立体几何（一）
一 知识梳理
1．简单几何体
(1)简单旋转体的结构特征： ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到； ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到； ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到； ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
(2)简单多面体的结构特征： ①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形； ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形； ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°) ，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．
二 典型例题
例1如图所示，等腰△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是( )
A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
例2 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
D ．钝角三角形
例3下列说法正确的是( )
A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
解析：选B A 错，如图(1)；B 正确，如图(2)，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C 错，如图(3)；D 错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点．
例4(2015·北京高考) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )
A ．1 B．2
C ．3 D ．2
例5如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )
A ．1∶1
C ．2∶3
B ．2∶1 D ．3∶2
例6用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为22 cm 2，则原平面图形的
面积为( )
A ．4 cm2
C ．8 cm2
例7底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )
A ．23
C ．3
例8 如图，线段OA 在平面xOy 中，它与x 轴的夹角为45°，它的长为22，OA 的直观图O ′A ′的长为________．
B ．42 cm 2 D ．82 cm 2 B ．3 D ．4
例9若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是
( )
例10(2015·北京模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，则其表
面中，直角三角形的个数为( )
A ．1 B ．2
C ．3 D ．4
例11如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂
2直且VA ＝VC ，已知其正(主) 视图的面积为3则其侧(左) 视图的面积
为________．
例12 用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )
A ．8
C ．6 B ．7 D ．5
立体几何（一）
一 知识梳理
1．简单几何体
(1)简单旋转体的结构特征： ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到； ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到； ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到； ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
(2)简单多面体的结构特征： ①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形； ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形； ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°) ，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．
二 典型例题
例1如图所示，等腰△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是( )
A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
例2 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
D ．钝角三角形
例3下列说法正确的是( )
A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
解析：选B A 错，如图(1)；B 正确，如图(2)，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C 错，如图(3)；D 错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点．
例4(2015·北京高考) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )
A ．1 B．2
C ．3 D ．2
例5如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )
A ．1∶1
C ．2∶3
B ．2∶1 D ．3∶2
例6用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为22 cm 2，则原平面图形的
面积为( )
A ．4 cm2
C ．8 cm2
例7底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )
A ．23
C ．3
例8 如图，线段OA 在平面xOy 中，它与x 轴的夹角为45°，它的长为22，OA 的直观图O ′A ′的长为________．
B ．42 cm 2 D ．82 cm 2 B ．3 D ．4
例9若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是
( )
例10(2015·北京模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，则其表
面中，直角三角形的个数为( )
A ．1 B ．2
C ．3 D ．4
例11如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂
2直且VA ＝VC ，已知其正(主) 视图的面积为3则其侧(左) 视图的面积
为________．
例12 用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )
A ．8
C ．6 B ．7 D ．5