第二章、函数
第一节、函数
一、函数
1、函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一
确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A 。其中，x
A }
2y 。
3（2）开偶次方根的被开方数要不小于零；
（3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； （4）函数x 中x 不为零。 例3、求下列函数的定义域 （1）f (x ) =
3-2x
； （2）f (x ) =；
3+2x
（3）f (x ) =(x -4) ； （4
）f (x ) =
例4、求下列函数值域
20
1 x +2
（1）f (x ) =2x +1, x ∈{1, 2,3, 4} （2）f (x ) =x -2x -1, x ∈[0,3]
2
（3）
f (x ) =
1
2x -1, x ∈(-1, +∞)
（4）f (x ) =, x ∈[1, +∞) x
x +1
4
例5A. f (x ) C. f (x ) 5满足满足满足﹚或﹙a,b ]； , ﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a 6A 中的任意一
A 到集合B 的一个映射．其中x 叫做原象，y 叫做象。
注：映射可以是多对一，不可以一对多。即A 中元素不可剩余，B 中元素可以剩余。特别的，集合B 中的任意元素在集合A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。
7、映射个数的确定：若集合A 有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有n m 个。
例6、已知集合A ={1, 2, 3},B ={a , b }。问： (1)Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：A →B 有多少个？ (2)Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：B →A 有多少个？
8、映射与函数的关系：函数是特殊的映射。 9、复合函数：
二、函数的表示方法
1、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系； 2
3例7 （ （ （
1D
D 上是增函数. 区间x 2，当x 1
在这个区间上是减函数. 区间称为x ) 的单调减区间。
2、图像特点：
增函数：自左向右图象是上升的 减函数：自左向右图象是下降的
3、函数单调性的判定方法
（1）定义法：任取x 1, x 2∈D ，且x 1
在D 上单调递增，若∆y ＜0，f (x )在D 上单调递减；
（2）图像法：根据图像直观地判断函数的单调性；
（3）直接法：根据一些特殊函数的性质，直接得出函数的单调性，如一次函数中的k ＞0, 直
接得出函数为增函数；
（4
性；④若f (x ) 具有相同
性。
例8（1）y
例9
例10
+3 4、复合函数单调性判断：同增异减
(x +2) 2-4
例11、判断函数y =2在（-2，+∞）上的单调性
x +4x +4
数学备课组 必修Ⅰ第二章：函数
五、函数的奇偶性
1、奇函数、偶函数的定义：一般地，对于函数f (x ) 的定义域D 内的任意一个x ，都有-x ∈D ，
且f (-x ) =-f (x ) ，那么f (x ) 就叫做奇函数, f (-x ) =f (x ) ，那么f (x ) 就叫做偶函数。 例12、判断奇偶性
（1）f (x ) =x +1 （2）f (x ) =x +x （3
）f (x ) =
2
3
（4）f (x ) =x +1
⎧x 2+2, x >0⎪
例13、判断函数f (x ) =⎨0, x =0的奇偶性
⎪-x 2-2, x
2、图像特征：（1y
（2）奇函数y =f (x ) ，若f =0。
3、函数奇偶性的判定：
（1f (-x ) 与f (x ) 的关系；
若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x ) +f (x ) =0，则f (x ) 是奇函数, x ) x f (-x ) -f (x ) =0，则f (x ) 是偶函数。
（2
y 轴对称，则函数为偶函数。
（3）根据性质：奇函数+奇函数=奇函数； 偶函数+偶函数=偶函数；
奇函数⨯奇函数=偶函数； 偶函数⨯偶函数=偶函数； 奇函数⨯偶函数=奇函数
（4）函数的分拆：任何一个函数f (x ) 都可以拆分成一个奇函数和一个偶函数的和，即
f (x ) =F (x ) +G (x ，其中) F (x ) =
f (x ) +f (-x ) f (x ) -f (-x )
（偶函数），G (x ) =（奇函数）。
22
4、复合函数y =f [g (x ) ]的奇偶性
若函数f (x ), g (x ), f [g (x ) ]的定义域都是关于原点对称的, 那么由u =g (x ), y =f (u ) 的奇偶性得到y =f [g (x ) ]的奇偶性的规律是:
5例14、函数f (x )
6例15、f (x ) >0成立的x
例16) 成立，求
m
第二节、一次函数和二次函数
一、一次函数的性质与图像
1、一次函数的概念：函数y =kx +b (k ≠0) 叫做一次函数，定义域和值域都为R ，它的图像是直
线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距。
2、一次函数的性质与图像：
例3、直线y =kx +b 过点(
22, ) 和(0, 2) ，求直线y =kx +b 与坐标轴围成三角形的面积。 22
二、二次函数的性质与图像
1、二次函数的概念：形如y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的函数叫做二次函数．其定义域是R 。 2、二次函数的解析式：
一般式：f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ；
顶点式：f (x ) =a (x -h ) +k (a ≠0) ，(h , k ) 是二次函数的顶点坐标；
两根式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ，x 1, x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标。
2
2
3
例4、设abc ＞0，二次函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是（ ）
数学备课组 必修Ⅰ第二章：函数
4、与二次函数有关的不等式恒成立问题：
⎧⎪a >0
（1）ax ＋bx ＋c >0恒成立的充要条件是⎨；
⎪Δ
2
⎧a
（2）ax ＋bx ＋c
⎩2
例5、设f (x ) =x -2ax +2，当x ∈[-1, +∞f a
2
例6(5, -2) 和(3, 4) ，求这个函数的解析式。
例7、已知二次函数y =f (x ) 的图像过A (0, 5), B (5, 0) 两点，它的对称轴为直线x =2，求这个二次函数的解析式。
数学备课组 必修Ⅰ第二章：函数
第三节、函数与方程
一、函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y =f (x )(x ∈D ) ，把使f (x ) =0成立的实数x 叫做函数
y =f (x )(x ∈D ) 的零点。即函数f (x ) 的图像与x 轴交点的横坐标叫这个函数的零点。
例1、下列函数中没有零点的是（ ） A.
2f (a ) f ((a , b ) ，使得f (x 0)=例2A. a
（2
4x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
（３）△＜０，方程ax +bx +c =0无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
2二、二分法
1、二分法的定义：每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，按需要留下其中一个小区间
的方法叫做二分法。
注：二分法只能判断变号零点，不能判断不变号零点。
例3、函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
数学备课组 必修Ⅰ第二章：函数
2、给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：
（1）精确区间[a , b ]⊆D ，使f (a ) f (b )
（2）取区间[a , b ]的中点x 0=1(a +b ) , 计算f (x 0), f (a ), f (b ) ， 2
①如果f (x 0) =0, 则x 0就是f (x ) 的零点, 计算终止，
······
（3
例4、设
计算得
f (1)
11
第二章、函数
第一节、函数
一、函数
1、函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一
确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A 。其中，x
A }
2y 。
3（2）开偶次方根的被开方数要不小于零；
（3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； （4）函数x 中x 不为零。 例3、求下列函数的定义域 （1）f (x ) =
3-2x
； （2）f (x ) =；
3+2x
（3）f (x ) =(x -4) ； （4
）f (x ) =
例4、求下列函数值域
20
1 x +2
（1）f (x ) =2x +1, x ∈{1, 2,3, 4} （2）f (x ) =x -2x -1, x ∈[0,3]
2
（3）
f (x ) =
1
2x -1, x ∈(-1, +∞)
（4）f (x ) =, x ∈[1, +∞) x
x +1
4
例5A. f (x ) C. f (x ) 5满足满足满足﹚或﹙a,b ]； , ﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a 6A 中的任意一
A 到集合B 的一个映射．其中x 叫做原象，y 叫做象。
注：映射可以是多对一，不可以一对多。即A 中元素不可剩余，B 中元素可以剩余。特别的，集合B 中的任意元素在集合A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。
7、映射个数的确定：若集合A 有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有n m 个。
例6、已知集合A ={1, 2, 3},B ={a , b }。问： (1)Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：A →B 有多少个？ (2)Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：B →A 有多少个？
8、映射与函数的关系：函数是特殊的映射。 9、复合函数：
二、函数的表示方法
1、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系； 2
3例7 （ （ （
1D
D 上是增函数. 区间x 2，当x 1
在这个区间上是减函数. 区间称为x ) 的单调减区间。
2、图像特点：
增函数：自左向右图象是上升的 减函数：自左向右图象是下降的
3、函数单调性的判定方法
（1）定义法：任取x 1, x 2∈D ，且x 1
在D 上单调递增，若∆y ＜0，f (x )在D 上单调递减；
（2）图像法：根据图像直观地判断函数的单调性；
（3）直接法：根据一些特殊函数的性质，直接得出函数的单调性，如一次函数中的k ＞0, 直
接得出函数为增函数；
（4
性；④若f (x ) 具有相同
性。
例8（1）y
例9
例10
+3 4、复合函数单调性判断：同增异减
(x +2) 2-4
例11、判断函数y =2在（-2，+∞）上的单调性
x +4x +4
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五、函数的奇偶性
1、奇函数、偶函数的定义：一般地，对于函数f (x ) 的定义域D 内的任意一个x ，都有-x ∈D ，
且f (-x ) =-f (x ) ，那么f (x ) 就叫做奇函数, f (-x ) =f (x ) ，那么f (x ) 就叫做偶函数。 例12、判断奇偶性
（1）f (x ) =x +1 （2）f (x ) =x +x （3
）f (x ) =
2
3
（4）f (x ) =x +1
⎧x 2+2, x >0⎪
例13、判断函数f (x ) =⎨0, x =0的奇偶性
⎪-x 2-2, x
2、图像特征：（1y
（2）奇函数y =f (x ) ，若f =0。
3、函数奇偶性的判定：
（1f (-x ) 与f (x ) 的关系；
若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x ) +f (x ) =0，则f (x ) 是奇函数, x ) x f (-x ) -f (x ) =0，则f (x ) 是偶函数。
（2
y 轴对称，则函数为偶函数。
（3）根据性质：奇函数+奇函数=奇函数； 偶函数+偶函数=偶函数；
奇函数⨯奇函数=偶函数； 偶函数⨯偶函数=偶函数； 奇函数⨯偶函数=奇函数
（4）函数的分拆：任何一个函数f (x ) 都可以拆分成一个奇函数和一个偶函数的和，即
f (x ) =F (x ) +G (x ，其中) F (x ) =
f (x ) +f (-x ) f (x ) -f (-x )
（偶函数），G (x ) =（奇函数）。
22
4、复合函数y =f [g (x ) ]的奇偶性
若函数f (x ), g (x ), f [g (x ) ]的定义域都是关于原点对称的, 那么由u =g (x ), y =f (u ) 的奇偶性得到y =f [g (x ) ]的奇偶性的规律是:
5例14、函数f (x )
6例15、f (x ) >0成立的x
例16) 成立，求
m
第二节、一次函数和二次函数
一、一次函数的性质与图像
1、一次函数的概念：函数y =kx +b (k ≠0) 叫做一次函数，定义域和值域都为R ，它的图像是直
线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距。
2、一次函数的性质与图像：
例3、直线y =kx +b 过点(
22, ) 和(0, 2) ，求直线y =kx +b 与坐标轴围成三角形的面积。 22
二、二次函数的性质与图像
1、二次函数的概念：形如y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的函数叫做二次函数．其定义域是R 。 2、二次函数的解析式：
一般式：f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ；
顶点式：f (x ) =a (x -h ) +k (a ≠0) ，(h , k ) 是二次函数的顶点坐标；
两根式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ，x 1, x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标。
2
2
3
例4、设abc ＞0，二次函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是（ ）
数学备课组 必修Ⅰ第二章：函数
4、与二次函数有关的不等式恒成立问题：
⎧⎪a >0
（1）ax ＋bx ＋c >0恒成立的充要条件是⎨；
⎪Δ
2
⎧a
（2）ax ＋bx ＋c
⎩2
例5、设f (x ) =x -2ax +2，当x ∈[-1, +∞f a
2
例6(5, -2) 和(3, 4) ，求这个函数的解析式。
例7、已知二次函数y =f (x ) 的图像过A (0, 5), B (5, 0) 两点，它的对称轴为直线x =2，求这个二次函数的解析式。
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第三节、函数与方程
一、函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y =f (x )(x ∈D ) ，把使f (x ) =0成立的实数x 叫做函数
y =f (x )(x ∈D ) 的零点。即函数f (x ) 的图像与x 轴交点的横坐标叫这个函数的零点。
例1、下列函数中没有零点的是（ ） A.
2f (a ) f ((a , b ) ，使得f (x 0)=例2A. a
（2
4x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
（３）△＜０，方程ax +bx +c =0无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
2二、二分法
1、二分法的定义：每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，按需要留下其中一个小区间
的方法叫做二分法。
注：二分法只能判断变号零点，不能判断不变号零点。
例3、函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
数学备课组 必修Ⅰ第二章：函数
2、给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：
（1）精确区间[a , b ]⊆D ，使f (a ) f (b )
（2）取区间[a , b ]的中点x 0=1(a +b ) , 计算f (x 0), f (a ), f (b ) ， 2
①如果f (x 0) =0, 则x 0就是f (x ) 的零点, 计算终止，
······
（3
例4、设
计算得
f (1)
11