整数解
一、内容提要
1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.
求整数解常用的性质、法则：
①. 数的运. 算性质：
整数＋整数＝整数， 整数－整数＝整数，
整数×整数＝整数， 整数的自然数次幂＝整数,
整数÷（这个整数的约数）＝整数.
②. 整系数的方程 ax 2+bx+c=0(a≠0) 只有当b 2－4ac 是完全平方数时，才有整数根. 有时用韦达定理x 1+x2与x 1x 1 都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.
③. 运用二元一次方程求整数解（见第10讲）.
④. 用列举法.
3. 判定方程或不等式没有整数解，常用反证法. 即设有整数解之后，把整数按某一模m 分类，逐一推出矛盾.
二、例题
例1. 求下列方程的正整数解：
① xy+x+y=5； ② x 2+y2＝1991.
解：①先写成关于x 的方程，
（y+1）x=5－y. 2.
x=5-y -y -1+66==-1+. y +1y +1y +1
当y+1取6的约数±1, ±2, ±3, ±6时，x 的值是整数.
∵－1＋6＞0， 且x>0, y>0, y +1
∴ 1
∴原方程有正整数解⎨
①⎧x =2⎧x =1； 或⎨. y =1y =2⎩⎩又解：把左边写成积的形式：
x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6.
∵6＝1×6＝2×3， 而正整数y+1>1, x+1>1.
∴⎨⎧x +1=3⎧x +1=2 或⎨
⎩y +1=2⎩y +1=3
⎧x =1⎧x =2解得 ⎨；或⎨. y =2y =1⎩⎩
②要等式成立，x, y必须是一奇一偶，设x=2a, y=2b－1 (a,b都是正整数).
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整数解
一、内容提要
1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.
求整数解常用的性质、法则：
①. 数的运. 算性质：
整数＋整数＝整数， 整数－整数＝整数，
整数×整数＝整数， 整数的自然数次幂＝整数,
整数÷（这个整数的约数）＝整数.
②. 整系数的方程 ax 2+bx+c=0(a≠0) 只有当b 2－4ac 是完全平方数时，才有整数根. 有时用韦达定理x 1+x2与x 1x 1 都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.
③. 运用二元一次方程求整数解（见第10讲）.
④. 用列举法.
3. 判定方程或不等式没有整数解，常用反证法. 即设有整数解之后，把整数按某一模m 分类，逐一推出矛盾.
二、例题
例1. 求下列方程的正整数解：
① xy+x+y=5； ② x 2+y2＝1991.
解：①先写成关于x 的方程，
（y+1）x=5－y. 2.
x=5-y -y -1+66==-1+. y +1y +1y +1
当y+1取6的约数±1, ±2, ±3, ±6时，x 的值是整数.
∵－1＋6＞0， 且x>0, y>0, y +1
∴ 1
∴原方程有正整数解⎨
①⎧x =2⎧x =1； 或⎨. y =1y =2⎩⎩又解：把左边写成积的形式：
x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6.
∵6＝1×6＝2×3， 而正整数y+1>1, x+1>1.
∴⎨⎧x +1=3⎧x +1=2 或⎨
⎩y +1=2⎩y +1=3
⎧x =1⎧x =2解得 ⎨；或⎨. y =2y =1⎩⎩
②要等式成立，x, y必须是一奇一偶，设x=2a, y=2b－1 (a,b都是正整数).
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