(寒假总动员)2015年高二数学寒假作业专题18复数(学)

专题18 复数

学一学------基础知识结论

1. 复数的概念

(1) 虚数单位i: i2＝－1；i和实数在一起，服从实数的运算律．

(2) 代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．

2. 复数的分类

复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，z是实数a∈R，b＝0，z是虚数b≠0，z是纯虚数a＝0，b≠0.

3. 共轭复数

a＋bi与a－bi(a，b∈R)互为共轭复数．

4. 复数相等的条件

a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则a＝c且b＝d.

特殊的，a＋bi＝0(a、b∈R)，则a＝0且b＝0.

5. 复数的模

→设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z在复平面内对应点为Z，则OZ的长度叫做复数z的模(或绝对

→值)，即|z|＝|OZ|

6. 运算法则

z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． (1)i4n1i、i4n21、i4n3i、i4n1

(2)复数的加减（类比合并同类项）(abi)(cdi)(ac)(bd)i

(3)复数的相乘（类比整式乘法）(abi)(cdi)(acbd)(abbc)i

abi(abi)(cdi)acbdbcad22i22cdi(cdi)(cdi)cdcd(4)复数的相除（类比分母有理化）

7.复数的乘法的运算律：对于任何

交换律:

律:z1,z2,z3C，有 z1z2z2z1；结合律:(z1z2)z3z1(z2z3)；分配z1(z2z3)z1z2z1z3 .

8.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|9.复平面向量的垂直 （z1x1y1i，z2x2y2i）. zabi，z2cdi对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 非零复数1

z2222|zz||z||z|OZOZzzz121212121 的实部为零为纯虚数

222|z1z2||z1||z2||z1z2||z1z2|acbd0z1iz2 (λ为非零

实数).

10.实系数一元二次方程的解 ：实系数一元二次方程axbxc0： 2

bxxx121,222b4ac0b4ac02a; ①若,

则；②若,则

2b4ac0，③若它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数

2xb4ac0)根.

11．注意点

(1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。先设zabi（a、bR）再根据题意及复数有关知识列出关于a、b的方程。解方程得a、b，从而可以确定复数zabi．

(2)数的概念扩展为复数后，实数集中一些运算性质、概念、关系不一定适用了，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负等． （3）两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小，两个复数的模可以比较大小.

学一学------方法规律技巧

1．复数的分类

复数是高中学生学习的最大数集范围，它包括实数和虚数这两大类，这是初学者所难搞清的，因为高中数学很多问题都是在实数范围内所完成的．解题时一定要注意纯虚数的条件：一个复数的实部为零且虚部不为零．

例1若复数z＝lg(m2－2m－3)＋i·lg(m2＋3m－3)为实数，求实数m的值．

【答案】m＝－4

【解析】解：z＝a＋bi∈R的充要条件是b＝0，前提必须是a，b∈R，因此必须先保证a，b

m2＋3m－3＝1有意义．由条件知，，∴m＝－4. m2－2m－3>0

2(a3a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ） 例2、若复数

A.1 B.2 C.1或2 D.

1

2. 复数代数形式的运算

复数与实数类似，它也有加、减、乘、除、乘方等运算，其中一定要注意两点：一是i的平方等于-1，这是学生在复数部分最易出现的错误;二是复数与它的共轭复数的关系要搞清．

2－bi例3如果复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝

________. 3＋i

2例4已知复数z＝1＋i，则z＝

________. z

3．复数的几何意义

复数是由实部和虚部构成的，这就决定了复数与向量有着极其想似的性质：比如说复数有模或绝对值，复数也可以放在一个坐标（称之为复平面）内对应于一个点．

→例5已知复数z1＝2－i，z2＝a＋(1－a2)i在复平面内的对应点分别为P1、P2，向量P2P1对

应的复数为－3＋i，求实数a的值．

例6若a、b∈R，则复数(a2＋6a＋10)＋(－b2－4b－5)i对应的点在第几象限？

【答案】第四象限

【解析】a2＋6a＋10＝(a＋3)2＋1>0，－b2－4b－5＝－(b＋2)2－1

所以复数所对应的点在第四象限．

专题18 复数

学一学------基础知识结论

1. 复数的概念

(1) 虚数单位i: i2＝－1；i和实数在一起，服从实数的运算律．

(2) 代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．

2. 复数的分类

复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，z是实数a∈R，b＝0，z是虚数b≠0，z是纯虚数a＝0，b≠0.

3. 共轭复数

a＋bi与a－bi(a，b∈R)互为共轭复数．

4. 复数相等的条件

a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则a＝c且b＝d.

特殊的，a＋bi＝0(a、b∈R)，则a＝0且b＝0.

5. 复数的模

→设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z在复平面内对应点为Z，则OZ的长度叫做复数z的模(或绝对

→值)，即|z|＝|OZ|

6. 运算法则

z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． (1)i4n1i、i4n21、i4n3i、i4n1

(2)复数的加减（类比合并同类项）(abi)(cdi)(ac)(bd)i

(3)复数的相乘（类比整式乘法）(abi)(cdi)(acbd)(abbc)i

abi(abi)(cdi)acbdbcad22i22cdi(cdi)(cdi)cdcd(4)复数的相除（类比分母有理化）

7.复数的乘法的运算律：对于任何

交换律:

律:z1,z2,z3C，有 z1z2z2z1；结合律:(z1z2)z3z1(z2z3)；分配z1(z2z3)z1z2z1z3 .

8.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|9.复平面向量的垂直 （z1x1y1i，z2x2y2i）. zabi，z2cdi对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 非零复数1

z2222|zz||z||z|OZOZzzz121212121 的实部为零为纯虚数

222|z1z2||z1||z2||z1z2||z1z2|acbd0z1iz2 (λ为非零

实数).

10.实系数一元二次方程的解 ：实系数一元二次方程axbxc0： 2

bxxx121,222b4ac0b4ac02a; ①若,

则；②若,则

2b4ac0，③若它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数

2xb4ac0)根.

11．注意点

(1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。先设zabi（a、bR）再根据题意及复数有关知识列出关于a、b的方程。解方程得a、b，从而可以确定复数zabi．

(2)数的概念扩展为复数后，实数集中一些运算性质、概念、关系不一定适用了，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负等． （3）两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小，两个复数的模可以比较大小.

学一学------方法规律技巧

1．复数的分类

复数是高中学生学习的最大数集范围，它包括实数和虚数这两大类，这是初学者所难搞清的，因为高中数学很多问题都是在实数范围内所完成的．解题时一定要注意纯虚数的条件：一个复数的实部为零且虚部不为零．

例1若复数z＝lg(m2－2m－3)＋i·lg(m2＋3m－3)为实数，求实数m的值．

【答案】m＝－4

【解析】解：z＝a＋bi∈R的充要条件是b＝0，前提必须是a，b∈R，因此必须先保证a，b

m2＋3m－3＝1有意义．由条件知，，∴m＝－4. m2－2m－3>0

2(a3a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ） 例2、若复数

A.1 B.2 C.1或2 D.

1

2. 复数代数形式的运算

复数与实数类似，它也有加、减、乘、除、乘方等运算，其中一定要注意两点：一是i的平方等于-1，这是学生在复数部分最易出现的错误;二是复数与它的共轭复数的关系要搞清．

2－bi例3如果复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝

________. 3＋i

2例4已知复数z＝1＋i，则z＝

________. z

3．复数的几何意义

复数是由实部和虚部构成的，这就决定了复数与向量有着极其想似的性质：比如说复数有模或绝对值，复数也可以放在一个坐标（称之为复平面）内对应于一个点．

→例5已知复数z1＝2－i，z2＝a＋(1－a2)i在复平面内的对应点分别为P1、P2，向量P2P1对

应的复数为－3＋i，求实数a的值．

例6若a、b∈R，则复数(a2＋6a＋10)＋(－b2－4b－5)i对应的点在第几象限？

【答案】第四象限

【解析】a2＋6a＋10＝(a＋3)2＋1>0，－b2－4b－5＝－(b＋2)2－1

所以复数所对应的点在第四象限．