识的理论价值和应用价值的要求．寸，合理设计教学方案，做到教学循序渐进，而不是盲目追求然而在教学中，有些教师在确定知识要求时往往把着眼点放一步到位．例如“质量”这一看似简单的物理概念的学习却贯在对局部的具体问题的分析上，只顾及所要讲的知识在本节穿于整个中学物理学习过程：密度质量一惯性质量（牛顿第
教材中是怎样写的，不能准确把握教材的要求和发展，这是一定律）一引力质量（万有引力定律）一能量质量（爱因斯坦
造成教学效果不好的重要原因．教师除了要研读每一节教质能方程）．可以说直到高中物理学习结束时，学生才可能对材，透彻理解该节教材中的全部知识外，还应考虑知识的背“质量”这一概念获得较深入的认识．我们要认识到对重要物景、前后联系及其发展变化．教师从知识的理论价值来分析理概念、规律的教学要求不是一节课就能完成的，要从发展教材时需要注意以下三点．
的观点引导学生掌握知识，避免绝对、片面地看待知识．
１．１
要有整体意识
１．３
要有联系观点
根据系统理论，一个系统的整体功能大于组成系统的各
分析教材时，要注意把握物理概念、规律问的相互联系，
个部分的功能之和．因此，进行教材分析，也要以知识整体为有针对性地设计教学方案，以实现对知识的深化理解和活化背景．虽然教材是一节一节写的，课堂教学是一堂一堂进行应用．例如分析楞次定律这一节教材需要联系动力学观点和的，但是要讲好某一知识点，只有把这～节知识放在知识整能量观点，首先认识楞次定律在运动上表现为阻碍相对体中去认识，进行全方位、多角度的分析研究，才能真正掌握运动，基于此分析楞次定律实际是能量转化和守恒定律在电它的内容，认识它在整个教材结构中的地位，准确把握它与磁学中的一种表现．在教学中引导学生用力学知识来深入分其它知识间的联系．唯有此，才能居高临下地深刻理解教材析电磁感应现象，让学生认识到电磁感应现象同样遵循能量中各部分具体知识，以做到融会贯通，深入浅出．例如，牛顿转化和守恒定律，这一定律是自然界的普适规律，这样也就第二定律有重要的理论价值，要想恰当地掌握这部分教材的充分发挥了该定律的理论价值．在分析教材时，只有把握住要求，就要把其放在整个中学物理知识背景中去分析．不仅
知识间的联系，才能实现知识的融会贯通，形成合理的知识
．Ｉ得
Ｃ
２南・
Ｅｏ
８ｒ
２百，
４
两极板闻充满同一种电介质时的电容
两极板问充满同一种介质后，两板间的电压
处在电场Ｅ０中的电介质，会产生极化电荷，极化电荷形
成的电场与原电场方向相反，使该处的实际场强Ｅ相对没有Ｕ：Ｅｄ：马；４，ｒｋａｄ：４ｎｋ％，
ｅ，
ｃｒ
ｅｒ３
电介质时变小．我们把没有电介质时电场Ｅ０与放入电介质得
后的实际场强Ｅ的比值定义为电介质的相对介电常数￡，，有
Ｃ：孺ｅ，Ｓ．
・２６・
万方数据
平行板电容器电容公式的推导
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
曹铁岭， 鲁建全
郑州外国语学校,河南,郑州,450001中学物理（高中版）
ZHONGXUE WULI(GAOZHONG BAN)2011,29(2)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxwl-gzb201102013.aspx