抛物线与相似三角形
例1、如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-4，0），B （1，0），C （-2，6）
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE=CE；
（3）设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ，试问：以A 、B 、F 为顶点的三角形与
△ABC
相似吗？
例2、如图①，已知抛物线y =ax +bx （a≠0）经过A （3，0）、B （4，4）两点
（1）求抛物线解析式；
（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；
（3）如图②，若异于点A 的点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标 2
4、如图，已知抛物线经过点A （2，
0），
B （3，3）及原点O ，顶点为C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；
（3）P 是抛物线上第二象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P 使得以点P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，直线y=x+3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．
（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；
（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．
6、如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D （-1，4），与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；
（3）若点E 在抛物线上，EF ⊥x 轴于点F ，以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似，试求出所有满足条件的点E 的坐标．
抛物线与相似三角形
例1、如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-4，0），B （1，0），C （-2，6）
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE=CE；
（3）设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ，试问：以A 、B 、F 为顶点的三角形与
△ABC
相似吗？
例2、如图①，已知抛物线y =ax +bx （a≠0）经过A （3，0）、B （4，4）两点
（1）求抛物线解析式；
（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；
（3）如图②，若异于点A 的点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标 2
4、如图，已知抛物线经过点A （2，
0），
B （3，3）及原点O ，顶点为C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；
（3）P 是抛物线上第二象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P 使得以点P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，直线y=x+3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．
（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；
（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．
6、如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D （-1，4），与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形；
（3）若点E 在抛物线上，EF ⊥x 轴于点F ，以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似，试求出所有满足条件的点E 的坐标．