三角形内心的性质及其应用
一．基础知识
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：
性质1：设I为ΔABC的内心，则I到ΔABC三边的距离相等；反之亦然。
性质2：设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
性质3：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, I在BC、AC、AB上射影分别为D、
E、F；内切圆半径为r,令p = (a+b+c) /2 , 则⑴S ΔABC = p r ; ⑵r2SABC ； abc
⑶AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; ⑷ abcr = p·AI·BI·CI .
性质4：三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为ΔABC的∠A平分线AD（D在ΔABC的外接圆上）上的点，且DI = DB，则I为ΔABC的内心。
性质5：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, ∠A的平分线交BC于K ，交ΔABC
的外接圆于D，则AIADDIbc KIDIDKa
性质6：过ΔABC内心I任作一直线，分别交AB、AC于P及Q两点，则
ABACACABABACBC APAQ
或ABACsinBsinCsinAsinBsinC APAQ
BCCAAB的值最小。 PDPEPF性质7：设ΔABC的内心为I，ΔABC内一点P在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，当P与I重合时，和式
性质8：设I1为ΔABC的内心，R为ΔABC的外接圆的半径，则
IAIBIC sinsinsinsinsinsin222222
二、综合应用：
例1．如图，D是ΔABC的内心，E是ΔABD的内心，F是ΔBDE的内心。若∠BDE的
度数为整数，求∠BFE的最小度数。
例2．如图，设点M是ΔABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直
线IM与AH的交点。求证：AE等于切圆半径r.
例3．如图，设P为ΔABC内一点，∠APB-∠ACB = ∠APC-∠ABC .又设D、E分别是
ΔAPB及ΔAPC的内心，证明：AP、BD、CE交于一点。（第33届IMO第2题）
例4．如图，设三角形的外接圆半径、内切圆半径分别为R、r, 其外心、内心分别为O、I，
若IO = d, 则d2 = R2 – 2Rr.
例5．如图，设ΔABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B = 60 ° , ∠A
角平分线交圆O于E，证明：⑴IO = AE；⑵
例6．如图，在ΔABC中，有一个圆O’内切于ΔABC的外接圆O，并且与AB、AC分别相
切于P、Q。求证：线段PQ的中点I是ΔABC的内心。
例7．ΔABC的∠A的平分线与ΔABC的外接圆交于D，I是ΔABC的内心，M是边BC的
中点，P是I关于M的对称点（设点P在圆内），延长DP与外接圆交于点N。试证：在AN、BN、CN三条线段中，必有一条线段中另两条线段之和。
例8．如图，在ΔABC中，O是外心，I是内心，∠C = 30 °, 边AC上的点D与边BC上的
点E，使AD = BE = AG，求证：OI⊥DE，OI = DE。
例9．如图，在ΔABC中，AB = 4 ，AC = 6，BC = 5，；∠A的平分线AD交ΔABC的外接
圆于K。O、I分别为ΔABC的外心、内心。求证：OI⊥AK。
例10．如图，在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，连结ΔABD的内心与ΔACD的内心的直线，分别与AB边交于K，与AC边交于L，ΔABC与ΔAKL的面积分别记为S与T，求证：S≥2T.
例11．如图，在ΔABC中，AB≠AC, AD⊥BC , D为垂足，过RtΔABD的内心O1和RtΔACD
的内心O2的直线交AB于K，交AC于L ，若AK = AL ，则∠BAC = 90 °.强化训练
1．已知圆O1与圆O2于点C，延长O1A交圆O2于点C，延长O2A交圆O1于点D，求证：
A是ΔBCD的内心。
2．在RtΔABC中，∠C = 90 °, CD是斜边上的高，O1 、O2分别是ΔACD和ΔBCD的内心，求证：∠AO2C =∠BO1C.
3．设ΔABC的内切圆I与AB、AC边分别切于点E、F，射线BI、CI分别交EF于点M、N。试证：四边形AMIN与ΔIBC的面积相等。
4．设I为ΔABC的内心，CI的延长线分别交边AB及外接圆于D、K，求证：
111IDIK1ICID1 ；2ICIDDK
5．在梯形ABCD中，BC// DA，对角线AC与BD相交于P，记ΔPAB, ΔPBC, ΔPCD, ΔPDA, 的内切圆半径为r1、r2、r3、r4 ,且
1111，求证：AB+CD = BC+DA。 r1r3r2r4
三角形内心的性质及其应用
一．基础知识
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：
性质1：设I为ΔABC的内心，则I到ΔABC三边的距离相等；反之亦然。
性质2：设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
性质3：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, I在BC、AC、AB上射影分别为D、
E、F；内切圆半径为r,令p = (a+b+c) /2 , 则⑴S ΔABC = p r ; ⑵r2SABC ； abc
⑶AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; ⑷ abcr = p·AI·BI·CI .
性质4：三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为ΔABC的∠A平分线AD（D在ΔABC的外接圆上）上的点，且DI = DB，则I为ΔABC的内心。
性质5：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, ∠A的平分线交BC于K ，交ΔABC
的外接圆于D，则AIADDIbc KIDIDKa
性质6：过ΔABC内心I任作一直线，分别交AB、AC于P及Q两点，则
ABACACABABACBC APAQ
或ABACsinBsinCsinAsinBsinC APAQ
BCCAAB的值最小。 PDPEPF性质7：设ΔABC的内心为I，ΔABC内一点P在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，当P与I重合时，和式
性质8：设I1为ΔABC的内心，R为ΔABC的外接圆的半径，则
IAIBIC sinsinsinsinsinsin222222
二、综合应用：
例1．如图，D是ΔABC的内心，E是ΔABD的内心，F是ΔBDE的内心。若∠BDE的
度数为整数，求∠BFE的最小度数。
例2．如图，设点M是ΔABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直
线IM与AH的交点。求证：AE等于切圆半径r.
例3．如图，设P为ΔABC内一点，∠APB-∠ACB = ∠APC-∠ABC .又设D、E分别是
ΔAPB及ΔAPC的内心，证明：AP、BD、CE交于一点。（第33届IMO第2题）
例4．如图，设三角形的外接圆半径、内切圆半径分别为R、r, 其外心、内心分别为O、I，
若IO = d, 则d2 = R2 – 2Rr.
例5．如图，设ΔABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B = 60 ° , ∠A
角平分线交圆O于E，证明：⑴IO = AE；⑵
例6．如图，在ΔABC中，有一个圆O’内切于ΔABC的外接圆O，并且与AB、AC分别相
切于P、Q。求证：线段PQ的中点I是ΔABC的内心。
例7．ΔABC的∠A的平分线与ΔABC的外接圆交于D，I是ΔABC的内心，M是边BC的
中点，P是I关于M的对称点（设点P在圆内），延长DP与外接圆交于点N。试证：在AN、BN、CN三条线段中，必有一条线段中另两条线段之和。
例8．如图，在ΔABC中，O是外心，I是内心，∠C = 30 °, 边AC上的点D与边BC上的
点E，使AD = BE = AG，求证：OI⊥DE，OI = DE。
例9．如图，在ΔABC中，AB = 4 ，AC = 6，BC = 5，；∠A的平分线AD交ΔABC的外接
圆于K。O、I分别为ΔABC的外心、内心。求证：OI⊥AK。
例10．如图，在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，连结ΔABD的内心与ΔACD的内心的直线，分别与AB边交于K，与AC边交于L，ΔABC与ΔAKL的面积分别记为S与T，求证：S≥2T.
例11．如图，在ΔABC中，AB≠AC, AD⊥BC , D为垂足，过RtΔABD的内心O1和RtΔACD
的内心O2的直线交AB于K，交AC于L ，若AK = AL ，则∠BAC = 90 °.强化训练
1．已知圆O1与圆O2于点C，延长O1A交圆O2于点C，延长O2A交圆O1于点D，求证：
A是ΔBCD的内心。
2．在RtΔABC中，∠C = 90 °, CD是斜边上的高，O1 、O2分别是ΔACD和ΔBCD的内心，求证：∠AO2C =∠BO1C.
3．设ΔABC的内切圆I与AB、AC边分别切于点E、F，射线BI、CI分别交EF于点M、N。试证：四边形AMIN与ΔIBC的面积相等。
4．设I为ΔABC的内心，CI的延长线分别交边AB及外接圆于D、K，求证：
111IDIK1ICID1 ；2ICIDDK
5．在梯形ABCD中，BC// DA，对角线AC与BD相交于P，记ΔPAB, ΔPBC, ΔPCD, ΔPDA, 的内切圆半径为r1、r2、r3、r4 ,且
1111，求证：AB+CD = BC+DA。 r1r3r2r4