乐山名师·优品堂 致力打造乐山教育培训第一品牌
2016年中考数学代数特殊公式
与几何辅助线大全
一、公式及其变式
1、( x +a )(x +b ) =x 2+(a +b ) x +ab
(a +b ) 2+(a -b ) 2
2、a +b =(a +b ) -2ab =(a -b ) +2ab =
2
2
2
2
2
( a +b ) 2+( a -b ) 2( a +b ) 2-(a 2+b 2) ( a -b ) 2-(a 2+b 2) ab ===-
422
3、和的立方公式：(a +b )=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3
3
差的立方公式：(a -b )=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3
3
4、立方和公式：a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2) 变式：a 3+b 3=(a +b ) (a +b ) 2-3ab 53-2+b 2) 变式：a -b =(a -b ) (a -b ) +3ab 注意区别：(a +b +c )=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac
23
3
[]
[
2
]
(a +b )+(b +c ) 2+(a +c ) 2=2a 2+2b 2+2c 2+2ab +2bc +2ac
2
★6、a +b +c -3abc =(a +b +c )(a +b +c -ab -bc -ac )
333222
(a -b ) 2+(b -c ) 2+(a -c ) 2
=(a +b +c ) ⋅
2
二、数学计算中的常用结论
1、1+2+3+⋅⋅⋅+n =
n (n +1)
2
2、2+4+6+⋅⋅⋅+2n =n (n +1) 3、1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n -1) =n 4、1+2+3+4+⋅⋅⋅+n =
2
2
2
2
2
2
n (n +1)(2n +1)
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n 2(n +1) 2
5、1+2+3+4+⋅⋅⋅+n =(1+2+3+⋅⋅⋅+n ) =
4
3
3
3
3
3
2
6、1⨯2+2⨯3+3⨯4+4⨯5+⋅⋅⋅+n (n +1) =
n (n +1)(n +2)
3
7、
k 11
=-
n (n +k ) n n +k a +b 11
=- ab a b
8、
三、常见几何基本图形及结论：
1、∠
ADC =∠A +∠B +∠C
,
∠
3、BD , CD 分别平分，则∠BDC =90
︒-
1∠A 2
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4、BD , CD 分别平分∠ABC , ∠ACE ，则∠BDC =
1
∠A 2
注：2、3、4为内心和旁心的性质之一
5、BE , CE 分别平分∠ABD 和∠ACD ，则∠E =
1
(∠A +∠D ) 2
6、在Rt ∆ABC 中，AB =AC , D 为斜边BC 的中点，∠EDF =90︒ 则：①BE =AF , AE =CF ②DE =DF ③S 四边形
AEDF =
1
S ∆ABC 2
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7、正方形ABCD 中，∠EAF =45︒，则BE +
DF =EF
8、在Rt ∆ABC 中，AB =AC , ∠BAC =90︒, ∠DAE =45︒. 则BD +
CE =DE
2
2
2
9、在Rt ∆ABC 中，∠A =90︒，D 为斜边BC 的中点，且∠EDF =90︒， 则BE +
CF =EF
2
2
2
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2222
10、四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，则AB +CD =AD +BC
2
2
2
2
2
（特别地，当四边形ABCD 为圆内接四边形时有AB +CD =AD +BC =4R ）
11、矩形ABCD 及任意一点P ，都有PA +
PC =PB +PD
2
2
2
2
12、∆ABC 中，∠B =2∠C , AD 平分∠BAC ，则AB +BD =AC （截长、补短）
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13、∆ABC 中，∠B =2∠C , AD ⊥BC ，则：AB +
BD =CD
14、∆DAB , ∆EAC 都是等腰直角三角形，①MN ⊥BC ，则M 为DE 的中点. ②M 为DE 的中点，则MN ⊥
BC .
15、∆ABC , ∆CDE 为正三角形，则①AD =BE ；②CM 平分∠
BMD
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16、正∆ABC 中，PC =3, PA =4, PB =5，则∠APC
=150︒.
17、Rt ∆ABC 中，∠BAC =90︒, AB =AC ，若PC , PA , PB 分别为1,2,3，则∠APC
=135︒
18、射影定理：①AD =BD ⋅CD ，②AB =BD ⋅BC ，③AC =CD ⋅BC 等积原理：AB ⋅
AC =BC ⋅AD
2
2
2
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19、三角形角平分线定理：AD 平分∠BAC ，则有
BD AB
=
. CD AC
20、CD ⊥AB , BE ⊥AC ，则∆ADE ∽∆
ACB
21、∆ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是AD 上的动点，DP 的中垂线交BC 延长线于点G ，直线GP 交AB , AC 于E , F ，则：∆AEF ∽∆
ACB .
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22、等腰直角三角形中的一种几何构造方式 在Rt ∆ABC 中，AB =AC , CE ⊥BE 构造：连AE ，过A 作AE 的垂线交BE 于F
四、直线及坐标系知识补充
1、两点间的距离公式：A
(x 1, y 1), B (x 2, y 2)
2、中点公式及推论：
A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 线段AB 中点C (x 0, y 0)，则x 0=
推论1：x 2=2x 0-x 1
x 1+x 2y +y 2
, y 0=1 22
y 2=2y 0-y 1
推论2：平行四边形顶点坐标计算:A =B +D -C ,
D =A +C -B
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3、y =kx +b （斜截式方程） ①k 的几何意义：k =
b a
②斜率公式：A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，则k AB =③直线的点斜式方程
经过P 0(x 0, y 0) 且斜率为k 的直线的方程为：y -y 0=k (x -x 0) ④直线位置与k 的关系：
y 1-y 2
x 1-x 2
l 1:y =k 1x +b 1l 2:y =k 2x +b 2
则：
l 1//l 2⇔k 1=k 2(b 1≠b 2) l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1
(x , y )
⑥倒角公式：tan α
=
k 1-k 2
1+k 1⋅k 2
⑦弦长公式：直线y =kx +b 与曲线C 交于A , B 两点，则AB =+k ⋅x 1-x 2 （配合韦达定理使用） 2
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五、三角函数公式补充
1、sin α+cos α=122tan α=sin α cos α
2、sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β 3、cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β ★4、tan(α+β) =tan α+tan βtan α-tan β tan( α-β) =1-tan αtan β1+tan αtan β
★5、辅助角公式：a sin α+b cos β=
a 2+b 2sin(α+β)
六、余弦定理及推论：a =b +c -2bc cos A
b =a +c -2ac cos B
c +-C 22222222
b 2c 2-bc 推论：cos A =
a 2
七、三角形的面积及推论
S ∆
ABC =111ab sin C =bc sin A =ac sin B 222
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推论：BD
AB ⋅sin ∠1= CD AC ⋅sin ∠2
八、正弦定理
a b c =
= sin A sin B sin C
九、圆中的重要定理与结论
1、相交弦定理：CE ⋅
DE =AE ⋅BE
2、割线定理：PA ⋅
PB =PC ⋅PD
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3、切割线定理：PA =PB ⋅PC 2
4、弦切角定理∠
PAC =∠ABC
5、托勒密定理 AB ⋅
CD +AD ⋅BC =AC ⋅BD
6、三角形内切圆的切线长公式
b +c -a 2
a +c -b BD =BF = 2
a +b -c CD =
CE = 2AE =AF =
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推论：直角三角形内切圆的半径公式 r =
a +b -c 2
7、四点共圆的两种判定方式
①∠A =∠DCE 或∠A +∠BCD =180︒，则A , B , C , D 四点共圆
.
②∠A =∠D （注意：对的边都是BC ) ，则A , B , C , D 四点共圆
.
8、∆ABC 内接于⊙O ，I 为∆ABC 内心，则BD =
ID .
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9、O 与H 分别是∆ABC 的外心和内心，CD ⊥BC ，则OD //AH , OD =
1AH . 2
十、反比例函数的性质
1、S ∆
ACB =S 梯形ABC D =S 梯形ABC D 1122
2、AB
//C 1D 1, AB //C 2D 2(AB //C 1D 1//C 2D 2)
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3、直线y =kx +b 与双曲线y =
m 及坐标轴顺次交于A , B , C , D ，则AB =CD .
x
十一、二次函数知识补充（y =ax +bx +c ）
1、∆ABC 为直角三角形时，ac =-1，AB =
2∆. a
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2、∆ABC 为直角三角形时，∆=4(b
2-4ac =4)
3、∆ABC 为正三角形时，∆
=12.
4、当∠ACB =120︒时，∆
=4. 3
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十二、定值模型
1、AB =AC , P 是BC 上一动点，则AP +
BP ⋅PC =AB . 22
2、AB =AC , P 是BC 上一动点，则PD ⊥AB , PE ⊥AC ，则PD +
PE =CF .
、P BC ⊥
4、P 是正∆ABC 内任一点，有PD ⊥BC , PE ⊥AC , PF ⊥AB ，则PD +PE +PF =AH .
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5、如图，矩形ABCD 中P 为AD 上一动点，PE ⊥AC , PF ⊥BD ，则PE +
PF =AH
十三、三角形的两个重要最值点
1、PA +PB +PC 最小时，P 为∆ABC 的重心. （注：重心坐标是顶点坐标的平均数）
222
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2、当PA +PB +PC 最小时，P 为∆ABC 费马点的定义、位置：
①当三角形有一个内角不小于120︒时，该钝角顶点就是三角形的费马点.
②当三角形每一个内角都小于120︒时，费马点是三角形内到三边张角相等的点. （∠APB =∠BPC =∠APC =120︒）
十四、常见的最值几何模型
★1、A 为⊙O 上的动点，则PA min =PA 1, PA max =PA 2
2A , l (PA +)min ？
①(PA +PB )min
=AB
②(PA +
PB )min =A ' B
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3、A , B 在直线l 外，P 在直线l 上，求PA -PB max ？ ①PA -PB max
=AB
②PA -max =A ' B
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2016年中考数学代数特殊公式
与几何辅助线大全
一、公式及其变式
1、( x +a )(x +b ) =x 2+(a +b ) x +ab
(a +b ) 2+(a -b ) 2
2、a +b =(a +b ) -2ab =(a -b ) +2ab =
2
2
2
2
2
( a +b ) 2+( a -b ) 2( a +b ) 2-(a 2+b 2) ( a -b ) 2-(a 2+b 2) ab ===-
422
3、和的立方公式：(a +b )=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3
3
差的立方公式：(a -b )=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3
3
4、立方和公式：a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2) 变式：a 3+b 3=(a +b ) (a +b ) 2-3ab 53-2+b 2) 变式：a -b =(a -b ) (a -b ) +3ab 注意区别：(a +b +c )=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac
23
3
[]
[
2
]
(a +b )+(b +c ) 2+(a +c ) 2=2a 2+2b 2+2c 2+2ab +2bc +2ac
2
★6、a +b +c -3abc =(a +b +c )(a +b +c -ab -bc -ac )
333222
(a -b ) 2+(b -c ) 2+(a -c ) 2
=(a +b +c ) ⋅
2
二、数学计算中的常用结论
1、1+2+3+⋅⋅⋅+n =
n (n +1)
2
2、2+4+6+⋅⋅⋅+2n =n (n +1) 3、1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n -1) =n 4、1+2+3+4+⋅⋅⋅+n =
2
2
2
2
2
2
n (n +1)(2n +1)
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n 2(n +1) 2
5、1+2+3+4+⋅⋅⋅+n =(1+2+3+⋅⋅⋅+n ) =
4
3
3
3
3
3
2
6、1⨯2+2⨯3+3⨯4+4⨯5+⋅⋅⋅+n (n +1) =
n (n +1)(n +2)
3
7、
k 11
=-
n (n +k ) n n +k a +b 11
=- ab a b
8、
三、常见几何基本图形及结论：
1、∠
ADC =∠A +∠B +∠C
,
∠
3、BD , CD 分别平分，则∠BDC =90
︒-
1∠A 2
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4、BD , CD 分别平分∠ABC , ∠ACE ，则∠BDC =
1
∠A 2
注：2、3、4为内心和旁心的性质之一
5、BE , CE 分别平分∠ABD 和∠ACD ，则∠E =
1
(∠A +∠D ) 2
6、在Rt ∆ABC 中，AB =AC , D 为斜边BC 的中点，∠EDF =90︒ 则：①BE =AF , AE =CF ②DE =DF ③S 四边形
AEDF =
1
S ∆ABC 2
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7、正方形ABCD 中，∠EAF =45︒，则BE +
DF =EF
8、在Rt ∆ABC 中，AB =AC , ∠BAC =90︒, ∠DAE =45︒. 则BD +
CE =DE
2
2
2
9、在Rt ∆ABC 中，∠A =90︒，D 为斜边BC 的中点，且∠EDF =90︒， 则BE +
CF =EF
2
2
2
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2222
10、四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，则AB +CD =AD +BC
2
2
2
2
2
（特别地，当四边形ABCD 为圆内接四边形时有AB +CD =AD +BC =4R ）
11、矩形ABCD 及任意一点P ，都有PA +
PC =PB +PD
2
2
2
2
12、∆ABC 中，∠B =2∠C , AD 平分∠BAC ，则AB +BD =AC （截长、补短）
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13、∆ABC 中，∠B =2∠C , AD ⊥BC ，则：AB +
BD =CD
14、∆DAB , ∆EAC 都是等腰直角三角形，①MN ⊥BC ，则M 为DE 的中点. ②M 为DE 的中点，则MN ⊥
BC .
15、∆ABC , ∆CDE 为正三角形，则①AD =BE ；②CM 平分∠
BMD
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16、正∆ABC 中，PC =3, PA =4, PB =5，则∠APC
=150︒.
17、Rt ∆ABC 中，∠BAC =90︒, AB =AC ，若PC , PA , PB 分别为1,2,3，则∠APC
=135︒
18、射影定理：①AD =BD ⋅CD ，②AB =BD ⋅BC ，③AC =CD ⋅BC 等积原理：AB ⋅
AC =BC ⋅AD
2
2
2
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19、三角形角平分线定理：AD 平分∠BAC ，则有
BD AB
=
. CD AC
20、CD ⊥AB , BE ⊥AC ，则∆ADE ∽∆
ACB
21、∆ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是AD 上的动点，DP 的中垂线交BC 延长线于点G ，直线GP 交AB , AC 于E , F ，则：∆AEF ∽∆
ACB .
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22、等腰直角三角形中的一种几何构造方式 在Rt ∆ABC 中，AB =AC , CE ⊥BE 构造：连AE ，过A 作AE 的垂线交BE 于F
四、直线及坐标系知识补充
1、两点间的距离公式：A
(x 1, y 1), B (x 2, y 2)
2、中点公式及推论：
A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 线段AB 中点C (x 0, y 0)，则x 0=
推论1：x 2=2x 0-x 1
x 1+x 2y +y 2
, y 0=1 22
y 2=2y 0-y 1
推论2：平行四边形顶点坐标计算:A =B +D -C ,
D =A +C -B
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3、y =kx +b （斜截式方程） ①k 的几何意义：k =
b a
②斜率公式：A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，则k AB =③直线的点斜式方程
经过P 0(x 0, y 0) 且斜率为k 的直线的方程为：y -y 0=k (x -x 0) ④直线位置与k 的关系：
y 1-y 2
x 1-x 2
l 1:y =k 1x +b 1l 2:y =k 2x +b 2
则：
l 1//l 2⇔k 1=k 2(b 1≠b 2) l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1
(x , y )
⑥倒角公式：tan α
=
k 1-k 2
1+k 1⋅k 2
⑦弦长公式：直线y =kx +b 与曲线C 交于A , B 两点，则AB =+k ⋅x 1-x 2 （配合韦达定理使用） 2
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五、三角函数公式补充
1、sin α+cos α=122tan α=sin α cos α
2、sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β 3、cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β ★4、tan(α+β) =tan α+tan βtan α-tan β tan( α-β) =1-tan αtan β1+tan αtan β
★5、辅助角公式：a sin α+b cos β=
a 2+b 2sin(α+β)
六、余弦定理及推论：a =b +c -2bc cos A
b =a +c -2ac cos B
c +-C 22222222
b 2c 2-bc 推论：cos A =
a 2
七、三角形的面积及推论
S ∆
ABC =111ab sin C =bc sin A =ac sin B 222
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推论：BD
AB ⋅sin ∠1= CD AC ⋅sin ∠2
八、正弦定理
a b c =
= sin A sin B sin C
九、圆中的重要定理与结论
1、相交弦定理：CE ⋅
DE =AE ⋅BE
2、割线定理：PA ⋅
PB =PC ⋅PD
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3、切割线定理：PA =PB ⋅PC 2
4、弦切角定理∠
PAC =∠ABC
5、托勒密定理 AB ⋅
CD +AD ⋅BC =AC ⋅BD
6、三角形内切圆的切线长公式
b +c -a 2
a +c -b BD =BF = 2
a +b -c CD =
CE = 2AE =AF =
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推论：直角三角形内切圆的半径公式 r =
a +b -c 2
7、四点共圆的两种判定方式
①∠A =∠DCE 或∠A +∠BCD =180︒，则A , B , C , D 四点共圆
.
②∠A =∠D （注意：对的边都是BC ) ，则A , B , C , D 四点共圆
.
8、∆ABC 内接于⊙O ，I 为∆ABC 内心，则BD =
ID .
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9、O 与H 分别是∆ABC 的外心和内心，CD ⊥BC ，则OD //AH , OD =
1AH . 2
十、反比例函数的性质
1、S ∆
ACB =S 梯形ABC D =S 梯形ABC D 1122
2、AB
//C 1D 1, AB //C 2D 2(AB //C 1D 1//C 2D 2)
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3、直线y =kx +b 与双曲线y =
m 及坐标轴顺次交于A , B , C , D ，则AB =CD .
x
十一、二次函数知识补充（y =ax +bx +c ）
1、∆ABC 为直角三角形时，ac =-1，AB =
2∆. a
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2、∆ABC 为直角三角形时，∆=4(b
2-4ac =4)
3、∆ABC 为正三角形时，∆
=12.
4、当∠ACB =120︒时，∆
=4. 3
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十二、定值模型
1、AB =AC , P 是BC 上一动点，则AP +
BP ⋅PC =AB . 22
2、AB =AC , P 是BC 上一动点，则PD ⊥AB , PE ⊥AC ，则PD +
PE =CF .
、P BC ⊥
4、P 是正∆ABC 内任一点，有PD ⊥BC , PE ⊥AC , PF ⊥AB ，则PD +PE +PF =AH .
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5、如图，矩形ABCD 中P 为AD 上一动点，PE ⊥AC , PF ⊥BD ，则PE +
PF =AH
十三、三角形的两个重要最值点
1、PA +PB +PC 最小时，P 为∆ABC 的重心. （注：重心坐标是顶点坐标的平均数）
222
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2、当PA +PB +PC 最小时，P 为∆ABC 费马点的定义、位置：
①当三角形有一个内角不小于120︒时，该钝角顶点就是三角形的费马点.
②当三角形每一个内角都小于120︒时，费马点是三角形内到三边张角相等的点. （∠APB =∠BPC =∠APC =120︒）
十四、常见的最值几何模型
★1、A 为⊙O 上的动点，则PA min =PA 1, PA max =PA 2
2A , l (PA +)min ？
①(PA +PB )min
=AB
②(PA +
PB )min =A ' B
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3、A , B 在直线l 外，P 在直线l 上，求PA -PB max ？ ①PA -PB max
=AB
②PA -max =A ' B
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