专题八 直线与圆
1. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：x +y -4x -2y +1=0的对称轴. 过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）
A 、2 B
、 C、6 D
、
【答案】C
【解析】圆C 标准方程为(x -2) +(y -1) =4，圆心为C (2,1)，半径为r =2，因此2222
2+a ⨯1-1=0，a =-1，即A (-4,
-
选C .
【考点定位】直线与圆的位置关系. ==6. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点
P 到圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l =．
2. 【2015高考新课标2，理7】过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1,-7) 的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |=( )
A ．26 B．8 C．46 D．10
【答案】C
【解析】由已知得k AB =3-212+7=-，k CB ==-3，所以k AB k CB =-1，所以AB ⊥CB ，1-434-1
即∆ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1,-2) ，半径为5，所以外接圆方程为(x -1) 2+(y
+2) 2=25，令x =0，得y =±
-2，所以MN =C ．
【考点定位】圆的方程．
【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出∆ABC 是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题．
3. 【2015高考广东，理5】平行于直线2x +y +1=0且与圆x +y =5相切的直线的方程是（ ）
22
A．2x -y +5=0或2x -y -5=0 B. 2x +y +5=0或2x +y -5=0
C. 2x -y +5=0或2x -y -5=0 D. 2x +y +5=0或2x +y -5=0
【答案】D ．
【解析】依题可设所求切线方程为2x +y +c =
0c =±5，所以
所求切线的直线方程为2x +y +5=0或2x +y -5=0，故选D ．
【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与
化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为2x +y +c =0，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距
离等于半径求得，属于容易题．
4. 【2015高考山东，理9】一条光线从点(-2, -3)射出，经y 轴反射后与圆(x +3)+(y -2)
（A ）-22=1错误！未找到引用源。相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） 5332或- （B ）- 错误！未找到引用源。或- 错误！未找到引用源。 3523
5443（C ）-或- （D ）-或- 4534
【答案】
D
整理：12k 2+25k +12=0 ，解得：k =-43 ，或k =- ,故选D ． 34
【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.
【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.
5. 【2015高考陕西，理15】设曲线y =e 在点（0,1）处的切线与曲线y =
的切线垂直，则P的坐标为 ．
【答案】(1,1) x 1(x >0) 上点P处x
【解析】因为y =e ，所以y '=e ，所以曲线y =e 在点(0,1)处的切线的斜率x x x
k 1=y 'x =0=e 0=1，设P的坐标为(x 0, y 0)（x 0>0），则y 0=11，因为y =，所以x x 0
y '=-11，所以曲线在点P处的切线的斜率k 2=y 'y =2x x x =x 0=-1，因为k 1⋅k 2=-1，2x 0
所以-12=1，解得x 0=±1，因为x 0>0，所以x 0=1，所以y 0=1，即P的=-1，即x 02x 0
坐标是(1,1)，所以答案应填：(1,1)．
【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．
【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．
6. 【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0) ，与y 轴正半轴交于两点A , B （B 在A 的上方）， 且AB =2．
（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ； ．．
（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆O :x 2+y 2=1相交于M , N 两点，下列三个结论： ①NA
NB =MA
MB ； ②NB
NA -MA
MB =2；
③NB
NA +MA
MB =
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
【答案】
（Ⅰ）(x -1) 2+(y 2=2；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）依题意，设C (1, r ) （r 为圆的半径），因为|AB |=2，所以r =2+12=所以圆心C (1, 2) ，故圆的标准方程为(x -1) 2+(y -2) 2=2. 2，⎧x =0⎧x =0⎧x =0（Ⅱ）联立方程组⎨，解得⎨或⎨，因为B 在A 22⎩(x -1) +(y -2) =2⎩y =2-1⎩y =2+1
的上方， 所以A (0, 2-1) ，B (0, 2+1) ，
令直线MN 的方程为x =0，此时M M (0, -1) ，N (0, 1) ， 所以|MA |=2，|MB |=2+2，|NA |=2-2，|NB |=2 因为NA MA |NA |2-22|MA |2，.
===1-==2-1，所以NB MB |NB |22|MB |2+2
-=+1--1) =2，
NB
NA +MA
MB =+=1+1=，
正确结论的序号是①②③.
【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系.
【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
7. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点(1, 0) 为圆心且与直线
mx -y -2m -1=0(m ∈R ) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【答案】(x -1) 2+y 2=
2.
【考点定位】直线与圆位置关系
【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m 的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件.
8. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ，B ．
（1）求圆C 1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线L :y =k (x -4) 与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
23⎫9⎛5⎧33⎫⎡⎛⎫【答案】（1）(3,0)；（2） x -⎪+y 2=
）k ∈⎨-, ⎬ ⎢ ．44243⎩⎭⎣⎝⎭⎝⎭2【解析】（1）由x 2+y 2-6x +5=0得(x -3)+y =4， 2
∴ 圆C 1的圆心坐标为(3,0)；
（2）设M (x , y )，则
∵ 点M 为弦AB 中点即C 1M ⊥AB ，
∴ k C 1M ⋅k AB =-1即y y ⋅=-1， x -3x
23⎫9⎛5⎛⎫∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为 x -⎪+y 2=
（3）由（2）知点M 的轨迹是以C ,0⎪为圆心r =
⎛3⎝2⎫⎭3为半径的部分圆弧EF （如下图所示，2
不包括两端点）
，且E ⎛5⎛5F ， 3 3, ，又直线L ：y =k (x -4)过定点D (4,0)，
⎝
⎝
当直线L 与圆C 相切时，
由32得k =±3
4，
又
k DE =-k DF ⎛0- ⎝⎭=，
结合上图可知当k ∈⎧-3, 3⎫ ⎡时，直线=-⎨⎬⎢5⎩44⎭⎣4-3
L ：y =k (x -4)与曲线C 只有一个交点．
【考点定位】圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用．
【名师点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识，转化与化归，数形结合思想和运算求解能力，属于中高档题，本题（1）（2）问相对简单，但第（2）问需注意取值范围（5，对于第（3）问如果能运用数形结合把曲线C 与直线L 的图
形画出求解则可轻易突破难点．
专题八 直线与圆
1. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：x +y -4x -2y +1=0的对称轴. 过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）
A 、2 B
、 C、6 D
、
【答案】C
【解析】圆C 标准方程为(x -2) +(y -1) =4，圆心为C (2,1)，半径为r =2，因此2222
2+a ⨯1-1=0，a =-1，即A (-4,
-
选C .
【考点定位】直线与圆的位置关系. ==6. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点
P 到圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l =．
2. 【2015高考新课标2，理7】过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1,-7) 的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |=( )
A ．26 B．8 C．46 D．10
【答案】C
【解析】由已知得k AB =3-212+7=-，k CB ==-3，所以k AB k CB =-1，所以AB ⊥CB ，1-434-1
即∆ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1,-2) ，半径为5，所以外接圆方程为(x -1) 2+(y
+2) 2=25，令x =0，得y =±
-2，所以MN =C ．
【考点定位】圆的方程．
【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出∆ABC 是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题．
3. 【2015高考广东，理5】平行于直线2x +y +1=0且与圆x +y =5相切的直线的方程是（ ）
22
A．2x -y +5=0或2x -y -5=0 B. 2x +y +5=0或2x +y -5=0
C. 2x -y +5=0或2x -y -5=0 D. 2x +y +5=0或2x +y -5=0
【答案】D ．
【解析】依题可设所求切线方程为2x +y +c =
0c =±5，所以
所求切线的直线方程为2x +y +5=0或2x +y -5=0，故选D ．
【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与
化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为2x +y +c =0，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距
离等于半径求得，属于容易题．
4. 【2015高考山东，理9】一条光线从点(-2, -3)射出，经y 轴反射后与圆(x +3)+(y -2)
（A ）-22=1错误！未找到引用源。相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） 5332或- （B ）- 错误！未找到引用源。或- 错误！未找到引用源。 3523
5443（C ）-或- （D ）-或- 4534
【答案】
D
整理：12k 2+25k +12=0 ，解得：k =-43 ，或k =- ,故选D ． 34
【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.
【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.
5. 【2015高考陕西，理15】设曲线y =e 在点（0,1）处的切线与曲线y =
的切线垂直，则P的坐标为 ．
【答案】(1,1) x 1(x >0) 上点P处x
【解析】因为y =e ，所以y '=e ，所以曲线y =e 在点(0,1)处的切线的斜率x x x
k 1=y 'x =0=e 0=1，设P的坐标为(x 0, y 0)（x 0>0），则y 0=11，因为y =，所以x x 0
y '=-11，所以曲线在点P处的切线的斜率k 2=y 'y =2x x x =x 0=-1，因为k 1⋅k 2=-1，2x 0
所以-12=1，解得x 0=±1，因为x 0>0，所以x 0=1，所以y 0=1，即P的=-1，即x 02x 0
坐标是(1,1)，所以答案应填：(1,1)．
【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．
【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．
6. 【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0) ，与y 轴正半轴交于两点A , B （B 在A 的上方）， 且AB =2．
（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ； ．．
（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆O :x 2+y 2=1相交于M , N 两点，下列三个结论： ①NA
NB =MA
MB ； ②NB
NA -MA
MB =2；
③NB
NA +MA
MB =
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
【答案】
（Ⅰ）(x -1) 2+(y 2=2；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）依题意，设C (1, r ) （r 为圆的半径），因为|AB |=2，所以r =2+12=所以圆心C (1, 2) ，故圆的标准方程为(x -1) 2+(y -2) 2=2. 2，⎧x =0⎧x =0⎧x =0（Ⅱ）联立方程组⎨，解得⎨或⎨，因为B 在A 22⎩(x -1) +(y -2) =2⎩y =2-1⎩y =2+1
的上方， 所以A (0, 2-1) ，B (0, 2+1) ，
令直线MN 的方程为x =0，此时M M (0, -1) ，N (0, 1) ， 所以|MA |=2，|MB |=2+2，|NA |=2-2，|NB |=2 因为NA MA |NA |2-22|MA |2，.
===1-==2-1，所以NB MB |NB |22|MB |2+2
-=+1--1) =2，
NB
NA +MA
MB =+=1+1=，
正确结论的序号是①②③.
【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系.
【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
7. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点(1, 0) 为圆心且与直线
mx -y -2m -1=0(m ∈R ) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【答案】(x -1) 2+y 2=
2.
【考点定位】直线与圆位置关系
【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．当半径表示为关于m 的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件.
8. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ，B ．
（1）求圆C 1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线L :y =k (x -4) 与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
23⎫9⎛5⎧33⎫⎡⎛⎫【答案】（1）(3,0)；（2） x -⎪+y 2=
）k ∈⎨-, ⎬ ⎢ ．44243⎩⎭⎣⎝⎭⎝⎭2【解析】（1）由x 2+y 2-6x +5=0得(x -3)+y =4， 2
∴ 圆C 1的圆心坐标为(3,0)；
（2）设M (x , y )，则
∵ 点M 为弦AB 中点即C 1M ⊥AB ，
∴ k C 1M ⋅k AB =-1即y y ⋅=-1， x -3x
23⎫9⎛5⎛⎫∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为 x -⎪+y 2=
（3）由（2）知点M 的轨迹是以C ,0⎪为圆心r =
⎛3⎝2⎫⎭3为半径的部分圆弧EF （如下图所示，2
不包括两端点）
，且E ⎛5⎛5F ， 3 3, ，又直线L ：y =k (x -4)过定点D (4,0)，
⎝
⎝
当直线L 与圆C 相切时，
由32得k =±3
4，
又
k DE =-k DF ⎛0- ⎝⎭=，
结合上图可知当k ∈⎧-3, 3⎫ ⎡时，直线=-⎨⎬⎢5⎩44⎭⎣4-3
L ：y =k (x -4)与曲线C 只有一个交点．
【考点定位】圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用．
【名师点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识，转化与化归，数形结合思想和运算求解能力，属于中高档题，本题（1）（2）问相对简单，但第（2）问需注意取值范围（5，对于第（3）问如果能运用数形结合把曲线C 与直线L 的图
形画出求解则可轻易突破难点．