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试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分. 第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1+z
1. 设复数z 满足＝i ，则|z |＝
1-z (A )1 (B
(C (D )2 2. sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝ (A
) 11 (B (C ) - (D )
223. 设命题P ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则⌝P 为 (A ) ∀n ∈N ， n 2>2n (B ) ∃ n ∈N ， n 2≤2n (C ) ∀n ∈N ， n 2≤2n (D ) ∃ n ∈N ， n 2＝2n
4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试. 已知某同学每次投篮投中的概率为
0. 6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A ) 0. 648 (B ) 0. 432 (C ) 0. 36 (D ) 0. 312
x 2
5. 已知M (x 0，y 0) 是双曲线C ：-y 2=1 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若MF 1⋅MF 2
2
＜0，则y 0的取值范围是 (A )(
－
(B )(
(C
)(
) (D
)(
) 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，
下周八尺，高五尺. 问:积及为米几何? ”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少? ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
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(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 7. 设D 为ABC 所在平面内一点BC =3CD ，则
1414AB +AC (B ) AD =AB -AC 33334141
(C ) AD =AB +AC (D ) AD =AB -AC
3333
(A ) AD =-
8. 函数f (x ) ＝(A )(
) ，k
的部分图像如图所示，则f (x ) 的单调递减区间为 (b )(
) ，k
(C )() ，k (D )() ，k
9. 执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝
(A )5 (B )6 (C )7 (D )8
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10. (x 2+x +y ) 5的展开式中，x 5y 2的系数为
(A )10 (B )20 (C )30 (D )60
11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r ) 组成一个几何体，该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积 为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )8
12. 设函数f (x ) ＝e x (2x －1) －ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0) 0，则a 的取值范围是( )
正视图
俯视图
A .[-
333333
，1) B . [-, ) C . [, ) D . [，1)
2e 42e 42e 2e
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
13. 若函数f (x ) ＝xln (x 为偶函数，则a ＝14. 一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .
⎧x -1≥0
y ⎪
15. 若x ，y 满足约束条件⎨x -y ≤0，则的最大值为 .
x ⎪x +y -4≤0
⎩
16. 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 . 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
S n 为数列{a n }的前n 项和. 已知a n >0，(Ⅰ) 求{a n }的通项公式： (Ⅱ) 设
，求数列}的前n 项和
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18如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC
F
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值
A
C B
19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元) 对年销售量y (单位：t ) 和年利润z (单位：千元) 的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值
.
年销售量
年宣传费(千元)
1
表中w 1 ， ，w ＝
8
∑w 1
x +1
1
(Ⅰ) 根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ) 根据(Ⅰ) 的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(Ⅲ) 以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x . 根据(Ⅱ) 的结果回答下列问题：
（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u 1 v 1) ，(u 2 v 2) „„.. (u n v n ) ，其回归线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
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β=
∑(u -u )(v -v )
i
i
i =1
n
∑(u -u )
i
i =1
n
, α=v -βu
2
20.(本小题满分12分)
x 2
在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，
4
(Ⅰ) 当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.
21.(本小题满分12分)
1
已知函数f (x ) ＝x 3+ax +, g (x ) =-ln x
4(Ⅰ) 当a 为何值时，x 轴为曲线y =f (x ) 的切线；
(Ⅱ) 用min {m , n } 表示m ，n 中的最小值，设函数h (x ) =min {f (x ), g (x ) 零点的个数
讨论h (x ) }(x >0) ，
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请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E
（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II ） 若OA ，求∠ACB 的大小.
(23)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中. 直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1) 2＋(y －2) 2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ） 求C 1，C 2的极坐标方程； （II ） 若直线C 3的极坐标方程为θ=
面积
(24)(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
已知函数
＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.
π
4
(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C MN 的
2
(Ⅰ) 当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(Ⅱ) 若f (x ) 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围
a 2n +2a n =4S n +3
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2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案
A 卷选择题答案 一、 选择题
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题
325
（13）1 （14） (x ±) 2+y 2= （16）
24 （15）3
二、 解答题 （17）解：
22
（I ）由a n +2a n =4S n +3，可知a n +1+2a n +1=4S n +1+3.
2222可得a n +1-a n +2(a n +1-a ) =4a n +1 即2(a n +1+a n ) =a n +1-a n =(a n +1+a )(a n +1-a )
由于a n >0可得a n +1-a n =2. 又a 12+2a 1=4a 1+3，解得a 1=-1(舍去) ，a 1=3 所以{a n }是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n =2n +1. （II ）由a n =2n +1
b n =
11111
==(-). a n a +1(2n +1)(2n +3) 22n +12n +3
设数列{b n }的前n 项和为T n ，则
T n =b 1+b 2+=
+b n
+(
11⎤) -
() ⎥2n +12n +3⎦
1⎡1111
(-) +(-) +⎢2⎣3557n =. 3(2n +3)
（18）解：（I ）连结BD ，设
BD AC=G，连结EG ，FG ，EF.
在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，
可得
由
BE⊥平面ABCD, AB=BC可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以
EG=EG ⊥AC. 在Rt ∆EBG 中， 可得在Rt ∆FDG 中，可得
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在直角梯形BDFE 中，由BD=2，
DF=
， 2
可得
又AC
从而EG 2+FG 2=EF 2, 所以EG ⊥FG FG =G , 可得EG ⊥平面AFC . 因为EG ⊂平面AEC
所以平面AEC ⊥平面
AFC
（III ） 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，
GB 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I
）可得A (0，E (10F (-1，0C (0所以
2AE =CF =
(-AE ⋅CF 故cos AE , CF =
=- 23AE ⋅CF
. 所以直线AE 与直线CF
（19）解：（I ）由散点图可以判断，y =c +
y 关于年宣传费x 的回归方程类型。 „„2分 （II ）令w y 关于w 的线性回归方程。由于
ˆ= d
∑(w -)(y -)
i
i
i =1
n
∑(w -)
i
i =1
n
=
2
108.8
=68 1.6
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ˆ=563-68⨯6.8=100.6。 ˆ=-c
ˆ=100. +所以y 关于w 的线性回归方程为y 66w 8，因此y 关于x 的回归方程
为
ˆ=100. +y 6 „„6分 （III ）（i ）由（II ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值
ˆ=100.6+=576.6 y
ˆ=576.6⨯0.2-49=66.32。 „„9分 年利润z 的预报值z
（ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值
ˆ=0.2(100.6+-x =-x +20.12 z
13.6
ˆ取得最大值 =6.8，即x=46.24时，z
2
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 „„12分
所以当=
（20）解：（I ）有题设可得M a ), N (-a ), 或M （）.
x x 2
又y '=，故y =在x =24
C
在点a ) 出的切线方程为y -a =x -
-y -a =0
x 2
y =在x =--y +a =0.
4
股所求切线方程为-y -a =0+y +a =0 （III ） 存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b) 为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM ，PN 的斜率分别为k 1, k 2
y =kx +a 代入C 的方程得x 2-4kx -4a =0. 故x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4a .
从而kx +a 代入C 的方程得x 2-4kx -4a =0. 故x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4a .
从而k 1+k 2=
y 1-b y 2-b
+x 1x 2
2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2) x 1x 2当b=-a时，有
=
k (a +b )
a
k 1+k 2=0, 则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补，故∠OPM =∠OPN ，所以点P(0,-a)符合题意
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（21）解：（I ）设曲线y=f(x)与x 轴相切于点
(x 0,0) 则f (x 0) =0, f (x 0) =0即
1⎧3⎫x +ax +=0⎪⎪00
4⎨⎬
⎪3x 2+a =0⎪⎩0⎭
13
解得x 0, a =-
24
3
因此，当a =-时，x 轴为曲线y =f (x ) 的切线
4
（II ）当
x ∈(1, +∞) 时，g (x ) =-1nx
55
当x =1时，若a ≥-则f (1)=a +≥0, h (1)=min {f (1),g (1)}=g (1)=0, 故x =
44
5
是h (x ) 的零点；若a
4
当x ∈(0时，, 1) x =g -n (x ) 所以只需考虑>10. (x)在（0,1）的零点个数f
（i ）若a ≤-3或a ≥0, 则f '（x ）=3x2+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调
15
f (0)=, f (1)a +, 所以当a ≤-3时，f (x)在（0,1）有一个零点；当a ≥0时f (x)在（1,0）没有零点
44
(ii ) 若-3
当x =f (x ) 取得最小值，最小值为f =
3
①若f >0. 即-
43
②若f 即a =-则f (x ) 在(0,1)有唯一零点
4
3153
③若f 4444
5
时，f (x ) 在（0,1）有两个零点；当-3
4
综上，当
3535
a >-或a
444453
当-
44
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（22）解：
（I ）链接AE ，由已知得，AE ⊥BC AC ⊥AB
在Rt ∆AEC 中，由已知得，DE=DC故∠DEC =∠DCE
链接OE ，则∠OBE=∠OEB 又∠ACB+∠ABC=90°所以∠DEC+∠OEB=90°
故∠OED =90o ，DE 是O 得切线
（II ）设CE=1，AE=X
，由已知得AB =
BE 由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以x 2=x 4+x 2-12=0
可得x =∠ACB =
60o
（23）解：（I ）因为x =ρcos θ，y =ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2，C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0。 „„5分 （II ）将θ=π
4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0，
得ρ2-+4=0，
解得ρ1=
，
ρ2=
ρ1-ρ2=
MN =
由于C 2的半径为1，所以∆C 2MN 的面积为
（24）解： （I ）当a =1时，f (x )>1化为x +-2x -1-1>0，
当x ≤-1时，不等式化为x -4>0，无解；
2
当x ≥1时，不等式化为-x +2>0，解得1≤x 0，解得
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⎧2⎫ 所以f (x )>1的解集为⎨x
⎧x -1-2a , x
⎪-x +1+2a , x >a , ⎩
⎛2a -1⎫ 所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,0⎪，3⎝⎭
B (2a +1,0)，C (a , a +1)，∆ABC 的面积为
由题设得22(a +1)。 322(a +1)>6，故a >2。 3
所以a 的取值范围为(2, +∞) „„10分
B 卷选择题
一、 选择题
（1）D （2）A （3）C （4）A (5) D (6) B
(7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A
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试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分. 第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1+z
1. 设复数z 满足＝i ，则|z |＝
1-z (A )1 (B
(C (D )2 2. sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝ (A
) 11 (B (C ) - (D )
223. 设命题P ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则⌝P 为 (A ) ∀n ∈N ， n 2>2n (B ) ∃ n ∈N ， n 2≤2n (C ) ∀n ∈N ， n 2≤2n (D ) ∃ n ∈N ， n 2＝2n
4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试. 已知某同学每次投篮投中的概率为
0. 6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A ) 0. 648 (B ) 0. 432 (C ) 0. 36 (D ) 0. 312
x 2
5. 已知M (x 0，y 0) 是双曲线C ：-y 2=1 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若MF 1⋅MF 2
2
＜0，则y 0的取值范围是 (A )(
－
(B )(
(C
)(
) (D
)(
) 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，
下周八尺，高五尺. 问:积及为米几何? ”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少? ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
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(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 7. 设D 为ABC 所在平面内一点BC =3CD ，则
1414AB +AC (B ) AD =AB -AC 33334141
(C ) AD =AB +AC (D ) AD =AB -AC
3333
(A ) AD =-
8. 函数f (x ) ＝(A )(
) ，k
的部分图像如图所示，则f (x ) 的单调递减区间为 (b )(
) ，k
(C )() ，k (D )() ，k
9. 执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝
(A )5 (B )6 (C )7 (D )8
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10. (x 2+x +y ) 5的展开式中，x 5y 2的系数为
(A )10 (B )20 (C )30 (D )60
11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r ) 组成一个几何体，该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积 为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )8
12. 设函数f (x ) ＝e x (2x －1) －ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0) 0，则a 的取值范围是( )
正视图
俯视图
A .[-
333333
，1) B . [-, ) C . [, ) D . [，1)
2e 42e 42e 2e
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
13. 若函数f (x ) ＝xln (x 为偶函数，则a ＝14. 一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .
⎧x -1≥0
y ⎪
15. 若x ，y 满足约束条件⎨x -y ≤0，则的最大值为 .
x ⎪x +y -4≤0
⎩
16. 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 . 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
S n 为数列{a n }的前n 项和. 已知a n >0，(Ⅰ) 求{a n }的通项公式： (Ⅱ) 设
，求数列}的前n 项和
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18如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC
F
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值
A
C B
19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元) 对年销售量y (单位：t ) 和年利润z (单位：千元) 的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值
.
年销售量
年宣传费(千元)
1
表中w 1 ， ，w ＝
8
∑w 1
x +1
1
(Ⅰ) 根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ) 根据(Ⅰ) 的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(Ⅲ) 以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x . 根据(Ⅱ) 的结果回答下列问题：
（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u 1 v 1) ，(u 2 v 2) „„.. (u n v n ) ，其回归线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
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β=
∑(u -u )(v -v )
i
i
i =1
n
∑(u -u )
i
i =1
n
, α=v -βu
2
20.(本小题满分12分)
x 2
在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，
4
(Ⅰ) 当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.
21.(本小题满分12分)
1
已知函数f (x ) ＝x 3+ax +, g (x ) =-ln x
4(Ⅰ) 当a 为何值时，x 轴为曲线y =f (x ) 的切线；
(Ⅱ) 用min {m , n } 表示m ，n 中的最小值，设函数h (x ) =min {f (x ), g (x ) 零点的个数
讨论h (x ) }(x >0) ，
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请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E
（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II ） 若OA ，求∠ACB 的大小.
(23)(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中. 直线C 1:x ＝－2，圆C 2：(x －1) 2＋(y －2) 2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ） 求C 1，C 2的极坐标方程； （II ） 若直线C 3的极坐标方程为θ=
面积
(24)(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
已知函数
＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.
π
4
(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C MN 的
2
(Ⅰ) 当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(Ⅱ) 若f (x ) 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围
a 2n +2a n =4S n +3
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2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案
A 卷选择题答案 一、 选择题
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题
325
（13）1 （14） (x ±) 2+y 2= （16）
24 （15）3
二、 解答题 （17）解：
22
（I ）由a n +2a n =4S n +3，可知a n +1+2a n +1=4S n +1+3.
2222可得a n +1-a n +2(a n +1-a ) =4a n +1 即2(a n +1+a n ) =a n +1-a n =(a n +1+a )(a n +1-a )
由于a n >0可得a n +1-a n =2. 又a 12+2a 1=4a 1+3，解得a 1=-1(舍去) ，a 1=3 所以{a n }是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n =2n +1. （II ）由a n =2n +1
b n =
11111
==(-). a n a +1(2n +1)(2n +3) 22n +12n +3
设数列{b n }的前n 项和为T n ，则
T n =b 1+b 2+=
+b n
+(
11⎤) -
() ⎥2n +12n +3⎦
1⎡1111
(-) +(-) +⎢2⎣3557n =. 3(2n +3)
（18）解：（I ）连结BD ，设
BD AC=G，连结EG ，FG ，EF.
在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，
可得
由
BE⊥平面ABCD, AB=BC可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以
EG=EG ⊥AC. 在Rt ∆EBG 中， 可得在Rt ∆FDG 中，可得
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在直角梯形BDFE 中，由BD=2，
DF=
， 2
可得
又AC
从而EG 2+FG 2=EF 2, 所以EG ⊥FG FG =G , 可得EG ⊥平面AFC . 因为EG ⊂平面AEC
所以平面AEC ⊥平面
AFC
（III ） 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，
GB 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I
）可得A (0，E (10F (-1，0C (0所以
2AE =CF =
(-AE ⋅CF 故cos AE , CF =
=- 23AE ⋅CF
. 所以直线AE 与直线CF
（19）解：（I ）由散点图可以判断，y =c +
y 关于年宣传费x 的回归方程类型。 „„2分 （II ）令w y 关于w 的线性回归方程。由于
ˆ= d
∑(w -)(y -)
i
i
i =1
n
∑(w -)
i
i =1
n
=
2
108.8
=68 1.6
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ˆ=563-68⨯6.8=100.6。 ˆ=-c
ˆ=100. +所以y 关于w 的线性回归方程为y 66w 8，因此y 关于x 的回归方程
为
ˆ=100. +y 6 „„6分 （III ）（i ）由（II ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值
ˆ=100.6+=576.6 y
ˆ=576.6⨯0.2-49=66.32。 „„9分 年利润z 的预报值z
（ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值
ˆ=0.2(100.6+-x =-x +20.12 z
13.6
ˆ取得最大值 =6.8，即x=46.24时，z
2
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 „„12分
所以当=
（20）解：（I ）有题设可得M a ), N (-a ), 或M （）.
x x 2
又y '=，故y =在x =24
C
在点a ) 出的切线方程为y -a =x -
-y -a =0
x 2
y =在x =--y +a =0.
4
股所求切线方程为-y -a =0+y +a =0 （III ） 存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b) 为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM ，PN 的斜率分别为k 1, k 2
y =kx +a 代入C 的方程得x 2-4kx -4a =0. 故x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4a .
从而kx +a 代入C 的方程得x 2-4kx -4a =0. 故x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4a .
从而k 1+k 2=
y 1-b y 2-b
+x 1x 2
2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2) x 1x 2当b=-a时，有
=
k (a +b )
a
k 1+k 2=0, 则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补，故∠OPM =∠OPN ，所以点P(0,-a)符合题意
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（21）解：（I ）设曲线y=f(x)与x 轴相切于点
(x 0,0) 则f (x 0) =0, f (x 0) =0即
1⎧3⎫x +ax +=0⎪⎪00
4⎨⎬
⎪3x 2+a =0⎪⎩0⎭
13
解得x 0, a =-
24
3
因此，当a =-时，x 轴为曲线y =f (x ) 的切线
4
（II ）当
x ∈(1, +∞) 时，g (x ) =-1nx
55
当x =1时，若a ≥-则f (1)=a +≥0, h (1)=min {f (1),g (1)}=g (1)=0, 故x =
44
5
是h (x ) 的零点；若a
4
当x ∈(0时，, 1) x =g -n (x ) 所以只需考虑>10. (x)在（0,1）的零点个数f
（i ）若a ≤-3或a ≥0, 则f '（x ）=3x2+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调
15
f (0)=, f (1)a +, 所以当a ≤-3时，f (x)在（0,1）有一个零点；当a ≥0时f (x)在（1,0）没有零点
44
(ii ) 若-3
当x =f (x ) 取得最小值，最小值为f =
3
①若f >0. 即-
43
②若f 即a =-则f (x ) 在(0,1)有唯一零点
4
3153
③若f 4444
5
时，f (x ) 在（0,1）有两个零点；当-3
4
综上，当
3535
a >-或a
444453
当-
44
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（22）解：
（I ）链接AE ，由已知得，AE ⊥BC AC ⊥AB
在Rt ∆AEC 中，由已知得，DE=DC故∠DEC =∠DCE
链接OE ，则∠OBE=∠OEB 又∠ACB+∠ABC=90°所以∠DEC+∠OEB=90°
故∠OED =90o ，DE 是O 得切线
（II ）设CE=1，AE=X
，由已知得AB =
BE 由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以x 2=x 4+x 2-12=0
可得x =∠ACB =
60o
（23）解：（I ）因为x =ρcos θ，y =ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2，C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0。 „„5分 （II ）将θ=π
4代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0，
得ρ2-+4=0，
解得ρ1=
，
ρ2=
ρ1-ρ2=
MN =
由于C 2的半径为1，所以∆C 2MN 的面积为
（24）解： （I ）当a =1时，f (x )>1化为x +-2x -1-1>0，
当x ≤-1时，不等式化为x -4>0，无解；
2
当x ≥1时，不等式化为-x +2>0，解得1≤x 0，解得
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⎧2⎫ 所以f (x )>1的解集为⎨x
⎧x -1-2a , x
⎪-x +1+2a , x >a , ⎩
⎛2a -1⎫ 所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,0⎪，3⎝⎭
B (2a +1,0)，C (a , a +1)，∆ABC 的面积为
由题设得22(a +1)。 322(a +1)>6，故a >2。 3
所以a 的取值范围为(2, +∞) „„10分
B 卷选择题
一、 选择题
（1）D （2）A （3）C （4）A (5) D (6) B
(7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A