周期信号的傅里叶分析
任意一个周期函数都可展开为傅里叶级数，因此各种波形的周期信号都可分解为一系列不同频率的正弦波。通过实验电路实现周期信号的傅里叶分解与合成，对周期信号进行傅里叶分析，对于深刻理解周期函数的傅里叶展开具有重要意义。
1 周期函数的傅里叶展开
周期为T 的函数f (t )可以展开为三角函数构成的傅里叶级数
∞
1
f (t )=a 0+∑(a n cos nwt +b n sin nwt ) （1.1）
2n =1
周期为T 的方波函数（如图1.1所示）
f (t )=
{
h (0≤t ≤
T
) 2
T
-h (-≤t ≤0)
2
（1.2）
可展开为傅里叶级数
f (t )=
4h ⎛111⎫
sin ωt +sin 3ωt +sin 5ωt +sin 7ωt + ⎪π 357⎝⎭
（1.3）
4h ∞⎛1⎫=(2n -1)ωt ⎤∑ ⎪sin ⎡⎣⎦πn =1⎝2n -1⎭
t
图1.1 方波信号
由此得出，方波信号的基波与各谐波同相位，基波与前三阶谐波频率比为
1:3:5:7，振幅比为1:
111::。 357
2周期信号的傅里叶分解
2.1实验原理
用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波信号进行频谱分解，在示波器上显示被分解的波形。
实验电路如图2.1所示，其中R 、C 是可变的。L 取0.1H 。
图2.1 RLC串联谐振电路
当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率ω0为
ω0=这个响应的频带宽度以Q 值来表示
Q =
（2.1） （2.2）
其中R 为取样电阻，r '为电感线圈的电阻及与电容箱相串联的等效损耗电阻之和。当Q 值较大时，在ω0附近的频带宽度较狭窄，所以实验中选择Q 值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。
调节可变电容C ，在n ω0频率谐振，则会从此周期性波形中选择出这个单元，它的值为：
V (t ) =b n sin n ω0t （2.3） 这时电阻R 两端电压为
V R (t )=I 0R sin (n ω0t +Φ) （2.4）
此式中Φ=tg =1阻抗。
b X
，X 为串联电路感抗和容抗之和，I 0=n ，Z 为串联电路的总
Z R
在谐振状态时X =0，此时，阻抗Z =r +R +R L +R C =r +R +R L ，其中r 为方波电源的内阻；R 为取样电阻；R L 为电感的损耗电阻；R C 为标准电容的损耗电阻。（R C 值常因较小忽略）
通过傅里叶分解合成仪中的1KHz 的方波来做傅里叶分解实验，其输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。
2.2实验装置
实验装置包括：
傅里叶分解合成仪； 十进式电容箱； 0.1H 标准电感； 双踪示波器；
2.3实验内容
2.3.1 谐振时电容值的测量
测量RLC 串联电路时对1KHz ，3 KHz ，5 KHz 正弦波谐振时的电容值C 1、C 2、
C 3，并与理论值进行比较，结果如表2.1所示。方波频率f =1000Hz ，取样电阻R =27Ω，实验测得信号内阻r =23Ω，电感L =0.1H 。
表2.1
2.3.2方波的分解
RLC 串联谐振电路连线图如下：
将1KHz 方波输入到RLC 串联电路，然后调节电容值至C 1、C 2、C 3附近，从示波器上观测谐振波，测量基波和n 阶谐波的相对振幅。 （1）1KHz 方波输入信号，如图2.1所示：
图2.1
（2）谐振频率f 0=1KHz，谐振时电容值C 1=0.2498μf ，波形如图2.2所示，相对振幅A =1.7V ，李萨如图形如图2.3所示。
图2.2 图2.3
（3）谐振频率f 0=3KHz , 谐振时电容值C 1=0.0279μf ，波形如图2.4所示，相对振幅A =0.5V 。李萨如图形如图2.5所示。
图2.4 图2.5
（4）谐振频率f 0=5KHz ，谐振时电容值C 1=0.0100μf ，波形如图2.6所示，相对振幅A =0.24V 。李萨如图形如图2.7所示。
图2.6 图2.7
2.3.3计算并校正相对振幅 （1）损耗电阻的测定
图2.8 损耗电阻测量电路
用标准电容箱加正弦信号发生器用谐振法测量。接一个如图2.8所示的串联谐振电路。测量在谐振状态时，采用外接信号源分别为1KHz 、3 KHz 、5 KHz 时，信号源输出电压V AB 和取样电阻R 两端的电压V R ，根据算出R L 的值。
损耗电阻测量电路连线图如下：
V AB V
=R 可计
r +R +R L +R c R
不同频率时电感的损耗电阻R L 为：
1KHz V AB =6.2*0.5=3.1ν 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=3*0.5v=1.5v
错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 r=23Ω, R=27Ω , 错误！未找到引用源。 ≈ 0
代入数据 得：错误！未找到引用源。=5.8Ω
3KHz V AB =3.5*0.2=0.7ν 错误！未找到引用源。=1.5*0.2v=0.3v
错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 r=23Ω, R=27Ω , 错误！未找到引用源。 ≈ 0
代入数据 得：错误！未找到引用源。=13Ω
5KHz V AB =2.3*0.2=0.46ν 错误！未找到引用源。=0.8*0.2v=0.16v
错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 r=23Ω, R=27Ω , 错误！未找到引用源。 ≈ 0
代入数据 得：错误！未找到引用源。=27.625Ω
（2）相对振幅的校正
采用分压原理校正。设A 为谐波校正后的振幅，A /为谐波未被校正时的振幅。R L 1为1KHz 使用频率时的损耗电阻。R L 为3KHz 或者5KHz 使用频率时的损耗电阻。则校正公式为：
A :A /=
R R
:
R L 1+R +r R L +R +r
A =A /⨯
校正结果如下：
R L +R +r
R L 1+R +r
基波1KHz ， 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。’ =1.700v
谐波3KHz ，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。’ * 错误！未找到引用源。
= 0.500 *
13+23+275.8+23+27
=0.565v
谐波5KHz ，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。’ * 错误！未找到引用源。
= 0.240 *
27.63+23+275.8+23+27
=0.334v
经过校正后，错误！未找到引用源。= 1700 ：565 ：343 ≈ 1：错误！未找到引用源。 ： 错误！未找到引用源。, 与理论值符合较好。
3周期信号的傅里叶合成
3.1实验原理
利用傅里叶分解合成仪实现。把四组频率为1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz
111
的同相位正弦波按振幅1:::调节好输入到加法器，叠加后形成方波。
3573.2实验过程
（1）用丽萨如图形反复调节各组移相器使1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波同相位。
调节方法是示波器X 轴输入1KHz 正弦波，而Y 轴输入傅里叶分解合成仪提供的1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波，在示波器上显示出如图3.1 所示波形时，说明基波和各阶谐波初相位相同。
同相位 同相位 同相位 同相位
Y 输入 1KHz 3 KHz 5 KHz 7 KHz
图3.1 方波相位调节图
（2）调节1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波振幅比为1:
111::。 357
（3）将1KHz,3 KHz,5 KHz,7 KHz 正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化。 3.3实验数据
(1)实验调节的波形如下图所示
图3.2 1KHz的正弦波 图3.3 3KHz的正弦波
图3.4 5KHz的正弦波
(2)对应的李萨如图如下图所示
:
图3.6 1KHz正弦波对应的李萨如图
图3.8 5 KHz正弦波对应的李萨如图
图 3.5 7KHz的正弦波
图3.7 3KHz正弦波对应的李萨如图
3.9 7KHz正弦波对应的李萨如图
图
(3)1KHz正弦波与3KHz 正弦波叠加波形，如图3.10所示。
图3.10 1KHz与3KHz 正弦波叠加波形
（4）1KHz ，3 KHz，5 KHz正弦波叠加波形，如图所示3.11所示。
图3.11 1KHz、3KHz 、5KHz 正弦波叠加波形
（5）1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波叠加波形，如图3.12所示。
图3.12 1KHz、3KHz 、5KHz 、7KHz 正弦波叠加波形
3.4数据分析
通过傅里叶分解合成仪将频率为1KHz 、3 KHz 、5 KHz 、7 KHz 的正弦波按照一定的相位关系和振幅比进行叠加，能够实现方波的合成。根据实验数据，可以得到以下结论：
（1）基波上迭加谐波越多，合成波形越趋近于方波。
（2）迭加谐波越多，合成波前沿、后沿越陡直。
（3）谐波的振幅逐阶递减，阶数越高，振幅越小。阶数越高的谐波对周期信号的形成影响越小。
结束语
采用RLC 选频电路对方波信号进行傅里叶分解，测得基波和各谐波的频率比为1:3:5:7…，振幅比为1:111::…，基波和各谐波同相位。反之，利用傅357
里叶分解合成仪将满足上述条件的正弦波进行傅里叶叠加，可形成方波。
周期信号的傅里叶分析
任意一个周期函数都可展开为傅里叶级数，因此各种波形的周期信号都可分解为一系列不同频率的正弦波。通过实验电路实现周期信号的傅里叶分解与合成，对周期信号进行傅里叶分析，对于深刻理解周期函数的傅里叶展开具有重要意义。
1 周期函数的傅里叶展开
周期为T 的函数f (t )可以展开为三角函数构成的傅里叶级数
∞
1
f (t )=a 0+∑(a n cos nwt +b n sin nwt ) （1.1）
2n =1
周期为T 的方波函数（如图1.1所示）
f (t )=
{
h (0≤t ≤
T
) 2
T
-h (-≤t ≤0)
2
（1.2）
可展开为傅里叶级数
f (t )=
4h ⎛111⎫
sin ωt +sin 3ωt +sin 5ωt +sin 7ωt + ⎪π 357⎝⎭
（1.3）
4h ∞⎛1⎫=(2n -1)ωt ⎤∑ ⎪sin ⎡⎣⎦πn =1⎝2n -1⎭
t
图1.1 方波信号
由此得出，方波信号的基波与各谐波同相位，基波与前三阶谐波频率比为
1:3:5:7，振幅比为1:
111::。 357
2周期信号的傅里叶分解
2.1实验原理
用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波信号进行频谱分解，在示波器上显示被分解的波形。
实验电路如图2.1所示，其中R 、C 是可变的。L 取0.1H 。
图2.1 RLC串联谐振电路
当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率ω0为
ω0=这个响应的频带宽度以Q 值来表示
Q =
（2.1） （2.2）
其中R 为取样电阻，r '为电感线圈的电阻及与电容箱相串联的等效损耗电阻之和。当Q 值较大时，在ω0附近的频带宽度较狭窄，所以实验中选择Q 值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。
调节可变电容C ，在n ω0频率谐振，则会从此周期性波形中选择出这个单元，它的值为：
V (t ) =b n sin n ω0t （2.3） 这时电阻R 两端电压为
V R (t )=I 0R sin (n ω0t +Φ) （2.4）
此式中Φ=tg =1阻抗。
b X
，X 为串联电路感抗和容抗之和，I 0=n ，Z 为串联电路的总
Z R
在谐振状态时X =0，此时，阻抗Z =r +R +R L +R C =r +R +R L ，其中r 为方波电源的内阻；R 为取样电阻；R L 为电感的损耗电阻；R C 为标准电容的损耗电阻。（R C 值常因较小忽略）
通过傅里叶分解合成仪中的1KHz 的方波来做傅里叶分解实验，其输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。
2.2实验装置
实验装置包括：
傅里叶分解合成仪； 十进式电容箱； 0.1H 标准电感； 双踪示波器；
2.3实验内容
2.3.1 谐振时电容值的测量
测量RLC 串联电路时对1KHz ，3 KHz ，5 KHz 正弦波谐振时的电容值C 1、C 2、
C 3，并与理论值进行比较，结果如表2.1所示。方波频率f =1000Hz ，取样电阻R =27Ω，实验测得信号内阻r =23Ω，电感L =0.1H 。
表2.1
2.3.2方波的分解
RLC 串联谐振电路连线图如下：
将1KHz 方波输入到RLC 串联电路，然后调节电容值至C 1、C 2、C 3附近，从示波器上观测谐振波，测量基波和n 阶谐波的相对振幅。 （1）1KHz 方波输入信号，如图2.1所示：
图2.1
（2）谐振频率f 0=1KHz，谐振时电容值C 1=0.2498μf ，波形如图2.2所示，相对振幅A =1.7V ，李萨如图形如图2.3所示。
图2.2 图2.3
（3）谐振频率f 0=3KHz , 谐振时电容值C 1=0.0279μf ，波形如图2.4所示，相对振幅A =0.5V 。李萨如图形如图2.5所示。
图2.4 图2.5
（4）谐振频率f 0=5KHz ，谐振时电容值C 1=0.0100μf ，波形如图2.6所示，相对振幅A =0.24V 。李萨如图形如图2.7所示。
图2.6 图2.7
2.3.3计算并校正相对振幅 （1）损耗电阻的测定
图2.8 损耗电阻测量电路
用标准电容箱加正弦信号发生器用谐振法测量。接一个如图2.8所示的串联谐振电路。测量在谐振状态时，采用外接信号源分别为1KHz 、3 KHz 、5 KHz 时，信号源输出电压V AB 和取样电阻R 两端的电压V R ，根据算出R L 的值。
损耗电阻测量电路连线图如下：
V AB V
=R 可计
r +R +R L +R c R
不同频率时电感的损耗电阻R L 为：
1KHz V AB =6.2*0.5=3.1ν 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=3*0.5v=1.5v
错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 r=23Ω, R=27Ω , 错误！未找到引用源。 ≈ 0
代入数据 得：错误！未找到引用源。=5.8Ω
3KHz V AB =3.5*0.2=0.7ν 错误！未找到引用源。=1.5*0.2v=0.3v
错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 r=23Ω, R=27Ω , 错误！未找到引用源。 ≈ 0
代入数据 得：错误！未找到引用源。=13Ω
5KHz V AB =2.3*0.2=0.46ν 错误！未找到引用源。=0.8*0.2v=0.16v
错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 r=23Ω, R=27Ω , 错误！未找到引用源。 ≈ 0
代入数据 得：错误！未找到引用源。=27.625Ω
（2）相对振幅的校正
采用分压原理校正。设A 为谐波校正后的振幅，A /为谐波未被校正时的振幅。R L 1为1KHz 使用频率时的损耗电阻。R L 为3KHz 或者5KHz 使用频率时的损耗电阻。则校正公式为：
A :A /=
R R
:
R L 1+R +r R L +R +r
A =A /⨯
校正结果如下：
R L +R +r
R L 1+R +r
基波1KHz ， 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。’ =1.700v
谐波3KHz ，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。’ * 错误！未找到引用源。
= 0.500 *
13+23+275.8+23+27
=0.565v
谐波5KHz ，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。’ * 错误！未找到引用源。
= 0.240 *
27.63+23+275.8+23+27
=0.334v
经过校正后，错误！未找到引用源。= 1700 ：565 ：343 ≈ 1：错误！未找到引用源。 ： 错误！未找到引用源。, 与理论值符合较好。
3周期信号的傅里叶合成
3.1实验原理
利用傅里叶分解合成仪实现。把四组频率为1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz
111
的同相位正弦波按振幅1:::调节好输入到加法器，叠加后形成方波。
3573.2实验过程
（1）用丽萨如图形反复调节各组移相器使1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波同相位。
调节方法是示波器X 轴输入1KHz 正弦波，而Y 轴输入傅里叶分解合成仪提供的1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波，在示波器上显示出如图3.1 所示波形时，说明基波和各阶谐波初相位相同。
同相位 同相位 同相位 同相位
Y 输入 1KHz 3 KHz 5 KHz 7 KHz
图3.1 方波相位调节图
（2）调节1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波振幅比为1:
111::。 357
（3）将1KHz,3 KHz,5 KHz,7 KHz 正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化。 3.3实验数据
(1)实验调节的波形如下图所示
图3.2 1KHz的正弦波 图3.3 3KHz的正弦波
图3.4 5KHz的正弦波
(2)对应的李萨如图如下图所示
:
图3.6 1KHz正弦波对应的李萨如图
图3.8 5 KHz正弦波对应的李萨如图
图 3.5 7KHz的正弦波
图3.7 3KHz正弦波对应的李萨如图
3.9 7KHz正弦波对应的李萨如图
图
(3)1KHz正弦波与3KHz 正弦波叠加波形，如图3.10所示。
图3.10 1KHz与3KHz 正弦波叠加波形
（4）1KHz ，3 KHz，5 KHz正弦波叠加波形，如图所示3.11所示。
图3.11 1KHz、3KHz 、5KHz 正弦波叠加波形
（5）1KHz ，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波叠加波形，如图3.12所示。
图3.12 1KHz、3KHz 、5KHz 、7KHz 正弦波叠加波形
3.4数据分析
通过傅里叶分解合成仪将频率为1KHz 、3 KHz 、5 KHz 、7 KHz 的正弦波按照一定的相位关系和振幅比进行叠加，能够实现方波的合成。根据实验数据，可以得到以下结论：
（1）基波上迭加谐波越多，合成波形越趋近于方波。
（2）迭加谐波越多，合成波前沿、后沿越陡直。
（3）谐波的振幅逐阶递减，阶数越高，振幅越小。阶数越高的谐波对周期信号的形成影响越小。
结束语
采用RLC 选频电路对方波信号进行傅里叶分解，测得基波和各谐波的频率比为1:3:5:7…，振幅比为1:111::…，基波和各谐波同相位。反之，利用傅357
里叶分解合成仪将满足上述条件的正弦波进行傅里叶叠加，可形成方波。