04年圆锥曲线高考题汇编

04年圆锥曲线高考题汇编

1．设中心的原点的椭圆与双曲线2x22y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程

是 . 15．

x

2

2

y

2

1

2．如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线yx22x3没有交点，那么实数a的取值范围是

__________________.15．(,

134)

3．设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 . 2．(5,0)

4．圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C的方程为．(x－2)+(y+3)=5 5．教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是．用代数的方法研究图形的几何性质

6．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程

为 . 15．x2y24

7．若经过点P（－1，0）的直线与圆x2y24x2y30相切，则此直线在y轴上的截距是13．1

8．以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________. 14．(x1)2(y2)225 9．F1，F2是椭圆C：

x

2

22

8



x

2

4

1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为______.15．2

10 设P为圆x2y21上的动点，则点P到直线3x4y100的距离的最小值为 ．1

11．对任意实数K，直线：ykxb与椭圆：

x

32cos

y14sin

(02)恒有公共点，则b取值范围是

_______________ 16．[－1，3]

xcosy1sin

12．曲线C：

（为参数）的普通方程是__________，如果曲线C与直线xya0有公共

2a1

2

22

点，那么实数a的取值范围是_______________. 12．x(y1)1 1

13．过抛物线y24x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆方程是________________.4．(x1)2

2

y

22

4

14.若直线mxny30与圆xy3没有公共点，则m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆15.双曲线

x

2

x

2

7



y

2

3

1的公共点有_________个。14. 0mn3

22

2

4



32

y

2

9

x

1的渐近线方程是（A）

A. yB. y

23

x C. y

94

x D. y

49

x

16．已知双曲线

右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|,21,(a0,b0)的左，2

ab

则此双曲线的离心率e的最大值为： （B）

457A． B． C．2 D．

333

x

2

y

2

17．若双曲线2x2y2k（k0)的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （C A ）

A． 6 B． 8 C． 1 D． 4 18． 圆x2y24x

0在点P处的切线方程是（D）

A．

xC．

x

20

B．

xD．

x

12

40 20

40

19．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y

A． 5 20．如果双曲线x

135

2

x，则双曲线的离心率e（ C）

B．

y

2

C．

2

D．

54

13



12

1上一点

P到右焦点的距离为, 那么点P到右准线的距离是（A）

513

A．

x

2

B．13

yb

22

C．5 D．

21．若双曲线

A．

2

8



1的一条准线与抛物线y

2

8x

的准线重合，则双曲线的离心率为（A）

D．4

2

B．2

2

C． 4

22．已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PAPBx2，则点P的轨迹是D A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 23．已知点F1(2,0)、F2(离是A

A．

62

2,0)

，动点P满足|PF2||PF1|2. 当点P的纵坐标是

12

时，点P到坐标原点的距

y

2

B．

32

C．3 D．2

24．椭圆

A．

x

2

4

32

1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|

2

B．3 C．

72

D．4

25．设抛物线y8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （C ）

A．[

11

,] 22

2

2

B．[－2，2]

2

2

C．[－1，1] D．[－4，4]

26．已知圆C与圆(x1)y1关于直线yx对称，则圆C的方程为 （ C）

A．(x1)y1 B．xy1 C．x(y1)1

2

2

2222

D．x(y1)1

22

27． 若P(2,1)为圆(x1)y25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ A）

A． xy30

x

22

B． 2xy30 C． xy10 y

2

D． 2xy50

28．设P是双曲线

9a

右焦点。若|PF1|3，则|PF2|



1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F2分别是双曲线的左、

（C）

A． 1或5 B． 6 C． 7 D．9

29．若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x24xy250在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（A） A

．0k

D．0k5 2

30．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 （A）

3

B

．k0 C

．0k

(A)（

2

12

,

32

) (B)（

32

,

12

) (C)（

12

,

32

) (D)（

31

,) 22

31．曲线y=4x关于直线x=2对称的曲线方程是

222

(A)y=8--4x (B)y=4x—8 (C)y=16--4x 32．椭圆

x

22

（C）

2

(D)y=4x—16

b2

ab离心率为（D）



y

22

1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点（

，0）分成5：3两段，则此椭圆的

(A)

1617

(B)

417

(C)

45

(D)

255

33．（本题满分14分）

解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）.点P、Q在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1.

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且k[

33

,3]，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当m21时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.

解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程yk(x1),(k0),即kxyk0.又因为点M到直线AP的距离为1,所以mkkk1

2

1,得m1

33

k

2

1

k



233



1k

2

.

233

∵k[,3], ∴≤m1≤2,解得

233][

233

+1≤m≤3或--1≤m≤1--

233

.

∴m的取值范围是m[1,1

(Ⅱ)可设双曲线方程为x

2

1,3].

1(b0), 由M(21,0),A(1,0), 得AM2. 2b

又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此，kAP1,kAQ1（不妨设P在第一象限）

y

2

直线PQ方程为x22.

2

直线AP的方程y=x-1,∴解得P的坐标是（2+2，1+2），将P点坐标代入x

b

2

yb

22

1得，



2123

所以所求双曲线方程为x

2

(23)21

y

2

1,

22

即x(221)y1.

34．（本小题满分14分）

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F(c,0)(c0)的准线l与x轴相交于点A，

|OF|2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

(I) 求椭圆的方程及离心率；

(II)若OP.OQ0,求直线PQ的方程.

xa

22

(I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得



y

2

2

1(a2).

a2c22,

2 解得

aa

c).c2(c62

(II)解： 由(I)可得A(3,0).

所以椭圆的方程为

c2.

x

2



y

2



1，离心率e

3

………………4分

设直线PQ的方程为yk(x3).由方程组

2

x2y

1222

6得 (3k1)x1k8x2

yk(x3)

2k7

2

6 0.

依题意 12(23k)

0,得

2

3

k

3

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2

x1.x2

18k

2

2

3k1

, ①

27k63k1

2

2

2

. ②

3),y2k(x3于是). 由直线PQ的方程得 y1k(x12

y1y2k(x13)(x23)k[x1x23(x1x2)9]. ③

2

OPOQ0,x1x2y1y20. ④

由①②③④得5k

2



1,从而k

5

(

3

3

所以直线PQ

的方程为x3

0或x30. ……………………14分

35．(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分 如图, 直线y=

12

x与抛物线y=

18

x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

(1) 求点Q的坐标；

(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

解：(1) 解方程组

12

y=y=

1218

x x－4

2

得

1=－4, x2=8

y1=－2, y2=4

12

即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB==

,直线AB的垂直平分线方程y－1=

(x－2).

令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)

(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x,

x

18

2

18

x－4).

2

x4

∵点P到直线OQ的距离d= OQ52,∴SΔOPQ=

12

=

2

2

182

2

x8x32,

OQd=

516

x8x32.

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,

∴－4≤x

给定抛物线C：y24x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点. （Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；

（Ⅱ）设FBAF,若[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围. 解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为yx1.

将yx1代入方程y24x，并整理得 x26x10. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x26,x1x21.

OAOB(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y22x1x2(x1x2)13.

|OA||OB|

x1y1

2

2

2

2

2

x2y2x1x2[x1x24(x1x2)16]

41.

cos(OA,OB)

OAOB|OA||OB|



341

.

341

.

所以OA与OB夹角的大小为arccos

（Ⅱ）由题设FBAF 得 (x21,y2)(1x1,y1), x21(1x1),

即 y2y1.

22

2

21

① ②

2

2

2

由②得yy， ∵ y14x1,y24x2, ∴x2x1.③ 联立①、③解得x2，依题意有0.

∴B(,2),或B(,2),又F（1，0），得直线l方程为 (1)y2(x1)或(1)y2(x1), 当[4,9]时，l在方程y轴上的截距为由 ∴

342



2



2

, 可知

2

1

或

2

1

,

2

1



1

43,

1



1

, ,34

在[4，9]上是递减的，

243

2

11



34

43

直线l在y轴上截距的变化范围为[37．（本小题满分14分）

设双曲线C：

x

22

][

34

,]. 43

a

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

y

2

1(a0)与直线l:xy1相交于两个不同的点A、B.

（II）设直线l与y轴的交点为P，且PA

512

PB.求a的值.

x22

2y1,

解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组a

xy1.

有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ……2分

2

1a0.所以

422

4a8a(1a)0.

解得0a

2且a1.

双曲线的离心率

e

a



0aa1,e

2

e

).6分

2

（II）设A(x1,y1),B(x2,y2),P1(0,1)

PA

512

PB,

(x1,y11)

512

2

即离心率e的取值范围为(x2,y21).由此得x1

512

x2.……8分

由于x1，x2都是方程①的根，且1－a≠0， 所以

1712

x2

2a

22

1a1713

,

512

x

22



2a

22

1a

.消去,x2,得

2a

22

1a



28960

由a0,所以a.14分

2

38．（本小题满分12分）设椭圆方程为x点，点P满足OP

12

y

2

4

1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原

11

,)，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程； 22

(OAOB)，点N的坐标为(

（2）|NP|的最小值与最大值.

（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为ykx1.

记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组

ykx1

① 2 的解.…………………………2分 2y

1x② 4

将①代入②并化简得，(4k)x2kx30，所以 2k

xx,1224k

于是 

8yy.1224k

22

22

设点P的坐标为(x,y),则

OP

1

(OAOB)(

x1x2

,

y1y2

2

)(

k4k

2

,

44k

2

).…………6分

kx,24k

消去参数k得4x2y2y0 ③ 

4y.24k

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方

程为4x2y2y0.………………8分

解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上，所以 x

21

y14

2

1, ④ x

14

2

2

22

y24

2

1. ⑤

2

④—⑤得x12x2

(y1y2)0，所以 (y1y2)(y1y2)0.

(x1x2)(x1x2)

14

当x1x2时，有x1x2

14

(y1y2)

y1y2x1x2

0. ⑥

x1x2

x,

2



yy2

并且y1 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2y2y0. ⑧ ,

2

y1y2y1.

x1x2

x

当x1x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

12

(y)2

x21.………………8分 11

16

4

2

（2）解：由点P的轨迹方程知x

|NP|(x

2

1

12

)(y

2

12

)

2

1644

1211272

(x)4x3(x)……10分

24612

14

;当x

16

,即

1

x

1

.所以

故当x最大值为

14

，|NP|取得最小值，最小值为

216

.……………………12分

时，|NP|取得最大值，

1

39．已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).

2

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M.

解：（I）设所求椭圆方程是

由已知，得 cm,故所求的椭圆方程是

x

22

，求直线l的斜率.

xa

22





yb

1

22

1(ab0).

, 所以a2m,b

22

ca

2

3m.

4m



y

3m

1

（II）设Q（xQ,yQ），直线l:yk(xm),则点M(0,km) 当MQ2QF时,由于F(m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式，得

xQ

02m12



2m3,yQ

km012

13km.

2

4mkm

22

又点Q(

2mkm99

,)在椭圆上,所以22334m3m

0(2)(m)

12

1.

解得k26,

当MQ2QF时,xQ2m,yQ

km12

km.

4m3m

40．（本小题满分14分）

于是

4m

22



km

2

22

1,解得k0. 故直线l的斜率是0，26.

m1

使得直线PF2与直线PF2垂直. （1）求实数m的取值范围；

设椭圆

x

2

y

2

1的两个焦点是F1(c,0)与F2(c,0)(c0)，且椭圆上存在点P，

（2）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q. 若

求直线PF2的方程.

解：（1）由题设有m0,c

m.

|QF2||PF2|

23，

设点P的坐标为（x0,y0），由PF1PF2，得化简得 xym. ①将①与由m0,x

2

020

20

y0x0c

20



y0x0c

1，

20

x0

2

m1

y1联立，解得 x

m1m

2

,y0

2

1m

.

m1m

2

0,得m1.所以m的取值范围是m1.

m1m

.设点Q的坐标为(x1,y1)，则x1

m1m.

（2）准线L的方程为x

m1

|QF2||PF2||QF2||PF2|



x1ccx0

1

m

m

. ②将 x0m

2

m1m

2

mx0

2

代入②，化简得

m

m1.

m1

由题设

|QF2||PF2|

2

23，得 mm12

|QF2||PF2|

2

2

3， 无解.

1

2

将 x0由题设

m1m

代入②，化简得 3，得 m

32

m

m

2

m1

m1.

|QF2||PF2|

2m1222,c

2，

3.

解得m=2. 从而x0,y0

得到PF2的方程 y(32)(x

2).

41． (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨

响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

解：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

y

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC

的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，

C故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得a=680, c=1020，

b

2

xa

22



yb

22

1上，

A

B

ca

22

1020

x

22

2

680

y

22

5340

2

2

1

故双曲线方程为

680

x680

5,y680

5340

用y=－x代入上式，得x6805，∵|PB|>|PA|,

5,680

5),故PO680

2

2

5,即P(680

2

42．(14分)设直线与椭圆

x

2516

三等分线段AB． 求直线的方程.

解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为



y

2

1相交于A、B两点，又与双曲线x–y=1相交于C、D两点， C、D

y

y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：

A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)

DCA

l依题意有ACDB,AB3CD，由

ykxb22222得(1625k)x2bkx(25b400)0...(1)xy

1

1625

x1x2

50bk1625k

2

ykxb222

由2得(1k)x2bkx(b1)0...(2)2

xy1

若k1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k1

2bk

x3x4 2

1k

由ACDBx3x1x2x4x1x2x3x4



50bk1625k

2



2bk1k

2

bk0k0或b0

54

b,由(2)得x3,4b1

104

16b

2

2

2

(i)当k0时,由(1)得x1,2

1613

由AB3CDx2x13(x4x3),即

6b1b

2

故l的方程为y

1613

(ii)当b=0时，由(1)得

x1,2

2025k

2

,由(2)得x3,4

1k

2

40



6k

2

由由AB3CDx2x13(x4x3)即故l的方程为y

1625

x

1625k

2

k

1625

再讨论l与x轴垂直的情况.

设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， y1,2

45

25c,y3,4c1

2

2

由|AB|3|CD||y2y1|3|y4y3|即85

25c

2

6c1c

25

241241

1613

2

25

241 241

故l的方程为x

综上所述，故l的方程为y、y

1625

x和x

25241241

43．（本小题满分12分）

设p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y22px交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H

解法一：由题意，直线AB不能是水平线，

kyx2p,

又设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足2

y2px.

消去x得 y2pky4p0 yAyB2pk,

由此得  2

yy4p.AB

xAxB4pk(yAyB)(42k2)p,

2

(yAyB)2

4pxAxB2

(2p)

22

因此OAOBxAxByAyB0,即OAOB. 故O必在圆H的圆周上.

又由题意圆心H（xH,yH）是AB的中点，故

xAxH

yyA

B

xB2yB2

(2k)p,

2

kp.

xHyH

2

2

由前已证，OH应是圆H的半径，且|OH|k

4

5k

2

4p.

从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小. 此时，直线AB的方程为：x=2p.

解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p kyx2p,

又设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足2

y2px.

22y2pky4p0,

分别消去x，y得

222x2p(k2)x4p0.

故得A、B所在圆的方程x2y22p(k22)x2pky0. 明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，

xxByAyB2

又知A、B中点H的坐标为(A,)((2k)p,kp),

22故 |OH|

(2k)pkp

2

2

2

2

2

而前面圆的方程可表示为[x(2k2)p]2(ypk)2(2k2)2p2k2p2

故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）. 又R2|OH|2(k45k2



4

)p2，

2

故当k=0时，R最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p. 解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上 又直径|AB|=



(xAxB)(yAyB)

2

2



4p.

上式当xAxB时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小. 此时直线AB的方程为x=2p. 44．（本小题满分14分）

如图，过抛物线y2px(p0)上一定点P（x0,y0）（y00），作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2）

（I）求该抛物线上纵坐标为

p2

2

的点到其焦点F的距离

y1y2

y0

（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求解：（I）当y

p2

2

的值，并证明直线AB的斜率是非零常数

时，x

p8

,

p2)

又抛物线y2px的准线方程为x 由抛物线定义得，所求距离为

p8(

p2

.

5p8

x

.

（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB 由y12px1，y02px0,

相减得(y1y0)(y1y0)2p(x1x0).

2

2

11

故kPA

y1y0x1x0



2py1y0

(x1x0).

同理可得kPB 即 故

2py1y0y1y2

y0

2

2py2y02py2y0

(x2x0). 由PA，PB倾斜角互补知kPAkPB,



, 所以y1y22y0,

2.

设直线AB的斜率为kAB

2

由y22px2，y12px1 相减得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1), 所以kAB

y2y1x2x1



2py1y2

(x1x2).

将y1y22y0(y00)代入得 kAB

2py1y2



py0

，所以kAB是非零常数.

45.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知倾斜角为45的直线l过点A(1,2)和点B，B在第一象限，|AB|32.

(1) 求点B的坐标； (2) 若直线l与双曲线C:

xa

22

y

2

且线段EF的中点坐标为(4,1)，求a的值； 1(a0)相交于E、F两点，

(3) 对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB的距离. 已知点P

在x轴上运动，写出点P(t,0)到线段AB的距离h关于t的函数关系式. 解：(1) 直线AB方程为y

标为(4,1)。

（2）由x

yx3ya2

2

x3

，设点B(x,

y)

，由

yx3

(x1)(y2)

2

2

18

及x0，y0得x4，y1，点B的坐

2

1

得(

1a

2

1)x

2

6x100

，设E(x1,y1),F(x2,y2)，则x1x2

|

(tx)

2



6a

22

1a2

4

，得a2。

（3）(解法一)设线段AB上任意一点Q坐标为Q(x,x3)，|PQ

记

f(x)

t3

2

(x3)

，

(tx)

2

(x3)

2

2(x

t32

)2



(t3)2

2

(1t4)，

|t3|2

当1

3

当t

2

4

时，即1t5时，|PQ

|minf(t3)

2

，

(t4)1(t1)

2

2

4

，即t5时，，即t1时，

f(x)在[1,4]上单调递减，∴|PQ|minf(4)f(x)在[1,4]上单调递增，|PQ|minf(1)

；

3

当t

2

14

。

2

(t1)4t1;|t3|

1t5;综上所述，h(t)2

2

(t4)1t5.

x

(解法二) 过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于A'(1,0)、B'(5,0)， 当点P在线段A

B

'

上，即1t

5

时，由点到直线的距离公式得：|PQ

|min|PA||min|PB|

|min

|t3|2

；

当点P的点在点

A'的左边，t1时，|PQ当点P的点在点A'的右边，t

5

(t1)4(t4)1

2

2

； 。

时，|PQ

12

2

(t1)4t1;|t3|

综上所述，

h(t)1t5;

46. （04px

上，ABC （I （II18. 本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。满分15分 解：（I）由点A（2，8）在抛物线y22px上，有822p2 解得p16 所以抛物线方程为y232x

，焦点F的坐标为（8，0）

（II）如图，由F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且点M的坐标为(x

22x012

AFFM

2 设

（III 设BCy4k(x11)2

由2消x得 ky32y32(11k4)0

y32x

y1y232

4 解得k4 所以y1y2 由（II）的结论得

k2

因此BC所在直线的方程为 y44(x11) 即4xy400

13

04年圆锥曲线高考题汇编

1．设中心的原点的椭圆与双曲线2x22y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程

是 . 15．

x

2

2

y

2

1

2．如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线yx22x3没有交点，那么实数a的取值范围是

__________________.15．(,

134)

3．设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 . 2．(5,0)

4．圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C的方程为．(x－2)+(y+3)=5 5．教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是．用代数的方法研究图形的几何性质

6．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程

为 . 15．x2y24

7．若经过点P（－1，0）的直线与圆x2y24x2y30相切，则此直线在y轴上的截距是13．1

8．以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________. 14．(x1)2(y2)225 9．F1，F2是椭圆C：

x

2

22

8



x

2

4

1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为______.15．2

10 设P为圆x2y21上的动点，则点P到直线3x4y100的距离的最小值为 ．1

11．对任意实数K，直线：ykxb与椭圆：

x

32cos

y14sin

(02)恒有公共点，则b取值范围是

_______________ 16．[－1，3]

xcosy1sin

12．曲线C：

（为参数）的普通方程是__________，如果曲线C与直线xya0有公共

2a1

2

22

点，那么实数a的取值范围是_______________. 12．x(y1)1 1

13．过抛物线y24x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆方程是________________.4．(x1)2

2

y

22

4

14.若直线mxny30与圆xy3没有公共点，则m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆15.双曲线

x

2

x

2

7



y

2

3

1的公共点有_________个。14. 0mn3

22

2

4



32

y

2

9

x

1的渐近线方程是（A）

A. yB. y

23

x C. y

94

x D. y

49

x

16．已知双曲线

右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|,21,(a0,b0)的左，2

ab

则此双曲线的离心率e的最大值为： （B）

457A． B． C．2 D．

333

x

2

y

2

17．若双曲线2x2y2k（k0)的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （C A ）

A． 6 B． 8 C． 1 D． 4 18． 圆x2y24x

0在点P处的切线方程是（D）

A．

xC．

x

20

B．

xD．

x

12

40 20

40

19．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y

A． 5 20．如果双曲线x

135

2

x，则双曲线的离心率e（ C）

B．

y

2

C．

2

D．

54

13



12

1上一点

P到右焦点的距离为, 那么点P到右准线的距离是（A）

513

A．

x

2

B．13

yb

22

C．5 D．

21．若双曲线

A．

2

8



1的一条准线与抛物线y

2

8x

的准线重合，则双曲线的离心率为（A）

D．4

2

B．2

2

C． 4

22．已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PAPBx2，则点P的轨迹是D A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 23．已知点F1(2,0)、F2(离是A

A．

62

2,0)

，动点P满足|PF2||PF1|2. 当点P的纵坐标是

12

时，点P到坐标原点的距

y

2

B．

32

C．3 D．2

24．椭圆

A．

x

2

4

32

1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|

2

B．3 C．

72

D．4

25．设抛物线y8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （C ）

A．[

11

,] 22

2

2

B．[－2，2]

2

2

C．[－1，1] D．[－4，4]

26．已知圆C与圆(x1)y1关于直线yx对称，则圆C的方程为 （ C）

A．(x1)y1 B．xy1 C．x(y1)1

2

2

2222

D．x(y1)1

22

27． 若P(2,1)为圆(x1)y25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 （ A）

A． xy30

x

22

B． 2xy30 C． xy10 y

2

D． 2xy50

28．设P是双曲线

9a

右焦点。若|PF1|3，则|PF2|



1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F2分别是双曲线的左、

（C）

A． 1或5 B． 6 C． 7 D．9

29．若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x24xy250在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（A） A

．0k

D．0k5 2

30．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 （A）

3

B

．k0 C

．0k

(A)（

2

12

,

32

) (B)（

32

,

12

) (C)（

12

,

32

) (D)（

31

,) 22

31．曲线y=4x关于直线x=2对称的曲线方程是

222

(A)y=8--4x (B)y=4x—8 (C)y=16--4x 32．椭圆

x

22

（C）

2

(D)y=4x—16

b2

ab离心率为（D）



y

22

1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点（

，0）分成5：3两段，则此椭圆的

(A)

1617

(B)

417

(C)

45

(D)

255

33．（本题满分14分）

解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）.点P、Q在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1.

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且k[

33

,3]，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当m21时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.

解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程yk(x1),(k0),即kxyk0.又因为点M到直线AP的距离为1,所以mkkk1

2

1,得m1

33

k

2

1

k



233



1k

2

.

233

∵k[,3], ∴≤m1≤2,解得

233][

233

+1≤m≤3或--1≤m≤1--

233

.

∴m的取值范围是m[1,1

(Ⅱ)可设双曲线方程为x

2

1,3].

1(b0), 由M(21,0),A(1,0), 得AM2. 2b

又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此，kAP1,kAQ1（不妨设P在第一象限）

y

2

直线PQ方程为x22.

2

直线AP的方程y=x-1,∴解得P的坐标是（2+2，1+2），将P点坐标代入x

b

2

yb

22

1得，



2123

所以所求双曲线方程为x

2

(23)21

y

2

1,

22

即x(221)y1.

34．（本小题满分14分）

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F(c,0)(c0)的准线l与x轴相交于点A，

|OF|2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

(I) 求椭圆的方程及离心率；

(II)若OP.OQ0,求直线PQ的方程.

xa

22

(I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得



y

2

2

1(a2).

a2c22,

2 解得

aa

c).c2(c62

(II)解： 由(I)可得A(3,0).

所以椭圆的方程为

c2.

x

2



y

2



1，离心率e

3

………………4分

设直线PQ的方程为yk(x3).由方程组

2

x2y

1222

6得 (3k1)x1k8x2

yk(x3)

2k7

2

6 0.

依题意 12(23k)

0,得

2

3

k

3

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2

x1.x2

18k

2

2

3k1

, ①

27k63k1

2

2

2

. ②

3),y2k(x3于是). 由直线PQ的方程得 y1k(x12

y1y2k(x13)(x23)k[x1x23(x1x2)9]. ③

2

OPOQ0,x1x2y1y20. ④

由①②③④得5k

2



1,从而k

5

(

3

3

所以直线PQ

的方程为x3

0或x30. ……………………14分

35．(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分 如图, 直线y=

12

x与抛物线y=

18

x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

(1) 求点Q的坐标；

(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

解：(1) 解方程组

12

y=y=

1218

x x－4

2

得

1=－4, x2=8

y1=－2, y2=4

12

即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB==

,直线AB的垂直平分线方程y－1=

(x－2).

令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)

(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x,

x

18

2

18

x－4).

2

x4

∵点P到直线OQ的距离d= OQ52,∴SΔOPQ=

12

=

2

2

182

2

x8x32,

OQd=

516

x8x32.

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,

∴－4≤x

给定抛物线C：y24x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点. （Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；

（Ⅱ）设FBAF,若[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围. 解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为yx1.

将yx1代入方程y24x，并整理得 x26x10. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x26,x1x21.

OAOB(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y22x1x2(x1x2)13.

|OA||OB|

x1y1

2

2

2

2

2

x2y2x1x2[x1x24(x1x2)16]

41.

cos(OA,OB)

OAOB|OA||OB|



341

.

341

.

所以OA与OB夹角的大小为arccos

（Ⅱ）由题设FBAF 得 (x21,y2)(1x1,y1), x21(1x1),

即 y2y1.

22

2

21

① ②

2

2

2

由②得yy， ∵ y14x1,y24x2, ∴x2x1.③ 联立①、③解得x2，依题意有0.

∴B(,2),或B(,2),又F（1，0），得直线l方程为 (1)y2(x1)或(1)y2(x1), 当[4,9]时，l在方程y轴上的截距为由 ∴

342



2



2

, 可知

2

1

或

2

1

,

2

1



1

43,

1



1

, ,34

在[4，9]上是递减的，

243

2

11



34

43

直线l在y轴上截距的变化范围为[37．（本小题满分14分）

设双曲线C：

x

22

][

34

,]. 43

a

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

y

2

1(a0)与直线l:xy1相交于两个不同的点A、B.

（II）设直线l与y轴的交点为P，且PA

512

PB.求a的值.

x22

2y1,

解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组a

xy1.

有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ……2分

2

1a0.所以

422

4a8a(1a)0.

解得0a

2且a1.

双曲线的离心率

e

a



0aa1,e

2

e

).6分

2

（II）设A(x1,y1),B(x2,y2),P1(0,1)

PA

512

PB,

(x1,y11)

512

2

即离心率e的取值范围为(x2,y21).由此得x1

512

x2.……8分

由于x1，x2都是方程①的根，且1－a≠0， 所以

1712

x2

2a

22

1a1713

,

512

x

22



2a

22

1a

.消去,x2,得

2a

22

1a



28960

由a0,所以a.14分

2

38．（本小题满分12分）设椭圆方程为x点，点P满足OP

12

y

2

4

1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原

11

,)，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程； 22

(OAOB)，点N的坐标为(

（2）|NP|的最小值与最大值.

（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为ykx1.

记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组

ykx1

① 2 的解.…………………………2分 2y

1x② 4

将①代入②并化简得，(4k)x2kx30，所以 2k

xx,1224k

于是 

8yy.1224k

22

22

设点P的坐标为(x,y),则

OP

1

(OAOB)(

x1x2

,

y1y2

2

)(

k4k

2

,

44k

2

).…………6分

kx,24k

消去参数k得4x2y2y0 ③ 

4y.24k

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方

程为4x2y2y0.………………8分

解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上，所以 x

21

y14

2

1, ④ x

14

2

2

22

y24

2

1. ⑤

2

④—⑤得x12x2

(y1y2)0，所以 (y1y2)(y1y2)0.

(x1x2)(x1x2)

14

当x1x2时，有x1x2

14

(y1y2)

y1y2x1x2

0. ⑥

x1x2

x,

2



yy2

并且y1 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2y2y0. ⑧ ,

2

y1y2y1.

x1x2

x

当x1x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

12

(y)2

x21.………………8分 11

16

4

2

（2）解：由点P的轨迹方程知x

|NP|(x

2

1

12

)(y

2

12

)

2

1644

1211272

(x)4x3(x)……10分

24612

14

;当x

16

,即

1

x

1

.所以

故当x最大值为

14

，|NP|取得最小值，最小值为

216

.……………………12分

时，|NP|取得最大值，

1

39．已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).

2

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M.

解：（I）设所求椭圆方程是

由已知，得 cm,故所求的椭圆方程是

x

22

，求直线l的斜率.

xa

22





yb

1

22

1(ab0).

, 所以a2m,b

22

ca

2

3m.

4m



y

3m

1

（II）设Q（xQ,yQ），直线l:yk(xm),则点M(0,km) 当MQ2QF时,由于F(m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式，得

xQ

02m12



2m3,yQ

km012

13km.

2

4mkm

22

又点Q(

2mkm99

,)在椭圆上,所以22334m3m

0(2)(m)

12

1.

解得k26,

当MQ2QF时,xQ2m,yQ

km12

km.

4m3m

40．（本小题满分14分）

于是

4m

22



km

2

22

1,解得k0. 故直线l的斜率是0，26.

m1

使得直线PF2与直线PF2垂直. （1）求实数m的取值范围；

设椭圆

x

2

y

2

1的两个焦点是F1(c,0)与F2(c,0)(c0)，且椭圆上存在点P，

（2）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q. 若

求直线PF2的方程.

解：（1）由题设有m0,c

m.

|QF2||PF2|

23，

设点P的坐标为（x0,y0），由PF1PF2，得化简得 xym. ①将①与由m0,x

2

020

20

y0x0c

20



y0x0c

1，

20

x0

2

m1

y1联立，解得 x

m1m

2

,y0

2

1m

.

m1m

2

0,得m1.所以m的取值范围是m1.

m1m

.设点Q的坐标为(x1,y1)，则x1

m1m.

（2）准线L的方程为x

m1

|QF2||PF2||QF2||PF2|



x1ccx0

1

m

m

. ②将 x0m

2

m1m

2

mx0

2

代入②，化简得

m

m1.

m1

由题设

|QF2||PF2|

2

23，得 mm12

|QF2||PF2|

2

2

3， 无解.

1

2

将 x0由题设

m1m

代入②，化简得 3，得 m

32

m

m

2

m1

m1.

|QF2||PF2|

2m1222,c

2，

3.

解得m=2. 从而x0,y0

得到PF2的方程 y(32)(x

2).

41． (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨

响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

解：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

y

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC

的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，

C故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得a=680, c=1020，

b

2

xa

22



yb

22

1上，

A

B

ca

22

1020

x

22

2

680

y

22

5340

2

2

1

故双曲线方程为

680

x680

5,y680

5340

用y=－x代入上式，得x6805，∵|PB|>|PA|,

5,680

5),故PO680

2

2

5,即P(680

2

42．(14分)设直线与椭圆

x

2516

三等分线段AB． 求直线的方程.

解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为



y

2

1相交于A、B两点，又与双曲线x–y=1相交于C、D两点， C、D

y

y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：

A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)

DCA

l依题意有ACDB,AB3CD，由

ykxb22222得(1625k)x2bkx(25b400)0...(1)xy

1

1625

x1x2

50bk1625k

2

ykxb222

由2得(1k)x2bkx(b1)0...(2)2

xy1

若k1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k1

2bk

x3x4 2

1k

由ACDBx3x1x2x4x1x2x3x4



50bk1625k

2



2bk1k

2

bk0k0或b0

54

b,由(2)得x3,4b1

104

16b

2

2

2

(i)当k0时,由(1)得x1,2

1613

由AB3CDx2x13(x4x3),即

6b1b

2

故l的方程为y

1613

(ii)当b=0时，由(1)得

x1,2

2025k

2

,由(2)得x3,4

1k

2

40



6k

2

由由AB3CDx2x13(x4x3)即故l的方程为y

1625

x

1625k

2

k

1625

再讨论l与x轴垂直的情况.

设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， y1,2

45

25c,y3,4c1

2

2

由|AB|3|CD||y2y1|3|y4y3|即85

25c

2

6c1c

25

241241

1613

2

25

241 241

故l的方程为x

综上所述，故l的方程为y、y

1625

x和x

25241241

43．（本小题满分12分）

设p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y22px交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H

解法一：由题意，直线AB不能是水平线，

kyx2p,

又设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足2

y2px.

消去x得 y2pky4p0 yAyB2pk,

由此得  2

yy4p.AB

xAxB4pk(yAyB)(42k2)p,

2

(yAyB)2

4pxAxB2

(2p)

22

因此OAOBxAxByAyB0,即OAOB. 故O必在圆H的圆周上.

又由题意圆心H（xH,yH）是AB的中点，故

xAxH

yyA

B

xB2yB2

(2k)p,

2

kp.

xHyH

2

2

由前已证，OH应是圆H的半径，且|OH|k

4

5k

2

4p.

从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小. 此时，直线AB的方程为：x=2p.

解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p kyx2p,

又设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足2

y2px.

22y2pky4p0,

分别消去x，y得

222x2p(k2)x4p0.

故得A、B所在圆的方程x2y22p(k22)x2pky0. 明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，

xxByAyB2

又知A、B中点H的坐标为(A,)((2k)p,kp),

22故 |OH|

(2k)pkp

2

2

2

2

2

而前面圆的方程可表示为[x(2k2)p]2(ypk)2(2k2)2p2k2p2

故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）. 又R2|OH|2(k45k2



4

)p2，

2

故当k=0时，R最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p. 解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上 又直径|AB|=



(xAxB)(yAyB)

2

2



4p.

上式当xAxB时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小. 此时直线AB的方程为x=2p. 44．（本小题满分14分）

如图，过抛物线y2px(p0)上一定点P（x0,y0）（y00），作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2）

（I）求该抛物线上纵坐标为

p2

2

的点到其焦点F的距离

y1y2

y0

（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求解：（I）当y

p2

2

的值，并证明直线AB的斜率是非零常数

时，x

p8

,

p2)

又抛物线y2px的准线方程为x 由抛物线定义得，所求距离为

p8(

p2

.

5p8

x

.

（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB 由y12px1，y02px0,

相减得(y1y0)(y1y0)2p(x1x0).

2

2

11

故kPA

y1y0x1x0



2py1y0

(x1x0).

同理可得kPB 即 故

2py1y0y1y2

y0

2

2py2y02py2y0

(x2x0). 由PA，PB倾斜角互补知kPAkPB,



, 所以y1y22y0,

2.

设直线AB的斜率为kAB

2

由y22px2，y12px1 相减得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1), 所以kAB

y2y1x2x1



2py1y2

(x1x2).

将y1y22y0(y00)代入得 kAB

2py1y2



py0

，所以kAB是非零常数.

45.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知倾斜角为45的直线l过点A(1,2)和点B，B在第一象限，|AB|32.

(1) 求点B的坐标； (2) 若直线l与双曲线C:

xa

22

y

2

且线段EF的中点坐标为(4,1)，求a的值； 1(a0)相交于E、F两点，

(3) 对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB的距离. 已知点P

在x轴上运动，写出点P(t,0)到线段AB的距离h关于t的函数关系式. 解：(1) 直线AB方程为y

标为(4,1)。

（2）由x

yx3ya2

2

x3

，设点B(x,

y)

，由

yx3

(x1)(y2)

2

2

18

及x0，y0得x4，y1，点B的坐

2

1

得(

1a

2

1)x

2

6x100

，设E(x1,y1),F(x2,y2)，则x1x2

|

(tx)

2



6a

22

1a2

4

，得a2。

（3）(解法一)设线段AB上任意一点Q坐标为Q(x,x3)，|PQ

记

f(x)

t3

2

(x3)

，

(tx)

2

(x3)

2

2(x

t32

)2



(t3)2

2

(1t4)，

|t3|2

当1

3

当t

2

4

时，即1t5时，|PQ

|minf(t3)

2

，

(t4)1(t1)

2

2

4

，即t5时，，即t1时，

f(x)在[1,4]上单调递减，∴|PQ|minf(4)f(x)在[1,4]上单调递增，|PQ|minf(1)

；

3

当t

2

14

。

2

(t1)4t1;|t3|

1t5;综上所述，h(t)2

2

(t4)1t5.

x

(解法二) 过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于A'(1,0)、B'(5,0)， 当点P在线段A

B

'

上，即1t

5

时，由点到直线的距离公式得：|PQ

|min|PA||min|PB|

|min

|t3|2

；

当点P的点在点

A'的左边，t1时，|PQ当点P的点在点A'的右边，t

5

(t1)4(t4)1

2

2

； 。

时，|PQ

12

2

(t1)4t1;|t3|

综上所述，

h(t)1t5;

46. （04px

上，ABC （I （II18. 本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。满分15分 解：（I）由点A（2，8）在抛物线y22px上，有822p2 解得p16 所以抛物线方程为y232x

，焦点F的坐标为（8，0）

（II）如图，由F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且点M的坐标为(x

22x012

AFFM

2 设

（III 设BCy4k(x11)2

由2消x得 ky32y32(11k4)0

y32x

y1y232

4 解得k4 所以y1y2 由（II）的结论得

k2

因此BC所在直线的方程为 y44(x11) 即4xy400

13