《中山大学授予学士学位工作细则》第六条
考试作弊不授予学士学位
计算机科学系 2012第一学期
《高等数学I 》期末考试试题（A 卷 答案）
任课教师：李绿周，陈伟能 考试形式：闭卷 考试时间： 2 小时 年级：12级 专业：计算机1、2、3班 姓名： _____ 学号： _ 成绩： _
一、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分） CCBCA CDDCC
二、解答与证明题（共11题，共80分）
2ln(1+x 3)
1．求极限lim 。（5分）
x →0sin x (secx -cos x )
2ln(1+x 3)
=lim 解：lim
x →0sin x (secx -cos x ) x →0
2x 32x 3
=lim 3=2 2x →0sin x 1-cos x
sin x ()
cos x
2．求极限lim (
x →∞
3+x 2x
) 。（5分） 2+x
1x +221-4
) ](1+) =e 2 x +2x +2
解： 原式=lim [(1+
x →∞
3．已知y =e
sin +x sin x (x >0) ，求d y 。（7分）
d x
解： y '=e
sin 1
()+(x
sin '
sin x
) ' （1分）, 其中：
x
(e )=e
'
sin 1
1sin 1''sin (sin )=e .cos x . (x )=-x 2e .cos x （3分）
(x sin x ) '=(e sin x ln x ) '=e sin x ln x (cosx ln x +
sin x sin x
) =x sin x (cosx ln x +) （3分） x x
也可用两边取对数求(x sin x ) '，取对数得ln y =sin x ln x ，则
1
sin x y 'sin x
) ，所以(x sin x ) '=x sin x (cosx ln x +=cos x ln x +
x y x
sin sin x
.cos 1+x （cos x ln x +
所以所求导数为 y '=-x 12e
sin x
）. x
⎧e y +(t +1)y +t 2=2⎪dy -t ⎨4．设（8分）u
，求x =e du dx =-1⎪⎰1⎩
解：对t 求导得
⎧dy y dy ⎧dy -2t -y e +y +(t +1) +2t =0=y （3分）⎪⎪⎪dt dt ⎪dt e +t +1⇒⎨⎨
⎪dx =-e -t ⎪dx =-e -t （2分）
⎪⎪⎩dt ⎩dt
dy
dy
=dt
所以dx
dt
t e （2t +y ）=y （1分）. e +t +1
当t=-1时，可确定x=0,y=0 （1分）.
dy 2
=- （1分）. 代入上述值，得
e dx =-1
5．求不定积分⎰e x cos x d x 。（6分） 解：
x x x x x x
cos x e d x =cos x de =cos x e -e d cos x =cos x e +e ⎰⎰⎰⎰sin x d x （2分）
=cos x e x +⎰sin x de x =cos x e x +(sinx e x -⎰e x dsin x ） （2分）
x x x
=cos x e +sinx e -⎰cos x e d x
1
所以⎰sin xe x d x =e x (sinx +cosx ) +C （2分）
2
1
6
．求定积分⎰解：原式
= ⎰
1
22
-1
（7分） 。
1
-11
+⎰
-1
=4⎰
1
20
（利用奇偶性，2分）
=4⎰(1dx （分母有理化，2分）
2
=4[⎰dx -⎰]=4-π(第二部分可根据几何意义得到，3分)
1注意：可能有同学会直接在4⎰
算过程酌情给分。
1
20
中进行变量代换进行计算，此时可根据计
7. 曲线y =x 与直线y =x +2围成一平面图形，求以下问题：（8分） 1）该平面图形的面积. （4分）
2）该图形被y 轴划分所得的右半部分图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. （4分）
解：求得两曲线交点为(-1,1)和（2,4），画出草图如下：
2
（1）面积S=⎰(x +2-x 2)dx =
2-1
2
3
x 2+2x -x 3
]
2-1
=
(2) 体积V y =π⎰
4
⎡
⎢⎣
)
40
9
. 2
42⎤y dy -π⎰(y -2)dy
⎥2⎦ 2
y 2
=π
2(y -2) 3-π
3
2
4
=
2
16π 3
也可以用柱壳法求得：V y =π⎰x [x +2-x 2]dx
-1
8．已知函数f (x ) =⎰e
-x
1- t 4
4
d t ，试讨论：
1）该函数的奇偶性 2）该函数的单调性；
3）该函数的凹凸性和拐点。（8分） 解：
1）因为f (-x ) =⎰e
0x
1- t 44
d t 令u =-t ⎰e
-x
1- u 44
d(-u ) =-⎰e
-x
1- 44
d u =-f (x ) ，所以是奇函数
（2分）。
3
2）f '(x ) =-e
1- x 44
（-∞，+∞）（1分），因为该一阶导数在区间均有f '(x )
调递减（1分）。 3）f ''(x ) =x e
31
- x 44
（1分），令f ''(x ) =0得x =0，所以函数的拐点是(0,0)（1分）。
x >0时f ''(x ) >0，所以曲线是凹的（1分）； x
9．求微分方程(y 2-2xy )d x +x 2d y =0的通解。（8分） 解： 方程两边同时除以x 2，整理得齐次方程d y y y
d x =2x -(x
)
2
. （1分）
设u =
y
x
得y '=u +u 'x ，代入方程得u +xu '=2u -u 2（2 分） 分离变量得d u u 2-u =-d x 1x ，即(u -1-1d x
u )d u =-x
（2分） 积分得ln u -1
x (u -1) u
=-ln x +C 1, 即
=C (C =±e C 1u ) （2分） 将u =
y
x
代入得通解x (y -x ) =C y 。（1分）
10．求微分方程
(2+x 2) y '+2xy =x 2
，y x =0
=1的特解. （8分）
y '+2x x 2
解：方程变形为一阶线性微分方程：(2+x 2
) y =(2+x 2)
…………..①1) 首先解该方程对应的齐次方程：y '+
2x
(2+x 2
)
y =0，分离变量得 dy y =-2x
2+x
2dx ，从而有ln |y |=-ln(2+x 2) +C 1 即有y =
C
2+x
2
（3分） 2）令y =u (x )
u '(x ) 2+x 2，把相关量代人方程①，即得2+x 2=x 22+x
2
，从而得 1u (x ) =1
x 3+C 。所以上述微分方程的通解为y =
3
x 3+C
3
2+x
2
. （3分） 4
1分） （
代人条件y
x =0
x 3+2
=1，得C =2，所以y =（1分） 2
2+x
13
11．设函数f (x ) 在区间[0, 2]上连续，在(0, 2) 上可导，且f (0) =f (2) =0，f (1)=-3。试证明：
1）在区间(1, 2) 内至少存在一点η，使得f (η) =-2η； 2）在区间(0, 2) 内至少存在一点ξ，使得f '(ξ) =-2。（10分） 证明：
1）构造g (x ) =f (x ) +2x ，则g (1)=-1，g (2)=4，且g (x ) 在闭区间[1,2]上连续， 由零点定理得，存在η∈(1, 2) ，使得g (η) =f (η) +2η=0，即f (η) =-2η。（5分）
2）由于g (0)=0，g (η) =0，且g (x ) 在区间[0, 2]上连续，在(0, 2) 上可导，所以g (x ) 在
（0，η）区间满足罗尔定理条件。即存在ξ∈（0，η）⊆(0,2)，使得g '(ξ) =0，即f '(ξ) +2=0，所以f '(ξ) =-2，得证。（5分）
5
《中山大学授予学士学位工作细则》第六条
考试作弊不授予学士学位
计算机科学系 2012第一学期
《高等数学I 》期末考试试题（A 卷 答案）
任课教师：李绿周，陈伟能 考试形式：闭卷 考试时间： 2 小时 年级：12级 专业：计算机1、2、3班 姓名： _____ 学号： _ 成绩： _
一、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分） CCBCA CDDCC
二、解答与证明题（共11题，共80分）
2ln(1+x 3)
1．求极限lim 。（5分）
x →0sin x (secx -cos x )
2ln(1+x 3)
=lim 解：lim
x →0sin x (secx -cos x ) x →0
2x 32x 3
=lim 3=2 2x →0sin x 1-cos x
sin x ()
cos x
2．求极限lim (
x →∞
3+x 2x
) 。（5分） 2+x
1x +221-4
) ](1+) =e 2 x +2x +2
解： 原式=lim [(1+
x →∞
3．已知y =e
sin +x sin x (x >0) ，求d y 。（7分）
d x
解： y '=e
sin 1
()+(x
sin '
sin x
) ' （1分）, 其中：
x
(e )=e
'
sin 1
1sin 1''sin (sin )=e .cos x . (x )=-x 2e .cos x （3分）
(x sin x ) '=(e sin x ln x ) '=e sin x ln x (cosx ln x +
sin x sin x
) =x sin x (cosx ln x +) （3分） x x
也可用两边取对数求(x sin x ) '，取对数得ln y =sin x ln x ，则
1
sin x y 'sin x
) ，所以(x sin x ) '=x sin x (cosx ln x +=cos x ln x +
x y x
sin sin x
.cos 1+x （cos x ln x +
所以所求导数为 y '=-x 12e
sin x
）. x
⎧e y +(t +1)y +t 2=2⎪dy -t ⎨4．设（8分）u
，求x =e du dx =-1⎪⎰1⎩
解：对t 求导得
⎧dy y dy ⎧dy -2t -y e +y +(t +1) +2t =0=y （3分）⎪⎪⎪dt dt ⎪dt e +t +1⇒⎨⎨
⎪dx =-e -t ⎪dx =-e -t （2分）
⎪⎪⎩dt ⎩dt
dy
dy
=dt
所以dx
dt
t e （2t +y ）=y （1分）. e +t +1
当t=-1时，可确定x=0,y=0 （1分）.
dy 2
=- （1分）. 代入上述值，得
e dx =-1
5．求不定积分⎰e x cos x d x 。（6分） 解：
x x x x x x
cos x e d x =cos x de =cos x e -e d cos x =cos x e +e ⎰⎰⎰⎰sin x d x （2分）
=cos x e x +⎰sin x de x =cos x e x +(sinx e x -⎰e x dsin x ） （2分）
x x x
=cos x e +sinx e -⎰cos x e d x
1
所以⎰sin xe x d x =e x (sinx +cosx ) +C （2分）
2
1
6
．求定积分⎰解：原式
= ⎰
1
22
-1
（7分） 。
1
-11
+⎰
-1
=4⎰
1
20
（利用奇偶性，2分）
=4⎰(1dx （分母有理化，2分）
2
=4[⎰dx -⎰]=4-π(第二部分可根据几何意义得到，3分)
1注意：可能有同学会直接在4⎰
算过程酌情给分。
1
20
中进行变量代换进行计算，此时可根据计
7. 曲线y =x 与直线y =x +2围成一平面图形，求以下问题：（8分） 1）该平面图形的面积. （4分）
2）该图形被y 轴划分所得的右半部分图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. （4分）
解：求得两曲线交点为(-1,1)和（2,4），画出草图如下：
2
（1）面积S=⎰(x +2-x 2)dx =
2-1
2
3
x 2+2x -x 3
]
2-1
=
(2) 体积V y =π⎰
4
⎡
⎢⎣
)
40
9
. 2
42⎤y dy -π⎰(y -2)dy
⎥2⎦ 2
y 2
=π
2(y -2) 3-π
3
2
4
=
2
16π 3
也可以用柱壳法求得：V y =π⎰x [x +2-x 2]dx
-1
8．已知函数f (x ) =⎰e
-x
1- t 4
4
d t ，试讨论：
1）该函数的奇偶性 2）该函数的单调性；
3）该函数的凹凸性和拐点。（8分） 解：
1）因为f (-x ) =⎰e
0x
1- t 44
d t 令u =-t ⎰e
-x
1- u 44
d(-u ) =-⎰e
-x
1- 44
d u =-f (x ) ，所以是奇函数
（2分）。
3
2）f '(x ) =-e
1- x 44
（-∞，+∞）（1分），因为该一阶导数在区间均有f '(x )
调递减（1分）。 3）f ''(x ) =x e
31
- x 44
（1分），令f ''(x ) =0得x =0，所以函数的拐点是(0,0)（1分）。
x >0时f ''(x ) >0，所以曲线是凹的（1分）； x
9．求微分方程(y 2-2xy )d x +x 2d y =0的通解。（8分） 解： 方程两边同时除以x 2，整理得齐次方程d y y y
d x =2x -(x
)
2
. （1分）
设u =
y
x
得y '=u +u 'x ，代入方程得u +xu '=2u -u 2（2 分） 分离变量得d u u 2-u =-d x 1x ，即(u -1-1d x
u )d u =-x
（2分） 积分得ln u -1
x (u -1) u
=-ln x +C 1, 即
=C (C =±e C 1u ) （2分） 将u =
y
x
代入得通解x (y -x ) =C y 。（1分）
10．求微分方程
(2+x 2) y '+2xy =x 2
，y x =0
=1的特解. （8分）
y '+2x x 2
解：方程变形为一阶线性微分方程：(2+x 2
) y =(2+x 2)
…………..①1) 首先解该方程对应的齐次方程：y '+
2x
(2+x 2
)
y =0，分离变量得 dy y =-2x
2+x
2dx ，从而有ln |y |=-ln(2+x 2) +C 1 即有y =
C
2+x
2
（3分） 2）令y =u (x )
u '(x ) 2+x 2，把相关量代人方程①，即得2+x 2=x 22+x
2
，从而得 1u (x ) =1
x 3+C 。所以上述微分方程的通解为y =
3
x 3+C
3
2+x
2
. （3分） 4
1分） （
代人条件y
x =0
x 3+2
=1，得C =2，所以y =（1分） 2
2+x
13
11．设函数f (x ) 在区间[0, 2]上连续，在(0, 2) 上可导，且f (0) =f (2) =0，f (1)=-3。试证明：
1）在区间(1, 2) 内至少存在一点η，使得f (η) =-2η； 2）在区间(0, 2) 内至少存在一点ξ，使得f '(ξ) =-2。（10分） 证明：
1）构造g (x ) =f (x ) +2x ，则g (1)=-1，g (2)=4，且g (x ) 在闭区间[1,2]上连续， 由零点定理得，存在η∈(1, 2) ，使得g (η) =f (η) +2η=0，即f (η) =-2η。（5分）
2）由于g (0)=0，g (η) =0，且g (x ) 在区间[0, 2]上连续，在(0, 2) 上可导，所以g (x ) 在
（0，η）区间满足罗尔定理条件。即存在ξ∈（0，η）⊆(0,2)，使得g '(ξ) =0，即f '(ξ) +2=0，所以f '(ξ) =-2，得证。（5分）
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