第17卷第5期2003年9月
株洲工学院学报
JournalofZhuzhouInstituteofTechnology
Vol.17No.5Sept.2003
晶粒长大动力学的计算机模拟
夏维国
(湖南冶金职业技术学院,湖南株洲412000)
摘 要:利用元胞自动机模型研究了2维晶粒长大的动力学,模型将微观结构映射到离散的格点上进行研究;微观结构演化的研究是通过考察晶粒大小和形状随时间的变化来实现的。精确地再现了文献中理论推导的结果;研究了复杂结构下的晶粒长大动力学曲线;考察了控制参数对于晶粒长大动力学过程的影响;并具有一定的一般性,可以用于多种情况下的模拟。
关键词:晶粒长大;动力学;计算机模拟
中图分类号:O781 文献标识码:A 文章编号:1008-2611(2003)05-0036-03
ComputerSimulationofNormalGrainGrowthKinetics
XIAWei-guo
(ZhuzhouProfessionalandTechnicalCollege,Zhuzhou412000,China)
Abstract:Acellularautomataprocedureisappliedtothestudyofthekineticsofgraingrowthintwodimensions.Themodelemployedmapsthemicrostructureontoadiscretelattice.Thetemporalevolutionofthemicrostructuresismonitoredtoyieldthetimedependenceofthesizeandshapesofthegrains.TheoreticalresultaboutcirclegrainissimulatedaccuratelyusingCAmodel,thekineticsaboutcomplexgrainstructurewassimulatedandthecontrolparameteranditseffecttothekineticisalsostudiedinthepaper.ItisprovedthattheCAmodelisageneralmodelforthenormalgraingrowthsimulationandcanbeusedinmanykindsofsituation.
Keywords:graingrowth;kinetics;cellularautomatasimulation 由于曲率原因驱动扩散进行进而引起区域长大的现象可以在许多物理现象中看到,比如:单相或者两相晶粒的长大、复合系统、肥皂泡的演化过程、再结晶和烧结的后期。我们在工作中用元胞自动机模型模拟了二维晶粒长大的动力学。模型将微观结构影射在离散的格点上,每个格点被赋予一个数值,表示该格点处晶粒的取向;而晶界则由不同取向格点的边界自然形成,界面能由不同取向的邻居格点数计算得到。在界面能的驱动下,代表格点的取向的数值发生变化,从而引起晶粒以及晶界的演化。
为计算基础的。对于任一格点,变化代表其晶粒取向的数值,计算变化前后的自由能变化值( G)。如果 G为负或者为零,则接受变化;如果 G大于零,则exp(- G/kBT)以的概率接受变化,其中kB是Boltzmann常数,而T是温度。尽管我们采用的是元胞自动机模型,但是能量的计算则是以物理原理为基础的;因此也经常可以在MonteCarlo等模拟方法中见到。
有关晶粒长大的动力学模拟中,通常可以见到关于圆形晶粒缩小现象的模拟,其动力学规律如,A(t)-A0=-at,随时间线性变化。其中A(t)、A0分别是随时间变化和初始时刻的晶粒面积。
多晶体系的长大动力学模拟通常设计在三角或者四边形的网格中,并且分别根据细节略微不同的形式
1 计算模型
在元胞自动机模型中,晶界的移动是以能量最小
收稿日期:2003-02-24
,
第5期夏维国 晶粒长大动力学的计算机模拟37
计算并且模拟其长大动力学。
一般认为随时间变化的晶粒长大动力学规律如下:-R(t)m--R(0)m=Bt,(1)
响,则 G正比于元胞邻居数目中不同于元胞状态的邻
居数目的变化。由于邻居数目是0～8的整数,则其变化也是有限的整数;当其非负时,也是0～8之间的整数。显然,由于指数函数的特性,当 G为零时,函数值为1,因此整个概率函数是连续的。由于模型中计算得到的邻居数和界面能之间是线性关系,所以原式变换为:
exp(- n・(C/kBT))=exp(- n・CT)。
(2)
其中参数CT中包含了邻居数目和界面能之间的换算以及温度因素的影响。由于没有指定固定的换算关系,所以本文模拟的是一般的正常晶粒长大问题,根据不同的参数换算可以模拟不同尺度和机理的晶粒长大问题。
2.2 经典问题的计算机模拟
利用本模型模拟有关晶粒长大的动力学研究中常见的关于圆形晶粒缩小现象,按照报道其动力学规律如A(t)-A0=-at,随时间线性变化。其中A(t)、A0分别是随时间变化和初始时刻的晶粒面积。
图1是本文计算机模拟的动力学演化过程数据图示。可以看到,按照本模型模拟的结果和前人的唯象理论以及MonteCarlo模拟结果都吻合的很好。
图1中的参数CT值为1,改变该参数为1.5以后的模拟结果如图2。显然面积线性规律仍然不变;不过同时也可以看出,圆形晶粒缩小的速度变慢了。到15000时间步为止,面积从原来的20141变为27888(初始面积为31397)
。
其中-R(t)是晶粒尺寸的算术平均值。对于不同的T值,分别计算和分析-R(t)研究参数
m随T变化的规律。
在以下的模拟中采用正方形网格,并且使用8邻居模型。
为了突出温度T对于长大动力学过程的影响,假设 G为界面能的线性函数,即它和一个元胞的异种邻居数目关系成正比。在这个假设的前提下,exp(- G/kBT)括号中的表达式也和一个元胞的异种邻居数目关系成正比,并且同时和绝对温度的倒数成正比。
在模拟中一个元胞的异种邻居数目关系是根据邻居的分布统计出来的,而绝对温度的倒数则是本文研究的参数。
2 基本模拟结果
2.1 模拟参数的说明
元胞自动机模型中采用8邻居模式;用不同的元胞状态数来表示不同的元胞;用 G来决定元胞在下个时刻的状态。具体规则为:如果 G为负或者为零,则接受变化;如果 G大于零,则以exp(- G/kBT)的概率接受变化,其中kB是Boltzmann常数,T是温度。
在式exp(- G/kBT)中,假设只考虑界面能的影
图1
圆形晶粒缩小的动力学关系
图2 变更参数CT
之后圆形晶粒缩小的动力学关系
图3是不同参数对应的15000时间步时对应的相对剩余面积的变化规律。
显然,当参数从1.5变化到2的时候,晶粒缩小的速度没有明显增长。显然,对于更加复杂情况的动力学参数模拟是十分有意义的。
2.3 正常晶粒长大的计算机模拟
取图4组织作为初始晶粒组织,经过6500步模拟以后得到图5的晶粒长大以后组织。其长大过程的动力学曲线如图6。
图3 不同参数下圆形晶粒缩小的变化规律
38株 洲 工 学 院 学 报2003年
图4
初始晶粒组织
图5 长大以后的组织
将图6曲线按照面积线性关系进行计算,得到的相关系数为0.9966,可以简单地认为它符合面积线性
关系。
图6 以平均面积为单位的晶粒长大动力学曲线
从图6也可以看出,对于复杂的晶粒组织长大过程,长大动力学曲线已经不再简单地表现为线性关系。也就是说(1)式中的m不再是2。
考察Rm和t间的相关系数,显然当m取值恰当的时候该相关系数数值应当最大。对此建立关于参数m和相关系数之间的非线性规划求解问题,计算m值。
将全部数据进行处理,得到的m为3.19;对应的相关系数为0.997。
对照以往文献,也出现过多种m值的报道,经过本文计算,发现在不同的控制参数CT下,的数值各不相同;因此我们认为以往文献中该数值的不同首先来源于控制参数的不同。
在全部6500步的数据中,对2000步以前的数据进行处理,得到的m为3.19;而相关系数为0.998。可见在前2000步中得到的规律和全局数据得到的规律基本一致;而且此处得到的规律基本上代表了全局的规律。
而对2000步以后的数据进行处理得到的m为1.04;相关系数为0.997。有趣的是,在R本身已经比较大的时候,m的变化对于其相关系数的影响不是很大;而且当选取不同阶段的数据时,计算得到的m值变化也比较大。模拟后期由于计算机处理容量的关系晶粒数相对变小,本文在此不做进一步考察。
3 控制参数对于模拟结果的影响
变更参数CT,得到的等效晶粒半径(以面积的平方根作为等效晶粒半径)随时间变化情况如图7
所示。
图7 不同控制参数下晶粒长大动力学图
)
第5期彭震春 Frobenius矩阵的逆与相似化简
A( 是A的非常数不变因子只有 )。
41
显然,将B( )的第一列与第n行去掉后剩下的
n-1
n-1阶子式为(-1),故 In-F的n个行列式因子为D1( )=D2( )=…=Dn-1( )=1,Dn( )= ( )。
从而n个不变因子为
)=d2( )=…=dn-1( )=1,dn( )= ( ),d1(
故 In-F等价于对角阵diag(1,…,1, ( ))。由定理3直接得出
推论1 设F是n次多项式 ( )的Frobenius矩阵,那么F可对角化的充分必要条件 ( )是无重根,
′
即( ( ), ( )=1)。推论2 设A∈Cn×n的特征多项式 A( )的Frobenius矩阵为F,则A与F相似的充分必要条件
参考文献:
[1] 黄 琳.系统与控制理论中的线性代数[M].北京:科学
出版社,1990.
[2] 陈景良,陈向晖.特殊矩阵[M].北京:清华大学出版社,
2000.
[3] R.A.Horn,C.R.Johnson.MatrixAnalysis[M].
Cambridge:CambridgeUniversityPress,1985.[4] 北大代数组.高等代数[M].第二版.北京:高等教育出版
社,1988.
(上接第38页)
显然,参数CT的变化对于晶粒长大速度的影响是明显的。参数CT越小则长大速度越快,而且速度增加速度明显。
从参数CT的意义可以知道,在晶粒尺度一定的情况下,对应的边界能换算参数一致,则参数CT和温度的倒数成正比;也就是说温度越高,晶粒长大速度越快。这和实际经验的结论是一致的。限于篇幅,本研究另文专门讨论。
[1] VonNeumann.TheoryofSelfReproducingAutomata[M].Urbana:UniversityofIllionois,1966.
[2] GardnerM.MathematicalGames[J].ScientificAmeri-can,1971,224:112.
[3] WolframS.Theoryandapplicationofcellularautomata
[J].Nature,1984,311:419.
[4] 何宜柱,余亮,陈大宏.元胞自动机仿真技术[J].华东冶
金学院学报,2000,(2):1-5
[5] PackardN.TheoryandApplicationsofCellularAuto-mata[M].Singapore:WorldScientific,1986.
[6] 刘红艳,何宜柱.元胞自动机模拟及其在金属材料设计中
的应用[J].安徽工业大学学报(自然科学版),2001,18(4):290-294.310.
[7] SaetreT.O.Onthetheoryofnormalgraingrowthintwo
dimensions[J].ActaMaterialia,2002,(50):1539-1546.
参考文献:
4 结论
本文建立了利用元胞自动机模型模拟正常晶粒长大的模型,着重研究了晶粒长大的动力学关系。本模型很好地再现了理论和前人模拟结果中对于圆形晶粒缩小过程的模拟结果;并在复杂组织下的晶粒长大动力学模拟中数据表现出和以往模型不同的数学关系。讨论了不同控制参数下晶粒正常长大的动力学变化趋势,该趋势和生产实际的经验一致。利用本模型,在与生产实际对应的特定参数下进行模拟,可以为实验研究和生产设计提供有价值的参考数据。
第17卷第5期2003年9月
株洲工学院学报
JournalofZhuzhouInstituteofTechnology
Vol.17No.5Sept.2003
晶粒长大动力学的计算机模拟
夏维国
(湖南冶金职业技术学院,湖南株洲412000)
摘 要:利用元胞自动机模型研究了2维晶粒长大的动力学,模型将微观结构映射到离散的格点上进行研究;微观结构演化的研究是通过考察晶粒大小和形状随时间的变化来实现的。精确地再现了文献中理论推导的结果;研究了复杂结构下的晶粒长大动力学曲线;考察了控制参数对于晶粒长大动力学过程的影响;并具有一定的一般性,可以用于多种情况下的模拟。
关键词:晶粒长大;动力学;计算机模拟
中图分类号:O781 文献标识码:A 文章编号:1008-2611(2003)05-0036-03
ComputerSimulationofNormalGrainGrowthKinetics
XIAWei-guo
(ZhuzhouProfessionalandTechnicalCollege,Zhuzhou412000,China)
Abstract:Acellularautomataprocedureisappliedtothestudyofthekineticsofgraingrowthintwodimensions.Themodelemployedmapsthemicrostructureontoadiscretelattice.Thetemporalevolutionofthemicrostructuresismonitoredtoyieldthetimedependenceofthesizeandshapesofthegrains.TheoreticalresultaboutcirclegrainissimulatedaccuratelyusingCAmodel,thekineticsaboutcomplexgrainstructurewassimulatedandthecontrolparameteranditseffecttothekineticisalsostudiedinthepaper.ItisprovedthattheCAmodelisageneralmodelforthenormalgraingrowthsimulationandcanbeusedinmanykindsofsituation.
Keywords:graingrowth;kinetics;cellularautomatasimulation 由于曲率原因驱动扩散进行进而引起区域长大的现象可以在许多物理现象中看到,比如:单相或者两相晶粒的长大、复合系统、肥皂泡的演化过程、再结晶和烧结的后期。我们在工作中用元胞自动机模型模拟了二维晶粒长大的动力学。模型将微观结构影射在离散的格点上,每个格点被赋予一个数值,表示该格点处晶粒的取向;而晶界则由不同取向格点的边界自然形成,界面能由不同取向的邻居格点数计算得到。在界面能的驱动下,代表格点的取向的数值发生变化,从而引起晶粒以及晶界的演化。
为计算基础的。对于任一格点,变化代表其晶粒取向的数值,计算变化前后的自由能变化值( G)。如果 G为负或者为零,则接受变化;如果 G大于零,则exp(- G/kBT)以的概率接受变化,其中kB是Boltzmann常数,而T是温度。尽管我们采用的是元胞自动机模型,但是能量的计算则是以物理原理为基础的;因此也经常可以在MonteCarlo等模拟方法中见到。
有关晶粒长大的动力学模拟中,通常可以见到关于圆形晶粒缩小现象的模拟,其动力学规律如,A(t)-A0=-at,随时间线性变化。其中A(t)、A0分别是随时间变化和初始时刻的晶粒面积。
多晶体系的长大动力学模拟通常设计在三角或者四边形的网格中,并且分别根据细节略微不同的形式
1 计算模型
在元胞自动机模型中,晶界的移动是以能量最小
收稿日期:2003-02-24
,
第5期夏维国 晶粒长大动力学的计算机模拟37
计算并且模拟其长大动力学。
一般认为随时间变化的晶粒长大动力学规律如下:-R(t)m--R(0)m=Bt,(1)
响,则 G正比于元胞邻居数目中不同于元胞状态的邻
居数目的变化。由于邻居数目是0～8的整数,则其变化也是有限的整数;当其非负时,也是0～8之间的整数。显然,由于指数函数的特性,当 G为零时,函数值为1,因此整个概率函数是连续的。由于模型中计算得到的邻居数和界面能之间是线性关系,所以原式变换为:
exp(- n・(C/kBT))=exp(- n・CT)。
(2)
其中参数CT中包含了邻居数目和界面能之间的换算以及温度因素的影响。由于没有指定固定的换算关系,所以本文模拟的是一般的正常晶粒长大问题,根据不同的参数换算可以模拟不同尺度和机理的晶粒长大问题。
2.2 经典问题的计算机模拟
利用本模型模拟有关晶粒长大的动力学研究中常见的关于圆形晶粒缩小现象,按照报道其动力学规律如A(t)-A0=-at,随时间线性变化。其中A(t)、A0分别是随时间变化和初始时刻的晶粒面积。
图1是本文计算机模拟的动力学演化过程数据图示。可以看到,按照本模型模拟的结果和前人的唯象理论以及MonteCarlo模拟结果都吻合的很好。
图1中的参数CT值为1,改变该参数为1.5以后的模拟结果如图2。显然面积线性规律仍然不变;不过同时也可以看出,圆形晶粒缩小的速度变慢了。到15000时间步为止,面积从原来的20141变为27888(初始面积为31397)
。
其中-R(t)是晶粒尺寸的算术平均值。对于不同的T值,分别计算和分析-R(t)研究参数
m随T变化的规律。
在以下的模拟中采用正方形网格,并且使用8邻居模型。
为了突出温度T对于长大动力学过程的影响,假设 G为界面能的线性函数,即它和一个元胞的异种邻居数目关系成正比。在这个假设的前提下,exp(- G/kBT)括号中的表达式也和一个元胞的异种邻居数目关系成正比,并且同时和绝对温度的倒数成正比。
在模拟中一个元胞的异种邻居数目关系是根据邻居的分布统计出来的,而绝对温度的倒数则是本文研究的参数。
2 基本模拟结果
2.1 模拟参数的说明
元胞自动机模型中采用8邻居模式;用不同的元胞状态数来表示不同的元胞;用 G来决定元胞在下个时刻的状态。具体规则为:如果 G为负或者为零,则接受变化;如果 G大于零,则以exp(- G/kBT)的概率接受变化,其中kB是Boltzmann常数,T是温度。
在式exp(- G/kBT)中,假设只考虑界面能的影
图1
圆形晶粒缩小的动力学关系
图2 变更参数CT
之后圆形晶粒缩小的动力学关系
图3是不同参数对应的15000时间步时对应的相对剩余面积的变化规律。
显然,当参数从1.5变化到2的时候,晶粒缩小的速度没有明显增长。显然,对于更加复杂情况的动力学参数模拟是十分有意义的。
2.3 正常晶粒长大的计算机模拟
取图4组织作为初始晶粒组织,经过6500步模拟以后得到图5的晶粒长大以后组织。其长大过程的动力学曲线如图6。
图3 不同参数下圆形晶粒缩小的变化规律
38株 洲 工 学 院 学 报2003年
图4
初始晶粒组织
图5 长大以后的组织
将图6曲线按照面积线性关系进行计算,得到的相关系数为0.9966,可以简单地认为它符合面积线性
关系。
图6 以平均面积为单位的晶粒长大动力学曲线
从图6也可以看出,对于复杂的晶粒组织长大过程,长大动力学曲线已经不再简单地表现为线性关系。也就是说(1)式中的m不再是2。
考察Rm和t间的相关系数,显然当m取值恰当的时候该相关系数数值应当最大。对此建立关于参数m和相关系数之间的非线性规划求解问题,计算m值。
将全部数据进行处理,得到的m为3.19;对应的相关系数为0.997。
对照以往文献,也出现过多种m值的报道,经过本文计算,发现在不同的控制参数CT下,的数值各不相同;因此我们认为以往文献中该数值的不同首先来源于控制参数的不同。
在全部6500步的数据中,对2000步以前的数据进行处理,得到的m为3.19;而相关系数为0.998。可见在前2000步中得到的规律和全局数据得到的规律基本一致;而且此处得到的规律基本上代表了全局的规律。
而对2000步以后的数据进行处理得到的m为1.04;相关系数为0.997。有趣的是,在R本身已经比较大的时候,m的变化对于其相关系数的影响不是很大;而且当选取不同阶段的数据时,计算得到的m值变化也比较大。模拟后期由于计算机处理容量的关系晶粒数相对变小,本文在此不做进一步考察。
3 控制参数对于模拟结果的影响
变更参数CT,得到的等效晶粒半径(以面积的平方根作为等效晶粒半径)随时间变化情况如图7
所示。
图7 不同控制参数下晶粒长大动力学图
)
第5期彭震春 Frobenius矩阵的逆与相似化简
A( 是A的非常数不变因子只有 )。
41
显然,将B( )的第一列与第n行去掉后剩下的
n-1
n-1阶子式为(-1),故 In-F的n个行列式因子为D1( )=D2( )=…=Dn-1( )=1,Dn( )= ( )。
从而n个不变因子为
)=d2( )=…=dn-1( )=1,dn( )= ( ),d1(
故 In-F等价于对角阵diag(1,…,1, ( ))。由定理3直接得出
推论1 设F是n次多项式 ( )的Frobenius矩阵,那么F可对角化的充分必要条件 ( )是无重根,
′
即( ( ), ( )=1)。推论2 设A∈Cn×n的特征多项式 A( )的Frobenius矩阵为F,则A与F相似的充分必要条件
参考文献:
[1] 黄 琳.系统与控制理论中的线性代数[M].北京:科学
出版社,1990.
[2] 陈景良,陈向晖.特殊矩阵[M].北京:清华大学出版社,
2000.
[3] R.A.Horn,C.R.Johnson.MatrixAnalysis[M].
Cambridge:CambridgeUniversityPress,1985.[4] 北大代数组.高等代数[M].第二版.北京:高等教育出版
社,1988.
(上接第38页)
显然,参数CT的变化对于晶粒长大速度的影响是明显的。参数CT越小则长大速度越快,而且速度增加速度明显。
从参数CT的意义可以知道,在晶粒尺度一定的情况下,对应的边界能换算参数一致,则参数CT和温度的倒数成正比;也就是说温度越高,晶粒长大速度越快。这和实际经验的结论是一致的。限于篇幅,本研究另文专门讨论。
[1] VonNeumann.TheoryofSelfReproducingAutomata[M].Urbana:UniversityofIllionois,1966.
[2] GardnerM.MathematicalGames[J].ScientificAmeri-can,1971,224:112.
[3] WolframS.Theoryandapplicationofcellularautomata
[J].Nature,1984,311:419.
[4] 何宜柱,余亮,陈大宏.元胞自动机仿真技术[J].华东冶
金学院学报,2000,(2):1-5
[5] PackardN.TheoryandApplicationsofCellularAuto-mata[M].Singapore:WorldScientific,1986.
[6] 刘红艳,何宜柱.元胞自动机模拟及其在金属材料设计中
的应用[J].安徽工业大学学报(自然科学版),2001,18(4):290-294.310.
[7] SaetreT.O.Onthetheoryofnormalgraingrowthintwo
dimensions[J].ActaMaterialia,2002,(50):1539-1546.
参考文献:
4 结论
本文建立了利用元胞自动机模型模拟正常晶粒长大的模型,着重研究了晶粒长大的动力学关系。本模型很好地再现了理论和前人模拟结果中对于圆形晶粒缩小过程的模拟结果;并在复杂组织下的晶粒长大动力学模拟中数据表现出和以往模型不同的数学关系。讨论了不同控制参数下晶粒正常长大的动力学变化趋势,该趋势和生产实际的经验一致。利用本模型,在与生产实际对应的特定参数下进行模拟,可以为实验研究和生产设计提供有价值的参考数据。