直线平行和垂直

2.1.3 两条直线的平行与垂直（1）

学习目标

1. 掌握用斜率判断两条直线平行的方法.

2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

学习过程

一 学生活动

探究：两条直线斜率相等，它们平行吗？两条直线平行斜率相等吗？

二 建构知识

1．当两条不重合的直线l1,l2的斜率都存在时，若它们相互平行，则它们的斜率______， 反之，若它们的斜率相等，那么它们互相___________，即l1//l2____________．

2．当两条直线l1,l2的斜率都不存在时，那么它们都与x轴_________，故l1_____l2．

3. 已知l1：A1x+B1y+C1 =0 ,l2：A2x+B2y+C2 =0若l1‖ l2 _________________

三 知识运用

例题

例1 已知两直线l1：　2x4y70，l2：x2y50，求证：l1//l2．

例2

求证：顺次连结A(2,3)，B(5,)，C(2,3)，D(4,4)所得的四边形是梯形．

例3 求过点A(2,3)，且与直线2xy50平行的直线的方程．

72

例4 求与直线3x4y10平行，且在两坐标轴上的截距之和为7的直线l的方程． 3

巩固练习

1．如果直线ax2y20与直线3xy20平行，则a____________________．

2．过点(1,2)且与直线xy10平行的直线方程是____________________________．

3．两直线x2yk0(kR)和3x6y50的位置关系是___________________．

4．已知直线l1与经过点P(3,6)与Q(6,3)的直线平行，若直线l1在y轴上的截距为2， 则直线l1的方程是_____________________________．

5．已知A(4,2)，B(1,1)，C(5,5)，D(,)，求证：四边形ABCD是梯形．

四 回顾小结

两条直线平行的等价条件

五 学习评价

双基训练：

1. 根据条件，判断直线l1与l2是否平行；

，B（4，8）：____________; l1的方程y=2x+1, l2经过点A（1，2）1732

1l1的斜率为，l2在x轴、y轴的截距分别为1，2：___________. 2

2. 已知过点A2,m和Bm,4的直线与直线2xy30平行,则m等于________

3. 直线l1:mx3y0与直线l2:2x(m1)y40平行,则m等于__________

4. 已知点P(2,3),点Q(1,1),则过点M(1,4)与直线PQ平行的直线方程是________

5.已知点P(2,1)，直线l:2x3y10，则过点P且与l平行的直线的方程为

_______________,

6.当直线l1:2mxy5n0与x轴平行且与x轴相距为5时，m；n

7.判断四边形ABCD的形状，其中A（-1，1），B（2，3），C（1，0），D（-2，-2）.

拓展延伸：

8. 求与直线2xy100平行，且在x轴、y轴上截距之和为2的直线l的方程．

9. 已知两直线l1:axby40,l2:(a1)xyb0平行,并且它们在y轴上的截距的绝对值相等,求a,b的值.

2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）

学习目标

1. 掌握用斜率判断两条直线垂直的方法.

2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

学习过程

一 学生活动

1．过点P(2,3)且平行于过两点M(1,2)，N(1,5)的直线的方程为_______________．

2．直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，

则m的值为________________．

3．已知点A(0,2)，B(4,2)，C(6,223)，D(2,22)，判断四边形ABCD的形状， 并说明此四边形的对角线之间有什么关系？

二 建构知识

1.当两条不重合的直线l1,l2的斜率都存在时，若它们相互垂直，则它们的斜率的乘积等于_____________，反之，若它们的斜率的乘积_____________，那么它们互相___________，即l1 l2______________________．当一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在时，则它们______________________．

2．直线l1:A 1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20垂直的条件是A1A2B1B20，与直线AxByC0垂直的直线可设为BxAym0

三 知识运用

例题

例1 （1）已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3,4)，D(6,11)，求证：ABCD；

（2） 已知直线l1的斜率为k13，直线l2经过点A(3a,2)，B(0,a21)， 4

且l1l2，求实数a的值．

例2

如图，已知三角形的顶点为A(2,4),B(1,2),C(2,3),求BC边上的高AD

所在的直线方程．

例3 在路边安装路灯，路宽23m，且与灯柱成120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与

灯杆垂直，当灯柱高h为多少米是，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？

（精确到0.01m）

巩固练习

1．求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过点(3,1)且与直线3x2y30垂直；

（2）过点(5,7)且与直线x30垂直；

（3）过点(2,4)且与直线y5垂直．

2．如果直线mxy0与直线x2y10垂直，则m___________________．

3．直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)y(a21)0垂直，

则a的值为____________________．

4．若直线l1在y轴上的截距为2，且与直线l2：x3y20垂直，

则直线l1的方程是_____________________________．

5．以A(1,1)，B(2,1)，C(1,4)为顶点的三角形的形状是______________________．

四 回顾小结

两直线垂直的等价条件

五 学习评价

基础训练

1. 直线l在y轴上的截距为2，且与直线x3y20垂直，则l方程为_________

2. 根据条件，判断直线l1与l2是否垂直：

l1的倾斜角为45，l2的方程为xy1 __________________; x

，N（4，5），l2经过点R（-6，0），S（-1，3）：__________. l1经过点M（1，0）

3.若直线axy10和直线2xby10垂直，则a,b满足____________________.

4.已知两点A(1,3),B(3,1)，点C在坐标轴上.若ACB=

个.

，则这样的点C有_________2

5. 已知点A(0,1),点B在直线xy10上且直线AB垂直于该直线，则点B的坐标是_________

6.若原点在直线l上的射影为P(2,1)，则直线l的方程为______________.

7. 求与直线4x3y70垂直，且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线的方程．

拓展延伸

8.若三角形的一个顶点是A（2，3），两条高所在的直线的方程为x2y30和xy40，试求此三角形三边所在直线的方程.

9.已知直线l方程为3x4y120，l与l垂直，且l与坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程.

2.1.3 两条直线的平行与垂直（1）

学习目标

1. 掌握用斜率判断两条直线平行的方法.

2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

学习过程

一 学生活动

探究：两条直线斜率相等，它们平行吗？两条直线平行斜率相等吗？

二 建构知识

1．当两条不重合的直线l1,l2的斜率都存在时，若它们相互平行，则它们的斜率______， 反之，若它们的斜率相等，那么它们互相___________，即l1//l2____________．

2．当两条直线l1,l2的斜率都不存在时，那么它们都与x轴_________，故l1_____l2．

3. 已知l1：A1x+B1y+C1 =0 ,l2：A2x+B2y+C2 =0若l1‖ l2 _________________

三 知识运用

例题

例1 已知两直线l1：　2x4y70，l2：x2y50，求证：l1//l2．

例2

求证：顺次连结A(2,3)，B(5,)，C(2,3)，D(4,4)所得的四边形是梯形．

例3 求过点A(2,3)，且与直线2xy50平行的直线的方程．

72

例4 求与直线3x4y10平行，且在两坐标轴上的截距之和为7的直线l的方程． 3

巩固练习

1．如果直线ax2y20与直线3xy20平行，则a____________________．

2．过点(1,2)且与直线xy10平行的直线方程是____________________________．

3．两直线x2yk0(kR)和3x6y50的位置关系是___________________．

4．已知直线l1与经过点P(3,6)与Q(6,3)的直线平行，若直线l1在y轴上的截距为2， 则直线l1的方程是_____________________________．

5．已知A(4,2)，B(1,1)，C(5,5)，D(,)，求证：四边形ABCD是梯形．

四 回顾小结

两条直线平行的等价条件

五 学习评价

双基训练：

1. 根据条件，判断直线l1与l2是否平行；

，B（4，8）：____________; l1的方程y=2x+1, l2经过点A（1，2）1732

1l1的斜率为，l2在x轴、y轴的截距分别为1，2：___________. 2

2. 已知过点A2,m和Bm,4的直线与直线2xy30平行,则m等于________

3. 直线l1:mx3y0与直线l2:2x(m1)y40平行,则m等于__________

4. 已知点P(2,3),点Q(1,1),则过点M(1,4)与直线PQ平行的直线方程是________

5.已知点P(2,1)，直线l:2x3y10，则过点P且与l平行的直线的方程为

_______________,

6.当直线l1:2mxy5n0与x轴平行且与x轴相距为5时，m；n

7.判断四边形ABCD的形状，其中A（-1，1），B（2，3），C（1，0），D（-2，-2）.

拓展延伸：

8. 求与直线2xy100平行，且在x轴、y轴上截距之和为2的直线l的方程．

9. 已知两直线l1:axby40,l2:(a1)xyb0平行,并且它们在y轴上的截距的绝对值相等,求a,b的值.

2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）

学习目标

1. 掌握用斜率判断两条直线垂直的方法.

2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

学习过程

一 学生活动

1．过点P(2,3)且平行于过两点M(1,2)，N(1,5)的直线的方程为_______________．

2．直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，

则m的值为________________．

3．已知点A(0,2)，B(4,2)，C(6,223)，D(2,22)，判断四边形ABCD的形状， 并说明此四边形的对角线之间有什么关系？

二 建构知识

1.当两条不重合的直线l1,l2的斜率都存在时，若它们相互垂直，则它们的斜率的乘积等于_____________，反之，若它们的斜率的乘积_____________，那么它们互相___________，即l1 l2______________________．当一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在时，则它们______________________．

2．直线l1:A 1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20垂直的条件是A1A2B1B20，与直线AxByC0垂直的直线可设为BxAym0

三 知识运用

例题

例1 （1）已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3,4)，D(6,11)，求证：ABCD；

（2） 已知直线l1的斜率为k13，直线l2经过点A(3a,2)，B(0,a21)， 4

且l1l2，求实数a的值．

例2

如图，已知三角形的顶点为A(2,4),B(1,2),C(2,3),求BC边上的高AD

所在的直线方程．

例3 在路边安装路灯，路宽23m，且与灯柱成120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与

灯杆垂直，当灯柱高h为多少米是，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？

（精确到0.01m）

巩固练习

1．求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过点(3,1)且与直线3x2y30垂直；

（2）过点(5,7)且与直线x30垂直；

（3）过点(2,4)且与直线y5垂直．

2．如果直线mxy0与直线x2y10垂直，则m___________________．

3．直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)y(a21)0垂直，

则a的值为____________________．

4．若直线l1在y轴上的截距为2，且与直线l2：x3y20垂直，

则直线l1的方程是_____________________________．

5．以A(1,1)，B(2,1)，C(1,4)为顶点的三角形的形状是______________________．

四 回顾小结

两直线垂直的等价条件

五 学习评价

基础训练

1. 直线l在y轴上的截距为2，且与直线x3y20垂直，则l方程为_________

2. 根据条件，判断直线l1与l2是否垂直：

l1的倾斜角为45，l2的方程为xy1 __________________; x

，N（4，5），l2经过点R（-6，0），S（-1，3）：__________. l1经过点M（1，0）

3.若直线axy10和直线2xby10垂直，则a,b满足____________________.

4.已知两点A(1,3),B(3,1)，点C在坐标轴上.若ACB=

个.

，则这样的点C有_________2

5. 已知点A(0,1),点B在直线xy10上且直线AB垂直于该直线，则点B的坐标是_________

6.若原点在直线l上的射影为P(2,1)，则直线l的方程为______________.

7. 求与直线4x3y70垂直，且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线的方程．

拓展延伸

8.若三角形的一个顶点是A（2，3），两条高所在的直线的方程为x2y30和xy40，试求此三角形三边所在直线的方程.

9.已知直线l方程为3x4y120，l与l垂直，且l与坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程.