第 6 卷 第 5 期 2007 年 10 月
淮北职业技术学院学报
J O U RN A L O F H U A IB EI PRO F ESSION A L A N D T EC HN ICAL COL L E GE Vol . 6 No
. 5 Oct 1 2007
一元函数极限的求法
赵 冬
(淮北职业技术学院 , 安徽 淮北 235000)
摘要 :一元函数极限的计算是“高等数学”基本计算之一 , 解题时要针对不同题型采取相应的求法 。 关键词 :一元函数 ; 极限 ; 求法 中图分类号 :O174 . 1 文献标识码 : A 文章编号 :167128275 (2007) 052
0043202
一元函数极限常见类型及求法归纳如下 :
一 、利用函数极限的四则运算法则求极限
1 . 直接运用法则
2
例 1 li m 3 =2
x →2 2 x - 3 x + x - 4
2
( ) ( )
例 : lim =3
x →∞
6 x + x - 5
3 2
l im =
x →∞ 6 x 3 + x - 5 6
( 5) 先求和 , 再求极限法
x →2
lim ( x 2 - 5 x + 3)
( 2 x 3 - 3 x 2 + x - 4) lim
=
例 lim
n →∞
1
+ ⋯ +
( n - 1) ·1 ·2 2 ·3 n
1 1
=
2
2 . , 然
lim
n →∞
-
1
+
2
1
- + ⋯ + 2 3
( 1) 1 1
-
n - 1 n
= lim 1 -
n →∞
1 n
= 1
= 例 : ) x →
( 6) 利用无穷大与无穷小的关系法
2
例 : lim 2 = 0 lim =∞
x →1
( 2) 通分法
lim = x →1 x ( x + 1) 2
x + 1
x →1
x - 1
二 、利用无穷小量的性质
无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量
例 : =1 x 例 : li m
x →+ ∞
1 - x
= lim
·s in x = 0
x →+ ∞ 1 - x
lim
( )
=
( ) ( ) x →1 1 - x1 + x 2
三 、幂指类函数求极限 当自变量变化状态一致时
如 果 lim f ( x ) = A , ( A ≠ 0) lim g ( x ) = B , 则
( ) ( )
lim [ f ( x ) ] g x = [ l i m f ( x ) ]lim g x = A B
( 3) 根式有理化法 :分子有理化或分母有理化
例 1 li m x →1
=
x 2 - 1
x →例 : lim ( 2 x - 1) 3 x - 7 =
x →3
lim 3 x - 72
[ l im ( 2 x - 1) ] x = 5= 25 →3
x →3
(
)
= - 1x →4
四 、利用等价无穷小替换法
( 4) 分子分母同除以无穷大量法或根据结论
n n- 1 x + + a n
lim m =m - 1 x →∞ b 0 x + b 1 x + ⋯ + b m
要熟记一些常见的等价无穷小量 如 : x →0 时 :
sin x ～ x ta n x ～ x
a rcsi n x ～ x a r cta n x ～ x
2
1 - cos x ～ ln ( 1 + x) ～ x
0 , m > n
a0 b 0
, m = n
2
∞, m
e x - 1 ～ x + x - 1 ～
n
收稿日期 : 2007206225 作者简介 : 赵冬 ( 1973 - ) , 男 , 安徽淮北人 , 淮北职业技术学院讲师 。研究方向 :教材教法 。
x
n
·43 ·
赵 冬 / 一元函数极限的求法
例 :lim
x →0
2
= = lim
x →0 x ·x sin x x 2
( 2) 对 0 ·∞型 , ∞ - ∞型要通过变形化为 0 ∞
型 , 再使用法则
( 3) 对 1 ∞ 型 00 型 ∞型要先取对数变为 0 ·∞型 , 然后
五 、利用两个重要极限及其推广形式
( 1) lim
x →0
x x
= 1
e - 1
( 2) li m 1
x →∞
x
x
1
x = e= e 或lim ( 1 + x )
x →0
再化为或型等等
∞ 0
例 : lim
x
x
x →0
例 :li m ( 1 - sin x ) x = [ 1 + ( - sin x ) ] - sin x
x →0 x →六 、分段函数求极限
分段函数在分段点处的极限要利用定理 :
x →x
=
= = lim 3
x →0 ( x 3 ) ′ x
lim
= lim 2
x →0 x →0 ( 3 x 2 ) ′ 3 x
lim =
x →0 6 x 6
( ) ( ) f x = li m f ( x ) = A lim f x = A Ζ li m
x →x
九 、利用导数的定义
( x 0 ) = lim f ′
Δx →0
-0
x →x
+0
例 : f ( x )
求 : lim f ( x )
, x
求 , ( 注 :分母等于 x
分子括号之差)
x ≥0
x →0
( x 0 ) 存在 , 求极限 : 例 :设 f ′
解 : ∵ lim f ( x ) = 0 , lim f ( x ) = lim = ∞,
+
x →x 0
-x →x 0
x →x
-
( 1) lim
Δx →0
x
f ( x 0 - 2Δx ) - f ( x 0 )
=
Δx
∴ lim f ( x ) 不存在
x →x 0
lim Δ
x →0
f ( x 0 - 2Δx ) - f ( x 0 )
( - 2) = ·
- 2Δx
( x 0 ) - 2 f ′
七 、
由“”可知
( 2) li m
( 0 ) ( 0 )
=
h →0 h
h →0
( 1) 如果 x 是初等函数 F ( x ) 的定义区间内一点 , 要求
x →x 0
li m
lim F ( x ) , 只要求 F ( x 0 ) 即可 , 即 lim F ( x ) = F ( x 0 )
x →x 0
f ( x 0 + h ) - f ( x 0 - h)
2 = 2 f (·′ x
2 h
0 )
除以上述常用方法之外 , 还有利用极限存在准则求极
( 2) 如果点 x 是初等函数 F [φ( x ) ] 的可去间断点 , 那
么 由 复 合 函 数 连 续 性 的 命 题 可 知 : lim F[φ( x ) ] =
x →x
限 , 利用级数的必要条件求极限 :若 ∑u n 收敛 , 则 lim u n =
n = 1
n →∞
∞
F[ lim φ( x ) ]
x →x 0
x
x
0 , 利用泰勒展式求极限等方法 。在学习的过程中只要认真
归纳 、比较 , 就能熟练掌握 , 灵活运用 。
x →0
例 :lim [ e + l n ( 1 + x ) - x ] = [ e + l n ( 1 + x ) - x ] | x = 0
参考文献 :
[ 1 ] 李林曙 , 黎 诣 远 . 经 济 数 学 基 础 ———微 积 分 [ M ] . 北
京 :高等教育出版社
,2004 .
[ 2 ] 何怡生 . 高等数学 ( 二) [ M ] . 北京 : 中国人事出版社 ,
2000 .
[ 3 ] 侯风波 . 高等数学 [ M ]北京 :高等教育出版社 ,2000 . [ 4 ] 同济大学 , 等 . 高等数学 ( 上册) [ M ] . 北京 : 高等教育
= 1
例
:求lim
x →0
∵x = 0 是可去间断点
∴lim
x →0
=
八 、利用罗必达法则
对于未定式极限可采用罗比达法则
出版社 ,2001 .
( 1) 对于 型 或型直接使用法则
责任编校 : 石柏胜
∞
·44 ·
第 6 卷 第 5 期 2007 年 10 月
淮北职业技术学院学报
J O U RN A L O F H U A IB EI PRO F ESSION A L A N D T EC HN ICAL COL L E GE Vol . 6 No
. 5 Oct 1 2007
一元函数极限的求法
赵 冬
(淮北职业技术学院 , 安徽 淮北 235000)
摘要 :一元函数极限的计算是“高等数学”基本计算之一 , 解题时要针对不同题型采取相应的求法 。 关键词 :一元函数 ; 极限 ; 求法 中图分类号 :O174 . 1 文献标识码 : A 文章编号 :167128275 (2007) 052
0043202
一元函数极限常见类型及求法归纳如下 :
一 、利用函数极限的四则运算法则求极限
1 . 直接运用法则
2
例 1 li m 3 =2
x →2 2 x - 3 x + x - 4
2
( ) ( )
例 : lim =3
x →∞
6 x + x - 5
3 2
l im =
x →∞ 6 x 3 + x - 5 6
( 5) 先求和 , 再求极限法
x →2
lim ( x 2 - 5 x + 3)
( 2 x 3 - 3 x 2 + x - 4) lim
=
例 lim
n →∞
1
+ ⋯ +
( n - 1) ·1 ·2 2 ·3 n
1 1
=
2
2 . , 然
lim
n →∞
-
1
+
2
1
- + ⋯ + 2 3
( 1) 1 1
-
n - 1 n
= lim 1 -
n →∞
1 n
= 1
= 例 : ) x →
( 6) 利用无穷大与无穷小的关系法
2
例 : lim 2 = 0 lim =∞
x →1
( 2) 通分法
lim = x →1 x ( x + 1) 2
x + 1
x →1
x - 1
二 、利用无穷小量的性质
无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量
例 : =1 x 例 : li m
x →+ ∞
1 - x
= lim
·s in x = 0
x →+ ∞ 1 - x
lim
( )
=
( ) ( ) x →1 1 - x1 + x 2
三 、幂指类函数求极限 当自变量变化状态一致时
如 果 lim f ( x ) = A , ( A ≠ 0) lim g ( x ) = B , 则
( ) ( )
lim [ f ( x ) ] g x = [ l i m f ( x ) ]lim g x = A B
( 3) 根式有理化法 :分子有理化或分母有理化
例 1 li m x →1
=
x 2 - 1
x →例 : lim ( 2 x - 1) 3 x - 7 =
x →3
lim 3 x - 72
[ l im ( 2 x - 1) ] x = 5= 25 →3
x →3
(
)
= - 1x →4
四 、利用等价无穷小替换法
( 4) 分子分母同除以无穷大量法或根据结论
n n- 1 x + + a n
lim m =m - 1 x →∞ b 0 x + b 1 x + ⋯ + b m
要熟记一些常见的等价无穷小量 如 : x →0 时 :
sin x ～ x ta n x ～ x
a rcsi n x ～ x a r cta n x ～ x
2
1 - cos x ～ ln ( 1 + x) ～ x
0 , m > n
a0 b 0
, m = n
2
∞, m
e x - 1 ～ x + x - 1 ～
n
收稿日期 : 2007206225 作者简介 : 赵冬 ( 1973 - ) , 男 , 安徽淮北人 , 淮北职业技术学院讲师 。研究方向 :教材教法 。
x
n
·43 ·
赵 冬 / 一元函数极限的求法
例 :lim
x →0
2
= = lim
x →0 x ·x sin x x 2
( 2) 对 0 ·∞型 , ∞ - ∞型要通过变形化为 0 ∞
型 , 再使用法则
( 3) 对 1 ∞ 型 00 型 ∞型要先取对数变为 0 ·∞型 , 然后
五 、利用两个重要极限及其推广形式
( 1) lim
x →0
x x
= 1
e - 1
( 2) li m 1
x →∞
x
x
1
x = e= e 或lim ( 1 + x )
x →0
再化为或型等等
∞ 0
例 : lim
x
x
x →0
例 :li m ( 1 - sin x ) x = [ 1 + ( - sin x ) ] - sin x
x →0 x →六 、分段函数求极限
分段函数在分段点处的极限要利用定理 :
x →x
=
= = lim 3
x →0 ( x 3 ) ′ x
lim
= lim 2
x →0 x →0 ( 3 x 2 ) ′ 3 x
lim =
x →0 6 x 6
( ) ( ) f x = li m f ( x ) = A lim f x = A Ζ li m
x →x
九 、利用导数的定义
( x 0 ) = lim f ′
Δx →0
-0
x →x
+0
例 : f ( x )
求 : lim f ( x )
, x
求 , ( 注 :分母等于 x
分子括号之差)
x ≥0
x →0
( x 0 ) 存在 , 求极限 : 例 :设 f ′
解 : ∵ lim f ( x ) = 0 , lim f ( x ) = lim = ∞,
+
x →x 0
-x →x 0
x →x
-
( 1) lim
Δx →0
x
f ( x 0 - 2Δx ) - f ( x 0 )
=
Δx
∴ lim f ( x ) 不存在
x →x 0
lim Δ
x →0
f ( x 0 - 2Δx ) - f ( x 0 )
( - 2) = ·
- 2Δx
( x 0 ) - 2 f ′
七 、
由“”可知
( 2) li m
( 0 ) ( 0 )
=
h →0 h
h →0
( 1) 如果 x 是初等函数 F ( x ) 的定义区间内一点 , 要求
x →x 0
li m
lim F ( x ) , 只要求 F ( x 0 ) 即可 , 即 lim F ( x ) = F ( x 0 )
x →x 0
f ( x 0 + h ) - f ( x 0 - h)
2 = 2 f (·′ x
2 h
0 )
除以上述常用方法之外 , 还有利用极限存在准则求极
( 2) 如果点 x 是初等函数 F [φ( x ) ] 的可去间断点 , 那
么 由 复 合 函 数 连 续 性 的 命 题 可 知 : lim F[φ( x ) ] =
x →x
限 , 利用级数的必要条件求极限 :若 ∑u n 收敛 , 则 lim u n =
n = 1
n →∞
∞
F[ lim φ( x ) ]
x →x 0
x
x
0 , 利用泰勒展式求极限等方法 。在学习的过程中只要认真
归纳 、比较 , 就能熟练掌握 , 灵活运用 。
x →0
例 :lim [ e + l n ( 1 + x ) - x ] = [ e + l n ( 1 + x ) - x ] | x = 0
参考文献 :
[ 1 ] 李林曙 , 黎 诣 远 . 经 济 数 学 基 础 ———微 积 分 [ M ] . 北
京 :高等教育出版社
,2004 .
[ 2 ] 何怡生 . 高等数学 ( 二) [ M ] . 北京 : 中国人事出版社 ,
2000 .
[ 3 ] 侯风波 . 高等数学 [ M ]北京 :高等教育出版社 ,2000 . [ 4 ] 同济大学 , 等 . 高等数学 ( 上册) [ M ] . 北京 : 高等教育
= 1
例
:求lim
x →0
∵x = 0 是可去间断点
∴lim
x →0
=
八 、利用罗必达法则
对于未定式极限可采用罗比达法则
出版社 ,2001 .
( 1) 对于 型 或型直接使用法则
责任编校 : 石柏胜
∞
·44 ·