一、小数的运算技巧知识要点：小数的计算技巧指小数运算的速算与巧算。它除了可以灵活运用整数四则计算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外，还可以利用小数本身的特点。计算时要注意审题，善于观察题目中数字的特征，灵活地运用小数的性质及运算性质、运算技巧，确定合理简便的算法。例1：1.3×50505- 2.4×20202思路:观察数的特点, 50505可以拆分为10101×5,20202可以拆分为10101×2, 把算式转化为1.3×5×10101-2.4×2×10101,根据乘法分配率得到简便的算法.1.3×50505- 2.4×20202=1.3×5×10101-2.4×2×10101=(1.3×5-2.4×2)×10101=2.7×10101=27272.7例2：0.125÷(3.6÷80)×0.18思路：整体观察，找出特点。通过去括号使算式转变为0.125÷3.6×80×0.18，然后再改变下运算顺序，使算式变为（0.125×80）÷（3.6÷0.18），这样计算就简便多了。0.125÷(3.6÷80)×0.18= 0.125÷3.6×80×0.18= （0.125×80）÷（3.6÷0.18）= 10÷20= 0.5练习:1、计算（6.4×12.5×0.5）÷（1.6×2.5×0.2）8.63×0.25＋1.37÷4 66.6666÷12.5÷3.7÷0.8÷0.316.46×15.1＋8.54×15.1－25×14.728.67×67+3.2×286.7+573.4×0.056.4×3535÷16162、在下面的算式中填上适当的数字73.06－[□×（4.465＋5.535）＋42.06]＝388.8..107103、比较下列数的大小A＝9.876543×3.456789B＝9.876544×3.456788（黄世明供稿）二、分数的运算技巧知识要点：我们在学习分数的加减法时已经知道：两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母后再计算，如 - = ，这里的分母3，4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积。把这个例题推广到一般的分数加减中，就是一个很有用的等式，下面我们重点研究如何利用这个公式巧妙的进行一些相关的分数计算。11111例1:′109′9843′3′2′21+ + + …… + 思路分析：这样，把每个分数拆分为两个分数的差的形式再进行运算，能使计算简便。原式= 1- + - + - +…… - + - =1- = 例2： × + × + × 思路分析：整体观察，找到数的特点。在单项算式分母中都含有13，分子都含有5，然后把算式进行转化，在利用乘法分配率进行简便计算。× + × + × = × + × + × = ×（ + + ）= × = 11（ ）（ ）例3： = + 通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤： 叫做扩分。注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即： ④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。练习:1、 2、 111111113′11′93、 97′7′5′53+ + + + 5726975734、 + ×124697573× - 5、 1 - + - + - + - + （提示： = + …… = + ）6、 1- - - - - …… - 1.7、 8、将6个分数、、、、、分成3组，使每组中的两个分数之和相等，则这个和是（ ）。（黄世明供稿）三、列方程解应用题知识要点: 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程，然后解出未知数的值。列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程，而找出等理关系又在于熟练动用数量之间的各种已知条件，掌握了这两点就能正确地列出方程。列方程解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意，找出已知条件和所求问世题；（2）依题意确定等量关系，设未知数x；（3）根据等量关系列出方程；（4）解方程；（5）检验，写出答案。例1: 甲、乙两人骑自行车从同一地点向相反方向出发，甲每小时行12千米，乙每小时行13千米，如果甲先行2小时，那么乙行几小时后，两人的距离为99千米？思路分析: 设乙行x小时后，两人的距离为99千米，作示意图. 由于甲先行了2小时，走了24千米后乙才出发，因此甲共行了（24＋12x）千米，乙共行了13x千米．此时两人相距99千米，很容易列出方程.解 设乙行x小时后，两人相距99千米，可列出方程并解得： 24＋12x＋13x＝99， 25x＝75， x＝3 答：乙行3小时后，两人相距99千米.例2: 10年前刘丽的妈妈的年龄是她的7倍，15年后刘丽的年龄正好是妈妈年龄的一半.问刘丽现在多少岁？思路分析:设刘丽现在x岁，10年前则为（x－10）岁，10年前她妈妈年龄是她的7倍，应为7（x－10）岁.15年后，刘丽的年龄为（x＋15）岁，她妈妈应为2（x＋15）岁．10年前和15年后相隔25年，因此有：2（x＋15）－7（x－10）＝25请同学们解出这个方程，并检验结果是否符合题意．练习:1、某班有同学52人，其中男生比女生的2倍少5人．求男、女生各有多少人？2、实验学校三（2）班学生合买一件纪念品，如果每人出6元则多4元8角，如果每人出5元，则少3元，求这个班学生的人数。3、某班46名同学去划船，一共乘坐10只船，大船坐6人，小船坐4人，全部坐满。问大船和小船各几只？4、小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年，父亲的年龄正好是小明的2倍？5、甲车间有108名工人，乙车间有140名工人，现从乙车间抽一批工人到甲车间，则甲车间工人正好是乙车间工人的3倍．求从乙车间抽了多少工人到甲车间？6、三个数的平均数是8．6 ，其中第一个数是9．1，第二个数比第三个数小0．1，求第三个数。7、已知篮球、足球、排球平均每个36元，篮球比排球每个多10元，足球比排球每个多8元，每个足球多少元？8、兄妹二人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即回家去取，往回走了180米和妹妹相遇．问他们家离学校有多远？（黄世明供稿）四、因数和倍数知识要点:1、3（或9）的倍数的特征是:各个数位上的数字之和是3（或9）的倍数的整数。2、2、3、5的倍数的特征是:个位数字为0，且各个数位上的数字之和是3的倍数的整数。3、4、25的倍数的特征是:末两位是4或25的倍数。4、8、125的倍数的特征是: 末三位是8或125的倍数。5、11的倍数的特征是:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。6、7（11或13）的倍数的特征是:这个整数的最后三位数与其余各位数所组成的数相减（大减小），所得的差是7（11或13）的倍数，这个数就是7（11或13）的倍数。7、奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数；任意多个偶数的和（或差）总是偶数。8、两个奇数之积为奇数；一个偶数与一个奇数之积为偶数。例1：在□内填上适当的数字，满足：（1）34□□同时是2、3、4、5的倍数；（2）四位数7□2□同时是2、3、5的倍数，这样的四位数有几个？分别是多少？[解答]（1）题目要求同时是2、3、4、5的倍数，因为是4的倍数一定是2的倍数，所以34□□只要同时是3、4、5的倍数就可以了。先考虑是5倍数的条件，个位是0或5，再考虑是4的倍数的条件，由于是4的倍数的数的个位不可能是5，所以个位必须为0，即为34□0，这样再考虑是3的倍数的数的特点，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2、5或8。最后考虑是4的倍数的特点。[解答]（2）要使7□2□同时是2、3、5的倍数，个位上的数是几？又要使四位数7□20是3的倍数，百位上可取哪些数？为什么？满足条件的四位数有4个。练一练：1、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是3、4、5的倍数，且使这个数值尽可能小。2、求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数是9的倍数，且各位数字均不相同。3、已知一个五位数是154AB，是72的倍数，求A和B的积。4、商店里有6只不同的货箱，分别装有货物15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走其中5箱货物，而一个顾客的货物重量是另一个货物的2倍，商店里剩下的那箱货物是多少千克？例2： （1）1+2+3+……+98+99的结果是奇数还是偶数？（2）试题50道，规定答对一道得3分，不答得1分，答错扣1分，阅卷的结果，发现所有的得分都是偶数，这个是偶然的吗？[解答]（1）我们只要看这一个加法算式中奇数的个数就可以了（偶数不管是多少个，和总是偶数），每2个数中有一个奇数，这个加法算式中有多少个奇数呢？这是解题的关键。[解答]（2）换个角度，从扣分来想，就比较简单了。如果全对，总分是150分，不答相当于是扣2分，答错相当于是扣4分，偶数减去偶数结果还是偶数。练一练：1、有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，那么在前100个数中，有多少个奇数？2、在黑板上写出3个自然数，然后任意擦去一个，换成其他两数之和，这样继续多次，最后得到46、74、120，问原来写的三个自然数能否是3、5、7？3、不求和，请判定：1+2+3+……+2008+2009的和上奇数还是偶数？4、一个工人将零件装进两种盒子，每个大盒子装12只零件，每个小盒子装5只零件，恰好装完，如果零件一共是99只，盒子个数大于10。这两种盒子各有多少个？5、有0、1、4、7、9这五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中所有是3的倍数的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是几？6、在1---100这100个自然数中，既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？7、从1—9这九个数字中排出8个数字组成是12倍数的八位数，这样的八位数中，最大的和最小的各是几？8、 有一本100页的故事书，从中任意撕下30张纸，这30张纸的所有页码之和能否等于2005？请说明理由。 （王肖峰供稿）五、巧算表面积知识要点:同学们，我们已经知道长方体（或正方体）6个面的总面积，叫做它的表面积。在实际生产和生活中，有时不需要计算6个面的总面积，只需要计算某几个面的总面积，解题时需要根据具体情况思考要求哪几个面的面积和，再进行计算。例1： 两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？[解答]先根据题意可以画图，两个正方体原先各有6个正方体的面，当把它们拼起来时就少了2个立方形的面。这时，求长方形的表面积相当于求10个正方形的面积；还可以这样想：当两个正方体拼成一个长方体时，求长方体的面积，我们可以先分别求出这个长方体的长、宽、高，再求出它的表面积。练一练：1、一个正方体食品盒，棱长4分米，在它的四周贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方分米？2、有一种无盖的玻璃缸，长25厘米，宽20厘米，高15厘米，做这样一个缸需要多少平方厘米的玻璃？3、一间会议室，长25米，宽10米，高3米，现在要粉刷四周墙壁和顶部，门窗的面积是28平方米。要粉刷的面积是多少平方米？4、把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？5、一个正方体的表面积是48平方厘米，把它平均分开，正好成为两个相等的长方体，每个长方体的表面积是多少平方厘米？例2： 把两个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？[解答]用两个相同的小长方体可以拼成三种不同的大长方体，当然得到的表面积就不同，我们可以思考一下，当两个相同的长方体拼在一起时，表面积减少两个拼在一起的面，这道题求拼成的长方体表面积的最小值，我们可以思考先求出两个单个的小长方体的表面积，再减去两个拼在一起的两个最大的面的面积。练一练：1、 求出下面立体图形的表面积（单位：厘米）2、 学校礼堂有4根长方体立柱，高5米，底面为边长3分米的正方形，要油漆这些立柱，按每平方米用25元的油漆算，一共要多少元？3、 一个长方体，底面积是42平方厘米，底面周长是26厘米，高是5厘米，求这个长方体的表面积。4、 图中每个小正方体的棱长是2厘米，它的表面积是多少平方厘米？5、 一个棱长为3分米的正方体，从它的六个面分别挖去一个棱长为1分米的小正方体，这个物体的表面积是多少？（王肖峰供稿）六、巧算体积知识要点:解答有关长方体和正方体的体积问题，要理解长方体和正方体的特征和体积计算公式，长方体体积计算公式是v=abh，正方体体积计算公式是v=a3例1： 把一块棱长6分米的正方体钢坯，熔铸成横截面是9平方分米的长方体的钢材。铸成的钢材有多长？[解答]把正方体钢坯熔铸成长方体钢材，虽然形状发生了变化，但体积没有变，正方体的体积就是长方体的体积。先求出正方体钢坯的体积，也就是长方体的体积。用长方体钢材的体积除以长方体钢材的横截面的面积，就可以求出长方体钢材的长度。练一练：1、 一个长方体水箱的容积是200升，这个水箱底面是一个边长5分米的正方形，水箱的高是多少？2、 一个长方体的油箱，底面是一个正方形，边长是6分米，里面已经盛有油144升，已知里面油的深度是油箱深度的一半，这个油箱深多少分米？3、 把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥，重新捏成一个高和宽都是2厘米的长方体，这个长方体的长是多少分米？4、 棱长是6分米的正方体容器装满水，把容器里的水全部倒入一个长方体水箱，水箱从里面量长6分米，宽5分米，高8.5分米,这是倒入水箱里面的水深是多少分米?要注满水箱还应再倒入多少升水?5、 一块长方体钢材，长21分米，宽15分米，高12分米，截去尽可能大的两个正方体（不焊接割补），还剩多少立方分米钢材？例2： 一只长15分米、宽12分米的长方体玻璃缸中，有10分米深的水放入一块棱长3分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水中并且水未溢出，这时，水面升高了几厘米？[解答]将正方体铁快放入长方体容器中，水的高度上升，上升部分水的体积就是正方体铁块的体积。先求正方体铁块的体积，也就是上升的部分水的体积，用正方体铁块的体积除以长方体容器的底面积，就是水面上升的高度。练一练：1、一个长方体容器，底面积是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘米深的水，现将一块石头放入水中，水面升高到8厘米处，这块石头的体积是多少立方厘米？2、在一个底面长20分米，宽20分米的长方体的容器中装入6分米深的水，然后把一个棱长10分米的正方体钢块放入容器，溢出水700升，这个容器的容积是多少升？3、一个长60厘米，宽20厘米的盛水容器，把5块体积相等的铁块投入水中后，容器中的水面正好上升了4厘米，求每块铁块的体积。4、用一段铁丝，正好可以做一个长7厘米，宽6厘米、高5厘米的长方体框架，如果用这段铁丝做一个正方体的框架，这个正方体的体积是多少？5、一个长方体，如果高截去2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体，原来长方体的体积是多少立方厘米？（王肖峰供稿）七、综合练习(一)1、一个五位数学865□□同时是3、4、5的倍数，这样的五位数中最小的一个是（ ）。2、商店六包糖果，分别重18、19、21、22、23、34千克，两个顾客买了其中的5包，已知一个顾客买的是另一个顾客的3倍，商店剩下的一包糖果重（ ）千克。3、有一个五位数，它同时是8、9的倍数，如果中间的三个数字依次是3、7、5，那么这个五位数是（ ）4、已知一个自然数是45的倍数，且它的各个数位上的数字只有2、5两种，则这样最小的六位数是（ ）5、每一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数，去掉个位数与千位数字，得到一个两位数，是个质数，又知道这个四位数是72的倍数，这个四位数是（ ）6、已知X2004Y是45的倍数，求所有满足条件的六位数是（ ）7、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？8、在378后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是3、4、5的倍数，且使这个数尽可能的小。9、1+2+3+……+49+50的和是偶数还是奇数。10、赵老师在黑板上写上三个整数，然后擦去一个数，再写上其他两个数之和，然后再随意擦去一个数，再写出其他两个数之和，就这样一直做下去，最后得到2004、2005、2006，原来赵老师一开始写的三个数有没有可能是1、3、5？11、张老师在黑板上依次写下：0、1、3、8、21、……，一列数，规律是：每个数的3倍恰好等于它两边的两个数的和（第一个数除外），张老师写的第20个数是奇数还是偶数？12、有一根长80厘米的方木，锯成2段同样的长方体，表面积比原来增加了800平方厘米，原长方体方木的体积是多少？13、小亮想测量一个铁球的体积，于是把它放进了一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体容器，铁球没于水中，水面上升了4厘米，铁球的体积是多少？14、把一个长5分米，宽4分米、高3分米的长方体木块分成棱长1分米的正方体，所有正方体的表面积之和比原长方体表面积增加了多少平方厘米？15、下图是一个长8厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，如图切去一个长方体，求切去后的体积和表面积。16、长方体水箱A从里面量长30厘米、宽20厘米，里面空着，长方体水箱B，从里面量长80厘米、宽60厘米、水深45厘米，小明要从B箱倒出一部分水到A箱里，并使两箱中的水一般高，倒出水的高度是多少？17、一个长方体分成三段后，正好是三个同样的正方体，表面积经原来长方体增加了600平方厘米，这个长方体的表面积是多少？18、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？19、一个长方体的长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，总棱长是96厘米，其体积是多少？20、一块长32厘米的长方形铁皮，四角各剪去边长为4厘米的正方形铁皮，然后做成无盖铁盒，这个铁盒的容积是1920立方厘米，这块铁皮的面积是多少平方厘米？21、一个长方体的右面和上面的面积之和为209平方厘米，它的长、宽、高都是质数，则这个长方体的体积是多少立方厘米？22、一个长方体的表面积是184平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米，它的体积是多少？ （王肖峰供稿）八、平均数把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的数就是平均数。解答平均数应用题的关键是要找准问题与条件，条件与条件之间相对应的关系。只要同学们始终记住，平均数=总产量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数，采用作图、假设等方法，开动脑筋、认真审题，就能找到正确的解题方法。例1、有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个。苹果和桃平均每箱37个，求一箱苹果多少个？一箱桃多少个？[思路导航] ① 1箱苹果+1箱梨+1箱橘子=42×3=126个② 1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36×3=108个③ 1箱苹果+1箱桃=37×2=74个由①②两个等式可知：一箱苹果比一箱桃多126—108=18个，再根据等式③就可以算出，一箱桃有（74—18）÷2=28个，一箱苹果有28+18=46个。答：一箱桃有28个，一箱苹果有46个。例2、一位同学在其中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课？[思路导航] ： 100分比95分多5分，这5分必须填补到其它几门功课的成绩中去，使其平均分94分变为95分，每门填补95—94=1分，5里面有5个1，所以其它有5门功课，连数学在内一共考了5+1=6（门）功课（100—95）÷（95—94）=5（门） 5+1=6（门）答：这位同学一共考了6门功课。例3、小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛，那四位同学的成绩分别为78分、91分、82分、79分，小芳的成绩比五人的平均成绩高6分。求小芳的数学成绩。[思路导航]： 四名同学的平均分是（78+91+82+79）÷4=82.5(分),后来加进小芳后,因为小芳的成绩比五人的平均成绩高6分,这6分平均分给这四名同学,82.5+6÷4=84(分)就是五人的平均分,小芳的数学成绩为84+6=90分.（78+91+82+79）÷4=82.5(分) 82.5+6÷4=84(分) 84+6=90分习题:1、五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16，这个改动的数原来是多少？2、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成87分，因此算得的四人平均分为88分。求甲在这次考试中得了多少分？3、一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分，问甲、丁各得几分？4、甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？5、小明前几天数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这是他第几次测验？6、小明前五次数学测验的平均成绩是88分。为了使平均成绩达到92.5分,小明要连续考多少次满分?7、把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？8、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？9、一个技术工带5个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得120元，这位技术工的收入比他们6人的平均收入还多20元，问这位技术工得多少元？10、学校摄影小组为美术组的同学拍摄一张集体照片，一张底片和3张照片共收成本费2元7角，加印一张照片加收4角，美术组有15人，如果每人都要一张照片，每人要付多少元？11、小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，政治、数学两科平均分91.5分,语文、英语两科平均分84分，政治、英语两科平均分86分，英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分？12、甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？13、小华的前几次数学测验的平均成绩是80分，这一次得了100分，正好把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第几次测验？14、五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？（张雪金供稿）九、组合图形的面积在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形。组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种，一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相“等”的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：1、切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间概念。2、仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成。3、适当采用增加辅助线等方法帮助解题。4、采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。例1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。[思路导航]：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。所以，阴影部分的面积是17厘米2。例2：下图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。[思路导航]：图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是12÷（1+2）=4（厘米）和4×2=8（厘米）。中间长方形的面积只要用总的面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。既：12×12—（4×4+8×8）=64（平方厘米）答：中间长方形的面积是64平方厘米。习题：1、算出下图平行四边形的周长，已知BC=20（单位：厘米）2、.如下图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28厘米2，梯形的上底长是多少厘米？ 3、在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。 4、求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。5、如下图，已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。6、有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。 7、图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。 8、求下图阴影部分的面积。单位:厘米9、图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积。（ADCF不是正方形）10、在三角形ABC中（如图），DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米。求三角形ABC的面积。（张雪金供稿）十、综合练习（二）一、填空题1、长方形长增加3厘米，面积就增加24平方厘米，宽增加2厘米，面积就增加18平方厘米，原长方形的面积是（ ）。2、六个边长2厘米的正方形拼成的长方形，周长可能是（ ）也可能是（ ）。3、一梯形，高4.8米,若上底和下底不变,高增加2米后,面积增加8.4米,那么原来梯形的面积是( ).4、一张长20厘米，宽15厘米的长方形纸片，最多能剪（ ）个直径是2厘米的圆。5、用24块一样大小的正方形能拼成周长不同的长方形有（ ）种。6、盒子里装着5本故事书和2本科技书，要保证一次一定能拿出2本故事书，至少要拿出（ ）本书。二、图形计算1、右图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点。求AEF的面积。2、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米， CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。3、图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形的面积ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。4、如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三角形ABC的面积是108平方厘米， 求三角形CDE的面积。三、应用题1、有6个数，其平均数是8.5,前四个数的平均数是9.25,后三个数的平均数是10,第4个数是多少?2、小明爬山，上山的速度是每小时2千米，到达山顶立即下山，下山的速度每小时6千米，小明上、下山的平均速度是多少？3、甲、乙，丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植17棵，乙、丙两组平均每组植19棵。三个小组各植树多少棵？4、某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改动的数原来是多少？5、十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？6、两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下，第二组有20人，平均每人比两组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每组跳多少下？7、五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？8、求等差数列3，7，11……，643的平均数。（张雪金供稿）十一、分数乘除法应用题在分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，并应用“求一个数的几分之几是多少”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的数量关系，找出所求部分是整体的几分之几，才能解决问题。由于关系比较抽象，可以利用画线段图帮助理解，能使解答思路更清晰，方法更简捷。 例1：小宁今年的年龄是妈妈的 ，两年前母子年龄相差24岁，四年后小宁的年龄是几岁？[思路导航]：两年前相差24岁，现在仍然相差24岁，而小宁今年的年龄是妈妈的 ，相差的年龄对应的是妈妈的（1— ），妈妈今年是24÷（1— ）=36岁，小宁今年是36× =12岁，四年后是12+4=16岁。解：24÷（1— ）=36岁 36× =12岁 12+4=16岁 答：四年后小宁的年龄是16岁。例2：小明看一本故事书，第一天看了全书的 还少5页，第二天看了全书的 还多3页，还剩206页。这本故事书一共有多少页？[思路导航]：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位“1”。如果第一天多看5页，那么正好看了全书的 ；如果第二天少看3页，那么正好看了全书的 。此时应当剩下（206—5+3）页，其对应的分率为（1— — ），由此可求出全书的页数。解：（206—5+3）÷ （1— — ）=240（页）答：这本故事书一共有240页。例3：甲乙两个人共有存款320元，甲取出存款的80％， 乙取出存款75％，这时，甲乙两人共有存款70元，问甲乙两人原来各有存款多少元？[思路导航]：这道题用一般的解题思路很难解答，而用假设和对应的思想便迎刃而解。假设乙也取出了他存款的80％， 则两人共取了320×80％＝256（元），比实际多取了256－（320－70）＝6（元），多出的原因是乙多取了存款的80％－75％＝5％，所以乙取存款的5％所对应的量是6元，于是可求出乙原有的存款数为6÷5 ％＝120 （ 元），甲原有存款数为320－120＝200（元）。习题：1、明明和同学们玩怪兽战斗卡时，第一次输了全部 ，第二次又输了余下的 ，两次共输了36张，明明原来有卡片多少张？2、商店的书包降价 后，又提价 ，最后的价格是8元1角一个，那么最初是多少元一个？3、甲、乙两数是自然数，如果甲数的 恰好是乙数的 ，那么甲乙两数之和的最小值是多少？4、某洗衣机厂去年上半年生产量完成计划的 ，下半年生产洗衣机12.8万台,实际超产 ,超产多少台?5、小明正在看一本小说，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 少6页，还剩210页，这本小说一共有多少页？6、甲、乙合买一筐西瓜，甲买了其中的 还多5.5千克,乙正好买了其中的一半,这筐西瓜一共有多少千克?7、一个空桶装进 菜油，连桶共重5.4千克,再把菜油装满连桶共重14千克,这个桶重多少千克?8、夏林看一本科幻书，第一天看的页数比总页数的 多16页；第二天看的页数比总页数的 少2页；这时还余下88页，这本书一共有多少页？9、修路队三天修完一条路，第一天修了全长的 ，第二天又修了40米，第三天修的是前两天和，这条路全长多少米？10、一只猴子偷吃桃树上的桃子，第一次偷吃了 ，以后的28天，分别偷吃了当天现有桃子的 ， ，…， ， 。偷了29天后，桃树上还剩下2个桃。问：树上原有多少个桃？ （张雪金供稿）十二、最大公因数与最小公倍数【知识概述】公因数、公倍数问题中，常常出现“最大”“最多” “至少”“最少”“最小”一类的词，而没与直接指明求最大公因数还是求最小公倍数。因此，解这类题的关键，就是要正确判断所求问题是几个数的最大公因数，还是几个数的最小公倍数。【案例精选】例1 五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小组，且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？此时一共可以分成几个小组？思路点拨：第一个班有30人参加活动，要把着30人分成人数相等的小组，那么每组的人数必须是30的因数。同样道理，第二、三班每组的人数也应该是24和42的因数。那么要想每组人数尽量多，所以每组人数必须是30、24、42的最大公因数。30、24和42的最大公因数是6。30÷6+24÷6+42÷6=5+4+7=16（组）答：每组最多有6人，一共可以分成16组。同步精练：1、有三根绳子，长度分别是180厘米、240厘米和360厘米，现在要把它们剪成相等的小段，且每根绳子不准有剩余，至少可剪成多少段？2、有336个苹果、252个梨子、210个桔子，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三种水果各有多少个？例2 用长12厘米、宽8厘米、高4厘米的长方体木块拼成一个正方体，至少要多少块？思路点拨：用若干块这样的长方体拼成一个正方体后，这个正方体的棱长应该是长方体长边的倍数，也是长方体宽和高的倍数。从而，正方体棱长就是长方体长、宽、高的公倍数，要使长方体块数最少，正方体棱长就是长方体长、宽、高的最小公倍数。12、8和4的最小公倍数是24。（24÷12）×（24÷8）×（24÷4）=2×3×6=36（块）答：至少要36块。同步精练：1、某公共汽车站有三条线路的汽车，这三条线路的汽车发车时间不一样。第一条线路的车每隔6分钟发一辆，第二条线路的车每隔8分钟发一辆，第三条线路的车每隔12分钟发一辆。三条线路在早上7点同时发车，在过多少分钟又可以同时发车？2、三个人绕环形跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟、45秒钟和1分15秒。三人同时从起点出发，最少需要多少时间才能再次同时在起点相遇？例3 有学生若干人，每排3人多1人；如果每排5人，则多3人；如果每排7人还多5人。这些学生至少有多少人？思路点拨：该题可以转化成每排3人、每排5人、每排7人均少2人，如果把学生人数再增加2人的话，那么每排3人、每排5人、每排7人都正好。因此，求这些学生至少有多少人，就是求比3、5、7的最小公倍数少2的数。3、5、7的最小公倍数是105。105－2=103（人）答：这些学生至少有103人。同步精练1、有一箱小人书，把它平均分成6个小朋友，多余1本；平均分给8个小朋友，也多余1本；平均分给9个小朋友，还是多余1本。这箱小人书最少有多少本？2、有一堆巧克力糖，两粒一数多一粒，三粒一数多二粒，五粒一数多四粒，七粒一数多六粒，这堆糖至少有多少粒？【习题精选】1、一块板长36分米，宽30分米，锯成相同的正方形木块，要求正方形面积尽量大且木板不准有剩余，锯成的正方形面积是多少平方分米？可锯成几块？2、有甲、乙、丙三人常为敬老院做好事，甲7天去一次，乙6天去一次，丙8天去一次。某天他们同去了敬老院，问多少天后，他们又可三人同去敬老院与老人做好事？3、用96朵红花和72朵白花扎成花束，如果每个花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每个花束至少有多少多花？4、某学校组织划船活动，男生有27人，女生有18人，按规定每条船不超过6人。要保证每条船上男、女生人数都分别相等，至少应租几条船？5、有一箱圆珠笔，如果两枝两枝数多一枝，三枝三枝地数也多一枝，四枝一数少三枝，五枝一数少四枝，六枝一数又多一枝，七枝七枝数不多也不少。这个箱子里至少有多少枝笔？6、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？7、有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。中午12点时，既响铃又亮灯。问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？8、一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方将绳子剪断，共剪成了多少段？9、两个自然数的和为60，它们的最大公因数是5，则两个数的差是多少？10、敬老院管理员买来362个苹果、234个梨。平均分给敬老院的老人吃，分完后多出5个苹果3个梨。已知每人分到的苹果和梨的总数不超过30个。求敬老院的老人有多少？（刘世燕供稿）十三、分数基本性质的应用【知识概述】分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变，这就是分数的基本性质。利用分数的基本性质，我们可以解决很多有关分数的数学问题。【案例精选】例1 写出两个比大比小的最简真分数。思路点拨：可以把和进行通分：====……===。比大比小的最简真分数有，……。同步精练：1、写出两个比小比大的最简真分数。2、比大，比小，分子是17的分数，你能写出几个？例2 把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1。（1） 如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于，原分数是多少？（2） 如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少？思路点拨：由总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小1。（1）分母加上1，分子应比分母小2，现在的分子比分母小1，说明进行过约分了，未约分前的分子应比分母小2，说明是用2约分的，也就是说原分数的分母加上1以后，再把分子分母就同时除以2所得到的分数是，说明约分前应是，这样原分数应是。（2）题请你自己思考。同步精练：1、一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是，原分数是多少？2、一个分数约分成最简分数是，原分子、分母的和是90，原分数是多少？例3 分数的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是，求减去的数。思路点拨：一个分数的分子和分母同时减去一个相同的数后，分子与分母的差不变。原分数的分子与分母的差是136－73=63，得到的新分数的分子与分母的差也应是63。而新分数约分后变成，9－2=7，因此可知约去的数是63÷7=9。新分数是=，这样就可以求出减去的数是多少了。同步精练：1、的分子、分母同时加上多少后就可以约分为？2、一个分数，分子加上1后，其值为1，分子减去1后，其值为，求这个分数。3、一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是，原来这个分数是多少？例4 把、、和按从大到小的顺序排列出来。思路点拨：如果采用通分的方法比较大小显得比较麻烦，恰好这几个分数的分子较小，最小公倍数是60，我们可以把这几个分数化成分子相同的分数来比大小。同步精练：1、将分数、、、和，按一定的顺序进行排列。2、小红用5分钟做了42道口算题，小平用4分钟做了23道口算题，小宇用6分钟做了51道口算题，谁的速度快？例5 比较大小，并说明理由（1）和 （2）和思路点拨：第（1）题可以比较它们与1的差再比较原来的两个数。第（2）题可以先把它们与进行比较，，所以同步精练：1、比较和的大小。2、比较和的大小。【习题精选】1、一个最简分数，它的分子和分母的积是18，这个分数是多少？2、一个分数的分子扩大3倍，同时分母缩小3倍后是2，原来的分数是多少？3、分数的分子、分母同时加同一个自然数，新分数化简得，求这个自然数。4、分数的分子加一个数、分母减去同一个数，新分数化简为，求这个数。5、写出两个比小，比大的最简真分数。6、是最简真分数，a可取的整数有多少个？请写出从小到大排的第5个。7、把、、和这四个分数按从小到大的顺序排列。8、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3后，这个分数约分为，求原分数是多少？9、>>中，（ ）里可以填写多少个整数。10、已知（刘世燕供稿）十四、分数的加法和减法【知识概述】同分母分数相加减，分母不变只要把分子相加减即可；异分母分数相加减，要先通分，然后按照同分母分数相加减的法则进行计算。如果遇到一个加减算式中的分数较多，除了要掌握运算顺序和运算法则外，还应该根据题目的特点，灵活地运用运算技巧，使看起来难以解答的题目，能很巧妙地算出得数。【案例精选】例1 在等式=+的括号内填入适当的不同自然数，使等式成立。思路点拨：解答这类题目的方法不止一种，这里介绍因数法。即先求出6的因数有哪些，把的分子、分母都乘以任意两个因数的和，再把所得的分数拆成两个分数的和，最后再把两个分数中可以约分的进行约分。但要注意所取两个因数如不互质，同时缩小倍数成为互质的两个因数，所得结果相同，如取1和2与2和4的结果相同。6的因数有1、2、3、6.取1和2，有==+=+取1和3，有==+=+取1和6，有==+=+取2和3，有==+=+同步精练：1、在等式=+括号内填入适当的不同自然数，使等式成立。（写出全部答案）2、把表示成三个不同的分数单位的和的形式。3、把表示成两个不同的分数单位的差的形式例2 计算+++++++++。思路点拨：因为=1－ =－ =－ =－……根据以上规律我们可以把算式变形，以达到简便运算的效果。原式=（1－）+(－)+(－)+(－)+……+(－)=1－+ －+ －+ －+……+ －=1－=同步精练：1、计算：+++++2、已知=－ 计算：++++3、计算：1+2+3+4+5+6+7+8【习题精选】1、=+ =++2、计算+++……++3、计算9+99+999+9999+14、先计算下面各题，然后找出规律。++=+++=++++=++++……++=5、计算+++……6、已知、、是三个最简真分数，如果每个分数的分子加上A，分母不变，则三个新分数之和是2，求C是多少？7、分母是126的真分数有多少个？它们的和是多少？8、计算1－－－－－9、计算1+2+3+4+5+6+710、计算1－+－+－＋－＋（刘世燕供稿）十五、比在实际中的应用【知识要点】“比”在实际中的应用十分广泛，解答关于“比”的问题时要及时沟通“比”和“分数”之间的联系。已知两个量的比，就是已知一个量是另一个量的几分之几，同时也知道了其中一个量是两个量之和的几分之几，从而把这类应用题转化为分数应用题来解答。例1 一块长方形地的周长是20米，长与宽的比是3：2，它的面积是多少？思路点拨：长方形的周长指两条长和两条宽的长度之和，用长方形的周长除以2，即20÷2＝10（米），再把10米按3：2进行分配，分别求出长方形的长和宽，最后求出长方形的面积。【同步练习】1．一块长方形地的周长是80米，它的长和宽的比是3：2，这块长方形地的面积是多少平方米？2．一个长方体棱长的和是144厘米，它的长、宽、高的比是4：3：2，这块长方体的体积是多少？3．有一个等腰三角形，它的两个角的度数之比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？（提示：三角形3个内角和是180°）例2 五（1）班男、女生人数比是12：11，又转来4名女生后，全班共有50人。求现在男、女生的人数比。思路点拨：求现在男、女生人数的比，就要用现在男生的人数比现在的女生人数。50－4＝46（人），原来五（1）班有46人，再把46人按12：11进行分配，分别求出原来男、女生人数，“又转来4名女生”，现在男生的人数没有变，女生增加4人，求出现在女生的人数，最后求出所求问题。【同步练习】1．六年级1班男、女生人数比是3：2，又转来4名男生后，全班共有44人。求现在男、女生人数的比。2．一杯盐水200克，其中盐与水的比是1：24，如果再放入4克盐，这时盐与水的比是多少？3．两瓶油共重2.7千克。大瓶的油用去0.2千克后，剩下的油与小瓶内油的重量比是3：2。求大瓶子里原来装有多少克油？例3 商店运来一批电视机，卖出18台，剩下的与卖出的比为4：3，共运来多少台电视机？思路点拨：“剩下的和卖出的比为4：3”，剩下的台数是4份，卖出的台数是3份，一共是7份，电视机总台数就是卖出的7／3，18×7／3＝42（台），共运来42台。【同步练习】1．饲养小组养了12只白兔，白兔的只数与黑兔的只数比为2：3。饲养小组一共养了多少只兔？2．五（2）班女生比男生少5人，男、女生人数的比是3：2，这个班共多少人？3．客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，在离中点45千米处相遇，客车和货车速度的比是3：2，甲、乙两地的距离是多少？例4 甲仓库存粮食180吨，乙仓库存粮食120吨，甲仓库运出一部分到乙仓库后，甲乙两仓库的粮食比为7：3.甲仓库运了多少吨粮食到乙仓库？思路点拨：不管是从甲仓库运到乙仓库，还是从乙仓库运到甲仓库，甲乙两个仓库存粮的总吨数没有发生变化。180＋120＝300（吨），两个仓库共存粮300吨。“乙仓库与甲仓库的粮食比为7：3”，注意这里的7份是乙仓库的存粮，3份是甲仓库的存粮，一共是十份，甲仓库的存粮占总吨数的3／10，300×3／10求出现在甲仓库存粮的吨数，最后再求出甲仓库减少的吨数，也就是从甲仓库运到乙仓库的吨数。【同步练习】1．一班有48名学生，二班有42名学生，从一班调几名同学到二班，一班与二班的人数比就是4：5 ？2．学校六年级学生在青少年科技活动中心参加航模比赛，分成甲、乙两个组，甲乙两组的人数比是7：8，如果从乙组调8人到甲组，则甲组人数是乙组的5／4。参加航模比赛的一共有多少人？3．甲、乙两个建筑队原有水泥的重量比是4：3。当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队的水泥的重量比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？综合练习一、填空。1．六（1）班男生人数与女生人数的比是14：13，女生人数是男生人数的（ ）／（ ），男生人数与全班人数的比是（ ）：（ ），女生人数占全班人数的（ ）／（ ）。2．男生人数比女生多1／6，女生和男生人数的比是（ ）：（ ），男生占全班人数的（ ）／（ ）。3．修一段公路，已修的和未修的比为5：4，已修了这段公路的（ ）／（ ）。4．甲走的路程是乙的4／5，乙用的时间是甲的4／5，甲乙的速度比是（ ）：（ ）。5．一个平行四边形和一个三角形，它们底的比是1：2，高的比也是1：2，那么它们的面积比是（ ）：（ ）。6．甲正方形与乙正方形边长的比是5：6，甲正方形的面积是乙正方形面积的（ ）／（ ）。7．已知一个三角形的三个内角度数比是1：1：2，这是一个（ ）三角形，又是（ ）三角形。二、选择正确答案的序号填在括号里。1．0.3米：20厘米的比值是（ ）。A.2／3 B.3／2 C.3:22．一个直角三角形，两个锐角的度数比是1：8，这个三角形中最小的锐角是（ ）。A.40° B.20° C.10°3．把甲班人数的1／8，调入乙班后两班人数就相等，原来甲乙两班人数的比是（ ）。A.7：8 B.8：7 C.3：4 D.4：34．5：11的前项增加45，要使比值不变，后项就（ ）。A.增加45 B.扩大9倍 C.增加9倍5．100克糖水中有25克糖，糖与糖水的比和糖与水的比分别为（ ）。A.1：4和1：3 B.1：4和1：5 C.1：5和1：4 D.4：3三、解决问题。1．六（1）班五个小组的同学订阅本学年《电脑报》，共付158.4元。算出各小组应交的钱数，填入表内：份数金额第一组4份第二组5份第三组4份第四组3份第五组6份2．甲乙两个工程队共修路360米，甲乙两队修的长度比是5：4，甲队比乙队多修了多少米？3．甲乙两地相距690千米，一列快车和一列慢车同时从两地相向开出，3小时相遇。已知两车的速度比是12：11，两列火车每小时各行多少千米？4．一批货物重1800吨，运走了2／3。余下的按4：3：5分给甲乙丙三个队运，运的最少的队运了多少吨？5．客、货两车，从两地相向开出，2小时相遇。相遇时客车与货车所行路程比是2：5。客车每小时行40千米，货车每小时行多少米？6．水泥、石子、黄沙各有6吨，用水泥、石子、黄沙按5：3：2拌制成某种混凝土，若石子刚好用完，水泥缺几吨？黄沙缺几吨？7．一袋大米，第一天吃的千克数与大米总千克数的比是2：5，第二天吃了16千克，还剩下14千克。这袋大米原有多少千克？8．两个长方形，它们的面积的比是8：7，长的比是4：5，那么宽的比是多少？9．第一车间有职工300人，其中男职工占2／5，后来又调进一批男职工，这时男职工和女职工人数的比是3：2，调进的这批男职工有多少人？10．把一批货物按5：3分给甲乙两队运，甲队完成本队任务的4／5，剩下的给乙队运，乙队共运了48吨。这批货物一共有多少吨？（徐蜜蜂供稿）十六、百分数的应用（浓度、利率、利润、折扣）【知识要点】把盐溶于水就得到盐水，其中盐叫溶质，水叫溶剂，盐与水的混合液叫做溶液。我们把盐与盐水的比值叫做盐水的浓度，通常浓度用百分数表示，又叫百分比浓度，这一类问题叫做浓度问题。例1 现有浓度为25%的盐水80克，加入多少克水就能得到浓度为10%的盐水？思路点拨：将浓度为25%的盐水变为浓度为10%的盐水，盐水中水的重量增加了，但是盐的重量并没有发生变化。可以根据已知条件先求出原来盐水中盐的重量，再求出现在盐水的重量，最后再用现在盐水的重量减去原来盐水的重量就是加入水的重量。【同步练习】1．把碘溶在酒精里，配成碘酒，现在有含碘15%的碘酒50千克，要把它变成含碘3%的碘酒，需要加入多少千克酒精？2．现有浓度为20%的盐水80克，加入多少克水就能得到浓度为16%的盐水？3．往40千克含盐16%的盐水中加入10千克水。求这时盐水的浓度是多少？4．现有浓度为25%的盐水80克，要使盐水的浓度提高到40%，需要加多少克盐？5．现有浓度为15%的盐水20千克，要使盐水浓度提高到20%，需要加多少克盐？6．浓度为10%的糖水300克，要把它变成浓度为25%的糖水，需要加糖多少克？7．往40千克含盐16%的盐水中加入10千克盐。求这时盐水的浓度是多少？8．一瓶盐水共重200克，其中盐有20克，这瓶盐水的浓度是百分之几？9．配制一种盐水，在450克水中加了50克盐，这种盐水的浓度是百分之几？10．把浓度为25%的40千克盐水与浓度为10%的60千克盐水混合在一起，混合后的盐水的浓度为多少？11．一种酒精溶液的浓度是20%，其中水有240克，酒精有多少克？12．有浓度为2.5%的盐水400克，为了制成浓度为5%的盐水，从中要蒸发掉多少克水？例2 银行一年定期储蓄的年利率为2.25%。小王取出一年到期的本金以及利息时,缴纳了4.5元的利息税，小王一年前存入银行的本金是多少元？思路点拨：这道题用方程解比较方便，根据小王缴纳了4.5元的利息税可以得到这样一个等量关系式：小王存入银行的本金×2.25%×20%＝4.5元根据这个等量关系式列方程解答。【同步练习】1．银行一年定期储蓄的年利率为2.25%。张健取出一年到期的本金以及利息时，缴纳了9元的利息税，张健一年前存入银行的本金是多少元？2．李华把3000元存入银行，定期3年，到期时他获得本金和税后利息共3324元。这种储蓄的年利率是多少？3．王文买了3年期年利率为7.11%的国家建设债券，到期时获得本息一共2426.6元。王文的本金是多少元？例3 商店有每本成本0.5元的作业本100本，按每本0.7元销售，可获利润多少元？利润率是百分之几？思路点拨：利润率是指利润占成本的百分率，根据“利润率＝（售价－成本）÷成本”可以求出1本作业本的利润率，也就是100本作业本的利润率。【同步练习】1．商店每卖出1本挂历，可获得利润12元，已知每本挂历售价52元，这种挂历的利润率是百分之几？2．一种商品的利润率是20%，如果进货价降低20%，售出价保持不变，那么商品的利润率是百分之几？3．红星商店购回一批商品，按20%的利润定价，然后打8折出售，结果亏损100元。这批商品的成本是多少元？4．某商品按20%的利润定价，然后又打8折出售，结果亏损了64元。每个这种商品的成本是多少元？5．某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80%出售，则亏损832元。商品的购入价是多少元？6．一种商品先按20%的利润定价，然后按定价的90%售出，结果获利256元。这种商品的成本价是多少元？综合练习一、填空。1．一件衣服打7.5折出售，就是比原价降低（ ）%。2．一种冰箱原价2100元，现打8.5折出售，现价是（ ）元，便宜了（ ）元。3．某商品降价1000元后，售价4000元，降价（ ）%。4．一件玩具打9折出售，现在是45元，降低了（ ）元。5．一本书的售价是26元，这本书售出后可获得30%的利润，这本书的成本是( )元。6．一件商品，先提价10%，再降价%，商品的现价和原价相比（ ）。（选择：提高了 降低了 不变）7．商店售出2件商品，其中一件按成本增加25%出售，另一件降价处理，按成本减少20%出售，售价正好相同，第一件与第二件的成本比是（ ）：（ ）。二、解决问题。1．一套衣服原价200元，先打8折再打7折出售，现在买回这套衣服可便宜多少元？2．一种商品按成本的20%的利润定价，售出时打8.8折，结果仍获利84元，此商品的成本是多少元？3．一件大衣按定价打8折出售，仍能获得20%的利润，定价时，期望的利润率是百分之几？4．某店同时出售2件商品，售价都是600元，一件是正品，可赚20%。另一件是处理品，要赔20%，以这两件商品而言，是赚还是赔？多少元？5．商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.2元，从产地到商店距离400千米，运费为每吨货物每千米1.5元。如果不计损耗，商店想要实现25%的利润，每千克苹果零售价应是多少元？6．商店为某鞋厂代销200双鞋，代销费用为销售总额的8%。全部销售完后，商店向鞋厂交付6808元，这批鞋每双售价多少元？（徐蜜蜂供稿）十七、圆的周长与面积例1 把4个啤酒瓶扎在一起（如图所示），捆4圈至少要用绳子多少厘米？思路点拨：用绳子捆4圈的长度就是指周长的4倍。这个图形的周长可以分成2类：线段的长度和弧的长度。而这四条弧正好可以拼成一个圆，每条线段的长正好是圆的直径的长。所以绳子捆1圈的长度就是图中一个圆的周长加上4条直径的长度之和。【同步练习】1．计算下图中阴影部分的周长。（单位：厘米）2．一个街心花园如下图的形状，中间正方形的边长是20米，四周为半圆形，这个街心花园的周长是多少米？3．在学校200米跑道中，每条跑道宽1.2米，由于有弯道，为了公平，外道和内道的选手起跑线不在同一点。如：A点处是小明的起跑线，B点处是小强的起跑线（如下图所示），那么A、B两点的距离是多少米？例2 如下图，从点A到点B沿着大圆周走和沿着中小圆周走的路程相等吗?思路点拨：设小圆的直径为a，中圆的直径为b，则大圆的直径为a＋b。那么第一种走法的路程为C(大圆)＝π×（a＋b）÷2＝πa÷2＋πb÷2；第二种走法为C（中小圆）＝πa÷2＋πb÷2，所以相等。【同步练习】1．下图中，从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相等吗？2．已知AB＝50厘米，求图中各圆周长的总和。3．已知一个大圆中紧紧地排列着3个直径不同的小圆（如图），并且这4个圆的圆心恰好在同一条直线上。如果大圆的周长是30厘米，那么3个小圆的周长之和是多少？4．将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如下图形状放置，求阴影部分的周长。5．一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的直径是多少厘米？例3 如下图，是由正方形和半圆组成的图形，其中P点为半圆的中点，Q点为正方形一边上的中点，那么阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）思路点拨：求阴影部分的面积最常用的方法叫做“排空法”。所谓排空法就是指用图形外围的面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积。此题中图形外围的面积应该是正方形和半圆面积之和，比较方便。空白部分是个不规则的四边形，我们可以用分割的方法把它分成几块基本图形再求面积。连接BP，则图中阴影部分面积可以用正方形与半圆面积的和减去三角形ABP与三角形BPQ的面积之和。【同步练习】1．求下面图中阴影部分的面积。（单位：厘米）2．下图小半圆的半径为4厘米，求阴影部分的面积。3．下图中三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。综合练习1．一个大圆内有3个大小不等的小圆（如图），这些小圆的圆心在大圆的同一直径上，连同大圆在内，每相邻的两个圆相切，已知大圆的周长是20厘米，求这2个小圆的周长之和是多少？2．有8个半径为2厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中正方形的边的交点为这些圆的圆心，那么这个花瓣图形的周长是多少厘米？3．有7根直径都是2分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆起来，最短需要多少米长的绳子？（接头处不计）4．三角形的边长都是3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚3次（如图），求A点经过的路程的长。5．求下图中外围的周长。（单位：厘米）6．正方形ABCD的边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴影部分的周长。7．下图中，直径为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长。8．根据下图中的条件，求阴影部分的面积。（单位：厘米）9．在下图中阴影部分的面积是40平方厘米，那么圆环的面积是多少平方厘米？10．如下图，3个圆的周长都是25.12厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米）（徐蜜蜂供稿）十八、六年级思维训练综合题一、填空1、我国有13亿人员，每人节约1分钱，可以节约（ ）元，用这些钱帮助我国失学儿童重新上学，每人给400元，可以帮助（ ）名儿童重新上学。2、一个三角形的内角和是180o,一个六边形的内角和是（ ）。3、把一根3米长的钢材，从一头到另一头截成每段长1/3 米的小段要截( )次，每段占全长的( )。4、甲比乙多1/4 ，乙比丙少25%，则甲是丙的( )%。5、两个质数倒数相加，和的分子是25，分母是( )。6、一个三角形的三个内角度数比是4∶1∶1，这个三角形是( )三角形。 7、一条绳子用去全长的2/5 多4米，剩下的部分比用去的部分多2米。这条绳子全长（ ）米。8、有一个骰子(小正方体)的六个面上分别写有数字1、2、2、3、3、3,当投掷这个骰子时,数字“2”朝上的可能性是（ ）。9、王雪读一本故事书，第一天读了8页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了32页正好读完。她一共读了（ ）天。10、振阳小区2号居民楼，原有3户安装空调，后来又增加1户。这4台空调全部打开时就会烧断保险丝，因此，最多可以同时使用3台空调。这样，在24小时内平均每户最多可以使用空调（ ）小时。11、晚上7点新闻联播是24时记时法的（ ），再过一小时，时针和分针的夹角是（ ）度。12、已知A×1.5=B×1/2 =C÷0.1 =D÷10,其中最大的数是( ),最小的数是( )。13、一件商品，今年比去年降价1/4 ，去年比前年又降价1/5 ，今年售价比前年降低了（—）。14、一个长方体表面积为50平方厘米，上、下两个面为正方形，如果正好可以截成两个相等体积的正方体，则表面积增加（ ）平方厘米。15、甲、乙两个书架上共有书282本，甲书架本数的3/4与乙书架本数的5/9相等。乙书架有（ ）本。16、学校买了40张桌子和60把椅子，共用去2520元，每张桌子比每把椅子贵12元，每张桌子（ ）元，每把椅子（ ）元。17、小华在公共电话亭打一次电话需要0.5元，如果超过3分钟每多打1分钟交0.3元。小华打完一次电话后共交2.6元，他打这次电话共用了（ ）分钟。18、有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块，最多可以放 （ ）块。 19天气反覆无常，致使某地区受流行感冒侵袭，有25%的人患了感冒。过了一星期其中有40%的人痊愈了，但原来健康的人又有32%患了感冒。现在健康的人数占全部人口的（ ）％。20、有浓度为8﹪的盐水200克，需稀释成浓度为5﹪的盐水，需加水（ ）克。二、解答题1、甲乙两列火车从相距480千米的两地同时相对开出，甲车每小时行48千米，2小时后两车相距全程的70%。乙车每小时行驶多少千米？2、小明下山的速度是上山速度的1．5倍，小明从山脚出发开始上山，上到山顶后立即返回，出发2小时后刚好走了下山路程的一半。小明下山还需要多少小时？3、一个等腰三角形中，一个内角的度数是另一个内角度数的1/4 ，那么顶角为多少度。4、求斜边是5厘米的等腰直角三角形的面积。5、实验学校派25名教师带五、六年级学生参加今年植树活动。师生一起，每3人里有一个六年级学生，每4人里有一个五年级学生，那么五、六年级分别去了多少学生？
一、小数的运算技巧知识要点：小数的计算技巧指小数运算的速算与巧算。它除了可以灵活运用整数四则计算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外，还可以利用小数本身的特点。计算时要注意审题，善于观察题目中数字的特征，灵活地运用小数的性质及运算性质、运算技巧，确定合理简便的算法。例1：1.3×50505- 2.4×20202思路:观察数的特点, 50505可以拆分为10101×5,20202可以拆分为10101×2, 把算式转化为1.3×5×10101-2.4×2×10101,根据乘法分配率得到简便的算法.1.3×50505- 2.4×20202=1.3×5×10101-2.4×2×10101=(1.3×5-2.4×2)×10101=2.7×10101=27272.7例2：0.125÷(3.6÷80)×0.18思路：整体观察，找出特点。通过去括号使算式转变为0.125÷3.6×80×0.18，然后再改变下运算顺序，使算式变为（0.125×80）÷（3.6÷0.18），这样计算就简便多了。0.125÷(3.6÷80)×0.18= 0.125÷3.6×80×0.18= （0.125×80）÷（3.6÷0.18）= 10÷20= 0.5练习:1、计算（6.4×12.5×0.5）÷（1.6×2.5×0.2）8.63×0.25＋1.37÷4 66.6666÷12.5÷3.7÷0.8÷0.316.46×15.1＋8.54×15.1－25×14.728.67×67+3.2×286.7+573.4×0.056.4×3535÷16162、在下面的算式中填上适当的数字73.06－[□×（4.465＋5.535）＋42.06]＝388.8..107103、比较下列数的大小A＝9.876543×3.456789B＝9.876544×3.456788（黄世明供稿）二、分数的运算技巧知识要点：我们在学习分数的加减法时已经知道：两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母后再计算，如 - = ，这里的分母3，4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积。把这个例题推广到一般的分数加减中，就是一个很有用的等式，下面我们重点研究如何利用这个公式巧妙的进行一些相关的分数计算。11111例1:′109′9843′3′2′21+ + + …… + 思路分析：这样，把每个分数拆分为两个分数的差的形式再进行运算，能使计算简便。原式= 1- + - + - +…… - + - =1- = 例2： × + × + × 思路分析：整体观察，找到数的特点。在单项算式分母中都含有13，分子都含有5，然后把算式进行转化，在利用乘法分配率进行简便计算。× + × + × = × + × + × = ×（ + + ）= × = 11（ ）（ ）例3： = + 通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤： 叫做扩分。注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即： ④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。练习:1、 2、 111111113′11′93、 97′7′5′53+ + + + 5726975734、 + ×124697573× - 5、 1 - + - + - + - + （提示： = + …… = + ）6、 1- - - - - …… - 1.7、 8、将6个分数、、、、、分成3组，使每组中的两个分数之和相等，则这个和是（ ）。（黄世明供稿）三、列方程解应用题知识要点: 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程，然后解出未知数的值。列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程，而找出等理关系又在于熟练动用数量之间的各种已知条件，掌握了这两点就能正确地列出方程。列方程解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意，找出已知条件和所求问世题；（2）依题意确定等量关系，设未知数x；（3）根据等量关系列出方程；（4）解方程；（5）检验，写出答案。例1: 甲、乙两人骑自行车从同一地点向相反方向出发，甲每小时行12千米，乙每小时行13千米，如果甲先行2小时，那么乙行几小时后，两人的距离为99千米？思路分析: 设乙行x小时后，两人的距离为99千米，作示意图. 由于甲先行了2小时，走了24千米后乙才出发，因此甲共行了（24＋12x）千米，乙共行了13x千米．此时两人相距99千米，很容易列出方程.解 设乙行x小时后，两人相距99千米，可列出方程并解得： 24＋12x＋13x＝99， 25x＝75， x＝3 答：乙行3小时后，两人相距99千米.例2: 10年前刘丽的妈妈的年龄是她的7倍，15年后刘丽的年龄正好是妈妈年龄的一半.问刘丽现在多少岁？思路分析:设刘丽现在x岁，10年前则为（x－10）岁，10年前她妈妈年龄是她的7倍，应为7（x－10）岁.15年后，刘丽的年龄为（x＋15）岁，她妈妈应为2（x＋15）岁．10年前和15年后相隔25年，因此有：2（x＋15）－7（x－10）＝25请同学们解出这个方程，并检验结果是否符合题意．练习:1、某班有同学52人，其中男生比女生的2倍少5人．求男、女生各有多少人？2、实验学校三（2）班学生合买一件纪念品，如果每人出6元则多4元8角，如果每人出5元，则少3元，求这个班学生的人数。3、某班46名同学去划船，一共乘坐10只船，大船坐6人，小船坐4人，全部坐满。问大船和小船各几只？4、小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年，父亲的年龄正好是小明的2倍？5、甲车间有108名工人，乙车间有140名工人，现从乙车间抽一批工人到甲车间，则甲车间工人正好是乙车间工人的3倍．求从乙车间抽了多少工人到甲车间？6、三个数的平均数是8．6 ，其中第一个数是9．1，第二个数比第三个数小0．1，求第三个数。7、已知篮球、足球、排球平均每个36元，篮球比排球每个多10元，足球比排球每个多8元，每个足球多少元？8、兄妹二人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即回家去取，往回走了180米和妹妹相遇．问他们家离学校有多远？（黄世明供稿）四、因数和倍数知识要点:1、3（或9）的倍数的特征是:各个数位上的数字之和是3（或9）的倍数的整数。2、2、3、5的倍数的特征是:个位数字为0，且各个数位上的数字之和是3的倍数的整数。3、4、25的倍数的特征是:末两位是4或25的倍数。4、8、125的倍数的特征是: 末三位是8或125的倍数。5、11的倍数的特征是:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。6、7（11或13）的倍数的特征是:这个整数的最后三位数与其余各位数所组成的数相减（大减小），所得的差是7（11或13）的倍数，这个数就是7（11或13）的倍数。7、奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数；任意多个偶数的和（或差）总是偶数。8、两个奇数之积为奇数；一个偶数与一个奇数之积为偶数。例1：在□内填上适当的数字，满足：（1）34□□同时是2、3、4、5的倍数；（2）四位数7□2□同时是2、3、5的倍数，这样的四位数有几个？分别是多少？[解答]（1）题目要求同时是2、3、4、5的倍数，因为是4的倍数一定是2的倍数，所以34□□只要同时是3、4、5的倍数就可以了。先考虑是5倍数的条件，个位是0或5，再考虑是4的倍数的条件，由于是4的倍数的数的个位不可能是5，所以个位必须为0，即为34□0，这样再考虑是3的倍数的数的特点，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2、5或8。最后考虑是4的倍数的特点。[解答]（2）要使7□2□同时是2、3、5的倍数，个位上的数是几？又要使四位数7□20是3的倍数，百位上可取哪些数？为什么？满足条件的四位数有4个。练一练：1、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是3、4、5的倍数，且使这个数值尽可能小。2、求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数是9的倍数，且各位数字均不相同。3、已知一个五位数是154AB，是72的倍数，求A和B的积。4、商店里有6只不同的货箱，分别装有货物15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走其中5箱货物，而一个顾客的货物重量是另一个货物的2倍，商店里剩下的那箱货物是多少千克？例2： （1）1+2+3+……+98+99的结果是奇数还是偶数？（2）试题50道，规定答对一道得3分，不答得1分，答错扣1分，阅卷的结果，发现所有的得分都是偶数，这个是偶然的吗？[解答]（1）我们只要看这一个加法算式中奇数的个数就可以了（偶数不管是多少个，和总是偶数），每2个数中有一个奇数，这个加法算式中有多少个奇数呢？这是解题的关键。[解答]（2）换个角度，从扣分来想，就比较简单了。如果全对，总分是150分，不答相当于是扣2分，答错相当于是扣4分，偶数减去偶数结果还是偶数。练一练：1、有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，那么在前100个数中，有多少个奇数？2、在黑板上写出3个自然数，然后任意擦去一个，换成其他两数之和，这样继续多次，最后得到46、74、120，问原来写的三个自然数能否是3、5、7？3、不求和，请判定：1+2+3+……+2008+2009的和上奇数还是偶数？4、一个工人将零件装进两种盒子，每个大盒子装12只零件，每个小盒子装5只零件，恰好装完，如果零件一共是99只，盒子个数大于10。这两种盒子各有多少个？5、有0、1、4、7、9这五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中所有是3的倍数的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是几？6、在1---100这100个自然数中，既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？7、从1—9这九个数字中排出8个数字组成是12倍数的八位数，这样的八位数中，最大的和最小的各是几？8、 有一本100页的故事书，从中任意撕下30张纸，这30张纸的所有页码之和能否等于2005？请说明理由。 （王肖峰供稿）五、巧算表面积知识要点:同学们，我们已经知道长方体（或正方体）6个面的总面积，叫做它的表面积。在实际生产和生活中，有时不需要计算6个面的总面积，只需要计算某几个面的总面积，解题时需要根据具体情况思考要求哪几个面的面积和，再进行计算。例1： 两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？[解答]先根据题意可以画图，两个正方体原先各有6个正方体的面，当把它们拼起来时就少了2个立方形的面。这时，求长方形的表面积相当于求10个正方形的面积；还可以这样想：当两个正方体拼成一个长方体时，求长方体的面积，我们可以先分别求出这个长方体的长、宽、高，再求出它的表面积。练一练：1、一个正方体食品盒，棱长4分米，在它的四周贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方分米？2、有一种无盖的玻璃缸，长25厘米，宽20厘米，高15厘米，做这样一个缸需要多少平方厘米的玻璃？3、一间会议室，长25米，宽10米，高3米，现在要粉刷四周墙壁和顶部，门窗的面积是28平方米。要粉刷的面积是多少平方米？4、把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？5、一个正方体的表面积是48平方厘米，把它平均分开，正好成为两个相等的长方体，每个长方体的表面积是多少平方厘米？例2： 把两个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？[解答]用两个相同的小长方体可以拼成三种不同的大长方体，当然得到的表面积就不同，我们可以思考一下，当两个相同的长方体拼在一起时，表面积减少两个拼在一起的面，这道题求拼成的长方体表面积的最小值，我们可以思考先求出两个单个的小长方体的表面积，再减去两个拼在一起的两个最大的面的面积。练一练：1、 求出下面立体图形的表面积（单位：厘米）2、 学校礼堂有4根长方体立柱，高5米，底面为边长3分米的正方形，要油漆这些立柱，按每平方米用25元的油漆算，一共要多少元？3、 一个长方体，底面积是42平方厘米，底面周长是26厘米，高是5厘米，求这个长方体的表面积。4、 图中每个小正方体的棱长是2厘米，它的表面积是多少平方厘米？5、 一个棱长为3分米的正方体，从它的六个面分别挖去一个棱长为1分米的小正方体，这个物体的表面积是多少？（王肖峰供稿）六、巧算体积知识要点:解答有关长方体和正方体的体积问题，要理解长方体和正方体的特征和体积计算公式，长方体体积计算公式是v=abh，正方体体积计算公式是v=a3例1： 把一块棱长6分米的正方体钢坯，熔铸成横截面是9平方分米的长方体的钢材。铸成的钢材有多长？[解答]把正方体钢坯熔铸成长方体钢材，虽然形状发生了变化，但体积没有变，正方体的体积就是长方体的体积。先求出正方体钢坯的体积，也就是长方体的体积。用长方体钢材的体积除以长方体钢材的横截面的面积，就可以求出长方体钢材的长度。练一练：1、 一个长方体水箱的容积是200升，这个水箱底面是一个边长5分米的正方形，水箱的高是多少？2、 一个长方体的油箱，底面是一个正方形，边长是6分米，里面已经盛有油144升，已知里面油的深度是油箱深度的一半，这个油箱深多少分米？3、 把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥，重新捏成一个高和宽都是2厘米的长方体，这个长方体的长是多少分米？4、 棱长是6分米的正方体容器装满水，把容器里的水全部倒入一个长方体水箱，水箱从里面量长6分米，宽5分米，高8.5分米,这是倒入水箱里面的水深是多少分米?要注满水箱还应再倒入多少升水?5、 一块长方体钢材，长21分米，宽15分米，高12分米，截去尽可能大的两个正方体（不焊接割补），还剩多少立方分米钢材？例2： 一只长15分米、宽12分米的长方体玻璃缸中，有10分米深的水放入一块棱长3分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水中并且水未溢出，这时，水面升高了几厘米？[解答]将正方体铁快放入长方体容器中，水的高度上升，上升部分水的体积就是正方体铁块的体积。先求正方体铁块的体积，也就是上升的部分水的体积，用正方体铁块的体积除以长方体容器的底面积，就是水面上升的高度。练一练：1、一个长方体容器，底面积是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘米深的水，现将一块石头放入水中，水面升高到8厘米处，这块石头的体积是多少立方厘米？2、在一个底面长20分米，宽20分米的长方体的容器中装入6分米深的水，然后把一个棱长10分米的正方体钢块放入容器，溢出水700升，这个容器的容积是多少升？3、一个长60厘米，宽20厘米的盛水容器，把5块体积相等的铁块投入水中后，容器中的水面正好上升了4厘米，求每块铁块的体积。4、用一段铁丝，正好可以做一个长7厘米，宽6厘米、高5厘米的长方体框架，如果用这段铁丝做一个正方体的框架，这个正方体的体积是多少？5、一个长方体，如果高截去2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体，原来长方体的体积是多少立方厘米？（王肖峰供稿）七、综合练习(一)1、一个五位数学865□□同时是3、4、5的倍数，这样的五位数中最小的一个是（ ）。2、商店六包糖果，分别重18、19、21、22、23、34千克，两个顾客买了其中的5包，已知一个顾客买的是另一个顾客的3倍，商店剩下的一包糖果重（ ）千克。3、有一个五位数，它同时是8、9的倍数，如果中间的三个数字依次是3、7、5，那么这个五位数是（ ）4、已知一个自然数是45的倍数，且它的各个数位上的数字只有2、5两种，则这样最小的六位数是（ ）5、每一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数，去掉个位数与千位数字，得到一个两位数，是个质数，又知道这个四位数是72的倍数，这个四位数是（ ）6、已知X2004Y是45的倍数，求所有满足条件的六位数是（ ）7、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？8、在378后面补上三个数字，组成一个六位数，使它同时是3、4、5的倍数，且使这个数尽可能的小。9、1+2+3+……+49+50的和是偶数还是奇数。10、赵老师在黑板上写上三个整数，然后擦去一个数，再写上其他两个数之和，然后再随意擦去一个数，再写出其他两个数之和，就这样一直做下去，最后得到2004、2005、2006，原来赵老师一开始写的三个数有没有可能是1、3、5？11、张老师在黑板上依次写下：0、1、3、8、21、……，一列数，规律是：每个数的3倍恰好等于它两边的两个数的和（第一个数除外），张老师写的第20个数是奇数还是偶数？12、有一根长80厘米的方木，锯成2段同样的长方体，表面积比原来增加了800平方厘米，原长方体方木的体积是多少？13、小亮想测量一个铁球的体积，于是把它放进了一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体容器，铁球没于水中，水面上升了4厘米，铁球的体积是多少？14、把一个长5分米，宽4分米、高3分米的长方体木块分成棱长1分米的正方体，所有正方体的表面积之和比原长方体表面积增加了多少平方厘米？15、下图是一个长8厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，如图切去一个长方体，求切去后的体积和表面积。16、长方体水箱A从里面量长30厘米、宽20厘米，里面空着，长方体水箱B，从里面量长80厘米、宽60厘米、水深45厘米，小明要从B箱倒出一部分水到A箱里，并使两箱中的水一般高，倒出水的高度是多少？17、一个长方体分成三段后，正好是三个同样的正方体，表面积经原来长方体增加了600平方厘米，这个长方体的表面积是多少？18、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？19、一个长方体的长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，总棱长是96厘米，其体积是多少？20、一块长32厘米的长方形铁皮，四角各剪去边长为4厘米的正方形铁皮，然后做成无盖铁盒，这个铁盒的容积是1920立方厘米，这块铁皮的面积是多少平方厘米？21、一个长方体的右面和上面的面积之和为209平方厘米，它的长、宽、高都是质数，则这个长方体的体积是多少立方厘米？22、一个长方体的表面积是184平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米，它的体积是多少？ （王肖峰供稿）八、平均数把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的数就是平均数。解答平均数应用题的关键是要找准问题与条件，条件与条件之间相对应的关系。只要同学们始终记住，平均数=总产量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数，采用作图、假设等方法，开动脑筋、认真审题，就能找到正确的解题方法。例1、有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个。苹果和桃平均每箱37个，求一箱苹果多少个？一箱桃多少个？[思路导航] ① 1箱苹果+1箱梨+1箱橘子=42×3=126个② 1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36×3=108个③ 1箱苹果+1箱桃=37×2=74个由①②两个等式可知：一箱苹果比一箱桃多126—108=18个，再根据等式③就可以算出，一箱桃有（74—18）÷2=28个，一箱苹果有28+18=46个。答：一箱桃有28个，一箱苹果有46个。例2、一位同学在其中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课？[思路导航] ： 100分比95分多5分，这5分必须填补到其它几门功课的成绩中去，使其平均分94分变为95分，每门填补95—94=1分，5里面有5个1，所以其它有5门功课，连数学在内一共考了5+1=6（门）功课（100—95）÷（95—94）=5（门） 5+1=6（门）答：这位同学一共考了6门功课。例3、小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛，那四位同学的成绩分别为78分、91分、82分、79分，小芳的成绩比五人的平均成绩高6分。求小芳的数学成绩。[思路导航]： 四名同学的平均分是（78+91+82+79）÷4=82.5(分),后来加进小芳后,因为小芳的成绩比五人的平均成绩高6分,这6分平均分给这四名同学,82.5+6÷4=84(分)就是五人的平均分,小芳的数学成绩为84+6=90分.（78+91+82+79）÷4=82.5(分) 82.5+6÷4=84(分) 84+6=90分习题:1、五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16，这个改动的数原来是多少？2、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成87分，因此算得的四人平均分为88分。求甲在这次考试中得了多少分？3、一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分，问甲、丁各得几分？4、甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？5、小明前几天数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这是他第几次测验？6、小明前五次数学测验的平均成绩是88分。为了使平均成绩达到92.5分,小明要连续考多少次满分?7、把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？8、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？9、一个技术工带5个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得120元，这位技术工的收入比他们6人的平均收入还多20元，问这位技术工得多少元？10、学校摄影小组为美术组的同学拍摄一张集体照片，一张底片和3张照片共收成本费2元7角，加印一张照片加收4角，美术组有15人，如果每人都要一张照片，每人要付多少元？11、小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，政治、数学两科平均分91.5分,语文、英语两科平均分84分，政治、英语两科平均分86分，英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分？12、甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？13、小华的前几次数学测验的平均成绩是80分，这一次得了100分，正好把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第几次测验？14、五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？（张雪金供稿）九、组合图形的面积在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形。组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种，一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相“等”的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：1、切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间概念。2、仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成。3、适当采用增加辅助线等方法帮助解题。4、采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。例1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。[思路导航]：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。所以，阴影部分的面积是17厘米2。例2：下图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。[思路导航]：图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是12÷（1+2）=4（厘米）和4×2=8（厘米）。中间长方形的面积只要用总的面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。既：12×12—（4×4+8×8）=64（平方厘米）答：中间长方形的面积是64平方厘米。习题：1、算出下图平行四边形的周长，已知BC=20（单位：厘米）2、.如下图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28厘米2，梯形的上底长是多少厘米？ 3、在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。 4、求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。5、如下图，已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。6、有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。 7、图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。 8、求下图阴影部分的面积。单位:厘米9、图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积。（ADCF不是正方形）10、在三角形ABC中（如图），DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米。求三角形ABC的面积。（张雪金供稿）十、综合练习（二）一、填空题1、长方形长增加3厘米，面积就增加24平方厘米，宽增加2厘米，面积就增加18平方厘米，原长方形的面积是（ ）。2、六个边长2厘米的正方形拼成的长方形，周长可能是（ ）也可能是（ ）。3、一梯形，高4.8米,若上底和下底不变,高增加2米后,面积增加8.4米,那么原来梯形的面积是( ).4、一张长20厘米，宽15厘米的长方形纸片，最多能剪（ ）个直径是2厘米的圆。5、用24块一样大小的正方形能拼成周长不同的长方形有（ ）种。6、盒子里装着5本故事书和2本科技书，要保证一次一定能拿出2本故事书，至少要拿出（ ）本书。二、图形计算1、右图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点。求AEF的面积。2、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米， CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。3、图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形的面积ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。4、如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三角形ABC的面积是108平方厘米， 求三角形CDE的面积。三、应用题1、有6个数，其平均数是8.5,前四个数的平均数是9.25,后三个数的平均数是10,第4个数是多少?2、小明爬山，上山的速度是每小时2千米，到达山顶立即下山，下山的速度每小时6千米，小明上、下山的平均速度是多少？3、甲、乙，丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植17棵，乙、丙两组平均每组植19棵。三个小组各植树多少棵？4、某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改动的数原来是多少？5、十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？6、两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下，第二组有20人，平均每人比两组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每组跳多少下？7、五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？8、求等差数列3，7，11……，643的平均数。（张雪金供稿）十一、分数乘除法应用题在分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，并应用“求一个数的几分之几是多少”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的数量关系，找出所求部分是整体的几分之几，才能解决问题。由于关系比较抽象，可以利用画线段图帮助理解，能使解答思路更清晰，方法更简捷。 例1：小宁今年的年龄是妈妈的 ，两年前母子年龄相差24岁，四年后小宁的年龄是几岁？[思路导航]：两年前相差24岁，现在仍然相差24岁，而小宁今年的年龄是妈妈的 ，相差的年龄对应的是妈妈的（1— ），妈妈今年是24÷（1— ）=36岁，小宁今年是36× =12岁，四年后是12+4=16岁。解：24÷（1— ）=36岁 36× =12岁 12+4=16岁 答：四年后小宁的年龄是16岁。例2：小明看一本故事书，第一天看了全书的 还少5页，第二天看了全书的 还多3页，还剩206页。这本故事书一共有多少页？[思路导航]：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位“1”。如果第一天多看5页，那么正好看了全书的 ；如果第二天少看3页，那么正好看了全书的 。此时应当剩下（206—5+3）页，其对应的分率为（1— — ），由此可求出全书的页数。解：（206—5+3）÷ （1— — ）=240（页）答：这本故事书一共有240页。例3：甲乙两个人共有存款320元，甲取出存款的80％， 乙取出存款75％，这时，甲乙两人共有存款70元，问甲乙两人原来各有存款多少元？[思路导航]：这道题用一般的解题思路很难解答，而用假设和对应的思想便迎刃而解。假设乙也取出了他存款的80％， 则两人共取了320×80％＝256（元），比实际多取了256－（320－70）＝6（元），多出的原因是乙多取了存款的80％－75％＝5％，所以乙取存款的5％所对应的量是6元，于是可求出乙原有的存款数为6÷5 ％＝120 （ 元），甲原有存款数为320－120＝200（元）。习题：1、明明和同学们玩怪兽战斗卡时，第一次输了全部 ，第二次又输了余下的 ，两次共输了36张，明明原来有卡片多少张？2、商店的书包降价 后，又提价 ，最后的价格是8元1角一个，那么最初是多少元一个？3、甲、乙两数是自然数，如果甲数的 恰好是乙数的 ，那么甲乙两数之和的最小值是多少？4、某洗衣机厂去年上半年生产量完成计划的 ，下半年生产洗衣机12.8万台,实际超产 ,超产多少台?5、小明正在看一本小说，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 少6页，还剩210页，这本小说一共有多少页？6、甲、乙合买一筐西瓜，甲买了其中的 还多5.5千克,乙正好买了其中的一半,这筐西瓜一共有多少千克?7、一个空桶装进 菜油，连桶共重5.4千克,再把菜油装满连桶共重14千克,这个桶重多少千克?8、夏林看一本科幻书，第一天看的页数比总页数的 多16页；第二天看的页数比总页数的 少2页；这时还余下88页，这本书一共有多少页？9、修路队三天修完一条路，第一天修了全长的 ，第二天又修了40米，第三天修的是前两天和，这条路全长多少米？10、一只猴子偷吃桃树上的桃子，第一次偷吃了 ，以后的28天，分别偷吃了当天现有桃子的 ， ，…， ， 。偷了29天后，桃树上还剩下2个桃。问：树上原有多少个桃？ （张雪金供稿）十二、最大公因数与最小公倍数【知识概述】公因数、公倍数问题中，常常出现“最大”“最多” “至少”“最少”“最小”一类的词，而没与直接指明求最大公因数还是求最小公倍数。因此，解这类题的关键，就是要正确判断所求问题是几个数的最大公因数，还是几个数的最小公倍数。【案例精选】例1 五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小组，且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？此时一共可以分成几个小组？思路点拨：第一个班有30人参加活动，要把着30人分成人数相等的小组，那么每组的人数必须是30的因数。同样道理，第二、三班每组的人数也应该是24和42的因数。那么要想每组人数尽量多，所以每组人数必须是30、24、42的最大公因数。30、24和42的最大公因数是6。30÷6+24÷6+42÷6=5+4+7=16（组）答：每组最多有6人，一共可以分成16组。同步精练：1、有三根绳子，长度分别是180厘米、240厘米和360厘米，现在要把它们剪成相等的小段，且每根绳子不准有剩余，至少可剪成多少段？2、有336个苹果、252个梨子、210个桔子，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三种水果各有多少个？例2 用长12厘米、宽8厘米、高4厘米的长方体木块拼成一个正方体，至少要多少块？思路点拨：用若干块这样的长方体拼成一个正方体后，这个正方体的棱长应该是长方体长边的倍数，也是长方体宽和高的倍数。从而，正方体棱长就是长方体长、宽、高的公倍数，要使长方体块数最少，正方体棱长就是长方体长、宽、高的最小公倍数。12、8和4的最小公倍数是24。（24÷12）×（24÷8）×（24÷4）=2×3×6=36（块）答：至少要36块。同步精练：1、某公共汽车站有三条线路的汽车，这三条线路的汽车发车时间不一样。第一条线路的车每隔6分钟发一辆，第二条线路的车每隔8分钟发一辆，第三条线路的车每隔12分钟发一辆。三条线路在早上7点同时发车，在过多少分钟又可以同时发车？2、三个人绕环形跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟、45秒钟和1分15秒。三人同时从起点出发，最少需要多少时间才能再次同时在起点相遇？例3 有学生若干人，每排3人多1人；如果每排5人，则多3人；如果每排7人还多5人。这些学生至少有多少人？思路点拨：该题可以转化成每排3人、每排5人、每排7人均少2人，如果把学生人数再增加2人的话，那么每排3人、每排5人、每排7人都正好。因此，求这些学生至少有多少人，就是求比3、5、7的最小公倍数少2的数。3、5、7的最小公倍数是105。105－2=103（人）答：这些学生至少有103人。同步精练1、有一箱小人书，把它平均分成6个小朋友，多余1本；平均分给8个小朋友，也多余1本；平均分给9个小朋友，还是多余1本。这箱小人书最少有多少本？2、有一堆巧克力糖，两粒一数多一粒，三粒一数多二粒，五粒一数多四粒，七粒一数多六粒，这堆糖至少有多少粒？【习题精选】1、一块板长36分米，宽30分米，锯成相同的正方形木块，要求正方形面积尽量大且木板不准有剩余，锯成的正方形面积是多少平方分米？可锯成几块？2、有甲、乙、丙三人常为敬老院做好事，甲7天去一次，乙6天去一次，丙8天去一次。某天他们同去了敬老院，问多少天后，他们又可三人同去敬老院与老人做好事？3、用96朵红花和72朵白花扎成花束，如果每个花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每个花束至少有多少多花？4、某学校组织划船活动，男生有27人，女生有18人，按规定每条船不超过6人。要保证每条船上男、女生人数都分别相等，至少应租几条船？5、有一箱圆珠笔，如果两枝两枝数多一枝，三枝三枝地数也多一枝，四枝一数少三枝，五枝一数少四枝，六枝一数又多一枝，七枝七枝数不多也不少。这个箱子里至少有多少枝笔？6、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？7、有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。中午12点时，既响铃又亮灯。问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？8、一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方将绳子剪断，共剪成了多少段？9、两个自然数的和为60，它们的最大公因数是5，则两个数的差是多少？10、敬老院管理员买来362个苹果、234个梨。平均分给敬老院的老人吃，分完后多出5个苹果3个梨。已知每人分到的苹果和梨的总数不超过30个。求敬老院的老人有多少？（刘世燕供稿）十三、分数基本性质的应用【知识概述】分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变，这就是分数的基本性质。利用分数的基本性质，我们可以解决很多有关分数的数学问题。【案例精选】例1 写出两个比大比小的最简真分数。思路点拨：可以把和进行通分：====……===。比大比小的最简真分数有，……。同步精练：1、写出两个比小比大的最简真分数。2、比大，比小，分子是17的分数，你能写出几个？例2 把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1。（1） 如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于，原分数是多少？（2） 如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少？思路点拨：由总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小1。（1）分母加上1，分子应比分母小2，现在的分子比分母小1，说明进行过约分了，未约分前的分子应比分母小2，说明是用2约分的，也就是说原分数的分母加上1以后，再把分子分母就同时除以2所得到的分数是，说明约分前应是，这样原分数应是。（2）题请你自己思考。同步精练：1、一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是，原分数是多少？2、一个分数约分成最简分数是，原分子、分母的和是90，原分数是多少？例3 分数的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是，求减去的数。思路点拨：一个分数的分子和分母同时减去一个相同的数后，分子与分母的差不变。原分数的分子与分母的差是136－73=63，得到的新分数的分子与分母的差也应是63。而新分数约分后变成，9－2=7，因此可知约去的数是63÷7=9。新分数是=，这样就可以求出减去的数是多少了。同步精练：1、的分子、分母同时加上多少后就可以约分为？2、一个分数，分子加上1后，其值为1，分子减去1后，其值为，求这个分数。3、一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是，原来这个分数是多少？例4 把、、和按从大到小的顺序排列出来。思路点拨：如果采用通分的方法比较大小显得比较麻烦，恰好这几个分数的分子较小，最小公倍数是60，我们可以把这几个分数化成分子相同的分数来比大小。同步精练：1、将分数、、、和，按一定的顺序进行排列。2、小红用5分钟做了42道口算题，小平用4分钟做了23道口算题，小宇用6分钟做了51道口算题，谁的速度快？例5 比较大小，并说明理由（1）和 （2）和思路点拨：第（1）题可以比较它们与1的差再比较原来的两个数。第（2）题可以先把它们与进行比较，，所以同步精练：1、比较和的大小。2、比较和的大小。【习题精选】1、一个最简分数，它的分子和分母的积是18，这个分数是多少？2、一个分数的分子扩大3倍，同时分母缩小3倍后是2，原来的分数是多少？3、分数的分子、分母同时加同一个自然数，新分数化简得，求这个自然数。4、分数的分子加一个数、分母减去同一个数，新分数化简为，求这个数。5、写出两个比小，比大的最简真分数。6、是最简真分数，a可取的整数有多少个？请写出从小到大排的第5个。7、把、、和这四个分数按从小到大的顺序排列。8、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3后，这个分数约分为，求原分数是多少？9、>>中，（ ）里可以填写多少个整数。10、已知（刘世燕供稿）十四、分数的加法和减法【知识概述】同分母分数相加减，分母不变只要把分子相加减即可；异分母分数相加减，要先通分，然后按照同分母分数相加减的法则进行计算。如果遇到一个加减算式中的分数较多，除了要掌握运算顺序和运算法则外，还应该根据题目的特点，灵活地运用运算技巧，使看起来难以解答的题目，能很巧妙地算出得数。【案例精选】例1 在等式=+的括号内填入适当的不同自然数，使等式成立。思路点拨：解答这类题目的方法不止一种，这里介绍因数法。即先求出6的因数有哪些，把的分子、分母都乘以任意两个因数的和，再把所得的分数拆成两个分数的和，最后再把两个分数中可以约分的进行约分。但要注意所取两个因数如不互质，同时缩小倍数成为互质的两个因数，所得结果相同，如取1和2与2和4的结果相同。6的因数有1、2、3、6.取1和2，有==+=+取1和3，有==+=+取1和6，有==+=+取2和3，有==+=+同步精练：1、在等式=+括号内填入适当的不同自然数，使等式成立。（写出全部答案）2、把表示成三个不同的分数单位的和的形式。3、把表示成两个不同的分数单位的差的形式例2 计算+++++++++。思路点拨：因为=1－ =－ =－ =－……根据以上规律我们可以把算式变形，以达到简便运算的效果。原式=（1－）+(－)+(－)+(－)+……+(－)=1－+ －+ －+ －+……+ －=1－=同步精练：1、计算：+++++2、已知=－ 计算：++++3、计算：1+2+3+4+5+6+7+8【习题精选】1、=+ =++2、计算+++……++3、计算9+99+999+9999+14、先计算下面各题，然后找出规律。++=+++=++++=++++……++=5、计算+++……6、已知、、是三个最简真分数，如果每个分数的分子加上A，分母不变，则三个新分数之和是2，求C是多少？7、分母是126的真分数有多少个？它们的和是多少？8、计算1－－－－－9、计算1+2+3+4+5+6+710、计算1－+－+－＋－＋（刘世燕供稿）十五、比在实际中的应用【知识要点】“比”在实际中的应用十分广泛，解答关于“比”的问题时要及时沟通“比”和“分数”之间的联系。已知两个量的比，就是已知一个量是另一个量的几分之几，同时也知道了其中一个量是两个量之和的几分之几，从而把这类应用题转化为分数应用题来解答。例1 一块长方形地的周长是20米，长与宽的比是3：2，它的面积是多少？思路点拨：长方形的周长指两条长和两条宽的长度之和，用长方形的周长除以2，即20÷2＝10（米），再把10米按3：2进行分配，分别求出长方形的长和宽，最后求出长方形的面积。【同步练习】1．一块长方形地的周长是80米，它的长和宽的比是3：2，这块长方形地的面积是多少平方米？2．一个长方体棱长的和是144厘米，它的长、宽、高的比是4：3：2，这块长方体的体积是多少？3．有一个等腰三角形，它的两个角的度数之比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？（提示：三角形3个内角和是180°）例2 五（1）班男、女生人数比是12：11，又转来4名女生后，全班共有50人。求现在男、女生的人数比。思路点拨：求现在男、女生人数的比，就要用现在男生的人数比现在的女生人数。50－4＝46（人），原来五（1）班有46人，再把46人按12：11进行分配，分别求出原来男、女生人数，“又转来4名女生”，现在男生的人数没有变，女生增加4人，求出现在女生的人数，最后求出所求问题。【同步练习】1．六年级1班男、女生人数比是3：2，又转来4名男生后，全班共有44人。求现在男、女生人数的比。2．一杯盐水200克，其中盐与水的比是1：24，如果再放入4克盐，这时盐与水的比是多少？3．两瓶油共重2.7千克。大瓶的油用去0.2千克后，剩下的油与小瓶内油的重量比是3：2。求大瓶子里原来装有多少克油？例3 商店运来一批电视机，卖出18台，剩下的与卖出的比为4：3，共运来多少台电视机？思路点拨：“剩下的和卖出的比为4：3”，剩下的台数是4份，卖出的台数是3份，一共是7份，电视机总台数就是卖出的7／3，18×7／3＝42（台），共运来42台。【同步练习】1．饲养小组养了12只白兔，白兔的只数与黑兔的只数比为2：3。饲养小组一共养了多少只兔？2．五（2）班女生比男生少5人，男、女生人数的比是3：2，这个班共多少人？3．客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，在离中点45千米处相遇，客车和货车速度的比是3：2，甲、乙两地的距离是多少？例4 甲仓库存粮食180吨，乙仓库存粮食120吨，甲仓库运出一部分到乙仓库后，甲乙两仓库的粮食比为7：3.甲仓库运了多少吨粮食到乙仓库？思路点拨：不管是从甲仓库运到乙仓库，还是从乙仓库运到甲仓库，甲乙两个仓库存粮的总吨数没有发生变化。180＋120＝300（吨），两个仓库共存粮300吨。“乙仓库与甲仓库的粮食比为7：3”，注意这里的7份是乙仓库的存粮，3份是甲仓库的存粮，一共是十份，甲仓库的存粮占总吨数的3／10，300×3／10求出现在甲仓库存粮的吨数，最后再求出甲仓库减少的吨数，也就是从甲仓库运到乙仓库的吨数。【同步练习】1．一班有48名学生，二班有42名学生，从一班调几名同学到二班，一班与二班的人数比就是4：5 ？2．学校六年级学生在青少年科技活动中心参加航模比赛，分成甲、乙两个组，甲乙两组的人数比是7：8，如果从乙组调8人到甲组，则甲组人数是乙组的5／4。参加航模比赛的一共有多少人？3．甲、乙两个建筑队原有水泥的重量比是4：3。当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队的水泥的重量比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？综合练习一、填空。1．六（1）班男生人数与女生人数的比是14：13，女生人数是男生人数的（ ）／（ ），男生人数与全班人数的比是（ ）：（ ），女生人数占全班人数的（ ）／（ ）。2．男生人数比女生多1／6，女生和男生人数的比是（ ）：（ ），男生占全班人数的（ ）／（ ）。3．修一段公路，已修的和未修的比为5：4，已修了这段公路的（ ）／（ ）。4．甲走的路程是乙的4／5，乙用的时间是甲的4／5，甲乙的速度比是（ ）：（ ）。5．一个平行四边形和一个三角形，它们底的比是1：2，高的比也是1：2，那么它们的面积比是（ ）：（ ）。6．甲正方形与乙正方形边长的比是5：6，甲正方形的面积是乙正方形面积的（ ）／（ ）。7．已知一个三角形的三个内角度数比是1：1：2，这是一个（ ）三角形，又是（ ）三角形。二、选择正确答案的序号填在括号里。1．0.3米：20厘米的比值是（ ）。A.2／3 B.3／2 C.3:22．一个直角三角形，两个锐角的度数比是1：8，这个三角形中最小的锐角是（ ）。A.40° B.20° C.10°3．把甲班人数的1／8，调入乙班后两班人数就相等，原来甲乙两班人数的比是（ ）。A.7：8 B.8：7 C.3：4 D.4：34．5：11的前项增加45，要使比值不变，后项就（ ）。A.增加45 B.扩大9倍 C.增加9倍5．100克糖水中有25克糖，糖与糖水的比和糖与水的比分别为（ ）。A.1：4和1：3 B.1：4和1：5 C.1：5和1：4 D.4：3三、解决问题。1．六（1）班五个小组的同学订阅本学年《电脑报》，共付158.4元。算出各小组应交的钱数，填入表内：份数金额第一组4份第二组5份第三组4份第四组3份第五组6份2．甲乙两个工程队共修路360米，甲乙两队修的长度比是5：4，甲队比乙队多修了多少米？3．甲乙两地相距690千米，一列快车和一列慢车同时从两地相向开出，3小时相遇。已知两车的速度比是12：11，两列火车每小时各行多少千米？4．一批货物重1800吨，运走了2／3。余下的按4：3：5分给甲乙丙三个队运，运的最少的队运了多少吨？5．客、货两车，从两地相向开出，2小时相遇。相遇时客车与货车所行路程比是2：5。客车每小时行40千米，货车每小时行多少米？6．水泥、石子、黄沙各有6吨，用水泥、石子、黄沙按5：3：2拌制成某种混凝土，若石子刚好用完，水泥缺几吨？黄沙缺几吨？7．一袋大米，第一天吃的千克数与大米总千克数的比是2：5，第二天吃了16千克，还剩下14千克。这袋大米原有多少千克？8．两个长方形，它们的面积的比是8：7，长的比是4：5，那么宽的比是多少？9．第一车间有职工300人，其中男职工占2／5，后来又调进一批男职工，这时男职工和女职工人数的比是3：2，调进的这批男职工有多少人？10．把一批货物按5：3分给甲乙两队运，甲队完成本队任务的4／5，剩下的给乙队运，乙队共运了48吨。这批货物一共有多少吨？（徐蜜蜂供稿）十六、百分数的应用（浓度、利率、利润、折扣）【知识要点】把盐溶于水就得到盐水，其中盐叫溶质，水叫溶剂，盐与水的混合液叫做溶液。我们把盐与盐水的比值叫做盐水的浓度，通常浓度用百分数表示，又叫百分比浓度，这一类问题叫做浓度问题。例1 现有浓度为25%的盐水80克，加入多少克水就能得到浓度为10%的盐水？思路点拨：将浓度为25%的盐水变为浓度为10%的盐水，盐水中水的重量增加了，但是盐的重量并没有发生变化。可以根据已知条件先求出原来盐水中盐的重量，再求出现在盐水的重量，最后再用现在盐水的重量减去原来盐水的重量就是加入水的重量。【同步练习】1．把碘溶在酒精里，配成碘酒，现在有含碘15%的碘酒50千克，要把它变成含碘3%的碘酒，需要加入多少千克酒精？2．现有浓度为20%的盐水80克，加入多少克水就能得到浓度为16%的盐水？3．往40千克含盐16%的盐水中加入10千克水。求这时盐水的浓度是多少？4．现有浓度为25%的盐水80克，要使盐水的浓度提高到40%，需要加多少克盐？5．现有浓度为15%的盐水20千克，要使盐水浓度提高到20%，需要加多少克盐？6．浓度为10%的糖水300克，要把它变成浓度为25%的糖水，需要加糖多少克？7．往40千克含盐16%的盐水中加入10千克盐。求这时盐水的浓度是多少？8．一瓶盐水共重200克，其中盐有20克，这瓶盐水的浓度是百分之几？9．配制一种盐水，在450克水中加了50克盐，这种盐水的浓度是百分之几？10．把浓度为25%的40千克盐水与浓度为10%的60千克盐水混合在一起，混合后的盐水的浓度为多少？11．一种酒精溶液的浓度是20%，其中水有240克，酒精有多少克？12．有浓度为2.5%的盐水400克，为了制成浓度为5%的盐水，从中要蒸发掉多少克水？例2 银行一年定期储蓄的年利率为2.25%。小王取出一年到期的本金以及利息时,缴纳了4.5元的利息税，小王一年前存入银行的本金是多少元？思路点拨：这道题用方程解比较方便，根据小王缴纳了4.5元的利息税可以得到这样一个等量关系式：小王存入银行的本金×2.25%×20%＝4.5元根据这个等量关系式列方程解答。【同步练习】1．银行一年定期储蓄的年利率为2.25%。张健取出一年到期的本金以及利息时，缴纳了9元的利息税，张健一年前存入银行的本金是多少元？2．李华把3000元存入银行，定期3年，到期时他获得本金和税后利息共3324元。这种储蓄的年利率是多少？3．王文买了3年期年利率为7.11%的国家建设债券，到期时获得本息一共2426.6元。王文的本金是多少元？例3 商店有每本成本0.5元的作业本100本，按每本0.7元销售，可获利润多少元？利润率是百分之几？思路点拨：利润率是指利润占成本的百分率，根据“利润率＝（售价－成本）÷成本”可以求出1本作业本的利润率，也就是100本作业本的利润率。【同步练习】1．商店每卖出1本挂历，可获得利润12元，已知每本挂历售价52元，这种挂历的利润率是百分之几？2．一种商品的利润率是20%，如果进货价降低20%，售出价保持不变，那么商品的利润率是百分之几？3．红星商店购回一批商品，按20%的利润定价，然后打8折出售，结果亏损100元。这批商品的成本是多少元？4．某商品按20%的利润定价，然后又打8折出售，结果亏损了64元。每个这种商品的成本是多少元？5．某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80%出售，则亏损832元。商品的购入价是多少元？6．一种商品先按20%的利润定价，然后按定价的90%售出，结果获利256元。这种商品的成本价是多少元？综合练习一、填空。1．一件衣服打7.5折出售，就是比原价降低（ ）%。2．一种冰箱原价2100元，现打8.5折出售，现价是（ ）元，便宜了（ ）元。3．某商品降价1000元后，售价4000元，降价（ ）%。4．一件玩具打9折出售，现在是45元，降低了（ ）元。5．一本书的售价是26元，这本书售出后可获得30%的利润，这本书的成本是( )元。6．一件商品，先提价10%，再降价%，商品的现价和原价相比（ ）。（选择：提高了 降低了 不变）7．商店售出2件商品，其中一件按成本增加25%出售，另一件降价处理，按成本减少20%出售，售价正好相同，第一件与第二件的成本比是（ ）：（ ）。二、解决问题。1．一套衣服原价200元，先打8折再打7折出售，现在买回这套衣服可便宜多少元？2．一种商品按成本的20%的利润定价，售出时打8.8折，结果仍获利84元，此商品的成本是多少元？3．一件大衣按定价打8折出售，仍能获得20%的利润，定价时，期望的利润率是百分之几？4．某店同时出售2件商品，售价都是600元，一件是正品，可赚20%。另一件是处理品，要赔20%，以这两件商品而言，是赚还是赔？多少元？5．商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.2元，从产地到商店距离400千米，运费为每吨货物每千米1.5元。如果不计损耗，商店想要实现25%的利润，每千克苹果零售价应是多少元？6．商店为某鞋厂代销200双鞋，代销费用为销售总额的8%。全部销售完后，商店向鞋厂交付6808元，这批鞋每双售价多少元？（徐蜜蜂供稿）十七、圆的周长与面积例1 把4个啤酒瓶扎在一起（如图所示），捆4圈至少要用绳子多少厘米？思路点拨：用绳子捆4圈的长度就是指周长的4倍。这个图形的周长可以分成2类：线段的长度和弧的长度。而这四条弧正好可以拼成一个圆，每条线段的长正好是圆的直径的长。所以绳子捆1圈的长度就是图中一个圆的周长加上4条直径的长度之和。【同步练习】1．计算下图中阴影部分的周长。（单位：厘米）2．一个街心花园如下图的形状，中间正方形的边长是20米，四周为半圆形，这个街心花园的周长是多少米？3．在学校200米跑道中，每条跑道宽1.2米，由于有弯道，为了公平，外道和内道的选手起跑线不在同一点。如：A点处是小明的起跑线，B点处是小强的起跑线（如下图所示），那么A、B两点的距离是多少米？例2 如下图，从点A到点B沿着大圆周走和沿着中小圆周走的路程相等吗?思路点拨：设小圆的直径为a，中圆的直径为b，则大圆的直径为a＋b。那么第一种走法的路程为C(大圆)＝π×（a＋b）÷2＝πa÷2＋πb÷2；第二种走法为C（中小圆）＝πa÷2＋πb÷2，所以相等。【同步练习】1．下图中，从A点到B点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相等吗？2．已知AB＝50厘米，求图中各圆周长的总和。3．已知一个大圆中紧紧地排列着3个直径不同的小圆（如图），并且这4个圆的圆心恰好在同一条直线上。如果大圆的周长是30厘米，那么3个小圆的周长之和是多少？4．将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如下图形状放置，求阴影部分的周长。5．一个半圆的周长是20.56分米，这个半圆的直径是多少厘米？例3 如下图，是由正方形和半圆组成的图形，其中P点为半圆的中点，Q点为正方形一边上的中点，那么阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）思路点拨：求阴影部分的面积最常用的方法叫做“排空法”。所谓排空法就是指用图形外围的面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积。此题中图形外围的面积应该是正方形和半圆面积之和，比较方便。空白部分是个不规则的四边形，我们可以用分割的方法把它分成几块基本图形再求面积。连接BP，则图中阴影部分面积可以用正方形与半圆面积的和减去三角形ABP与三角形BPQ的面积之和。【同步练习】1．求下面图中阴影部分的面积。（单位：厘米）2．下图小半圆的半径为4厘米，求阴影部分的面积。3．下图中三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。综合练习1．一个大圆内有3个大小不等的小圆（如图），这些小圆的圆心在大圆的同一直径上，连同大圆在内，每相邻的两个圆相切，已知大圆的周长是20厘米，求这2个小圆的周长之和是多少？2．有8个半径为2厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中正方形的边的交点为这些圆的圆心，那么这个花瓣图形的周长是多少厘米？3．有7根直径都是2分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆起来，最短需要多少米长的绳子？（接头处不计）4．三角形的边长都是3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚3次（如图），求A点经过的路程的长。5．求下图中外围的周长。（单位：厘米）6．正方形ABCD的边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴影部分的周长。7．下图中，直径为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长。8．根据下图中的条件，求阴影部分的面积。（单位：厘米）9．在下图中阴影部分的面积是40平方厘米，那么圆环的面积是多少平方厘米？10．如下图，3个圆的周长都是25.12厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米）（徐蜜蜂供稿）十八、六年级思维训练综合题一、填空1、我国有13亿人员，每人节约1分钱，可以节约（ ）元，用这些钱帮助我国失学儿童重新上学，每人给400元，可以帮助（ ）名儿童重新上学。2、一个三角形的内角和是180o,一个六边形的内角和是（ ）。3、把一根3米长的钢材，从一头到另一头截成每段长1/3 米的小段要截( )次，每段占全长的( )。4、甲比乙多1/4 ，乙比丙少25%，则甲是丙的( )%。5、两个质数倒数相加，和的分子是25，分母是( )。6、一个三角形的三个内角度数比是4∶1∶1，这个三角形是( )三角形。 7、一条绳子用去全长的2/5 多4米，剩下的部分比用去的部分多2米。这条绳子全长（ ）米。8、有一个骰子(小正方体)的六个面上分别写有数字1、2、2、3、3、3,当投掷这个骰子时,数字“2”朝上的可能性是（ ）。9、王雪读一本故事书，第一天读了8页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了32页正好读完。她一共读了（ ）天。10、振阳小区2号居民楼，原有3户安装空调，后来又增加1户。这4台空调全部打开时就会烧断保险丝，因此，最多可以同时使用3台空调。这样，在24小时内平均每户最多可以使用空调（ ）小时。11、晚上7点新闻联播是24时记时法的（ ），再过一小时，时针和分针的夹角是（ ）度。12、已知A×1.5=B×1/2 =C÷0.1 =D÷10,其中最大的数是( ),最小的数是( )。13、一件商品，今年比去年降价1/4 ，去年比前年又降价1/5 ，今年售价比前年降低了（—）。14、一个长方体表面积为50平方厘米，上、下两个面为正方形，如果正好可以截成两个相等体积的正方体，则表面积增加（ ）平方厘米。15、甲、乙两个书架上共有书282本，甲书架本数的3/4与乙书架本数的5/9相等。乙书架有（ ）本。16、学校买了40张桌子和60把椅子，共用去2520元，每张桌子比每把椅子贵12元，每张桌子（ ）元，每把椅子（ ）元。17、小华在公共电话亭打一次电话需要0.5元，如果超过3分钟每多打1分钟交0.3元。小华打完一次电话后共交2.6元，他打这次电话共用了（ ）分钟。18、有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块，最多可以放 （ ）块。 19天气反覆无常，致使某地区受流行感冒侵袭，有25%的人患了感冒。过了一星期其中有40%的人痊愈了，但原来健康的人又有32%患了感冒。现在健康的人数占全部人口的（ ）％。20、有浓度为8﹪的盐水200克，需稀释成浓度为5﹪的盐水，需加水（ ）克。二、解答题1、甲乙两列火车从相距480千米的两地同时相对开出，甲车每小时行48千米，2小时后两车相距全程的70%。乙车每小时行驶多少千米？2、小明下山的速度是上山速度的1．5倍，小明从山脚出发开始上山，上到山顶后立即返回，出发2小时后刚好走了下山路程的一半。小明下山还需要多少小时？3、一个等腰三角形中，一个内角的度数是另一个内角度数的1/4 ，那么顶角为多少度。4、求斜边是5厘米的等腰直角三角形的面积。5、实验学校派25名教师带五、六年级学生参加今年植树活动。师生一起，每3人里有一个六年级学生，每4人里有一个五年级学生，那么五、六年级分别去了多少学生？