题型1 三者容斥问题计算
【例题精讲】
甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进，甲乙共进48次，乙丙共进69次，乙进多少次？【甘肃2013行测】
A.28次 B.31次 C.30次 D.33次
【题干分析】由“甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进”知题干中涉及3个互不相交的集合---甲乙丙分别投进的次数，所以直接画图不能得到乙进多少次；并且知道三个集合之和为86.由“甲乙共进48次，乙丙共进69次”可知两个集合间的数量关系，所以可以通过集合间的数量关系计算。
【答案】B。解析：甲乙丙共投进次数：甲+乙+丙=150-64=86，甲+乙=48，乙+丙=69，故乙=（甲+乙）+（乙+丙）-（甲+乙+丙）=48+69-86=31次，选B。
【总结】三者容斥问题的计算中，如果题干给出的集合没有明显的文氏图关系，无法根据文氏图列出等量关系，而只是给出了集合间的数量关系，要根据数量关系列等式求解。
【习题精练】
1.某公司针对A、B、C三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B岗位的人数等于只能胜任C岗位人数的2倍，而只能胜任A岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（ ）
【2013上海行测A、B】
A.10人 B.11人 C.12人 D.13人
【答案】B。解析：设只胜任C岗的有x人，只胜任B岗的有2x人；能够兼职的有y人，只能胜任A岗的有y+1人。则x+2x+y+(y+1)=35，整理得3x+2y=34。只能胜任一个岗位的人中一半不能胜任A岗，即只能胜任B岗和C岗的人数之和与只能胜任A岗的人数相等，于是x+2x=y+1，把3x=y+1代入上一个方程解得y=11人。
题型2 容斥的极值问题----求公共部分的最值
【例题精讲】
1.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％，请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？（河北2011）
Ａ．40％ Ｂ．30％ Ｃ．20％ Ｄ．10％
【题干分析】由“第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％”知题干中涉及到四个集合；由问法“请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？”知所求问题是四个集合公共部分的最小值。题干总人数并未告诉可结合特值法直接利用公式求解。
【答案】C。解析：假设总人数为100，第一次有70人得到90分以上，同理，第二次是75，第三次是85，第四次是90，所以四次考试得90分以上的至少有70+75+85+90-300=20人，所占比例为20÷100=20%，答案选C。
【总结】容斥的极值问题----求公共部分的最小值的解题方法是：
(AB)minABI；(ABC)minAB2I；(ABCD)minAB3I
（其中I表示全集）。依此类推可以得到多个集合公共部分的最小值。
【习题精练】
1.某班有70%的学生喜欢打羽毛球，75%的学生喜欢打乒乓球，问喜欢打乒乓球的学生
中至少有百分之几喜欢打羽毛球？【2013浙江行测A、B】
A.30% B.45% C.60% D.70%
1.【答案】C。解析：至少有70%+75%-1=45%的人既喜欢打羽毛球又喜欢打乒乓球，所以占喜欢打乒乓球的学生的45%=60%。 75%
【例题精讲】
2.一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？【浙江2012行测】
Ａ．12人 Ｂ．14人 Ｃ．15人 Ｄ．16人
【题干分析】由“有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞”知涉及到三个集合，由问法“至多有几人会跳两种舞蹈”知为极值问题，所以题型特征为涉及到3个集合的至多型极值问题。从问题入手，应该让会跳一种舞蹈和三种舞蹈的人数尽可能小。
【答案】Ｃ。解析：由三个集合的容斥原理公式可知，为使跳两种舞蹈的人数最多，则应让只跳一种舞蹈的人数最少、会跳三种舞蹈的人数最少，可以都为0。设会跳拉丁舞和肚皮舞的人数、会跳拉丁舞和芭蕾舞的人数、会跳肚皮舞和芭蕾舞的人数分别是a、b、c，则a＋b＝12、a＋c＝8、b＋c＝10，解得a＝5、b＝7、c＝3，则至多有5＋7＋3＝15人会跳两种舞蹈。
【总结】容斥的极值问题，问法中出现了最多的字眼，要从问题入手，让其他集合尽可能小。
题型3 文氏图解决二者容斥问题
【例题精讲】
1．某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人？
Ａ．13 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．5
（河北2011）
【题干分析】由题干“其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之”出现两个集合以及两个集合的交集，可知是二者容斥问题。容斥问题用画文氏图的方法即可解得。
【答案】D。解析：根据容斥原理，具有硕士学历或高级职称的有45＋30－12=63人，则既没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员有68－63=5人。
【总结】对于题干中出现把一个总体分成两个集合，研究两个集合间关系的问题，即是我们所说的二者容斥问题，利用画文氏图的方法，把题目当中的已知条件，展现在图形当中，更直观易解。
【习题精练】
1.某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既近视又超重。该班有多少人既不近视又不超重？
A.22人 B.24人 C.26人 D.28人
（2013浙江行测A、B）
【答案】A。解析：根据题意，该班近视与超重的有20+12-4=28人，则该班既不近视又不超重的人有50-28=22人。
2.某外语班30人中，8人学习英语、12人学习日语、3人两种都学，则既不学英语又不学日语的有几人？
A.12 B.13 C.14 D.15
（2012新疆行测政法干警）
【答案】Ｂ。解析：根据容斥原理公式，可得所求为30－（8＋12－3）＝13人。
3.运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1-100，选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？（ ）
A.46 B.47 C.53 D.54
（2012-北京）
【答案】Ｃ。解析：参加开幕式（3的倍数）有[100÷3]=33人，参加闭幕式（5的倍数）有[100÷5]=20人，既参加开幕式又参加闭幕式（既是3的倍数又是5的倍数）有
[100÷3÷5]=6人，由容斥原理知，至少参加一项的有33＋20－6＝47人，则既不参加开幕式又不参加闭幕式的有100－47＝53人。
4. 某班有50位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15人，数学不及格的有19人，英文和数学都及格的有21人。那么英文和数学都不及格的有 人。
A. 4 B. 5 C. 13 D. 17
（2012上海行测A）
【答案】B。解析：英文不及格的有15人，则英文及格的有50-15=35人，数学不及格的有19人，则数学及格的有50-19=31人。又英文和数学都及格的有21人，根据容斥原理公式，可得所求为50-（35+31-21）=5。
5.有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的有多少人？
Ａ.50 Ｂ.51 Ｃ.52 Ｄ.53
（2013天津行测）
【答案】Ｃ。解析：由题意知，数学考试不及格的有70－56＝14人，语文考试不及格的有70－62＝8人，故至少有一门不及格的人数为14＋8－4＝18人，两门都及格的人数为70－18＝52人。
【例题精讲】
2.一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。只去了A的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（ ）。 （2013-北京） A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5
6
【题干分析】由题干“游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个”，把游客分成去A景点、B景点两个集合，可判断为二者容斥问题。“只去了A的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍”，没有直接给出两个集合的数量，而是给
出集合的倍数关系，结合文氏图解出两集合的数量关系即可解得。
【答案】B。解析：这批游客可分为3种人：一是只去了A，二是只去了B，三是既去了A又去了B。没去A的游客就是只去了B的游客，所有游客就是只去了A的游客和没去A的游客，再加上两个景点都去了的游客。故所求比重为3÷（3+1）=3。 4
【总结】对于二者容斥问题中没有直接给出集合的具体数值，利用已知集合间的数量关系，再结合文氏图，即可表示出集合每部分的数量，解得所求。
【习题精练】
1.工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2∶1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：
A.20% B.30% C.40% D.50%
（2014国考行测）
【答案】D。解析：设工厂职工人数为单位1，则报名参加周末公益活动的人数为80%×1=0.8，未报名参加人数为1-0.8=0.2。设周六报名参加人数为x，则周日报名参加人数为2x，且两天都报名参加人数为2x×50%=x，那么有x+2x-x=0.8，解得x=0.4，所求为0.2÷0.4=50%，应选择D。
2.社区活动中心有40名会员，全部由老人和儿童组成。第一次社区活动组织全体老年会员参加，第二次活动组织全体女性成员参加。结果共有12人两次活动全部参加，6人两次活动全未参加。已知老人与儿童的男女比例相同，且老人数量多于儿童。问社区活动中心的会员内，老人、儿童各多少名？
Ａ.30名／10名 Ｂ.18名／22名
Ｃ.28名／12名 Ｄ.25名／15名
（2012安徽行测）
【答案】Ａ。解析：依题意可知，两次全部参加的为老年女性，共12人，两次都没有参加的是儿童男性，共6人。可设老年男性为ｘ，儿童女性人数为ｙ。由40名会员可知，12＋ｘ＋6＋ｙ＝40，由老人与儿童的男女比例相同可知，x6解得ｘ＝18（ｘ＝4舍去，，12y
因为老人数量多于儿童），ｙ＝4。所以老人有12＋18＝30人，儿童有6＋4＝10人。
题型1 三者容斥问题计算
【例题精讲】
甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进，甲乙共进48次，乙丙共进69次，乙进多少次？【甘肃2013行测】
A.28次 B.31次 C.30次 D.33次
【题干分析】由“甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进”知题干中涉及3个互不相交的集合---甲乙丙分别投进的次数，所以直接画图不能得到乙进多少次；并且知道三个集合之和为86.由“甲乙共进48次，乙丙共进69次”可知两个集合间的数量关系，所以可以通过集合间的数量关系计算。
【答案】B。解析：甲乙丙共投进次数：甲+乙+丙=150-64=86，甲+乙=48，乙+丙=69，故乙=（甲+乙）+（乙+丙）-（甲+乙+丙）=48+69-86=31次，选B。
【总结】三者容斥问题的计算中，如果题干给出的集合没有明显的文氏图关系，无法根据文氏图列出等量关系，而只是给出了集合间的数量关系，要根据数量关系列等式求解。
【习题精练】
1.某公司针对A、B、C三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B岗位的人数等于只能胜任C岗位人数的2倍，而只能胜任A岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（ ）
【2013上海行测A、B】
A.10人 B.11人 C.12人 D.13人
【答案】B。解析：设只胜任C岗的有x人，只胜任B岗的有2x人；能够兼职的有y人，只能胜任A岗的有y+1人。则x+2x+y+(y+1)=35，整理得3x+2y=34。只能胜任一个岗位的人中一半不能胜任A岗，即只能胜任B岗和C岗的人数之和与只能胜任A岗的人数相等，于是x+2x=y+1，把3x=y+1代入上一个方程解得y=11人。
题型2 容斥的极值问题----求公共部分的最值
【例题精讲】
1.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％，请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？（河北2011）
Ａ．40％ Ｂ．30％ Ｃ．20％ Ｄ．10％
【题干分析】由“第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％”知题干中涉及到四个集合；由问法“请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？”知所求问题是四个集合公共部分的最小值。题干总人数并未告诉可结合特值法直接利用公式求解。
【答案】C。解析：假设总人数为100，第一次有70人得到90分以上，同理，第二次是75，第三次是85，第四次是90，所以四次考试得90分以上的至少有70+75+85+90-300=20人，所占比例为20÷100=20%，答案选C。
【总结】容斥的极值问题----求公共部分的最小值的解题方法是：
(AB)minABI；(ABC)minAB2I；(ABCD)minAB3I
（其中I表示全集）。依此类推可以得到多个集合公共部分的最小值。
【习题精练】
1.某班有70%的学生喜欢打羽毛球，75%的学生喜欢打乒乓球，问喜欢打乒乓球的学生
中至少有百分之几喜欢打羽毛球？【2013浙江行测A、B】
A.30% B.45% C.60% D.70%
1.【答案】C。解析：至少有70%+75%-1=45%的人既喜欢打羽毛球又喜欢打乒乓球，所以占喜欢打乒乓球的学生的45%=60%。 75%
【例题精讲】
2.一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？【浙江2012行测】
Ａ．12人 Ｂ．14人 Ｃ．15人 Ｄ．16人
【题干分析】由“有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞”知涉及到三个集合，由问法“至多有几人会跳两种舞蹈”知为极值问题，所以题型特征为涉及到3个集合的至多型极值问题。从问题入手，应该让会跳一种舞蹈和三种舞蹈的人数尽可能小。
【答案】Ｃ。解析：由三个集合的容斥原理公式可知，为使跳两种舞蹈的人数最多，则应让只跳一种舞蹈的人数最少、会跳三种舞蹈的人数最少，可以都为0。设会跳拉丁舞和肚皮舞的人数、会跳拉丁舞和芭蕾舞的人数、会跳肚皮舞和芭蕾舞的人数分别是a、b、c，则a＋b＝12、a＋c＝8、b＋c＝10，解得a＝5、b＝7、c＝3，则至多有5＋7＋3＝15人会跳两种舞蹈。
【总结】容斥的极值问题，问法中出现了最多的字眼，要从问题入手，让其他集合尽可能小。
题型3 文氏图解决二者容斥问题
【例题精讲】
1．某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人？
Ａ．13 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．5
（河北2011）
【题干分析】由题干“其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之”出现两个集合以及两个集合的交集，可知是二者容斥问题。容斥问题用画文氏图的方法即可解得。
【答案】D。解析：根据容斥原理，具有硕士学历或高级职称的有45＋30－12=63人，则既没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员有68－63=5人。
【总结】对于题干中出现把一个总体分成两个集合，研究两个集合间关系的问题，即是我们所说的二者容斥问题，利用画文氏图的方法，把题目当中的已知条件，展现在图形当中，更直观易解。
【习题精练】
1.某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既近视又超重。该班有多少人既不近视又不超重？
A.22人 B.24人 C.26人 D.28人
（2013浙江行测A、B）
【答案】A。解析：根据题意，该班近视与超重的有20+12-4=28人，则该班既不近视又不超重的人有50-28=22人。
2.某外语班30人中，8人学习英语、12人学习日语、3人两种都学，则既不学英语又不学日语的有几人？
A.12 B.13 C.14 D.15
（2012新疆行测政法干警）
【答案】Ｂ。解析：根据容斥原理公式，可得所求为30－（8＋12－3）＝13人。
3.运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1-100，选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？（ ）
A.46 B.47 C.53 D.54
（2012-北京）
【答案】Ｃ。解析：参加开幕式（3的倍数）有[100÷3]=33人，参加闭幕式（5的倍数）有[100÷5]=20人，既参加开幕式又参加闭幕式（既是3的倍数又是5的倍数）有
[100÷3÷5]=6人，由容斥原理知，至少参加一项的有33＋20－6＝47人，则既不参加开幕式又不参加闭幕式的有100－47＝53人。
4. 某班有50位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15人，数学不及格的有19人，英文和数学都及格的有21人。那么英文和数学都不及格的有 人。
A. 4 B. 5 C. 13 D. 17
（2012上海行测A）
【答案】B。解析：英文不及格的有15人，则英文及格的有50-15=35人，数学不及格的有19人，则数学及格的有50-19=31人。又英文和数学都及格的有21人，根据容斥原理公式，可得所求为50-（35+31-21）=5。
5.有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的有多少人？
Ａ.50 Ｂ.51 Ｃ.52 Ｄ.53
（2013天津行测）
【答案】Ｃ。解析：由题意知，数学考试不及格的有70－56＝14人，语文考试不及格的有70－62＝8人，故至少有一门不及格的人数为14＋8－4＝18人，两门都及格的人数为70－18＝52人。
【例题精讲】
2.一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。只去了A的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（ ）。 （2013-北京） A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5
6
【题干分析】由题干“游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个”，把游客分成去A景点、B景点两个集合，可判断为二者容斥问题。“只去了A的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍”，没有直接给出两个集合的数量，而是给
出集合的倍数关系，结合文氏图解出两集合的数量关系即可解得。
【答案】B。解析：这批游客可分为3种人：一是只去了A，二是只去了B，三是既去了A又去了B。没去A的游客就是只去了B的游客，所有游客就是只去了A的游客和没去A的游客，再加上两个景点都去了的游客。故所求比重为3÷（3+1）=3。 4
【总结】对于二者容斥问题中没有直接给出集合的具体数值，利用已知集合间的数量关系，再结合文氏图，即可表示出集合每部分的数量，解得所求。
【习题精练】
1.工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2∶1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：
A.20% B.30% C.40% D.50%
（2014国考行测）
【答案】D。解析：设工厂职工人数为单位1，则报名参加周末公益活动的人数为80%×1=0.8，未报名参加人数为1-0.8=0.2。设周六报名参加人数为x，则周日报名参加人数为2x，且两天都报名参加人数为2x×50%=x，那么有x+2x-x=0.8，解得x=0.4，所求为0.2÷0.4=50%，应选择D。
2.社区活动中心有40名会员，全部由老人和儿童组成。第一次社区活动组织全体老年会员参加，第二次活动组织全体女性成员参加。结果共有12人两次活动全部参加，6人两次活动全未参加。已知老人与儿童的男女比例相同，且老人数量多于儿童。问社区活动中心的会员内，老人、儿童各多少名？
Ａ.30名／10名 Ｂ.18名／22名
Ｃ.28名／12名 Ｄ.25名／15名
（2012安徽行测）
【答案】Ａ。解析：依题意可知，两次全部参加的为老年女性，共12人，两次都没有参加的是儿童男性，共6人。可设老年男性为ｘ，儿童女性人数为ｙ。由40名会员可知，12＋ｘ＋6＋ｙ＝40，由老人与儿童的男女比例相同可知，x6解得ｘ＝18（ｘ＝4舍去，，12y
因为老人数量多于儿童），ｙ＝4。所以老人有12＋18＝30人，儿童有6＋4＝10人。